PHÂN TÍCH HIỆN TƯỢNG TRUYỀN SÓNG TRONG DẦM CÓ VẾT NỨT NGANG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP WSFEM
ANALYSIS OF WAVE PROPAGATION PHENOMENA IN BEAM WITH TRANSVERSE CRACK BY
WSFEM
TUDY ON USING LABORATORY MODEL TO RESEARCH FOR BEARING CAPACITY OF SOFT
GROUND IMPROVED BY DEEP CEMENT MIXING COLUMNS DUE TO EMBANKMENT LOAD WITH
DIFFERENT MONTMORILLONITE CONTENTS
Nguyễn Thị Hiền Lương1, Bùi Quốc Tính , Nguyễn Thanh Tú , Nguyễn Thành Vinh
2

1

3

TÓM TẮT
Bài báo này trình bày một phương pháp xác định vết nứt
trong kết cấu dầm sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn phổ
Wavelet (Wavelet Spectral Finite Element Method-WSFEM).
WSFEM được phát triển để nghiên cứu hiện tượng truyền sóng
đàn hồi cho kết cấu dầm 1D, làm cơ sở cho bài toán xác định
vết nứt. Vết nứt trong dầm console được mô hình hóa bằng lò
xo có độ mềm tương đương. Những vấn đề chính liên quan đến
việc phát hiện vị trí và độ sâu vết nứt trong dầm được trình bày
trong các trường hợp cụ thể của dầm Bernoulli mở rộng với kết
quả đạt được chính xác và đáng tin cậy.
Từ khóa: Truyền sóng, vết nứt ngang, xác định vết
nứt, phương pháp phần tử hữu hạn phổ Wavelet.
ABSTRACT
This paper presents a method for crack identification in
beam structure using WSFEM (Wavelet Spectral Finite
Element Method). WSFEM is developed for studying the

phenomenon of elastic wave propagation in 1-D beam
structure. It is a basis for solving the inverse problem
identifying cracks in beams. The cracks in the cantilever beam
is modeled as equivalent springs. The main issues regarding
crack location and depth detection in beams are discussed in
the particular case of Extended Euler-Bernoulli beam with
accurate and reliable results.search show that with the same
tntent increased.
Keywords: Wave propagation, transverse crack, crack
identification, Wavelet spectral finite element method.
PGS.TS. Nguyễn Thị Hiền Lương
Giảng viên, Khoa Kỹ Thuật Xây Dựng , Trường Đại Học Bách
Khoa – Đại Học Quốc Gia Tp.HCM
Email:
Điện thoại: 0933111792
TS. Bùi Quốc Tính
Dept. of Mechanical and Environmental Informatics, Tokyo
Institute of Technology, 2-12-1-W8-22, Ookayama, Meguroku, Tokyo, 152-8552, Japan
Email:
ThS. Nguyễn Thanh Tú
Giảng viên, Khoa Kỹ thuật xây dựng, Trường Đại học Kỹ thuật
- Công nghệ Cần Thơ, 256 Nguyễn Văn Cừ, Q.Ninh Kiều, TP.
Cần Thơ
Email:
Điện thoại: 01689952871
NCS. Nguyễn Thành Vinh
Giảng viên, Khoa Khoa Xây dựng, Trường Đại học Tiền
Giang, 119 Ấp Bắc, Phường 5, Mỹ Tho, Tiền Giang
Email:
Điện thoại: 01668382118


1. Giới thiệu
Biến đổi Wavelet mới được sử dụng trong lĩnh xây dựng,
mặc dù nó được sử dụng khá phổ biến trong ngành kỹ thuật
điện và ngành truyền thông để mô tả các đặc tính và tổng hợp
các tín hiệu thời gian. Các công cụ biến đổi Wavelet được thể
hiện trong kỹ thuật kết cấu bằng cách giải các phương trình vi
phân thường và vi phân riêng trong bài toán động lực [1-8].
Những bài toán động lực trong kết cấu công trình có hai
loại: Loại thứ nhất sử dụng tần số thấp, được gọi là bài toán
động lực học; loại thứ hai là sử dụng tần số cao và được gọi là
bài toán truyền sóng. Hầu hết các bài toán trong kết cấu công
trình đều thuộc loại thứ nhất, trong đó ứng xử của toàn bộ kết
cấu chỉ sử dụng vài mode dao động đầu tiên. Truyền sóng là
một hiện tượng đa phương thức sử dụng mode dao động với
tần số cao. Các công cụ phân tích thông thường như phương
pháp phần tử hữu hạn không thể xử lý những bài toán này do
hạn chế về cách mô hình và tính toán phức tạp. Lựa chọn duy
nhất cho vấn đề này là dựa trên phương pháp biến đổi.
Phân tích Fourier là kỹ thuật biến đổi tín hiệu từ miền thời
gian sang miền tần số. Với nhiều tín hiệu, phân tích Fourier rất
hữu ích vì nội dung tần số của tín hiệu là rất quan trọng. Phép
biến đổi Fourier có hiệu quả khi phân tích các tín hiệu tuần
hoàn, thuận lợi cho các phép chập tín hiệu. Tuy nhiên, phép
biến đổi Fourier vẫn có những hạn chế. Khi biến đổi sang miền
tần số, thông tin thời gian đã bị mất. Nếu một thuộc tính tín
hiệu không thay đổi nhiều theo thời gian thì nhược điểm trên
không có ảnh hưởng nhiều.Nhiều tín hiệu có chứa các thông số
động như trôi, nghiêng, biến đổi đột ngột, thông tin lúc khởi
đầu và kết thúc của các sự kiện. Những thông số này thường là

phần quan trọng nhất của tín hiệu, và phân tích Fourier không
thích hợp để phát hiện chúng.
Phương pháp SFEM dựa trên biến đổi Fourier là phương
pháp khá phổ biến được dùng để giải quyết các bài toán động
lực học công trình liên quan đến kích thích với tần số cao. Tuy
nhiên, nó có những hạn chế trong việc xử lý các kết cấu hữu
hạn và các điều kiện biên hay các điều kiện ban đầu khác
không, và do đó áp dụng phương pháp SFEM dựa trên biến đổi
Fourier để giải các bài toán liên quan đến kích thích với tần số
cao bị hạn chế.Để đáp ứng được yêu cầu độ phân giải ổn định
với các tín hiệu có nhiều thành phần thời gian và tần số, ta cần
dùng một phương pháp biến đổi sao cho độ phân giải thời gian
và tần số có thể thay đổi một cách thích nghi với đặc tính của
tín hiệu trên mặt phẳng thời gian và tần số. Phân tích Wavelet
cho phép sử dụng các khoảng thời gian dài khi ta cần thông tin
tần số thấp chính xác hơn, và miền ngắn hơn đối với thông tin
tần số cao.
Wavelet được sử dụng hiệu quả trong việc xử lý các tín
hiệu và giải các phương trình vi phân [1-4]. Biến đổi Wavelet
đã được ứng dụng để giải và phân tích các bài toán trong cơ
học [5-7].Việc sử dụng wavelet trong cơ học có thể được ứng
dụng như phân tích các ứng xử cơ học để khai thác các thông
số mô hình, khử nhiễu, các giải pháp thiệt hại vv… Do đó có
Trang 1


thể giải các bài toán kết cấu động lực và các bài toán truyền
sóng bằng phương pháp SFEM dựa trên biến đổi Wavelet.
Trong bài báo này, WSFEM được phát triển để nghiên cứu
hiện tượng truyền sóng đàn hồi cho kết cấu dầm EulerBernounlli mở rộng trong trường hợp không nứt và có nứt; các

kết quả rất đáng tin cậy được so sánh với phương pháp FEM,
phương pháp LSFEM [9] và mô hình rãnh nứt có bề rộng áp
dụng WSFEM [10].
2. Cơ sở lý thuyết:

+ Tại vị trí vết nứt (x = L 1 cho

uˆ1 (x) , wˆ 1 (x) và x = 0 cho

uˆ2 (x) , wˆ 2 (x) )
Chênh lệch chuyển vị dọc trục:
uˆ2 (x) - uˆ1 ( x) = ϕ

∂uˆ1 ( x)
∂x

(6)

Lực dọc bên trái bằng lực dọc bên phải vết nứt:

∂uˆ1 ( x) ∂uˆ2 ( x)
=
∂x
∂x

2.1 Mô hình dầm có một vết nứt
Có nhiều loại mô hình vết nứt áp dụng cho phương pháp
PTHH được sử dụng cho dầm, mô hình vết nứt thay đổi tiết
diện, mô hình vết nứt được mô tả như lò xo, mô hình vết nứt
dạng cưa và chữ V,... Do khó khăn trong việc chuyển các công

thức thiết lập cho các mô hình vết nứt từ phương pháp PTHH
sang phương pháp WSFEM, mô hình lò xo tương đương được
sử dụng để khảo sát hiện tượng truyền sóng trong dầm có vết
nứt bởi tính đơn giản của nó ( hình1).

(7)

Chuyển vị đứng bên trái vết nứt bằng chuyển vị đứng bên
phải vết nứt:

wˆ 1 (x)= wˆ 2 (x)

(8)

Mô men bên trái vết nứt bằng mô men bên phải vết nứt:

∂ 2 wˆ1 ( x) ∂ 2 wˆ 2 ( x)
=
∂x 2
∂x 2

(9)

∂ 3 wˆ1 ( x) ∂ 3 wˆ 2 ( x)
=
∂x3
∂x3

(10)


Lực cắt bên trái vết nứt bằng lực cắt bên phải vết nứt:

Chênh lệch góc xoay xác định như sau:

∂wˆ1 ( x) ∂wˆ 2 ( x)
∂ 2 wˆ 2 ( x)
−
=
ϕ
∂x
∂x
∂x 2

(11)

Tại vị trí bên phải vết nứt (x = L – L 1 ):

uˆ2 ( x) = qˆ4 , wˆ 2 ( x) = qˆ5 ,

Hình 1. Mô hình dầm có một vết nứt
Phương trình dao động của dầm có vết nứt vẫn được giữ
nguyên, vết nứt được thay bằng lò xo với các điều kiện tương
thích. Dầm được chia thành nhiều đoạn liên kết với nhau tại vết
nứt bởi các lò xo và ngoài yêu cầu thỏa mãn hai điều kiện biên,
cần phải thỏa mãn điều kiện tương thích tại các vết nứt [11],
[12], [13].
2.2 Ma trận độ cứng của phần tử có vết nứt được mô
hình bằng lò xo tương đương

Phương trình chuyển vị tại bên trái và bên phải dầm (hình

2)

=
uˆ2 ( x) C3 e −ik1 ( L1 + x ) + C4 e −ik1 ( L − ( L1 + x ))

(1)
(2)

wˆ 1 ( x) = C5 e−ik2 x + C6 e−ik2 ( L1 − x ) + C7 e−ik3 x + C8 e−ik3 ( L1 − x ) (3)
wˆ 2 (x)= C9 e-ik2 (L1 +x) +C10 e-ik2 (L-(L1 +x)) + C11e-ik3 (L1 +x) +C12 e-ik3 (L-(L1 +x))
(4)

ˆ là chuyển vị đứng
Trong đó uˆ là chuyển vị dọc trục, w
+ Tại vị trí bên trái phần tử (x = 0):

uˆ1 (x)= qˆ1 , wˆ 1 (x)= qˆ2 ,

ˆ1 ( x)
∂w
= qˆ3
∂x

Từ (6) đến (12) được viết lại:
 uˆ1 
 C1 
 wˆ 
C 
 1
 2

 θˆ 
 C3 
 1
 
C
0 
4
 
0 
 C5 
 
 
 
C6 
-1 0
C  = W  0 
 
 7
0 
C8 
 
 
0 
C9 
 uˆ 
C 
 2
 10 
 wˆ 2 
C

 11 
ˆ 
C 
 12 
 θ 2 

(12)

(13)

Với W là ma trận 12x12

Hình 2. Mô hình phần tử có vết nứt

=
uˆ1 ( x) C1e−ik1 x + C2 e−ik1 ( L1 − x )

∂wˆ 2 ( x)
= qˆ6
∂x

(5)

Lực phổ tác dụng tại nút có thể xác định bằng các phương
trình chuyển vị

∂uˆ ( 0 )
Fˆ1 = D 1
∂x


(14)

∂ 3 wˆ1 ( 0 )
Fˆ2 = -Vˆ2 = EI
∂x3

(15)

∂ 2 wˆ1 ( 0 )
ˆ
=
Fˆ3 M
=
EI
3
∂x 2

(16)

∂uˆ ( L − L1 )
Fˆ4 = − D 2
∂x

(17)

∂ 3 wˆ 2 ( L − L1 )
Fˆ5 = -Vˆ5 = − EI
∂x3

(18)


Trang 2


Công thức lực phổ được viết dưới dạng ma trận như sau:
C1 
C 
 2
C3 

 
F
1
 C4 
 

C 
F
2
 5
 

C6 
F
3
(20)
   = Q C 
 7
 F4 
C8 

 
 
F 5 
C9 
F

 6
C 
 10 
C11 
 
C12 
Với Q là ma trận 6 x 12.Quan hệ giữa lực và chuyển vị nút:
 Fˆ1 
 uˆ1 
 
 wˆ 
ˆ
 F2 
 1
ˆ 
 ˆ 
F
 3 = K
ˆ  θ1 
d
 Fˆ 
 uˆ2 
 4
 wˆ 

 Fˆ 
 2
5
 
 θˆ 
ˆ
 2
 F6 

(21)

 d = QW -1
K

(22)

A

(23)

K 2I dA

6M g
bh

2

ϕ1 = Ebhc

(5.29)


dα

b

Hình 3.Mặt cắt tiết diện tại vị trí nứt
Khi chịu lực cắt và moment, mô hình đàn hồi của phần tử
hữu hạn phổ tại tiết diện nứt đươc viết lại như sau:

144π
EBH 2

1/2
2 α 
α
α
f
d
∫0  H  ∫0 dz
a

(30)

H

α 
πα f  
h

EJc

L

(31)

3. Ví dụ số:
3.1 Khảo sát dầm không nứt
Khi phân tích truyền sóng trong dầm cantilever EulerBernoulli mở rộng với thông số bài toán: E=70GPA, υ=0.3,
ρ=2700 Kg/m3, chiều dài dầm L = 0.5m, chiều rộng dầm b =
0.05m, chiều cao dầm h = 0.005m. Dầm Euler-Bernoulli mở
rộng truyền sóng với hai trường hợp sóng ngang và sóng dọc,
tải trọng xung tác dụng tại đầu tự do của dầm như trên hình 4.
Thông số tải trọng tác dụng trên hình 5. Hàm wavelet sử dụng
là hàm Daubechies bậc N=22.

a. Mô hình truyền sóng dọc trong dầm

(25)
b. Mô hình truyền sóng ngang trong dầm

M g biểu thị moment uốn tại bị trí vết nứt

tan (πα / 2h )
α 
f  =
*
πα / 2h
h
0.752 + 2.02 (α / h ) + 0.37 1 − sin (πα / 2h ) 

ϕ2 =


(24)

Với ν là hệ số Poisson. A là diện tích của vết nứt K I là hệ số
cường độ ứng suất khi hình thành vết nứt dạng mode 1

KI =

Khi chịu lực dọc trục, hệ số độ mềm được tính:

Hệ số độ mềm được tính như sau:

S i là lực tại nút tác dụng nên phần tử. Năng lượng biến dạng
dẻo U khi có vết nứt được viết:

∫

(28)

h

H

∂2U
(với i=j=1)
∂Si ∂S j

1 −ν 2
E


h

Với a = a , α = α

2.3 Xác định hệ số độ mềm φ của lò xo tương đương
Độ mềm tại vị trí vết nứt cho phần tử thanh hữu hạn phổ
được tính dựa vào định lý Castigliano [11].

U=

(27)

Với a = a , α = α

c=

 d sẽ có kích thước 6 x 12 nên ta bỏ các
Từ (20) và (13), K
cột 5 – 9 trong ma trận Kd để trở thành ma trận độ cứng vuông
6 x 6 mà không ảnh hưởng tới kết quả bài toán.

cij =

2π a
α 
α f 2  dα
∫
Eb 0
h


h

(với D = Ebh)

c=

α

(19)

a

∂ 2 wˆ 2 ( L − L1 )
ˆ
ˆ
F6 = M 6 = − EI
∂x 2

Hình 4. Mô hình lực tác dụng trong dầm
3

(26)

cos (πα / 2h )

Sau những biến đổi đơn giản, mô hình đàn hồi của phần tử
hữu hạn phổ tại tiết diện nứt ở hình 3 được viết lại

Trang 3



Hình 9. Ứng xử vận tốc sóng dọc bằng phương pháp
LSFEM và FEM [9] tại đầu tự do của dầm

Hình 5. Tải trọng xung
Song ngang trong mien thoi gian

-3

x 10
3

Van toc song ngang (m/s)

Các hình 6-9 cho thấy hiện tượng truyền sóng ngang và
sóng dọc trong dầm bằng WSFEM và so sánh kết quả với
FEM, LSFEM. Sử dụng 2D-FEM dầm được chia thành 100
phần tử kết hợp áp dụng phương pháp Newmark trên miền thời
gian để giải bài toán truyền sóng. Trong khi sử dụng WSFEM
chỉ chia thành 1 phần tử với bậc Daubechies N=22 có thể thu
được kết quả tốt hơn với 2D-FEM. Vì vậy, WSFEM tính cho
dầm console với thời gian và khối lượng tính toán giảm đáng
kể so với FEM trong các bài toán truyền sóng.

WSFEM
2D-FEM

2.5
2
1.5

1
0.5

Kết quả bài toán thuận cho dầm console sử dụng WSFEM
so sánh với bài báo [9] sử dụng phương pháp LSFEM và 2DFEM đều cho thấy có sự phù hợp chính xác (hình 7, hình 9).

0
-0.5
0

1

2

3

4

5

6

7

Thoi gian(s)

8
-4

x 10


3.2 Khảo sát dầm có vết nứt thay đổi theo độ sâu

Hình 6.Ứng xử vận tốc sóng ngang bằng phương pháp
WSFEM tại đầu tự do

Hình 10. Dầm console có vết nứt

Hình 7.Ứng xử vận tốc sóng ngang bằng phương pháp
LSFEM và FEM [9] tại đầu tự do của dầm
-4

3

x 10

4

WSFEM
2D-FEM

x 10

Khong nut
hd/h=10%
hd/h=20%
hd/h=30%

3


Van toc song doc (m/s)

1
0
-1
-2
-3
-4

Song doc trong mien thoi gian

-4

Song doc trong mien thoi gian

2

Van toc song doc (m/s)

Dầm cantilever Euler-Bernoulli mở rộng có vết nứt hình 10;
với thông số bài toán: E=70GPA, υ=0.3, ρ=2700 Kg/m3, chiều
dài dầm L = 1m, chiều rộng b = 0.05m, chiều cao h = 0.01m,
tải trọng tác dụng như hình 4 và hình 5. Hàm wavelet sử dụng
là hàm Daubechies bậc N=22. Vết nứt thay đổi theo độ sâu tại
vị trí L d = 0.25m với 3 trường hợp: h d /h = 10%, h d /h = 20%,
h d /h = 30%.

2

1


0

-1

-5

-2
0

1

2

Thoi gian(s)

3

4
-4

x 10

Hình 8. Ứng xử vận tốc sóng dọc bằng phương pháp
WSFEM tại đầu tự do của dầm

-3

0


0.2

0.4

0.6

Thoi gian(s)

0.8

1

1.2
-3

x 10

Hình 11. Vận tốc sóng dọc theo thời gian ở đầu tự do của dầm.

Trang 4


Song ngang trong mien thoi gian

-4

12

x 10


Khong nut
hd/h=10%
hd/h=20%
hd/h=30%

8
6
4
2
0
-2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Thoi gian(s)

x 10

Khong nut
Ld=0.1m

Ld=0.25m
Ld=0.4m

3

Van toc song doc (m/s)

Van toc song ngang (m/s)

10

Song doc trong mien thoi gian

-4

4

2

1

0

-1

-2

1.2
-3


x 10

Hình 12. Vận tốc sóng ngang theo thời gian tại đầu tự
do của dầm
Qua hình 11, hình 12 ta thấy so với biểu đồ dầm không nứt,
các biểu đồ vận tốc sóng thu được tại đầu tự do của dầm có vết
nứt với các trường hợp dầm nứt cùng vị trí nhưng với độ sâu
vết nứt khác nhau cho ra các tín hiệu bị nhiễu cùng 1 thời gian
trên biểu đồ với biên độ khác nhau. Khi chiều sâu vết nứt tăng
dần thì biên độ tín hiệu bị nhiễu do vết nứt gây ra cũng tăng
dần.

-3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

Thoi gian(s)

-3


x 10

Hình 14. Vận tốc sóng dọc tại đầu tự do của dầm với vết
nứt h d /h=20% thay đổi theo vị trí
So với biểu đồ không nứt thì các biểu đồ vận tốc sóng thu
được tại đầu tự do khi bị nứt với các trường hợp dầm nứt tại
các vị trí khác nhau cho ra các tín hiệu bị nhiễu tại các khoảng
thời gian khác nhau. Đặc biệt với biểu đồ sóng dọc, tại 3 vị trí
nứt khác nhau vẫn cho biên độ tín hiệu nhiễu gần như bằng
nhau.
Song ngang trong mien thoi gian

-4

x 10
12

khong nut
Ld=0.1m

Van toc song ngang (m/s)

10

Ld=0.25m
Ld=0.4m

8

6


4

2

0

Hình 13. Vận tốc sóng ngang tại đầu tự do của dầm theo [10]
So sánh 2 biểu đồ trên hình 12 và hình 13 ta thấy vị trí thời
gian vận tốc sóng ngang bắt đầu bị nhiễu do vết nứt gây ra là
giống nhau. Tại độ sâu vết nứt h d /h=10% kết quả bài báo [10]
cho biểu đồ nhiễu rõ ràng hơn. Khi chiều sâu vết nứt tăng lên
thì mô hình vết nứt lo xo cho biểu đồ nhiễu rõ hơn và biểu đồ
nhiễu cũng giống dạng trong bài báo [10].

0

1

2

3

4

Thoi gian(s)

5

6


7
-4

x 10

Hình 15. Vận tốc sóng ngang tại đầu tự do của dầm theo
thời gian với vị trí vết nứt thay đổi

3.3 Khảo sát dầm có vết nứt thay đổi theo vị trí
Dầm cantilever Euler-Bernoulli mở rộng có vết nứt như trên
H.10; với thông số bài toán: E=70GPA, υ=0.3, ρ=2700 Kg/m3,
chiều dài dầm L = 1m, chiều rộng b = 0.05m, chiều cao h =
0.01m, tải trọng tác dụng như hình 4 và hình 5. Hàm wavelet
sử dụng là hàm Daubechies bậc N=22. Vết nứt thay đổi theo vị
trí với chiều sâu vết nứt h d /h = 20% cho sóng dọc và h d /h =
10% cho sóng ngang, khảo sát 3 trường hợp L d = 0.1m, L d =
0.25m, L d = 0.4m.

Hình 16.Vận tốc sóng ngang tại đầu tự do của dầm theo
thời gian với vị trí vết nứt thay đổi [10]
So sánh 2 biểu đồ trên hình 15 và hình 16 ta thấy thời gian
vận tốc sóng ngang bị nhiễu do các vị trí nứt gây ra ở 2 biểu đồ
tương đối giống nhau. Với độ sâu vết nứt h d /h = 10% biểu đồ
trong [10] cho kết quả rõ ràng hơn do bài báo [10] có xét đến
bề rộng vết nứt = 0.01m
Trang 5


3.4 Khảo sát sự chuyển động của vận tốc sóng trên dầm

Các giá trị đặc trưng hình học, vật liệu của bài toán
được lấy từ bài toán 3 với các thông số: E = 70GPA, υ =0.3, ρ
= 2700 Kg/m3, L = 1m, b = 0.05m, h = 0.01m.
Khảo sát sự chuyển động của vận tốc sóng trên dầm
trong trường hợp dầm không có vết nứt và dầm có vết nứt h d /h
= 50% tại vị trí L d = 60% L
Bieu do van toc song ngang truyen trong dam
1300
1200
1100
900

thoi gian (µs)

800
700
600
500

Hình 20. Ảnh hưởng của vết nứt lên vận tốc sóng dọc
truyền trong dầm (h d /h=50%)

400
300
200
100
0

1


0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

chieu dai dam (m)

Hình 17. Vận tốc sóng ngang truyền trong dầm không nứt
Bieu do van toc song ngang truyen trong dam
1300
1200
1000
900

thoi gian (µs)


800

Trong trường hợp dầm không có vết nứt như hình 19, sóng
dọc lan truyền không bị tán sắc, tín hiệu do lực xung truyền
vào vẫn giữ hình dáng theo thời gian.Dựa vào hình 19 có thể dễ
dàng xác định được vận tốc sóng dọc lan truyền trong dầm.
Trong trường hợp dầm có vết nứt thì ảnh hưởng của vết
nứt lên vận tốc lan truyền sóng (hình 20) tại vị trí 60% chiều
dài dầm cho ta thấy ngoài tín hiệu do lực xung truyền vào còn
có tín hiệu nhiễu nhỏ hơn chạy trong dầm được hình thành khi
tín hiệu vận tốc sóng dọc chạy qua vết nứt và tín hiệu bị nhiễu
do ảnh hưởng của vết nứt này lớn dần theo thời gian

700

4. Kết luận:

600
500

Việc sử dụng Wavelet đưa vào trong SFEM để rút gọn các
phương trình vi phân riêng thành các phương trình vi phân
thường giúp giải bài toán một cách đơn giản, nhanh chóng.

400
300
200

WSFEM tỏ ra là một phương pháp hiệu quả, thay thế cho

phương pháp FEM để phân tích các bài toán truyền song với
khối lượng tính toán giảm đáng kể so với FEM..

100
0

0.1

0

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

1

0.9

chieu dai dam (m)


Hình 18. Ảnh hưởng của vết nứt (h d /h=50%) lên biểu đổ vận
tốc sóng ngang truyền trong dầm theo thời gian
Trong trường hợp dầm không có vết nứt như hình 17, vận
tốc sóng lan truyền trong dầm đến đầu ngàm mới có sóng phản
xạ lại nên ta thấy tại khoảng thời gian 600-700µs tại đầu phải
của dầm bắt đầu nhận được tín hiệu bị nhiễu được rõ ràng do
vận tốc sóng ngang lan truyền về.
Trong trường hợp dầm có vết nứt như hình 18, tại vị trí L d
/L= 60% chiều dài dầm thì ngay khoảng thời gian 400-500 µs
tín hiệu vận tốc sóng bị nhiễu do vết nứt gây ra được truyền về
đầu dầm. Do đó chỉ cần đo vận tốc sóng ngang tại đầu tự do
của dầm console sau khi truyền sóng ta có thể biết được vị trí
độ sâu vết nứt mà không cần phải khảo sát trên toàn dầm.
Bieu do van toc song doc truyen trong dam
1200
1100
1000

Sử dụng biểu đồ vận tốc sóng dọc để chẩn đoán hư hại kết
cấu sẽ cho kết quả chính xác và rõ ràng hơn so với biểu đồ vận
tốc sóng ngang.
Bài toán dầm được gán vết nứt bằng mô hình lò xo cho
thấy được các hình dáng, tính chất của biểu đồ vận tốc sóng lan
truyền qua dầm bị nứt.
Trong bài toán truyền sóng, việc thu tín hiệu tại 1 nút đầu
tự do của dầm có thể giúp ta xác định được vị trí và độ sâu vết
nứt. Bài toán ngược này sẽ tiếp tục được trình bày trong các bài
báo sau.
Tài liệu tham khảo


900
800

thoi gian (µs)

Ảnh hưởng của vết nứt ngang trên dầm đến các đặc trưng
truyền sóng được khảo sát dựa vào biểu đồ vận tốc sóng ngang
và biểu đồ vận tốc sóng dọc. Các kết quả thu được phù hợp và
chính xác.

1.

700
600
500
400
300

2.

200
100
0

0

0.1

0.2


0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

K. Amaratunga and J. R. Williams (1995), Time
integration using wavelets,pages 894–902. Proceedings of
SPIE, Wavelet Application for Dual Use.2491, Orlando,
FL.
G. Beylkin (1992), On the representation of operators in
bases of compactly supported wavelets, SIAM Journal of
Numerical Analysis, 6(6):1716–1740.

1

chieu dai dam (m)

Hình 19.Vận tốc sóng dọc truyền trong dầm
Trang 6



3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

K. Amaratunga and J. R. Williams (1997), WaveletGalerkin solution of boundary value problems, Archives of
Computational Methods in Engineering, 4(3):243–285.
Georg Regensburger, Symbolic Computation for Moments
and Filter Coefficients of Scaling Functions, Institute of
Mathematics,Department of Computer Science,University
Innsbruck,Techniker Str. 25,A-6020 Innsbruck,Austria..
Dulip Samaratunga et al., Wavelet spectral finite element
modeling of transverse crack for structural health

monitoring of composite plates, Mechanical and
Aeronautical Engineering. Clarkson University, Potsdam,
NY 13699.
M.Mitra and S. Gopalakrishnan (2006), Extraction of
wave charateristics from wavelet based spectral finite
element formulation, Mechanical Systems and Signal
Processing, 20:2046–2079.
J . R. Williams and K. Amaratunga (1997), A discrete
wavelet transform without edge effects using wavelet
extrapolation, Journal of Fourier Analysis and
Applications, 3(4):435–449.
P. Kudela et al (2007), Wave propagation modelling in 1D
structures using spectral finite elements, Journal of Sound
and Vibration 300 88–100.
M Murthy, S Gopalakrishnan (2011), Signal wrap-around
free spectral element formulation for multiply connnected
finite 1-D wave guides, Journal of Aerospace Sciences and
Technologies, Volume 63, Pages 72–88.
Mira Mitra and S. Gopalakrishnan (2008), Perturbation
technique for wave propagation analysis in a notched
beam using wavelet spectral element modeling, Journal of
mechanics of materials and structures, Volume 3, Pages
659–673.
W. Ostachwicz and P.Kudela (2010), Elastic Waves for
Damage Detection in Structures, New Trends in Vibration
Based Structural Health Monitoring, CISM Courses and
Lectures Volume 520,pp 247-302.
M. Krawczuk (2002), Application of spectral beam finite
element with a crack and iterative search technique for
damage detection, Finite Elements in Analysis and Design

Volume 38, Issue 6, Pages 537–548.
Nguyễn Thị Hiền Lương, Lý Vĩnh Phan (8-9/4/2009),
"Phân tích độ nhạy của dầm có vết nứt bằng phương pháp
biến đổi Wavelet”, Tuyển tập công trình khoa học Hội
nghị Cơ học Toàn quốc Kỹ niệm 30 năm Viện cơ học, Hà
Nội, 115-122.

Trang 7