tích phân từng phần
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (206.05 KB, 21 trang )
NEWTON-LEIBNITZ
KiÓm tra bµi cò:
C©u hái 1 :
a) TÝnh nguyªn hµm
π
b) Tõ ®ã tÝnh
I = ∫ x sin x dx
J = ∫ x sin x dx
0
Giải
u = x
du = dx
a) ĐÆt
b) Ta cã
⇒
dv = sin xdx v = − cos x
⇒ I = − x cos x + ∫ cos xdx
= − x cos x + sin x + C
π
0
J = (− x cos x + sin x) |
=π
C©u hái 2: π
a) TÝnh
π
∫ cos xdx ;∫( x cos x) dx
,
π
0
∫
0
b) Tõ ®ã tÝnh J = x sin xdx
0
Giải
π
a) cã
π
cos
x
d
x
=
sin
x
|
0 =0
∫
0
π
π
,
π
(
x
cos
x
)
d
x
=
(
x
cos
x
)
|
0 = −π
∫
0
π
π
π
0
0
,
(
x
cos
x
)
dx = ∫ (cos x − x sin x)dx = cos xdx + ( − x sin x)dx
b) Cã ∫
π
0
0
∫
π
π
0
0
∫
π
⇒ ∫ (− x sin x)dx = ∫ ( x cos x), dx − ∫ cos xdx = −π ⇒ ∫ x sin xdx = π
0
0
Ta cã:
(u ( x)v( x)) = u ( x)v( x) + u ( x)v ( x)
,
,
,
b
b
b
a
a
a
⇒ ∫ (u ( x)v( x)), dx = ∫ u , ( x)v( x)dx + ∫ u ( x)v , ( x)dx
b
b
a
a
⇒ ∫ u ( x)v , ( x)dx = (u ( x)v( x)) |ba − ∫ u , ( x)v( x)dx
C«ng thøc trên gäi lµ c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn vµ
cßn viÕt díi d¹ng:
b
b
a
a
b
u
d
v
=
(
uv
)
|
a − ∫ vdu
∫
2. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
ĐỊNH LÍ :
Nếu hai hàm số u=u(x) và v = v(x) có đạo hàm
liên tục trên [a;b] thì:
b
b
∫ u ( x)v ( x)dx = (u ( x)v( x)) | −∫ v( x)u ( x)dx
,
b
a
a
,
a
b
Hay
b
∫ udv = (uv) | − ∫ vdu
b
a
a
a
VÍ DỤ1
Tính tích phân
1
I1 = ∫ x.e x dx
0
Giải
du = dx
u= x
⇒
Đặt
x
x
dv = e dx v = e
Ta có:
I1 = x. e
= xe
Vậy
x 1
0
x1
0
-e
1
− ∫ e dx
x
0
x 1
I1 = 1
0
= (e - 0 ) - (e - 1 ) = 1
NHẬN XÉT
Hàm số f(x)
P ( x )e
x
Đặt u(x)
P ( x)
d(v(x))
x
e dx
VÍ DỤ1
Tính tích phân
1
I1 = ∫ x.e x dx
0
Giải
du = dx
u= x
⇒
Đặt
x
x
dv = e dx v = e
Ta có:
I1 = x. e
= xe
Vậy
x 1
0
x1
0
-e
1
− ∫ e dx
x
0
x 1
I1 = 1
0
= (e - 0 ) - (e - 1 ) = 1
VÍ DỤ 2
Tính
π
2
I 2 = ∫ xcosxdx.
0
Giải
du =dx
u = x
⇒
v =sinx
dv = cosxdx
Đặt
Ta có:
π
2
π
2
0
π
2
0
π
2
I 2 = ∫ x cos xdx = x sin x − ∫ sin xdx
0
0
= xsinx + cosx
π
= -1
2
π
2
0
NHẬN XÉT
Hàm số f(x)
P(x)cosx
Đặt u(x)
d(v(x))
P( x)
cosxdx
Ví dụ 3. Tính các tích phân
e
I 3 = ∫ x.ln x dx
1
1
d
u
=
d
x
u = lnx
x
⇒
d
v
=
x
d
x
2
x
v =
2
2
e
e
2
2
2 e
x
x 1
e
x
I 3 = ln x − ∫ . dx = −
2
2 x
2 4
1
1
2
e 1
=
+
4 4
1
NHẬN XÉT
Hàm số f(x)
P(x)lnx
Đặt u(x)
d(v(x))
lnx
P (x)dx
Ví dụ 4. Tính các tích phân
1
I 4 = ∫ e cos xdx
x
0
e
I 5 = ∫ x 2 .ln x dx
1
TỪ NHỮNG VÍ DỤ TRÊN ,TA SUY RA CÁCH ĐẶT u VÀ
v TRONG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN NHƯ SAU:
Ñaët d(v(x))
Hàm số f(x)
Đặt u(x)
P(x)sinax
P(x)
Sinaxdx
P(x)cosax
P(x)
Cosaxdx
P(x)lnx
Lnx
P(x)dx
P(x)eax
P(x)
eaxdx
eaxsinbx
eax(hoaëc sinbx)
Sinbxdx
eaxcosbx
eax(hoaëc cosax)
Cosbxdx
Dùng tích phân hai lần với u=eax
