Chuyên Đề: Giải Phơng trình nghiệm nguyên
I-Phơng trình nghiệm nguyên dạng:
ax + by = c (1) với a, b, c Z
1.Các định lí:
a. Định lí 1: Điều kiện cần và đủ để phơng trình ax + by = c (trong đó a,b,c là các số
nguyên khác 0 ) có nghiệm nguyên (a,b) là ớc của c.
b.Định lí 2: Nếu (x0, y0) là một nghiệm nguyên của phơng trình ax + by = c thì nó có vô
số nghiệm nguyên và nghiệm nguyên (x,y) đợc cho bởi công thức:

b

x
=
x
+
t
0


d

y = y a t
0

d


Với t Z, d = (a,b)

2.Cách giải:
Bớc 1: Rút ẩn này theo ẩn kia (giả sử rút x theo y)

Bớc 2: Dựa vào điều kiện nguyên của x, tính chất chia hết suy luận để tìm y
Bớc 3: Thay y vào x sẽ tìm đợc nghiệm nguyên
Ví dụ 1: Giải phơng trình nghiệm nguyên:
2x + 5y =7
Hớng dẫn: Ta có 2x + 5y =7 x =
x = 3 2y +

7 5y
2

1 y
2

Do x, y nguyên

1 y
1 y
nguyên. Đặt
=t
2
2

với (t Z )

y = 1 2t x = 3 2(1- 2t) + t = 5t + 1
Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình là:
x = 5t + 1
y = -2t +1

(t Z )


Ví dụ 2: Giải phơng trình nghiệm nguyên
6x - 15y = 25
Hớng dẫn:
Ta thấy( 6,15 ) = 3 mà 3/25
Vậy không tồn tại x,y nguyên sao cho 6x- 15y = 25
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình.
1


5x + 7y = 112
Hớng dẫn:
Ta có 5x + 7y = 112
x=

112 7 y
2 2y
= 22 - y +
5
5

Do x, y nguyên

2 2y
nguyên hay (2 2y) 5 2(1-y) 5; (2 , 5) = 1
5

(1-y) 5 hay (y-1) 5 . Đặt y-1 = 5t (t Z )
y = 5t +1
thay y vào x ta có x = 21 7t

lại có x > 0; y > 0

5t + 1 > 0
21 7t > 0

t>-



1
5

t<3

t = {0;1;2}
Nếu t = 0 x = 21; y = 1
Nếu t = 1 x = 14; y = 6
Nếu t = 2 x = 7; y = 11
II. Phơng trình nghiệm nguyên đa về dạng
g (x1, x2,..., xn) . h (x1, x2,..., xn) = a (3) Với a Z
1.Cách giải:
Đặt

g (x1, x2,..., xn) = m



h(x1, x2,...., xn) =

Giải hệ:


(với m là ớc của a)

m
a

g (x1, x2,...., xn) = m
h(x1, x2,...., xn) =

m
a

tìm đợc x1, x2,...., xn thử vào (3) ta đợc nghiệm của phơng trình.
2.Chú ý:
-Nếu a = 0 ta có

g (x1, x2,...., xn) = 0
h(x1, x2,...., xn) = 0

-Nếu a = p với p nguyên tố thì từ pt (3) ta có: g (x1, x2,...., xn) = p1
h(x1, x2,...., xn) = p2
Với 1 + 2 = a
Ví dụ 4: Tìm x, y Z biết x - y + 2xy = 6
2


Hớng dẫn: Ta có x y + 2xy = 6 2 x 2y + 4 xy = 12
2 x 2y + 4 xy 1 = 11 (2x 1) + 2y(2x-1) = 11 (2x 1) (2y + 1) = 11
Ta có 11 = 1.11= (-1)(-11) = 11.1 = (-11)(-1)
Ta có


(x; y) = (6; 0)

2y + 1 = 1
2x 1 = 11

(x; y) = (-5; -1)

2y + 1 = -1
2x 1 = -11

(x; y) = (1, 5)

2y + 1 = 11
2x 1 = 1

(x; y) = ( 0; -6)

2y + 1 = -11
2x 1 = -1

Ví dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 1 + x + x2 + x3 = 2y
Hớng dẫn: Ta có 1 + x + x2 + x3 = 2y (1 + x) (1 + x2) = 2y
1 + x = 2 m và 1 + x2 = 2y m (m nguyên dơng)




x=2m1


x2 = 22m 2 m +1 + 1

x 2 = 2y m - 1

x 2 = 2y m 1

22m 2m + 1 + 1 = 2 y m - 1
2 y m 22m + 2m +1 = 2
Nếu m = 0 x = 0 ; y = 0 (t/m)
Nếu m > 0 2 y m 1 22m 1 + 2m = 1 mà 22m 1và 2m đều là số chẵn nên:
2 y m 1 lẻ 2 y m 1 = 1 y m 1 = 0 y = m + 1
2 m - 22m 1 = 0 2 m = 22m 1 m = 2m 1 m = 1
y=2;x=1
Vậy (x, y) = (0; 0); (1; 2)
III. Phơng trình nghiệm nguyên đa về dạng
[g1 (x1, x2,...., xn)]2 + [g2 (x1, x2,...., xn)]2 + ...+ [gn (x1, x2,...., xn)]2 = 0
1.Cách giải:Ta thấy vế trái của phơng trình là các số hạng không âm, tổng của chúng
bằng 0 nên mỗi số hạng phải bằng 0
g1 (x1, x2,...., xn) = 0
Do vậy có:

g2 (x1, x2,...., xn) = 0
.......................
gn (x1, x2,...., xn) = 0
3


Giải hệ này ta đợc x1 , x2 ,..., xn
Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 2x2 + y 2 -2xy + 2y - 6x + 5 = 0
Hớng dẫn:

(Dùng phơng pháp phân tích thành nhân tử ta biến đổi vế trái của phơng trình)
Ta có

Vậy

2x2 + y 2 2xy + 2y 6x + 5 = 0


y 2 2y (x - 1) + (x-1)2 + x2 4x + 4 = 0



(y x + 1)2 + (x 2 )2 = 0

yx+1=0

hay

x=2

x2=0

y=1

Vậy nghiệm nguyên của phơng trình là x = 2 ; y = 1
Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : (x -1) (y+1) = (x+ y)2
Hớng dẫn: Ta có

(x-1) (y+1) = (x+ y)2




(x-1) (y+1) = [(x-1) + (y+1)]2



[(x-1) + (y+1)]2 - (x-1) (y+1) = 0



(x-1)2 + (y+1)2 + (x-1) (y+1) = 0



[(x-1) +



y+1=0
(x-1) +

1
3
(y+1)]2 + (y+1)2 = 0
2
4



1

(y+1) = 0
2

y = -1
x=1

Vậy nghiệm của phơng trình là ( x = 1 ; y = -1)
IV- Phơng trình nghiệm nguyên mà các ẩn có vai trò bình đẳng
Khi làm toán ta thờng gặp một số bài toán mà trong đó các ẩn bình đẳng với
nhau . Để giải các bài toán đó có nhiều cách giải khác nhau tuỳ thuộc vào từng loại cụ
thể. ở đây ta nghiên cứu đến 1 phơng pháp giải toán này:
Ta giả sử các ẩn xảy ra theo một trật tự tăng dần rồi tiến hành giải
Ví dụ 8: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:

x y z x2 xy xz yz xyz

Hớng dẫn: Giả sử 1



1

1
1
9
1
+ + +
=1
xy
yz xz

xyz

1

1

9

1

1

1

9

1 = xy + yz + + xyz 2 + 2 + 2 + 2
x
x
x
xz
x
1

12
x2 12 x
x2

1, 2,3


4


1

1

1

9

Nếu x = 1 y + yz + + yz = 1
z
z + 1 + y + 9 = yz yz z y + 1 = 11
(y- 1) (z - 1) = 11 y = 2 ; z = 12 hoặc z =2 ; y = 12
1

Nếu x = 2 2 y +

1
9
1
+
+
=1
yz
2 yz
2z

(2y - 1) (2z-1) = 23 y = 1; z = 12 hoặc y = 12; z = 1

Nếu x = 3 (3y 1) (3z - 1) = 37 vô nghiệm
Vậy (x, y, z) = (1; 2, 12) và các hoán vị
Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên
Không có phơng pháp chung để giải phơng trình nghiệm nguyên nhng để giải nó ngời ta
thờng áp dụng một số phơng pháp sau hoặc kết hợp các phơng pháp tuỳ theo từng bài cụ
thể. Sau đây là một số phơng pháp thờng dùng
I- Phơng pháp 1 : Sử dụng tính chẵn lẻ
Ví dụ 9: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn: y2 - 2x2 = 1
Hớng dẫn: Ta có y2 2x2 = 1 y2 = 2x2 +1 y là số lẻ
Đặt y = 2k + 1 (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + 1
x2 = 2 k2 + 2k x chẵn , mà x nguyên tố x = 2, y = 3
Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình
(2x + 5y + 1)( 2 x + y + x2 + x) = 105
Hớng dẫn: Ta có: (2x + 5y + 1)( 2 x + y + x2 + x) = 105
Ta thấy 105 lẻ 2x + 5y + 1 lẻ 5y chẵn y chẵn
2
x
x
2 + y + x + x = 2 + y + x(x+ 1) lẻ

có x(x+ 1) chẵn, y chẵn 2 x lẻ 2 x = 1 x = 0
Thay x = 0 vào phơng trình ta đợc
(5y + 1) ( y + 1) = 105 5y2 + 6y 104 = 0
y = 4 hoặc y =

26
( loại)
5

Thử lại ta có x = 0; y = 4 là nghiệm của phơng trình

II. Phơng pháp 2 : Phơng pháp phân tích
Thực chất là biến đổi phơng trình về dạng: g1 (x1, x2,...., xn) h (x1, x2,...., xn) = a
Ví dụ 11: Tìm x, y nguyên sao cho ( x + y ) P = xy với P nguyên tố.

5


Giải
Ta có ( x + y ) P = xy với xy Px Py = 0
x ( y P ) ( Py P2) = P2
( y- P ) ( x- P ) = P2
Mà P nguyên tố P2 = 1.P2 = P.P = (-1)(-P2) = ( -P ) (-P)
Các cặp số (x,y ) là:
(P+1, P(P+1) ); ( P-1, P (P-1) ); (2p, 2p); (0,0) và các hoán vị của chúng.
III- Phơng pháp loại trừ ( phơng pháp 3 )
Khẳng định nghiệm rồi loại trừ các giá trị còn lại của ẩn
Ví dụ 12: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 1! + 2! + ... + x! =

y

2

Hớng dẫn: Với x 5 thì x! có tận cùng là 0 và 1! + 2! + 3! + 4! Có tận cùng là 3
1! + 2! + ... + x! có tận cùng là 3, không là số chính phơng (loại)
Vậy x < 5 mà x nguyên dơng nên:
x = {1;2;3;4}
Thử vào phơng trình ta đợc (x = 1, y= 2); (x = 3, y= 3) là thoả mãn
IV.Phơng pháp 4: Dùng chia hết và có d
Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x2 2y2 = 5
Hớng dẫn:

Xét x 5 mà x2 2y2 = 5

2y2 5

y2 5

(2,5) = 1
y2 25

5 là số nguyên tố

x2 2y2 25

lại có x 5 x2 25

5 25 loại

Xét x 5 y 5
và x2 chia cho 5 có các số d 1 hoặc 4
y2 chia cho 5 có các số d 1 hoặc 4 2y2 chia cho 5 d 2 hoặc 3
x2 2 y2 chia cho 5 d

1

hoặc



2(loại)


Vậy phơng trình x2 2y2 = 5 vô nghiệm
Ví dụ 14: Tìm x, y là số tự nhiên thoả mãn: x2 +

3

y

= 3026

Hớng dẫn: Xét y = 0 x2 + 30 = 3026 x2 = 3025
mà x N x = 55
Xét y > 0

3

y

3, x2 chia cho 3 d 0 hoặc 1 x2 +

6

y

3

chia cho 3 d 0 hoặc 1


mà 3026 chia cho 3 d 2 (loại). Vậy nghiệm (x,y) = (55,0)
V. Phơng pháp 5 : Sử dụng tính chất của số nguyên tố

Ví dụ 15: Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn: xy + 1 = z
Hớng dẫn: Ta có x, y nguyên tố và xy + 1 = z z > 3
Mà z nguyên tố z lẻ xy chẵn x chẵn

x=2

Xét y = 2 22 + 1 = 5 là nguyên tố z = 5 (thoả mãn)
Xét y> 2 y = 2k + 1

(k N) 22k+1 + 1 = z 2. 4k + 1 = z

Có 4 chia cho 3 d 1 (2.4k+1) 3 z 3

(loại)

Vậy x = 2, y = 2, z = 5 thoả mãn
Ví dụ 16 : Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phơng
Hớng dẫn: đặt 4p + 1 = x2

(x N)

x lẻ đặt x = 2k + 1

(k N)

4p + 1 = (2k + 1)2 4p + 1 = 4k2 + 4k + 1 p =k(k+1)
k(k + 1) chẵn p chẵn, p nguyên tố p = 2
VI. Phơng pháp 7: Đa về dạng tổng
Ví dụ 17: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x2 + y2 - x - y = 8
Hớng dẫn: Ta có x2 + y2 x y = 8

4 x2 + 4 y2 4 x 4y = 32 (4x2 4x +1) + (4y2 4y + 1) = 34
(2x 1)2 + (2y 1)2 = 34
Bằng phơng pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất 1 dạng phân tích thành tổng
của 2 số chính phơng 32 và 52
Do đó ta có 2 x 1 = 3

hoặc

2y 1 = 5

2x 1 = 5
2y 1 = 3

Giải ra ta đợc (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) và các hoán vị của nó.

Ví dụ 18: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x2 - 4xy + 5y2 = 169
Hớng dẫn: Ta có x2 4xy + 5y2 = 169
(x 2y)2 + y2 = 169
Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122


x 2y = 0
y

hoặc

= 13

x 2y = 5


x 2 y = 13

hoặc

y =0
x 2 y = 12

hoặc
7


y

= 12

y =5

Giải ra ta đợc (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26,
13); (-26, -13); (-13. 0); (13, 0)
VII. Phơng pháp 7 : Dùng bất đẳng thức
Ví dụ 19: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x2-xy + y2 = 3
Hớng dẫn: Ta có x2 xy + y2 = 3 (xTa thấy (x-

y 2
3y2
) =32
4

y 2
3y2

) 03 0 -2 y 2
2
4

y= 2; 1; 0 thay vào phơng trình tìm x
Ta đợc các nghiệm nguyên của phơng trình là :
(x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1)
Bài tập luyện tập rèn t duy sáng tạo
Bài 1:Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
2x + 3y = 11
Hớng dẫn
Cách 1: Ta thấy phơng trình có cặp nghiệm đặc biệt là x0 = 4, y0 = 1
Vì 2.4 + 3.1 = 11
( 2x + 3y) (2.4 + 3.1) = 0
2(x-4) + 3(y-1) = 0
2(x-4) = - 3(y-1) mà (2,3) = 1
Đặt x 4 = 3k và y 1 = 2k với ( k Z)
Vậy nghiệm tổng quát của pt là :
x = 4 3k
y = 1+ 2k
( k Z)
*Nhận xét: Theo cách giải này phải tìm ra 1 cặp nghiệm nguyên đặc biệt (x0, y0) của phơng trình vô định ax + by = c
Nếu phơng trình có hệ số a, b, c lớn thì cách giải khó khăn.
Cách 2: Dùng tính chất chia hết.
Ta có 2x + 3y = 11
11 3 y
y 1
= 5- y2
2
y 1

Do x, y nguyên
nguyên
2
y 1
đặt
= k y = 2k +1 x = 4- 3k
2

x=

Vậy nghiệm tổng quát:

(k Z)

y = 2k +1 (k Z)

x = 4- 3k
Bài 2: Tìm cặp số nguyên dơng (x,y) thoả mãn phơng trình: 6x2 + 5y2 = 74
Hớng dẫn: Cách 1: Ta có 6x2 + 5y2 = 74
6x2 24 = 50 5y2
6(x2 4) = 5(10 y2)
6(x2 4) 5 x2 4 5
8


(6, 5) = 1
x2 = 5t + 4
(t N)
2
Thay x 4 = 5t vào phơng trình y2 = 10 6t

lại có

x2 > 0

4
5
5
t<
3



t>

y2 > 0
t = 0 hoặc t = 1

với t = 0 ta có x2 = 4, y2 = 10 (loại)
Với t = 1 ta có
x2 = 9
x=3
2
y =4
y=2
+
mà x, y Z x = 3, y = 2 thoả mãn
Cách 2: Sử dụng tính chẵn lẻ và phơng pháp chặn
Ta có 6x2 + 5y2 = 74 là số chẵn y chẵn
lại có 0< 6x2 0< 5y2 < 74 0 < y2 < 14 y2 = 4 x2 = 9
Cặp số (x,y) cần tìm là (3, 2)

Cách 3: Ta có 6x2 + 5y2 = 74 5x2 + 5y2 + x2 + 1 = 75 x2 + 1 5
mà 0 < x2 12 x2 = 4 hoặc x2 = 9
Với x2 = 4 y2 = 10 loại
Với x2 = 9 y2 = 4 thoả mãn
cặp số (x,y) cần tìm là (3, 2)

Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x2 + y2 = 2x2y2
Hớng dẫn:
Cách 1: Đặt x2 = a, y2 = b
Ta có a + b = 2 ab

a b
a = b a=b
b a
2
Nếu a = b 2a = 2a a= a2 a= 0, a= 1 (a,b) = (0, 0); (1, 1)
Nếu a = - b 2 b2 = 0 a = b = 0 (x2, y2) = (0, 0); (1, 1)
(x, y ) = (0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1)
Cách 2: Ta có x2 + y2 = 2x2y2. Do x2, y2 0
Ta giả sử x2 y2 x2 + y2 2 y2 2x2 y2 2y2
Nếu y = 0 phơng trình có nghiệm (0;0)
Nếu y 0 x2 1 x2= 0 hoặc x2 = 1
y2 = 0 (loại) hoặc y2 = 1 (x, y) = (1, 1); (1, -1) ; (-1, 1)
Vậy phơng trình có nghiệm (x;y) =(0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1)
Cách 3: Có x2 + y2 = 2x2y2
2x2 + 2y2 = 4 x2y2 4 x2y2 2x2 2y2 + 1 = 1
2x2 (2y2 - 1) (2y2 - 1)= 1 (2x2 1) (2y2 - 1) = 1
Mà 1 = 1.1 = (-1)(-1) (x2, y2) = (1, 1); (0, 0)
(x, y) = (1, 1); (0, 0) ; (1, -1); (-1; -1); (-1, 1)
Bài 4: Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình: x2 -3xy + 2y2+ 6 = 0

9


Hớng dẫn: Ta thấy(x, y) = (0, 0) không phải là nghiệm của phơng trình
Ta coi phơng trình x2 3xy + 2y2 + 6 = 0 ẩn x ta tính y = y2 24
Phơng trình có nghiệm tự nhiên thì y là số chính phơng
y2 24 = k2 (y k)(y + k) = 24
(kN)
mà 24 = 24.1 = 12.2 = 6.4 = 3.8 ; y+k và y k cùng chẵn


y+ k = 6
y=5
hoặc
y+ k = 12
yk=4
yk=2
Thay vào ta tìm đợc (x,y) = (8, 7); (13, 7); (7, 5); (8,5)
Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
2x2 + 2y2 - 2xy + y + x - 10 = 0

y=7

Hớng dẫn: C1: Ta có phơng trình đã cho 2x2 (2y-1) x + 2y2 + y 10 = 0
Coi x là ẩn y là tham số ta có phơng trình bậc 2 ẩn x
Xét y = (2y 1)2 4.2 (2y2 + y -10) = -12y2 12y+ 81
Để nghiệm x nguyên thì y là số chính phơng
Đặt k2= -12y2 12 y + 81 k2 + 3(2y + 1) = 84
k2
(2y + 1) = 28 28; (2y + 1)2 lẻ (2y + 1)2 = 1, 9, 25

3
2

y = 0, 1, -2, 2, -3 thử trực tiếp vào phơng trình ta tìm đợc các cặp số (x, y) = (2,
0); (0, 2) thoả mãn
C2: Đặt x + y = a, xy = b ta có x, y Z a, b Z
phơng trình 2x2 (2y-1) x + 2y2 + y 10 = 0
2a2 4b + a 10 = 0 4a2 8b + 2a 20 = 0
(a+ 1)2 + 3a2 8b 21 = 0 (a+ 1)2 + 3a2 = 8b + 21
lại có (x+ y)2 4 xy a2 4b
8b + 21 2a2 + 21 (a+ 1)2 + 3a2 2a2 + 21 (a+ 1)2 21
mà (a+ 1)2 là số chính phơng (a+ 1)2 {1, 4, 9, 16} a {0, 1, 2, 3}
Với a = 0 12 + 3. 0 = 8b + 21 8b = 20 loại
Với a = 1 (1+1)2 + 3.12 = 8b + 21 8b = -14 loại
Với a = 2 (1+ 2)2 + 3.22 = 8b + 21 8b = 0 b = 0
Với a = 3 (1+ 3)2 + 3.32 = 8b + 21 8b = 22 loại
Vậy đợc a = 2, b = 0
xy = 0
x + y = 2 (x, y ) = (0, 2); (2, 0) thoả mãn
Bài 6 :Tìm tất cả các nghiệm nguyên dơng x, y sao cho : x2 + 4x - y2 = 1
Hớng dẫn:
Cách 1: Ta có x2 + 4x y2 = 1 (x + 2)2 - y2 = 5 (x + 2+ y)(x+ 2-y) = 5
mà x, y nguyên dơng (x + 2+ y) > (x+ 2-y)
x+ 2 + y = 5 x = 1, y = 2
x+2y=1
Vậy nghiệm của phơng trình là x = 1, y = 2
Cách 2: Ta có x2 + 4 x y2 = 1 x2 + 4 x (y2 + 1) = 0
10



' y = 4 + y2 + 1 x =

2 ' y
1

Để phơng trình có nghiệm thì y là số chính phơng 4 + y2 + 1 = k2
(k- y) (k+ y) = 5 y = 2
thay vào phơng trình tìm đợc x = 1
Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là x = 1; y = 2
Bài 7: Hai đội cờ thi đấu với nhau mỗi đấu thủ của đội này phải đấu 1 ván với mỗi
đấu thủ của đội kia. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 4 lần tổng số đấu thủ
của hai đội và biết rằng số đấu thủ của ít nhất trong 2 đội là số lẻ hỏi mỗi đội có
bao nhiêu đấu thủ.
'

Hớng dẫn: Gọi x, y lần lợt là số đấu thủ của đội 1 và đội 2 (x, y nguyên dơng )
Theo bài ra ta có xy = 4 (x + y)
Đây là phơng trình nghiệm nguyên ta có thể giải bằng các cách sau
Cách 1: Có xy = 4(x + y) xy 4x 4y + 16 = 16 (x-4) (y - 4) = 16
mà 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4
lại có ít nhất 1 đội có số đấu thủ lẻ

x4=1
x=5
hoặc x = 20
y-4 = 16
y = 20
y=5
Cách 2: Ta thấy x, y bình đẳng.Không mất tính tổng quát ta giả sử x y
Ta có x, y nguyên dơng xy = 4 (x + y)

lại có

4 4
+ y=1
x

4
4
4 4
8
8
+ 1
y
y
x
x
x
x

x8

4
Mà 1 x > 4
x

x= 5, 6, 7, 8

Thử trực tiếp ta đợc x = 5, y = 20 (thoả mãn)
Vậy 1 đội có 5 đấu thủ còn đội kia có 20 đấu thủ
Bài 8: Tìm năm sinh của Bác Hồ biết rằng năm 1911 khi Bác ra đi tìm đờng cứu nớc thì tuổi Bác bằng tổng các chữ số của năm Bác sinh cộng thêm 3.

Hớng dẫn: Ta thấy nếu Bác Hồ sinh vào thể kỷ 20 thì năm 1911 Bác nhiều nhất là 11
tuổi (1+ 9 + 0 + 0 + 3) loại. Suy ra Bác sinh ra ở thế kỷ 19
Gọi năm sinh của Bác là 18 xy (x, y nguyên dơng, x, y 9)
Theo bài ra ta có: 1911 - 18 xy = 1 + 8 + x + y = 3
11x + 2y = 99 2y 11 mà (2, 11) = 1 y 11
mà 0 y 9 y = 0 x = 9. Vậy năm sinh của Bác Hồ là 1890
x+ y

3

Bài 9: Tìm tất cả các số nguyyên x, y thoả mãn phơng trình x 2 xy + y 2 =
7
x+ y

3

Hớng dẫn: Ta có x 2 xy + y 2 = 7 (x+ y) = 3 (x2 xy + y2)
7

11


Đặt x + y = p , x y = q p, q nguyên x =

p+q
pq
;y=
thay vào phơng trình
2
2

+

có dạng 28 p = 3 (q2 + 3 q2) p > 0 và p 3 đặt p = 3k (k Z 0 )
28k = 3(3k2+ q2) k 3 và k có dạng 3m (m Z+) 28 m = 27m2 + q
m( 28 27m) = q2 0 m = 0 hoặc m = 1
Với m = 0 k = 0 q = 0 x = y = 0 (loại)
Với m = 1 thì k = 3; p = 9 28 = 27 + q2 q = 1
Khi p = 9, q = 1 thì x = 5, y= 4
khi p = 9, q = 1- thì x = 4, y= 5
Vậy nghiệm của phơng trình là (x, y) = (4, 5); (5, 4)
Bài 10: Hãy dựng một tam giác vuông có số đo 3 cạnh là a, b, c là những số nguyên
và có cạnh đo đợc 7 đơn vị
Hớng dẫn: Giả sử cạnh đo đợc 7 đơn vị là cạnh huyền (a = 7)
b2 + c2 = 72 b2 + c2 7 b 7; c 7
(vì số chính phơng chia hết cho 7 d 0, 1, 4, 2)
lại có 0 Cạnh đo đợc là cạnh góc vuông giả sử b = 7
Ta có a2 c2 = 49 (a+c)(a-c) = 49
a+ c = 49
a = 25
Vậy tam giác cần dựng có số đo 3 cạnh
ac=1
c = 24
là 7, 25, 24

12