Chương III:

VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN.

QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
§1. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN. SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VÉCTƠ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. Các định nghĩa
• Véctơ là một đoạn thẳng có hướng (có quy định điểm đầu và điểm cuối).
uuur
r rr r
• Ký hiệu: AB (điểm đầu là A, điểm cuối là B ) hay a , b , x , y ,...
• Độ dài của véctơ là độ dài của đoạn thẳng nối hai đầu mút của véctơ đó.
• Giá của véctơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của véctơ đó.
• Hai véctơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
• Hai véctơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng.
• Hai véctơ bằng nhau là hai véctơ cùng hướng và có cùng độ dài.
• Hai véctơ đối nhau là hai véctơ ngược hướng nhưng vẫn cùng độ dài.
• Véctơ – không là véctơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
• Các phép toán cộng, trừ, nhân véctơ với một số được định nghĩa tương tự trong mặt phẳng.
II. Các quy tắc tính toán với véctơ
uuur uuur uuur
• Quy tắc ba điểm (với phép cộng): AB + BC = AC
uuur uuur uuur
• Quy tắc ba điểm (với phép trừ): OB − OA = AB
uuuur uuuuuur uuuuuur
uuuuuuuur uuuur uuur
• Quy tắc ba điểm (mở rộng): AX1 + X1 X 2 + X 2 X 3 L + X n −1 X n + X n B = AB
•

•

Quy tắc hình bình hành:uuur uuur uuur
 AB + AD = AC
uuur uuur uuur
 AB + AD = 2 AE
trong đó ABCD là hình bình hành, E là trung điểm của BD
Quy tắc hình hộp:
uuur uuur uuur uuuur
 AB + AD + AA′ = AC ′
trong đó ABCD. A′B ′C ′D ′ là một hình hộp.

III. Một số hệ thức véctơ trọng tâm, cần nhớuur uur
r
• I là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ IA + IB = 0 .
uuur uuur uuur
• I là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔ MA + MB = 2MI (với M là một điểm bất kỳ).
uuur uuur uuur r
• G là trọng tâm của ∆ ABC ⇔ GA + GB + GC = 0
uuur uuur uuuur uuuur
• G là trọng tâm của ∆ ABC ⇔ MA + MB + MC = 3MG (với M là một điểm bất kỳ).
uuur uuur uuur uuur r
• G là trọng tâm của tứ diện ABCD ⇔ GA + GB + GC + GD = 0
uuur uuur uuuur uuuur uuuur
• G là trọng tâm của tứ diện ABCD ⇔ MA + MB + MC + MD = 4MG (với M bất kỳ).
r r
r
r
r
• a và b ≠ 0 cùng phương ⇔ ∃k ∈ ¡ : a = k .b
r r

r
r
r
• a và b ≠ 0 cùng hướng ⇔ ∃k ∈ ¡ + : a = k .b
r r
r
r
r
• a và b ≠ 0 ngược hướng ⇔ ∃k ∈ ¡ − : a = k .b
uuur
uuur
• Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k ∈ ¡ : AB = k . AC
IV. Điều kiện đồng phẳng của ba véctơ
IV.1. Định nghĩa
1


Trong không gian, ba véctơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một
mặt phẳng nào đó.
IV.2. Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng
r
r
r
Trong không gian cho a và b không cùng phương và véctơ c .
r r r
r
r r
Khi đó, a , b và c đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số (m; n) sao cho c = ma + nb
(cặp số (m; n) nêu trên là duy nhất)
Ứng dụng:

uuur uuur uuur
uuur
uuur
uuur
Bốn điểm phân biệt A, B, C , D đồng phẳng ⇔ AB, AC , AD đồng phẳng ⇔ AB = m. AC + n. AD
IV.3. Phân tích một véctơ theo ba véctơ không đồng phẳng
r r r
Cho ba véctơ a , b và c không đồng phẳng.
r
Với mọi véctơ x , ta đều tìm được duy nhất một bộ số (m; n; p)
r
r
r
r
sao cho x = m.a + n.b + p.c
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
DẠNG TRẮC NGHIÊM KHÁCH QUAN
Câu 1.

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng ?
uuur uuur
uuur
uuur
A. Từ AB = 3 AC ta suy ra BA = −3CA .
uuur
uuur
uuur uuur
B. Từ AB = −3 AC ta suy ra CB = 2 AC .
uuur
uuur uuur

C. Vì AB = −2 AC + 5 AD nên bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng.
uuur
1 uuur
D. nếu AB = − BC thì B là trung điểm của đoạn AC .
2
Hướng dẫn giải
uuur uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
Ta có AB = 3 AC ⇒ − BA = −3CA ⇒ BA = 3CA ≠ −3CA . Từ đó phương án A sai
uuur
uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur
Ta có AB = −3 AC ⇒ CB − CA = 3CA ⇒ CB = 4CA ≠ 2 AC. Từ đó phương án B sai
uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur
Ta có AB = −2 AC + 5 AD ⇒ AB , AC , AD đồng phẳng ⇒ A, B, C , D đồng phẳng
Từ đó phương án C đúng
uuur uuur
1 uuur
Phương án D sai do: B là trung điểm của đoạn AC ⇔ AB = BC ≠ − BC
2

Câu 2.


Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
uuuur uuur r
A. Vì NM + NP = 0 nên N là trung điểm của đoạn MP .
uur 1 uuur uuur
B. Vì I là trung điểm của đoạn AB nên từ một điểm O bất kì ta có OI = OA + OB .
2
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
C. Từ hệ thức AB = 2 AC − 8 AD ta suy ra ba véctơ AB, AC , AD đồng phẳng.

(

)

uuur uuur uuur uuur r
D. Vì AB + BC + CD + DA = 0 nên bốn điểm A, B, C , D cùng thuộc một mặt phẳng.
2


Hướng dẫn giải
Các phương án A, B, C đều đúng theo các công thức nêu ở mục III
uuur uuur uuur uuur r
Phương án D sai do đẳng thức AB + BC + CD + DA = 0 luôn đúng với mọi vị trí bất kỳ trong
không gian của bốn điểm A, B, C , D nên không đủ để khẳng định chúng đồng phẳng.
Câu 3.

Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G . Mệnh đề nào sau đây là sai ?
uuur 1 uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur r
A. OG = OA + OB + OC + OD .

B. GA + GB + GC + GD = 0 .
4

(

)

uuur 2 uuur uuur uuur
C. AG = AB + AC + AD .
3

(

uuur 1 uuur uuur uuur
D. AG = AB + AC + AD .
4

)

(

)

Hướng dẫn giải
Các phương án A, B đều đúng theo các công thức nêu ở mục III
A đúng nên khi thay điểm O thành điểm A ra được đẳng thức ở phương án D (đúng)
Như vậy phương án sai là C (sai phần hệ số ở vế phải của đẳng thức)
Câu 4.

Cho hình hộp ABCD. A′ B ′C ′D ′ với tâm O . Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau

đây:
uuuur uuur uuur uuur
uuur uuuur uuur uuuur
A. AC ′ = AB + AD + AA′
B. AB + BC ′ + CD + D ′A = 0
uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur
D. AB + BC + CC ′ = AD ′ + D ′O + OC ′

uuur uuur uuur uuuur
C. AB + AA′ = AD + DD ′

Hướng dẫn giải
uuuur uuur uuur uuur
A đúng theo quy tắc hình bình hành AC ′ = AB + AD + AA′

(

)

uuur
uuur
 AB = −CD
uuur uuuur uuur uuuur
uuuur ⇒ AB + BC ′ + CD + D ′A = 0
B đúng do  uuuur
 BC ′ = − D ′A
uuur uuur uuuur
uuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur
 AB + AA′ = AB ′
C sai do  uuur uuuur uuuur mà AB ′ ≠ AD ′ ⇒ AB + AA′ ≠ AD + DD ′

 AD + DD ′ = AD ′
uuuur
uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur
D đúng tức là AB + BC + CC ′ = AD ′ + D ′O + OC ′ vì cả hai vế đều bằng AC ′.
Câu 5.

uuur r uuur r uuur r uuur ur
Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A′ B ′C ′ . Đặt AA′ = a , AB = b , AC = c , BC = d . Trong các
biểu thức véctơ sau đây, biểu thức nào là đúng ?
r r r
r r r ur r
r r ur r
r r r ur
A. a = b + c
B. a + b + c + d = 0
C. b − c + d = 0
D. a + b + c = d
Hướng dẫn giải
r
r
r
r rr
A sai do a , b , c không đồng phẳng nên không thể có a = m.b + n.c
rr r
r
r
r
r
r
b , c , d đồng phẳng nên d = mb + ncr ⇒ d = m.b + n.cr + 0.d

3


Từ đó B và D đều sai, suy ra C đúng. Thật vậy,
uuur uuur uuur r r r r r r r
BC = AC − AB ⇒ d = c − b ⇒ b − c + d = 0
Câu 6.

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:
uur uuur uur uuur
A. Cho hình chóp S . ABCD . Nếu có SB + SD = SA + SC thì tứ giác ABCD là hình bình hành.
uuur uuur
B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB = CD
uuur uuur uuur uuur r
C. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB + BC + CD + DA = 0
uuur uuur uuur
D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu AB + AC = AD
Hướng dẫn giải
A là phương án đúng vì theo giả thiết ABCD trước tiên đã là một tứ giác, ngoài ra
uur uuur uur uuur
uur uur uuur uuur
uuur uuur
SB + SD = SA + SC ⇒ SB − SA = SC − SD ⇒ AB = DC ⇒ ABCD là hình bình hành.
uuur uuur
B sai vì với AB = CD ta phải suy ra tứ giác ABDC là hình bình hành chứ không phải ABCD
uuur uuur uuur uuur r
C sai vì AB + BC + CD + DA = 0 đúng với mọi vị trí của A, B, C , D
uuur uuur uuur
D sai vì với AB + AC = AD ta phải suy ra AD là đường chéo của hình bình hành ABDC


Câu 7.

Hãy tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây:
rrr
r
A. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng nếu có một trong ba véctơ đó bằng véctơ 0 .
rrr
B. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng nếu có hai trong ba véctơ đó cùng phương.
uuuur uuuur uuuur
C. Trong hình hộp ABCD. A′B ′C ′D ′ ba véctơ AB ′, C ′A′, DA′ đồng phẳng.
r r r r
r
r
D. Véctơ x = a + b + c luôn luôn đồng phẳng với hai véctơ a và b .
Hướng dẫn giải
rrr
r
r
r
r
A đúng vì giả sử a = 0, lúc đó do 0 = 0.b + 0.c nên a, b, c đồng phẳng.
r
r
r
r
B đúng vì giả sử a và b cùng phương thì a = kb
r
r
r r rr
do đó a = k .b + 0.c ⇒ a , b , c đồng phẳng.

C vẫn đúng do AB ′ // ( DA′ C ′ )
r
rr r
r
r
D sai vì nếu x , a , b đồng phẳng ta có x = m.a + n.b , từ đó ta có
r
r
r
c = ( m − 1).a + (n − 1).b
r rr
(và đẳng thức này sai khi có giả thiết a , b , c không đông phẳng)

Câu 8.

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là sai ?
4


r
r
r r r
A. Cho hai véctơ không cùng phương a và b . Khi đó ba véctơ a , b , c đồng phẳng khi và chỉ
r
r r
khi có cặp số m , n sao cho c = ma + nb , ngoài ra cặp số m , n là duy nhất.
r r
r r
r r r
B. Nếu có ma + nb + pc = 0 và một trong ba số m, n, p khác 0 thì ba véctơ a , b , c đồng phẳng.

r r r
C. Ba véctơ a , b , c đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó cùng có giá thuộc một mặt phẳng.
D. Ba tia Ox, Oy , Oz vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.
Hướng dẫn giải
A đúng theo lý thuyết nêu ở mục IV.1
r r
r r r  n  r  pr
B đúng vì giả sử m ≠ 0, ma + nb + pc = 0 ⇒ a =  − ÷.b +  − ÷c . Đến đây áp dụng A
 m
 m
C sai vì chỉ cần 3 véctơ có giá cùng song song với một mặt phẳng thì ba véctơ đó lập tức đồng
phẳng (không cần giá của chúng đồng phẳng)
Câu 9.

Cho 2 điểm phân biệt A, B và một điểm O bất kì. Hãy xét xem mệnh đề nào sau đây là đúng ?
uuuur uuur uuur
A. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM = OB = k BA
uuuur uuur
uuur uuur
B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM = OB = k (OB − OA)
uuuur
uuur
uuur
C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM = kOA + ( 1 − k ) OB
uuuur uuur uuur
D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM = OA + OB
Hướng dẫn giải
uuuur uuur
A sai nếu M là trung điểm đoạn AB thì M vẫn thuộc đường thẳng AB nhưng OM ≠ OB
B sai (hoàn toàn tương tự như A)

uuuur
uuur
uuur uuuur uuur
uuur uuur
uuuur
uuur
C đúng vì OM = kOA + ( 1 − k ) OB ⇔ OM − OB = k OA − OB ⇔ BM = k .BA

(

)

uuuur uuur uuur
D sai vì khi OAMB là hình bình hành ta cũng có OM = OA + OB
Câu 10. Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Ba véctơ đồng phẳng là ba véctơ cùng nằm trong một mặt phẳng.
rrr
r
r r
B. Ba véctơ a, b, c đồng phẳng thì có c = ma + nb với m, n là các số duy nhất.
rrr
ur
r r
r
ur
C. Ba véctơ a, b, c không đồng phẳng khi có d = ma + nb + pc với d là véctơ bất kì.
D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.
Hướng dẫn giải
r
r r

A sai, ít nhất khi a , b có giá cùng nằm trong ( P ), còn c có giá song song với ( P ).
5


r
rrr
rrr
r
r
B sai, ít nhất với ba véctơ a , 0, c ta có 0 = 0.a + a.c nên a , 0, c đồng phẳng, nhưng
r
r
r
r
r
c = m.a + n.0 chỉ đúng khi a và c cùng phương với nhau
r r r
r
r
r r
C sai, ít nhất với 3 véctơ d , a , b khác 0 đồng phẳng với nhau ta có d = ma + nb . Khi đó,
r
r r r
d = (m − 1)a + nb + a
rrr
r
r r
r r r
Đặt c = a thì d = (m − 1)a + nb + c , nhưng a, b, c lại đồng phẳng với nhau.
Đáp án đúng: D

r rr r
Câu 11. Cho bốn véctơ a , b , c , d bất kỳ. Chọn khẳng định sai ?
r r
r r r r r r
r r r r r r r r
A. a = b và c = d ⇒ a + c = b + d .
B. a − c = b − d ⇔ a + d = b + c .
r
r r
r
C. a = b ⇔ a = ±b .

r
r r r r r
r
r
D. a = −b và c = − d ⇒ a − d = c − b .

Hướng dẫn giải
A, B, D đều đúng vì ta áp dụng các tính chất, quy tắc của phép toán cộng, trừ hai véctơ
r r
r r
C sai vì nếu hai véctơ a , b không cùng phương vẫn có thể xảy ra a = b nhưng hai véctơ bằng
nhau hoặc đối nhau thì cần có tính chất cùng phương của hai véctơ.
Câu 12. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Hãy chọn câu đúng ?
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur
A. GA = GB + GC .
B. GA + GB + GC = 0 . C. AG + BG = AC .


uuur uuur uuur
D. GA + GB + GC = 0 .

Hướng dẫn giải
B đúng và đã được chứng minh.
D sai vì vế phải là một số chứ không phải một véctơ.
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur r
uuur
A sai vì GA = GB + GC ⇔ 2GA = GA + GB + GC = 0 ⇔ 2GA = 0 ⇔ G ≡ A (sai tính chất)
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
C sai vì AG + BG = AC ⇔ AG + BG = GC − GA ⇔ GA = GA + GB + GC = 0 ⇔ G ≡ A (sai)
Câu 13. Cho tam giác ABC có 3 trung tuyến AD, BE , CF đồng quy tại G. Hãy chọn câu sai ?
uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur r
A. AE + CD + BF = 0 .
B. GD + GE + GF = 0 .
uuur uuur
uuur uuur
C. AB + AC = 2 GB + GC .

(

)

uuur uuur uuur uuur uuur
D. EA + EB + EC = ED + EF .

Hướng dẫn giải

uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur r
A đúng vì AE + CD + BF = AC + CB + BA = 0
2

(

)

uuur uuur uuur
1 uuur uuur uuur r
B đúng vì GD + GE + GF = − GA + GB + GC = 0
2

(

)

6


uuur uuur uuur
uuur
uuur
uuur uuur
C sai vì AB + AC = 2 AD = 2.3GD = 3. 2GD = 3 GB + GC

(

) (


)

uuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur uuur
D đúng vì EA + EB + EC = EA + EC + EB = 0 + ED + EF (do EDBF là hình bình hành)

(

)

(

)

Câu 14. Cho tam giác ABC có 3 trung tuyến AD, BE , CF đồng quy tại G. Hãy chọn câu đúng ?
uuur 1 uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
A. EF = BC .
B. AC = AB + CB .
C. AB = 2 ED .
D. CG = 2 FG .
2
Hướng dẫn giải
uuur
uuur
A sai vì (trên hình vẽ) EF và BC ngược hướng.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
B sai vì AC = AB + CB ⇔ AC − AB = CB ⇔ BC = CB (sai).
C đúng theo tính chất đường trung bình và chiều trên hình vẽ.

uuur
uuur
D sai vì (trên hình vẽ) CG và FG ngược hướng.
Câu 15. Cho tam giác đều ABC cạnh a, có trọng tâm G. Hãy chọn câu đúng ?
uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
A. AB − AC = BC .
B. AB = AC .
C. AB + AC = 2 AG . D. AB − AC + BC = 0 .
Hướng dẫn giải
uuur uuur uuur uuur uuur
A sai vì AB − AC = BC ⇔ CB = BC ⇔ B ≡ C (sai)
uuur uuur
B sai vì AB và AC không cùng phương nên không thể bằng nhau.
uuur uuur uuur
uuur
C sai vì AB + AC = 2 AH ≠ 2 AG
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
D đúng vì AB − AC + BC = AB − AC + BC = CB + BC = 0

(

)

7


Câu 16. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Xét hai mệnh đề

uuur uuur
(I). AB + AC = a 3.

uuur uuur
(II). AB − AC = a.

Trong hai khẳng định trên khẳng định nào đúng ?
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (II).
C. Không có.

D. Cả (I) và (II).

Hướng dẫn giải
uuur uuur
uuur
a 3
(I) đúng vì AB + AC = 2 AH = 2. AH = 2.
=a 3
2
uuur uuur uuur
(II) đúng vì AB − AC = CB = CB = a
Câu 17. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D

A.

2 uuur 1 uuur
AB + AC .
3
3


uuur 1 uuur
uuur
sao cho BD = BC. Véctơ AD bằng
3
uuu
r
uuu
r
uuur 2 uuur
1
2
B. AB + AC .
C. AB + AC .
3
3
3

D.

5 uuur 1 uuur
AB − AC .
3
3

Hướng dẫn giải
uuur 1 uuur
uuur uuur 1 uuur uuur
uuur 2 uuur 1 uuur
Ta có BD = BC ⇔ AD − AB = AC − AB ⇔ AD = AB + AC

3
3
3
3

(

)

Câu 18. Cho tứ diện ABCD. Hãy chọn khẳng định đúng ?
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
A. AB + CD = AC + DB .
B. AC + BD = AB + CD .
uuur uuur uuur uuur
C. AD + BC = AB + DC .

uuur uuur uuur uuur
D. BA + CD = BD + CA .

Hướng dẫn giải
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
A sai vì AB + CD = AC + DB ⇔ CA + AB + BD = DC ⇔ CD = DC (sai)
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
B sai vì AC + BD = AB + CD ⇔ AC − AB = CD + DB ⇔ BC = CB (sai)
uuur uuur uuur uuur

uuur uuur uuur uuur uuur uuur
C sai vì AD + BC = AB + DC ⇔ AD − AB = DC + CB ⇔ BD = DB (sai)
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
D đúng vì BA + CD = BD + CA ⇔ BA − BD = DC + CA ⇔ DA = DA
Câu 19. Cho tứ diện ABCD có M , N lần lượt là trung điểm cạnh AC , BD. Chọn khẳng định sai ?
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
A. AB + DC = AC + DB .
B. AB − CD = AC − BD .
uuur uuur uuur uuur r
C. MA + MB − NC − ND = 0 .

uuur uuur uuuur uuur r
D. MA + NB + MC + ND = 0 .

Hướng dẫn giải
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
A đúng vì AB + DC = AC + DB ⇔ AB − AC = CD + DB ⇔ CB = CB
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
B đúng vì AB − CD = AC − BD ⇔ AB − AC = CD + DB ⇔ CB = CB
8


uuur uuur uuur uuur r

uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
C sai vì MA + MB − NC − ND = 0 ⇔ MA + MB = NC + ND ⇔ 2ME = 2 NF ⇔ ME = NF
(với E , F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD )
Câu 20. Cho tứ diện ABCD có M , N lần lượt là trung điểm cạnh AC , BD. Gọi G là trung điểm của
đoạn thẳng MN . Chọn khẳng định sai ?
uuur uuur uuuur
A. GA + GC = 2GM .
B. G là trọng tâm của tứ diện ABCD .
uuur uuur uuur uuur r
C. GA + GB + GC + GD = 0 .

uuur uuur uuuur
D. GB + GD = 2 MN .

Hướng dẫn giải
A đúng theo tính chất trung điểm đoạn thẳng
B đúng theo định nghĩa trọng tâm của tứ diện.
C đúng theo tính chất trọng tâm của tứ diện.
uuur uuur uuur uuuur
uuuur
D sai vì GB + GD = 2GN = MN ≠ 2MN
Câu 21. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G, A′ là trọng tâm tam giác BCD. Xét các mệnh đề sau đây
uuur uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur uuur
(III). A, G, A′ thẳng hàng.
(II). GA + GB + GC + GD = 0.
(I). AB + AC + AD = 3 AA′.
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề kể trên ?
A. 0 .

B. 1.
C. 2 .

D. 3 .

Hướng dẫn giải
uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur
(I) đúng vì AB + AC + AD = 3 AA′ + A′ B + A′C + A′D

(

)

uuur uuur uuuur uuuur uuuur
uuur
= 3AA′ + A′ A + A′ B + A′ C + A′ D − A′ A

(

) ( )

uuur
uuuur uuur uuur
= 3 AA′ + 4. A′ G − A′ A = 3 AA′

(

uuur
uuuur
A′ A = 4. A′G


)

uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
uuuur uuur r
(II) đúng vì GA + GB + GC + GD = GA + GC + GB + GD = 2 GM + GN = 0

(

) (

) (

)

(III) đúng theo tính chất trọng tâm của tứ diện được học ở chương 2 (hình học 11)
Câu 22. Cho hai tứ diện ABCD, A′ B ′C ′D ′ với trọng tâm lần lượt là G, G ′. Xét hai mệnh đề ?
uuur uuur uuuur uuuur uuuur
(I). AA′ + BB ′ + CC ′ + DD ′ = 4GG ′.
uuur uuur uuur uuur r
(II). GA + GB + GC + GD = 0 ⇔ ABCD, A′B ′C ′D ′ có cùng trọng tâm.
Trong hai khẳng định trên khẳng định nào đúng ?
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (II).
C. Không có.

D. Cả (I) và (II).

Hướng dẫn giải

Do hai tứ diện ABCD, A′ B ′C ′D ′ có trọng tâm lần lượt là G, G ′ nên
9


uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur
 MA′ + MB ′ + MC ′ + MD ′ = 4MG ′
 uuur uuur uuuur uuuur uuuur
 MA + MB + MC + MD = 4MG
Trừ vế theo vế ta được:

(

uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuuur
uuuur uuuur
uuuur uuuur
MA′ − MA + MB ′ − MB + MC ′ − MC + MD ′ − MD = 4 MG ′ − MG

) (

) (

) (

) (

)

uuur uuur uuuur uuuur uuuur

⇔ AA′ + BB ′ + CC ′ + DD ′ = 4GG ′.
Từ đó, ABCD và A′ B ′C ′D ′ có cùng trọng tâm
uuuur r uuur uuur uuuur uuuur r
⇔ G ≡ G ′ ⇔ GG ′ = 0 ⇔ AA′ + BB ′ + CC ′ + DD ′ = 0.
Câu 23. Cho hình hộp ABCD. A′ B ′C ′D ′. Hãy chọn phát biểu sai ?
uuur uuuur
uuuur uuuur
uuur uuuuur
A. BD = B ′D ′ .
B. BA′ = CD ′ .
C. AD ′ = BC ′ .

uuur uuuur
D. AD = C ′B ′ .

Hướng dẫn giải
A đúng do (quan sát hình vẽ) BDD ′B ′ là hình bình hành.
B đúng do (quan sát hình vẽ) BA′ D ′C là hình bình hành.
C đúng do (quan sát hình vẽ) AD ′C ′B là hình bình hành.
uuur uuuur
D sai do (quan sát hình vẽ) AD và C ′B ′ ngược hướng nhau nên không thể bằng nhau.
r uuur r uuur r uuur
Câu 24. Cho lăng trụ ABC. A′ B ′C ′. Đặt a = AA′, b = AB, c = AC. Xét hai mệnh đề
uuuur
uuuur r r r
r r r
(I). B ′C = −a − b + c .
(II). BC ′ = a − b − c .
Trong hai khẳng định trên khẳng định nào đúng ?
A. Chỉ (I).

B. Chỉ (II).
C. Không có.

D. Cả (I) và (II).

Hướng dẫn giải
(I) đúng vì
uuuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
r r r
B ′C = B ′B + BC = − AA′ + AC − AB = − AA′ − AB + AC = −a − b + c

(

)

(II) sai vì
uuuur uuur uuuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r r
BC ′ = BB ′ + B ′C ′ = AA′ + BC = AA′ + AC − AB = AA′ − AB + AC = a − b + c

(

)

r uuur r uuur r uuur
Câu 25. Cho lăng trụ ABC. A′ B ′C ′. Đặt a = AA′, b = AB, c = AC. Gọi G ′ là trọng tâm của tam giác
uuuur
A′ B ′C ′. Véctơ AG ′ bằng
1 r r r

1 r r r
1 r r r
1 r r r
a +b +c .
A. a + 3b + c .
B. 3a + b + c .
C. a + b + 3c .
D.
3
3
3
3

(

)

(

)

(

)

(

)

Hướng dẫn giải

10


uuuur uuur uuuuur uuur 2 uuur uuur 1 uuuur uuuuur
Ta có AG ′ = AA′ + A′ G ′ = AA′ + A′ I = AA′ + A′ B ′ + A′ C ′
3
3

(

)

uuuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 r r r
⇒ AG ′ = AA′ + AB + AC = 3 AA′ + AB + AC = 3a + b + c
3
3
3

(

(

)

) (

)

Câu 26. Tìm phát biểu sai
uuur uuur uuur

A. Ba véctơ AB, AC , AD đồng phẳng ⇔ bốn điểm A, B, C , D cùng nằm trong một mặt phẳng.
uuur uuur uuur
B. ABCD là một tứ diện ⇔ BC , CD, AC không đồng phẳng.
r rr
C. Ba véctơ a , b , c đồng phẳng chỉ khi giá của chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.
r rr
D. Ba véctơ a , b , c không đồng phẳng khi và chỉ khi trong ba véctơ đó, véctơ này không thể
biểu diễn được theo hai véctơ kia.
Hướng dẫn giải
A đúng vì AB, AC , AD cùng song song với ( P ) ⇔ AB, AC , AD cùng thuộc ( Q ) // ( P )
(qua 1 điểm A, chỉ có 1 mặt phẳng ( Q ) // ( P ) )
uuur uuur uuur
B đúng vì BC , CD, AC đồng phẳng ⇔ A, B, C , D đồng phẳng (ứng dụng phương án A)
uuur uuuur uuur
C sai vì khi AB // ( MNP ) ta vẫn có AB, MN , NP đồng phẳng.
D đúng vì đây là một cách phát biểu khác của định lý về điều kiện để 3 véctơ đồng phẳng.
Câu 27. Cho hình chóp S . ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Xét hai mệnh đề
uur uur uuur uuur uuur
(I). ABCD là hình bình hành ⇒ SA + SB + SC + SD = 4SO.
uur uur uuur uuur uuur
(II). SA + SB + SC + SD = 4SO ⇒ ABCD là hình bình hành.
Trong hai mệnh đề trên khẳng định nào đúng ?
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (II).
C. Không có.

D. Cả (I) và (II).

Hướng dẫn giải
uuur uuur

Bổ đề: cho A ∈ a, B ∈ b và O = a ∩b . Khi đó OA = OB ⇔ O ≡ A ≡ B
uuur uuur
Chứng minh: Nếu A ≡/ O ⇒ B ≡/ O do OA = OB ⇒ OA ≡ a và OB ≡ b

(

)

uuur uuur
Nhưng OA = OB ⇒ O, A, B thẳng hàng ⇒ OA ≡ OB ⇒ a ≡ b ⇒ a ∩b = a ≠ O
Hướng dẫn: Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC và BD.
Do O là giao điểm của AC và BD nên
uur uur uuur uuur uuur
uuur uur
uuur uuur
uuur uur
uuur uuur r
SA + SB + SC + SD = 4SO ⇔ OS + SA + OS + SC + OS + SB + OS + SD = 0

(

) (

) (

) (

)

11



uuur uuur
uuur uuur r
uuuur uuur r uuuur uuur
⇔ OA + OC + OB + OD = 0 ⇔ 2OM + 2ON = 0 ⇔ OM = ON ⇔ O ≡ M ≡ N

(

) (

)

⇔ ABCD là hình bình hành.
Câu 28. Cho hình chóp S . ABCD. Xét hai mệnh đề
uur uuur uur uuur
(I). ABCD là hình bình hành ⇒ SA + SC = SB + SD.
uur uuur uur uuur
(II). SA + SC = SB + SD ⇒ ABCD là hình bình hành.
Trong hai mệnh đề trên khẳng định nào đúng ?
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (II).
C. Không có.

D. Cả (I) và (II).

Hướng dẫn giải
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Ta có,
uur uuur uur uuur
uuur uuur uuur uuur

SA + SC = SB + SD ⇔ 2SM = 2SN ⇔ SM = SN ⇔ M ≡ N ⇔ ABCD là hình bình hành.
r rr
Câu 29. Cho ba véctơ a , b , c . Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba véctơ đó khồng phẳng ?
r
A. Một trong ba véctơ đó bằng 0 .
B. Có 2 trong 3 véctơ đó cùng phương.
C. Có 1 véctơ không cùng hướng với 2 véctơ còn lại.
D. Có 2 trong 3 véctơ đó cùng hướng.
r rr
Câu 30. Điều kiện cần và đủ để ba véctơ a , b , c không đồng phẳng là ?
A. Giá của chúng không cùng thuộc một mặt phẳng.
B. Giá của chúng cùng thuộc một mặt phẳng.
C. Giá của chúng không thể cùng song song với một mặt phẳng.
D. Giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
Câu 31. Cho tứ diện ABCD. Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC , CD, DB (như
hình vẽ. Bộ ba véctơ nào dưới đây đồng phẳng ?
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
A. AB, BC , AD .
B. MP, BC , AD .
C. AC , MP, BD .
D. MP, PQ, CD .

12