TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC MŨ LOGA TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (82.12 KB, 3 trang )
CÔNG THỨC MŨ VÀ LOGARIT
1) Công thức mũ và lũy thừa
Số mũ α
α = n∈ N*
α =0
α = −n ( n ∈ N * )
α=
Cơ số a
a∈R
Lũy thừa a α
a α = a n = a.a......a (n thừa số )
a≠0
a≠0
aα = a 0 = 1
a α = a −n =
a>0
m
(m ∈ Z , n ∈ N * )
n
m
a α = a n = n a m (n a = b ⇔ b n = a)
Tính chất: Khi các lũy thừa và căn đã xác định
a khi n lÎ
1. am .an = am+ n
6. n a n =
a khi n ch½ n
2. (a.b)n = an .b n
3.
am
an
= am − n
8.
ab = n a . n b
n
7.
n
a
an
4. ( )n =
b
bn
9. a
5. (am )n = (an )m = am.n
10.
ap =
−
m
n
=
( a)
n
1
a
n k
m
n
1
an
=
11.
n
a na
=
b nb
12.
n
a = mn a m
13.
n
a m = a n ( khi a>0)
m
p
1
n
14. a − n =
am
a = nk a
m n
15.
1
an
a = mn a
2) Công thức logarit
* Chú ý: ĐK để lôgarit có nghĩa là: Cơ số lớn hơn 0 và khác 1
Biểu thức dưới dấu lôgarit phải lớn hơn 0
x
y
1. log a 1 = 0, log a a = 1
6. log a ( ) = − log a ( )
y
x
7. log a x α = α log a x , log a x 2 = 2 log a x
2. log a a m = m
3. a log a b = b
8. log aα x =
4. log a ( x. y ) = log a x + log a y
x
1
5. log a ( ) = log a x − log a y , log a ( ) = − log a y
y
y
Công thức đổi cơ số
log c b
log a b =
hay log c a.log a b = log c b
log c a
ln b
lg b
log a b =
log a b =
ln a
lg a
α
log a x , log a β x α =
α
log a x
β
9. lg b = log b = log10 b ( logarit thập phân)
10. ln b = log e b, ( e = 2,718…..)
( logarit tự nhiên hay loga Nêpe)
log a b =
a
1
1
hay log a b.log b a = 1
log b a
logb c
log a
=c b
3) Đạo hàm của hàm mũ và logarit
Đạo hàm của hàm số sơ cấp
(e x )' = e x
(a x )' = a x . ln a
1
(ln x )' =
x
1
(log a x )' = x
a ln a
( x α )' = α .x α −1 (α ≠ 0, x > 0)
1
(n x )' =
n
n x n −1
Đạo hàm của hàm số hợp
(e u )' = u '.e u
(a u )' = u '.a u . ln a
u'
(ln u )' =
u
u'
(log a u )' =
u. ln a
α
α −1
(u )' = α .u u '
u'
(n u )' =
n
n. u n −1
Công thức đạo hàm cơ bản
( u.v )
'
= u ' .v + u.v '
u u .v − u.v
=
v2
v
'
'
'
'
'
1 1
v'
1
=
−
,
=
−
x2 v
v2
x
'
'
1
u'
x =
, u =
2 x
2 u
( )
( )
4) Các dạng cơ bản của PT và Bất PT mũ, logarith
a) 0 < a ≠ 1
b) a > 1
c) 0 < a < 1
a f ( x) = a g ( x)
⇔
f ( x) = g ( x)
f ( x) > 0 hay ( g ( x) > 0)
log a f ( x) = log a g ( x) ⇔
f ( x) = g ( x)
a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) > g ( x)
log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ f ( x) > g ( x) > 0
a f ( x ) > a g ( x ) ⇔ f ( x) < g ( x)
log a f ( x) > log a g ( x) ⇔ 0 < f ( x) < g ( x)
* So sánh:
+) a > 1 : a α > a β ⇔ α > β
+) a > 1 : log a b > log a c ⇔ b > c
+) 0 < a < 1 : a α > a β ⇔ α < β
+) Với 0 < a < b , m ∈ Z thì : a m < b m ⇔ m > 0
a m > bm ⇔ m < 0
+) Với a < b , n ∈ N lẻ thì: a n < b n
+) Với a, b > 0 , n ∈ ℤ* thì: a n = b n ⇔ a = b
log a b > 0 ⇔ b > 1
+) 0 < a < 1 : log a b > log a c ⇔ b < c
log a b > 0 ⇔ b < 1
+) log a b = log a c ⇔ b = c
5) Hàm số mũ, hàm số logarit
Hàm số mũ: y = a x (a>0), đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi 0 < a < 1
Áp dụng khi so sánh: +) a > 1: x1 > x2 thì a x1 > a x2
+) 0 < a < 1: x1 > x2 thì a x1 < a x2
Hàm số logarit: y = log a x ( 0 < a ≠ 1, x > 0 ), đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi 0 < a < 1
Áp dụng khi so sánh: +) a > 1: x1 > x2 thì log a x1 > log a x1
+) 0 < a < 1: x1 > x2 thì log a x1 < log a x1
6) Công thức lãi kép.
Gửi A đồng, lãi xuất r/1 kì hạn. Sau n kì hạn thu được bao nhiêu đồng? T = A(1 + r ) n
Gửi A đồng, kì hạn m tháng với lãi xuất r/1 tháng. Sau n kì hạn thu được bao nhiêu đồng? T = A(1 + m.r ) n
Vay A đồng, lãi xuất r/ 1 tháng. Từ tháng thứ 2 trả đều đặn vào cuối mỗi tháng m đồng. Sau n tháng hết
nợ. Hỏi mỗi tháng trả bao nhiêu tiền? m =
A.r. (1 + r )
(1 + r )
n
n
−1
log B − log A
log(1 + r )
Mỗi tháng gửi đều đặn A đồng vào đầu tháng, với lãi xuất r/ 1 tháng ( lãi kép). Số tiền thu được sau n
A(1 + r )
n
tháng. T =
1 + r ) − 1
(
r
Gửi A đồng, lãi xuất r/ 1 kì hạn. Sau bao nhiêu kì hạn(N) thì có B đồng? N =
