Võ Quang Tiến

Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Hồ Sỹ Chương đã
hướng dẫn tận tình, giúp tôi hoàn thành tốt tiểu luận đúng thời hạn.
Tôi xin chân thành gởi lời cảm ơn đến tất cả thầy, cô trong Bộ môn
SP Vật Lý đã truyền đạt những kiến thức quý báu và tạo mọi điều kiện
thuận lợi cho tôi trong lúc thực hiện đề tài này.
Cảm ơn gia đình và những người thân đã luôn chia sẻ, động viên
và ủng hộ tôi.
Tôi cũng cảm ơn các bạn lớp Sư Phạm Lý K4, Sư Phạm Toán K4
đã giúp đỡ và động viên tôi rất nhiều trong suốt thời gian qua.
Sự tận tình của quý thầy cô cùng sự động viên của gia đình, bạn
bè là nguồn động lực to lớn để tôi vượt qua nhiều khó khăn và cố gắng
hết mình. Một lần nữa, mong mọi người nhận nơi đây lòng cảm ơn chân
thành nhất.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng chắc rằng tiểu luận của tôi không
thể tránh khỏi sai sót, mong được sự chỉ dẫn thêm của thầy, cô và sự góp
ý của các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Kính chúc quý thầy cô và các bạn vui, khỏe!
Biên Hòa , Ngày 18 tháng 04 năm 2016

Võ Quang Tiến

GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương

1


Võ Quang Tiến

Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn

MỤC LỤC

GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương

2


Võ Quang Tiến

Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật Lý học là ngành khoa học tự nhiên nghiên cứu, tìm hiểu về cấu trúc và quy luật
vận động của mọi vật trong tự nhiên. Bằng những phương pháp toán học, Vật Lý học
còn tìm ra những quy luật mới chưa được tìm ra bằng thực nghiệm, và tiên đoán trước
các mối quan hệ của hiện tượng tự nhiên. Vì thế, Toán học trở thành công cụ đắc lực, là
phương tiện chủ yếu mà Vật Lý học dùng mô tả định lượng hiện tượng vật lý. Trong các
môn học thuộc chuyên ngành Vật Lý, Toán cho Vật Lý là môn học đánh dấu mối quan
hệ không thể tách rời giữa Vật Lý học và Toán học. Đây là môn học rất cần thiết cho
sinh viên Vật Lý, cung cấp những phương pháp, công cụ toán học hiện đại giải các
phương trình Vật Lý, đặc biệt là việc giải phương trình đạo hàm riêng đã mô tả được các
hiện tượng vật lý.
Trong quá trình tìm nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai
bằng phương pháp tách biến Fourier hay phép biến đổi Laplace sẽ gặp các phương trình
vi phân thông thường mà nghiệm của chúng là các dạng hàm đặc biệt như hàm Legendre,
hàm cầu, hàm Bessel…Trong số các hàm đặc biệt đó, hàm Bessel- nghiệm của phương

trình Bessel- đóng một vai trò quan trọng trong việc giải các phương trình vật lý toán, là
phương pháp chính sử dụng giải các bài toán liên quan đến hình tròn, hình trụ và kể cả
hình cầu. Nhiều tính chất quan trọng của hàm Bessel đã được tìm ra và biết đến với nhiều
ứng dụng có tính thực tiễn cao trong Vật Lý, kỹ thuật, xây dựng…
Với nhiều ứng dụng đặc biệt trong Vật Lý học mà việc nghiên cứu hàm Bessel
mang lại, tôi mong muốn tìm hiểu một cách sâu sắc, có hệ thống về hàm Bessel cùng
những ứng dụng của nó. Đó là lý do tôi chọn nghiên cứu đề tài “Các hàm Bessel và
bài toán dao động của màng tròn”.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu các cách xây dựng hàm Bessel, tập
hợp và hệ thống hóa lại các khái niệm, các tính chất của các hàm Bessel loại I, loại II.
Đồng thời ứng dụng hàm Bessel trong Vật Lý thông qua việc giải một số bài toán cho
các tọa độ và đặc biệt là các bài toán dao động của màn tròn để làm sáng tỏ cho phần lý
thuyết và giúp người đọc hiểu sâu hơn về công dụng của hàm Bessel.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu các khái niệm hàm Bessel loại I, loại II.
- Trong đó đi sâu tìm hiểu và chứng minh các tính chất quan trọng của hàm Bessel loại I,
loại II hạng nguyên.
- Nghiên cứu ứng dụng của hàm Bessel loại I, loại II giải các bài toán vật lý liên quan đến
phương trình sóng, các bài toán dao động của màng tròn trong tọa độ cầu.

4. Phương pháp nghiên cứu
GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương

3


Võ Quang Tiến


Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn

- Sử dụng phương pháp tìm tòi và nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài, sau đó hệ
thống lại lý thuyết theo cách hiểu riêng.
- Sử dụng phương pháp chứng minh để làm rõ một số vấn đề cũng như một số tính chất
trong lý thuyết về hàm Bessel.
- Ngoài ra, còn sử dụng các phương pháp phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa các tài liệu đã
nghiên cứu để đi đến một bài luận văn hoàn chỉnh.

5. Các bước thực hiện đề tài
- Nhận đề tài, xác định nhiệm vụ cần đạt được của đề tài.
- Nghiên cứu các tài liệu có liên quan.
- Lập đề cương chi tiết của luận văn, thông qua giáo viên hướng dẫn.
- Tiến hành viết đề tài và trao đổi với giáo viên.
- Sửa chữa hoàn chỉnh luận văn và báo cáo.

GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương

4


Võ Quang Tiến

Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn

PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH BESSEL
1.1. Thiết lập phương trình Bessel dựa vào bài toán dao động màng tròn
Xét dao động của một màng tròn. Giả sử màng chiếm một hình tròn D bán kính q trong

mặt phẳng Oxy. Chọn tâm của màng làm gốc tọa độ, chuyển từ hệ tọa độ ĐêCac sang hệ tọa
độ cực thì phương trình của đường tròn biên của màng sẽ là r = q (H.1).
y

Độ lệch của một điểm của màng là hàm của r, và t :

.
ϕ

Điều kiện biên bây giờ có dạng

(1.1)
Trong tọa độ cực, toán tử Laplace hai chiều có dạng:

r
x

O

Hình 1.1: Hệ tọa độ cực

với .
Do đó phương trình dao động tự do của màng trong tọa độ cực có dạng:
hay

(1.2)
Các điều kiện ban đầu có dạng

(1.3)
Dùng phương pháp tách biến Fourier, ta sẽ tìm nghiệm phương trình (1.2 ) biểu diễn sóng

đứng trên màng tròn dưới dạng :
Thay vào phương trình ( 1.2 ), ta có:

chia hai vế cho RT ta được
Ta thấy phương trình có vế trái không phụ thuộc vào còn vế phải không phụ thuộc vào ,
do đó hai vế phương trình này không phụ thuộc vào và , nghĩa là :

GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương

5


Võ Quang Tiến

Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn

Từ phương trình này ta có thể đặt
và
trong đó là hằng số.
Trong phương trình ( 1.5) có thể được viết dưới dạng
Từ đó ta rút ra
và
trong đó là hằng số, có giá trị phụ thuộc vào sự tuần hoàn của hàm

Thực vậy, bài toán chỉ có nghiệm không thuần nhất với một số giá trị đặt biệt từ phương
trình (1.6).
Xét phương trình đặc trưng của phương trình (1.6)

tùy theo dấu của ta sẽ có các trường hợp sau đây:
a)

Nghiệm tổng quát của (1.6) là:
(là những hằng số tùy ý).
Từ điều kiện tuần hoàn, ta có :

trong trường hợp này, phương trình (1.6) chỉ có nghiệm thuần nhất bằng không.
b)
Phương trình (1.6) có nghiệm tổng quát là:
Từ điều kiện tuần hoàn, ta có :
vậy nghiệm của phương trình (1.6) là nghiệm thuần nhất bằng không.
c)
Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng :
GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương

6


Võ Quang Tiến

Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn

Dạng nghiệm này thỏa điều kiện tuần hoàn vì hàm sin và hàm cos là các hàm tuần hoàn
với chu kì 2.
Vậy phương trình (1.6) chỉ có nghiệm không thuần nhất là :
trong đó là các hằng số bất kì và - .
Do đó, đối với hàm từ phương trình (1.7) ta có:
hay

Bây giờ ta đưa vào biến số mới và đặt :

Tính các đạo hàm:


Do đó ta nhận được phương trình vi phân sau đối với hàm

Phương trình (1.9) được gọi là phương trình Bessel. Nó là một phương trình vi phân
thông thường hạng hai có hệ số thay đổi. Nghiệm của nó được gọi là hàm Bessel. Vì nó đóng
vai trò quan trọng trong việc mô tả các quá trình vật lý xảy ra trong các miền hình trụ, vì vậy
nó còn có tên là Hàm Trụ.

GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương

7


Võ Quang Tiến

Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn

CHƯƠNG II: HÀM BESSEL
2.1. Khái niệm hàm Bessel
Phương trình Bessel là phương trình có dạng:
nghiệm riêng của phương trình Bessel xác định một hàm, ta gọi đó là hàm Bessel.
Vì phương trình Bessel là tuyến tính nên nghiệm tổng quát của nó có thể viết dưới dạng :
, trong đó là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính bất kỳ, còn là các hằng số tùy ý.
Như vậy, đề tìm nghiệm tổng quát của phương trình Bessel, ta chỉ cần tìm hai nghiệm
độc lập tuyến tính bất kỳ của nó.

2.2. Hàm Bessel loai I hạng nguyên (k)
Ta sẽ tìm nghiệm riêng của phương trình (1.9) dưới dạng chuỗi lũy thừa:
Để tìm các hệ số chuỗi lũy thừa, ta lấy các đạo hàm
và

thay vào phương trình (1.9) sau khi nhân với ta có:

đối với mọi . Vậy tất cả các hệ số đứng trước mỗi lũy thừa của phải bằng không. Bây giờ ta
viết lại chi tiết từng số hạng của vế trái (2.3).

Thay cả ba số hạng trên vào (2.3):

từ đó ta rút ra

ở đây là một số nguyên không âm.
GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương

8


Võ Quang Tiến

Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn

Nếu = 0, thì là một số bất kì, còn
cụ thể là
tổng quát

Vậy ta có nghiệm của phương trình Bessel với
trong đó
được gọi là hàm Bessel loại một hạng không.
Nếu , thì từ (2.4) ta rút ra , là tùy ý và
tổng quát

Thành thử ta có nghiệm của phương trình Bessel với

trong đó
được gọi là hàm Bessel loại 1 hạng 1.
Nếu thì hệ thức (2.4) có

tổng quát

Thành thử ta có nghiệm của phương trình Bessel khi
trong đó
GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương

9


Võ Quang Tiến

Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn

được gọi là hàm Bessel loái hang k.
Nếu , ta lại có các công thức (2.5) và (2.6). Vậy (2.7) xác định hàm Bessel loại 1 có tất
cả các hạng . Ta dễ dàng thấy rằng chuỗi (2.7) là hội tụ và thỏa mãn phuong trình Bessel
(1.9).
Hệ thức (2.7) của hàm Bessel loại 1 hạng k có thể biểu diễn qua hàm Gamma . Trong đó
là hàm Gamma xác định với mọi giá trị k dương có dạng:
khi đó hệ thức (2.7) đúng với cả k không nguyên.
Với k nguyên, sử dụng các tính chất của hàm Gamma:

Vậy hệ thức (2.7) của hàm Bessel loại 1 hạng k biểu diễn qua hàm Gamma là:
Chuỗi (2.8) xác dịnh hàm Bessel loại 1 tất cả các hang (k là số nguyên). Dễ dàng thấy
được chuỗi hội tụ với mọi x và thỏa mãn phương trình (2.1).
Vì phương trình (2.1) không đổi khi ta thay k bởi -k. Do đó, với -k ta nhận được nghiệm

riêng thứ hai của phương trình Bessel và nó được suy ra từ dạng nghiệm (2.8)
suy ra : và được gọi là các hàm Bessel loại I hạng nguyên.
Hàm Bessel có nhiều ứng dụng trong các bài toán vật lí và kĩ thuật nên đã được nghiên
cứu nhiều và có những bảng chi tiết về các giá trị của chúng ( xem bảng giá trị hàm ở bảng
phụ lục).
Đối với các giá trị x lớn, hàm gần với
hay chính xác hơn

trong đó khi .
Đặc tính cơ bản của hàm Bessel loại I hạng nguyên với các chỉ số k = 0, 1, 2 .....

Đồ thị hàm Bessel loại I hạng nguyên với các chỉ số ( theo bảng các giá trị các hàm phụ
lục 1)

GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương

10


Võ Quang Tiến

Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn

Hình 2.1: Đồ thị các giá trị của hàm Bessel loai I.

GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương

11



Võ Quang Tiến

Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn

2.3. Hàm Bessel loai II hạng nguyên (k)
Khi k không phải số nguyên, hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình Bessel
là , . Tuy nhiên, chúng không là độc lập khi k là một số nguyên. Do đó, để tìm nghiệm tổng
quát của phương trình Bessel với k là số nguyên dương, ta cần tìm một nghiệm khác nữa độc
lập tuyến tính với .
Nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính với , đối với các giá trị x lớn gần bằng
được kí hiệu qua và được gọi là hàm Bessel loại II hạng nguyên ( hay hàm Nơman
(Neumann) hạng k) nghĩa là
trong đó khi .
Đồ thị hàm Bessel loại II hạng nguyên với chỉ số ( theo bảng các giá trị các hàm phụ lục
1)
Đặc tính cơ bản của các hàm Nơman là

0

Hình 2.2: Đồ thị các giá trị của hàm Beessel loại II.

GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương

12


Võ Quang Tiến

Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn


CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG
3.1. Giải bài toán màng tròn
Ta trở lại bài toán dao động của màng tròn gắn chặt ở mép. Dao dộng của nó tuân theo
phương trình (1.2)
thỏa mãn các điều kiện ban đầu (1.3)

và điều kiện biên (1.2)

Nghiệm của nó có dạng sóng đứng
có
mà phải thỏa mãn phương trình Bessel nên
Trong dó và là các hàm Bessel loại 1 và 2. Từ đó ta có:
Nhưng với đặc tính cơ bản của hàm Nỏman:
mà ở tâm của màng, vẫn phải hữu hạn cho nên hằng số phải bằng không, vậy
Mặt khác theo điều kiện biên (1.2),
nếu thì và . Điều đó có nghĩa phải là một trong các nghiệm của hàm
vậy hằng số xuất hiện khi tách biến không phải là tùy ý mà phải có một trong các giá trị

do đó
Hàm có dạng
còn hàm T(t) thỏa mãn phương trình vi phân bậc hai

GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương

13


Võ Quang Tiến

Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn


và có dạng
Nhân ba hàm với nhau:
Các đường nút của sóng đứng này, thứ nhá là k đường kính, chia màng thành 2k hình
quạt như nhau ( dọc theo các bán kính ) và thứ hai là vòng tròn đồng tâm ( dọc theo các vòng
tròn này)
nghĩa là ,

, .....,
Hình 3.1: Đường nút dao động của màng tròn.
Hình bên cho ta các đường nút khi k = 1 và n = 3.

3.2. Áp dụng giải các bài toán khác
Bài 1: Chứng minh rằng ( vi phân từng số hạng của chuỗi lũy thừa đối với ). Dựng đồ
thị của .
Với các công thức truy hồi đối với hàm Bessel loại 1:

ta có:

Vậy với ta có:

Đồ thị ta đã vẽ ờ hình 2.1( trang 13).
GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương

14


Võ Quang Tiến

Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn


Bài 2: Chứng minh rằng:

Chứng minh công thức 1
theo tính chất truy hồi của hàm Bessel ta có
suy ra
do đó
Mà
suy ra
đây là điều phải chứng minh.
Chứng minh công thức 2
theo tính chất truy hồi của hàm Bessel ta có:

đặt
suy ra
vì
nên
Ta có

GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương

15


Võ Quang Tiến

Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn

vậy


cuối cùng ta thu được

điều ta phải chứng minh.

GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương

16


Võ Quang Tiến

Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn

PHẦN KẾT LUẬN
Trong đề tài này, tôi đã trình bày cơ sở lý luận toán học một cách ngắn gọn, nhưng khá
đầy đủ về hàm Bessel làm tiền đề quan trọng phục vụ cho việc giải các bài toán Vật Lý.
Phương trình Bessel được xây dựng thông qua việc giải bài toán dao động màng tròn hoặc việc
giải phương trình Laplace trong tọa độ trụ. Từ việc tìm nghiệm riêng của phương trình Bessel
dưới dạng chuỗi đã dẫn đến cơ sở xây dựng hàm Bessel loại I và loại II hạng nguyên. Tôi đã
trình bày một số bài toán có sử dụng hàm Bessel để tìm nghiệm bài toán biên. Chẳng hạn, ứng
dụng hàm Bessel giải các bài toán về dao động của màng.
Lý thuyết hàm Bessel là một lĩnh vực phong phú với nhiều loại hàm Bessel như: hàm
Bessel loại I, hàm Bessel loại II, hàm Bessel trên trường số phức. Hơn nữa, hàm Bessel và
những ứng dụng của nó được đề cập đến rất nhiều ở các sách lý thuyết, và được nhiều tác giả
quan tâm nghiên cứu ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như: Toán học, Vật Lý học, kỹ
thuật... Là sinh viên Vật Lý còn hạn chế về kiến thức trong các lĩnh vực đó nên tôi chỉ đi sâu
tìm hiểu các tính chất và những ứng dụng quan trọng của hàm Bessel loại I để giải các bài toán
Vật Lý điển hình thuộc phần cơ, nhiệt, điện và cơ học lượng tử. Vẫn còn thiếu sót nhiều trong
việc tìm hiểu thêm về các công thức truy toán, các tính chất trực giao, cách xác định hệ số trong
khai triển của một hàm thành chuỗi các hàm Bessel và một số kiến thức khác liên quan đến hàm

Bessel.
Đây có thể là một đề tài còn mới mẻ nhưng rất bổ ích đối với các bạn sinh viên. Để hiểu
sâu sắc về lý thuyết và ứng dụng của hàm Bessel, chúng ta cần có sự đầu tư thời gian thích đáng
và có niềm say mê trong việc nghiên cứu loại hàm đặc biệt này. Tôi mong rằng đề tài này sẽ bổ
sung thêm những công cụ toán học giúp các bạn nghiên cứu các môn học thuộc chuyên ngành
Vật Lý và hi vọng rằng các bạn chính là người phát hiện ra những vấn đề mới mẻ, đặc sắc và
thú vị để đề tài này trở nên toàn diện và hữu ích hơn.

GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương

17


Võ Quang Tiến

Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn

PHỤ LỤC
Phụ lục 1: Bảng các giá trị của các hàm
,,,

x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7

0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5


J 0 (x)
1.0000
0.9975
0.9900
0.9776
0.9604
0.9385
0.9120
0.8812
0.8463
0.8075
0.7652
0.7196
0.6711
0.6201
0.5669
0.5118
0.4554
0.3980
0.3400
0.2818
0.2239
0.1666
0.1104
0.0555
0.0025
-0.0484
-0.0968
-0.1424
-0.1850

-0.2243

J 1 (x )
0.0000
0.0499
0.0995
0.1483
0.1960
0.2423
0.2867
0.3290
0.3688
0.4059
0.4401
0.4709
0.4983
0.5220
0.5419
0.5579
0.5699
0.5778
0.5815
0.5812
0.5767
0.5683
0.5560
0.5399
0.5202
0.4971
0.4708

0.4416
0.4097
0.3754

x

Y0 (x)
−∞
-1.5342
-1.0811
-0.8073
-0.6060
-0.4445

Y1 (x)
−∞
-6.4590
-3.3238
-2.2931
-1.7809
-1.4715

x

3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5

3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9

3.0
3.1
3.2
3.3
3.4

3.5

GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương

J 0 (x)
-0.2601
-0.2921
-0.3202
-0.3443
-0.3643
-0.3801
-0.3918
-0.3992
-0.4026
-0.4018
-0.3971
-0.3887
-0.3766
-0.3610
-0.3423
-0.3205
-0.2961
-0.2693
-0.2404
-0.2097
-0.1776
-0.1443
-0.1103
-0.0758
-0.0412

-0.0068
0.0270
0.0599
0.0917
0.l220

J 1 (x )
0.3991
0.3009
0.2613
0.2207
0.1792
0.1374
0.0955
0.0538
0.0128
-0.0272
-0.0660
-0.1033
-0.1386
-0.1719
-0.2028
-0.2311
-0.2566
-0.2791
-0.2985
-0.3147
-0.3276
-0.3371
-0.3432

-0.3460
-0.3435
-0.3414
-0.3343
-0.3241
-0.3110
-0.2851

x

Y0 (x)
0.3769
0.3431
0.3071
0.2691
0.2296
0.1890

Y1 (x)
0.3247
0.3496
0.3707
0.3879
0.4010
0.4102

x

18


6.0
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
7.0
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
8.0
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9


6.0
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5

J 0 (x)
0.1506
0.1773
0.2017
0.2238
0.2433
0.2601
0.2740
0.2851
0.2931
0.2981
0.3001
0.2991
0.2951
0.2882
0.2786
0.2663
0.2516
0.2346
0.2154
0.1944
0.1717

0.1475
0.1222
0.0960
0.0692
0.0419
0.0146
-0.0125
-0.0392
-0.0653

J 1 (x )
-0.2767
-0.2559
-0.2329
-0.2081
-0.1816
-0.1538
-0.1250
-0.0953
-0.0652
-0.0349
-0.0047
0.0252
0.0543
0.0826
0.1096
0.1352
0.1592
0.1813
0.2014

0.2192
0.2346
0.2476
0.2580
0.2657
0.2708
0.2731
0.2728
0.2697
0.2641
0.2559

Y0 (x)
-0.2882
-0.2694
-0.2483
-0.2251
-0.1999
-0.1732

Y1 (x)
-0.1750
-0.1988
-0.2223
-0.2422
-0.2596
-0.2741


Võ Quang Tiến

0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9

-0.3085
-0.1907
-0.0868
0.0056
0.0883

0.1622
0.2281
0.2865
0.3379
0.3824
0.4204
0.4520
0.4770
0.4968
0.5104
0.5183
0.5208
0.5181
0.5104
0.4981
0.4813
0.4605
0.4359
0.4079

-1.2604
-1.1032
-0.9781
-0.8731
-0.7812
-0.6981
-0.6211
-0.5485
-0.4791
-0.4123

-0.3476
-0.2847
-0.2237
-0.1644
-0.1070
-0.0517
0.0015
0.0523
0.1005
0.1459
0.1884
0.2276
0.2635
0.2959

Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9

5.0
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9

0.1477
0.1061
0.0645
0.0234
-0.0169
-0.0561
-0.0938
-0.1296
-0.1633
-0.1947
-0.2235
-0.2494
-0.2723
-0.2921
-0.3085
-0.3216
-0.3313
-0.3374
-0.3402

-0.3395
-0.3354
-0.3282
-0.3177
-0.3044

0.4154
0.4167
0.4141
0.4073
0.3979
0.3846
0.3680
0.3484
0.3260
0.3010
0.2737
0.2445
0.2136
0.1712
0.1479
0.1137
0.0792
0.0445
0.0101
-0.0238
-0.0568
-0.0887
-0.1192
-0.1481


6.6
6.7
6.8
6.9
7.0
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
8.0
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8.9

-0.1452
-0.1162
-0.0864
-0.0563

-0.0259
0.0042
0.0339
0.0628
0.0907
0.1173
0.1424
0.1658
0.1872
0.2065
0.2235
0.2381
0.2501
0.2595
0.2662
0.2702
0.2715
0.2700
0.2659
0.2592

Phụ lục 2: Các tính chất truy hồi của hàm Bessel

,
,

GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương

19


-0.2857
-0.2945
-0.3002
0.3029
-0.3027
-0.2995
-0.2934
-0.2846
-0.2731
-0.2591
-0.2428
-0.2243
-0.2039
-0.1817
-0.1581
-0.1331
-0.1072
-0.0806
-0.0535
-0.0262
0.0011
0.0280
0.0544
0.0799


Võ Quang Tiến

Các hàm Bessel và bài toán dao động của màng tròn


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đỗ Đình Thanh (1996) : Phương pháp toán lý, NXB Giáo dục Hà Nội.
[2] Nguyễn Chính Cương (2013): Bài tập Phương pháp toán lý, NXB Đại học sư phạm.
[3] Phan Huy Thiện (2006) : Phương trình toán lý, NXB Giáo dục Việt Nam.
[4] G.P Tôlxtôv (1997) : Chuỗi Fourier và ứng dụng, NXB Khoa học và Kỹ thuật Hà
Nội.

GVHD: Th.S Hồ Sỹ Chương

20