Giao trinh bai tap bài tập lớn thầy lộc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (150.27 KB, 5 trang )
Bài tập lớn Giải tích 1 -2013
1
câu ngắn
1.1
Dạng 1: Tính giới hạn
9n
n→∞ n!
1
13. lim (2 + x) x
1. lim
x→±0
1
n→∞ n + (−1)n
√
√
3. lim n2 + 1 − 3 n3 + 1
2. lim
n→∞
2n + 3n
n→∞ 2n − 3n
4. lim
2n3 + 3n2 − ln9 n
n→∞
3 ln7 n − n3
√
m
x−1
6. lim √
n
x→1
x−1
√
√
x+ x−1−1
√
7. lim
x→1
x2 − 1
√
2 − 2 cos x
8. limπ
x→ 4
π − 4x
14.
1
1
15. lim (e x + )x
x→0
x
2x − x2
16. lim
x→2 x − 2
5. lim
9. lim tan
x→a
πx
x−a
sin
2a
2
loga x(1 + x)
x→0
x
10. lim
11. lim
x→∞
x−3
x+2
tan(2x) − 3 arcsin(4x)
x→0 sin(5x) − 6 arctan(7x)
17. lim
esin x + ln(1 − x) − 1
x→0
arcsin x − sin x
18. lim
ex + ln(1 − sin x) − 1
√
3
x→0
8 − x4 − 2
19. lim
1
(1 + x) x − e
20. lim
x→0 sin2 x + x
√
1 + x cos x − 1 + 2x
21. lim
x→0
ln(1 + x) − x
1
22. lim (cos ln x) 1 − cos x
2x+1
x→0
1
23. lim (
12. lim x a x − 1
x→∞
x→∞
1.2
| tan(4x − π)|
x→ 4 ±0
2x − π2
lim
π
2x2 + 3 x2
)
2x2 − 1
Dạng 2: Tính đạo hàm
√
1. f (x) = ( x − 1)
1
√ + 1 , f (1).
x
sin x − cos x
2. f (x) =
, f (0).
sin x + cos x
x
x
3. f (x) = e 3 cos2 , f (0)
3
π x
4. f (x) = ln tan
, f (0)
+
4 2
5. f (x) = (sin x)
arcsin x
, f (1)
6. f (x) = e2x sin 3x, f (0)
7. f (x) = x3 ln x, f (4) (1)
8. f (x) = 2sin x cos(sin x), f (0)
9. f (x) =
ex
, f ”(1).
x2
10. f (x) = (x + sin x)x , f ( π4 ).
11. f (x) = ln(x2 +
√
x4 + 1), f (0).
12. f (x) = (2x + 3)e−x , f
1
1.3
Dạng 3: Tính tích phân
(x2 + x − 2)dx
3.
arctan xdx
x .e dx.
5.
lnx
dx.
x
0
x.e−x dx.
0
1
0
a2 +x2
√ x
dx.
1−x2
14.
dx
.
x3 +x+1
0
2
e−x dx.
12.
sin x
dx.
x
+∞
.
0
+∞
1
9.
13.
0
dx
11.
0
xlnxdx.
π/2
dx
.
a2 +x2
+∞
+∞
2
1.4
10.
0
8.
−x
4.
6.
x. arctan xdx.
7.
2.
2
a
1
cos2 xdx
1.
x.e−x dx.
15.
−∞
0
Dạng 4: Vẽ miền D
1. D :
ABC, A(1, 1), B(2, 3), C(−1, 2).
2. D : −1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ ex .
3. D : y = cos x, y = 0, 0 ≤ x ≤ 2π.
1.5
Dạng 6: Tính diện tích.
1. D : y = sin x, y = 0, 0 ≤ x ≤ 2π.
2. D : y = x2 − 2x, y = 0, 0 ≤ x ≤ 3.
√
3. D : y =
1.6
x
,y
x3 +1
= 0, 0 ≤ x < +∞.
Dạng 7: Tính thể tích.
1. Vx : y =
√
1 − x2 , y = 0, −1 ≤ x ≤ 1.
2. Vy : y = 2x − x2 , y = 3, 0 ≤ x ≤ 3.
3. Vx : y = e−x sin x, y = 0, x ≥ 0.
1.7
Dạng 8: Giải phương trình vi phân
1. y − xy = y ln
x
y
3
2
9. y + y = 3 , y(1) = 0
x
x
2. (1 − x)(y + y) = e−x , y(2) = 1
10. x3 y = y(x2 + y 2 )
3. y − y cot x = sin x
π
11. ydx + cot xdy = 0, y( ) = −1
3
4. y − y tan x + y 2 cos x = 0
12. y +
5. (1 + x2 )y − 2xy = (1 + x2 )2
y
+ y2 = 0
x+1
2x − y + 1
6. y =
x − 2y + 1
13. xy − y = (x2 + y 2 )
√
√
14. ( xy + x)y − y = 0
7. y − y cot x = sin x
15. xy + y = y 2 ln x, y(1) = 1
8. (x2 + 1)y + 4xy = 3
16. y” + 2y = 3x
2
17. y” − 3y + 2y = 3e2x
19. y” + y + 4y = sin2 x
18. y” + 2y + 5y = x + cos x
20. 5y” − 6y + 5y = xex
2
Câu dài
2.1
Dạng 1: Tìm tham số để hàm liên tục tại x = x0 và vẽ đường cong
minh hoạ (đánh dấu điểm đặc biệt (x0 , f (x0 ))
1. f (x) =
x + 1, x ≤ 1
, x0 = 1
3 − ax2 , x > 1
2. f (x) =
x − 1, x ≤ 1
, x0 = 1
ax2 − 2, x > 1
5. f (x) =
6. f (x) =
ax + 1, x ≤ π
2 π , x0 = π
3. f (x) =
sin x + 3, x >
2
2
4. f (x) =
2.2
a − x2 , x ≤ 0
−2
, x0 = 0
,x > 0
x+1
1
1 ,x ≥ 3
, x0 = 3
x−3
x
+
e
2
x + ax, x < 3
x
3 4−x2 , x ≥ 2
, x0 = 2
−x2 + ax − 4, x < 2
7. f (x) =
1
x arctan( ), x = 0
, x0 = 0
x
a, x = 0
8. f (x) =
1
,x > 1
, x0 = 1
2
+
1
2
ax + 1, x ≤ 1
1
x−1
Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm tại x = x0 và vẽ đường cong cùng tiếp
tuyến tại (x0 , f (x0 ))
arctan 1 , x = 0
x2
, x0 = 0
1. f (x) =
π,x = 0
2
2. f (x) = x3 − 2x2 + x − 5, x0 = −1
3. f (x) =
2.3
x2 ln x2 , x = 0
, x0 = 0
0, x = 0
Dạng 4: Tính bậc của VCB bằng khai triển Taylor
Tìm a, b để α(x) ∼ axb
1. Khi x → 0 : α(x) =
sin(ax2 )
3
+ (1 + ax)(1/a) − ex ∼ xb
2
2
2. Khi x → 0 : α(x) = ln(1 + ax) +
sin(a2 x2 )
21
− axcosx ∼ xb
2
2
3. Khi x → 0 : α(x) = etan(ax) − eax −
sin(a3 x3 )
xb
∼
3
3
√
4. Khi x → 0 : α(x) = xex − sinx − x2 3 1 + 2x ∼ axb
3
2.4
Dạng 5: Tìm cực trị của hàm f (x) và vẽ hình minh họa (có đánh dấu
các điểm cực trị )( dùng đạo hàm cấp 2 để tìm cực trị)
x2
1. f (x) = √
x2 − 1
x−2
2. f (x) = √
x2 + 1
2
1
3. f (x) = − ln x − x2 + x
3
6
−x2
4. f (x) = xe 2
5. f (x) =
2.5
1 + ln x
x
Dạng 6: Phân tích các hàm sau thành tổng các phân thức đơn giản
1. f (x) =
2x − 1
.
3
2x + x2 − 8x + 5
3. f (x) =
3x2 − 2
.
x3 + 2x2 − 2x + 3
2. f (x) =
x4 − 2
.
2x3 + x2 − 8x + 5
4. f (x) =
x+1
.
x4 + 5x2 − 36
2.6
Dạng 7: Vẽ và tính diện tích miền D:
1. D : y = x2 ; y = 4.
2. D : y = x2 − 2x, y = 3, x ≥ 0.
3. D : y =
2.7
9 ln x
, y = x ln x.
x
Dạng 8: Vẽ hình miền phẳng và tính thể tích được tạo ra khi các miền
này quay quanh các trục tọa độ ( theo yêu cầu):
√
√
1. Vx , D : y = ex 1 − x; y = 1 − x.
2. Vx , D : y = x2 ; y = 0; x + y = 2.
3. Vy , D : y = x2 ; y = 0; x + y = 2.
4. Vy , D : y = 2x − x2 ; y = 3, 0 ≤ x ≤ 3.
2.8
Dạng 9: Vẽ phần đường cong và tính diện tích mặt tròn xoay được
tạo ra khi cung này quay quanh Ox:
√
1 + x2 , 0 ≤ x ≤ 1.
√
2. Sx : y = 61 x(x − 12), 0 ≤ x ≤ 12.
1. Sx : y =
3
3.1
Câu khó
Dạng 1: Tìm tiệm cận của đường cong y = f (x) và vẽ hình minh họa (
vẽ đương cong và các đường tiệm cận):
4
x3
1. f (x) =
2(x2 + 1)
x3
2. f (x) = √
x4 + 1
3.2
2
3. f (x) = (2x − 1)e x
1
4. f (x) = e x − x
2
6. f (x) = x2 e x
7. f (x) = (2x − 1)e1/x
x2
5. f (x) = √
1 + x2
Dạng 2: Tính đạo hàm trái, phải tại x = x0 và vẽ đường cong cùng các
tiếp tuyến trái, phải hoặc tiếp tuyến (nếu có)tại (x0 , f (x0 ))
x
e − 1, x > 0
x
1. f (x) =
, x0 = 0
x + 1, x ≤ 0
2
1
ex
,x ≤ 0 ,x = 0
2. f (x) =
0
x2
x ,x > 0
3. f (x) =
3.3
x−1
,x > 1
, x0 = 1
ln x
2x − 1, x ≤ 1
Dạng 3: Tìm tiệm cận đường cong tham số x = x(t), y = y(t)
1.
x(t) = t.et
y(t) = t.e−t
2.
x = t3 − 3π,
y = t3 − 6 arctan t
3.
x = t ln t,
ln t
y=
t
5
