iệc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình đại số và tìm công thức tính
nghiệm của nó đã thu hút công sức của nhiều nhà toán học trong nhiều thế kỉ. Chính
từ những nghiên cứu đó đã ra đời ngành Đại số và thúc đẩy sự phát triển của nhiều lĩnh
vực toán học khác.

V

Từ 2000 năm trước Công nguyên, người Ai Cập và người Babilon cổ đạ biết giải các
phương trình bậc nhất và một số số trường hợp riêng của các phương trình bậc hai và bậc
ba.
Lí thuyết giải phương trình bậc hai được trình bày lần đầu tiên trong cuốn sách “Số học”
của Diophantus, nhà bác học cổ Hy Lạp thế kỉ III. Cần chú ý rằng vấn đề có nghiệm của
phương trình đại số luôn gắn với sự mở rộng các tập hợp số.
Tổng quát, trên tập hợp số hữu tỉ
mọi phương trình bậc nhất đều có nghiệm nhờ việc
mở rộng từ tập số hữu tỉ
sang tập số thực
, một lớp các phương trình bậc hai dạng

ax 2

bx

c

b2

0 với biệt số

0 có nghiệm.

4ac

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

b

x

2a

Đã được biết từ thế kỉ thứ VI và điều đó thúc đẩy các nhà toán học đi tìm công thức
nghiệm của các phương trình bậc ba, bậc bốn,… Tuy nhiên, phải mười thế kỉ sau ( thế kỉ
XVI), công thức tính nghiệm của phương trình bậc ba và thuật phương trình bậc bốn mới
được các nhà toán học Italia tìm ra.
Nghiệm của phương trình bậc ba x 3
x

3

q
2

q2
4

p3
27

3


q
2

px
q2
4

q

0 (*)được cho bởi công thức sau:

p3
( công thức Cacdanel)
27

Cadanel đã công bố công thức này năm 1545, trong quyển sách “ Nghệ thuật lớn của
phép giải phương trình đại số”.
Lẽ dĩ nhiên, ta coi biểu thức trên có nghĩa khi đại lượng

q2
4

p3
là không âm.
27


Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số
Đại lượng
cũng được gọi là biệt số của phương trình (*). Tuy nhiên, dễ chỉ ra những

phương trình bậc ba với biệt số
0 , mà vẫn có nghiệm thực. Chẳng hạn, xét phương
trình x 3

7x

6

0.

Phương trình này có ba nghiệm là

62
4

3, 1, 2 nhưng biệt số
( 7)3
27

100
27

0

Điều đó dẫn đến việc thừa nhận biểu thức

x

3


3

Là có nghĩa và các giá trị của nó là
một số âm.

100
27

3

100
27

3

3, 1, 2 , mặc dù biểu thức này chứa căn bậc hai của

Như chúng ta đã thấy, sự thừa nhận có các căn bậc hai của số thực âm, bắt đầu từ việc đặt

i

1 đã dẫn đến sự ra đời của tập hợp số phức

.

Như vậy, việc mở rộng các tập hợp số gắn với vấn đề có nghiệm cảu phương trình đại số
đã dừng lại ở tập hợp các số phức.
Bài thu hoạch này sẽ trình bày lại cách xây dựng Trường số phức, Tính chất của trường
số phức và vấn đề dạy- học số phức ở trường phổ thông. Qua bài thu hoạch này hy vọng
có thể hệ thống lại các kiến thức về Trường số phức, mang lại cái nhìn tổng quan cho

việc học tập số phức của học sinh cũng như các định hướng giảng dạy số phức ở trường
THPT.

Ngƣời thực hiện

2


Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số
CHƢƠNG I.
TRƢỜNG SỐ PHỨC VÀ TÍNH CHẤT CỦA TRƢỜNG SỐ PHỨC

1. XÂY DỰNG TRƢỜNG SỐ PHỨC.
1.1. Trƣờng số phức

(a, b) a, b

Xét tập hợp

, (a, b), (c, d )

trong

ta định nghĩa:
 Phép cộng ( ) : (a, b)

(c, d )

 Phép nhân (.) : (a, b)(c, d )


(a

(ac

b, c

d)

bd, ad

Khi đó không khó để kiểm tra tập
nêu trên lập thành một trường.

bc)

cùng với phép cộng và phép nhân

-

Phần tử không là (0, 0) .

-

Phần tử đối của phần tử (a, b) là ( a, b) .

-

Phần tử nghịch đảo của phần tử (a, b) là

a

a

2

b

2

;

b
a

2

b2

.

Định nghĩa 1.1.1 Trường
cùng với hai phép toán cộng và nhân trên
lập thành một trường gọi là trường số phức. Kí hiệu là .
1.2. Quan hệ giữa
và
Ta xây dựng qui tắc tương ứng

f :
a

(a, 0)


Có thể chứng minh được f là ánh xạ và là một đơn ánh, ngoài ra các phép
toán trên tập số phức phù hợp với các phép toán trên tập số thực:
 (a, 0)

(b, 0)

 (a, 0).(b, 0)

(a

b, 0)

(ab, 0)

Điều này cho phép ta xem
thực a với số phức (a, 0) .

như trường con của trường

hay đồng nhất số

3


Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số
1.3. Dạng đại số của số phức
Bây giờ ta chỉ ra rằng trong tập số phức tốn tại nghiệm của phương trình

x2


1

0.
(0,1) ta có i 2

Thật vậy, đặt i

1 ta có i 2

( 1, 0) với

(0,1).(0,1)

i2

1

1

( 1, 0) , đồng nhất

0.

(0,1) là nghiệm của phương trình x 2

Do đó i

1


0.

Với mọi số phức (a, b) ta có:

(a, b)

(a, 0)

(0, b)

(a, 0)

(b, 0)(0,1)

a

bi

Từ đó ta có thể suy ra:

a

bi

c

di

(a, b)


(c, d )

a

c

b

d

Như vậy ta đã chứng minh được kết quả sau:
(a, b) được viết một cách duy nhất
Định nghĩa 1.3.1 Mỗi số phức
dưới dạng
a
Ta gọi biểu thức

.
bi với a, b
a bi là dạng đại số của số phức

.

2. TÍNH CHẤT CỦA TRƢỜNG SỐ PHỨC
2.1. Tính không sắp thứ tự của trƣờng số phức
Giả sử
z

,z


là trường được sắp thứ tự theo quan hệ
0 ta có z 2

0 , do đó

1

i2

, vớiphần tử

0

Theo tính chất của trường số sắp thứ tự:
1

0

1

1

0

1

0

1


Điều này vô lí vì trong trường sắp thứ tự, phần tử đơn vị là phần tử dương.
Do đó trường không thể là trường sắp thứ tự được.

2.2. Tính duy nhất của trƣờng số phức
Định lí 2.2.1 Tất cả các trường cucự tiểu( theo qua hệ bao hàm)
chứa trường số thực như là trường con và chứa một nghiệm của
phương trình x 2 1 0 đều đẳng cấu với nhau.
Gợi ý chứng minh định lí.
Giả sử cho một trường F chứa trường số thực như là trường con
và chứa 1 nghiệm của phương trình x 2 1 0 .
4


Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số
Gọi nghiệm đó là i , ta có: i 2
1 . Các phép toán ở đây là các
phép toán xác định trong F . Ta hãy tìm trường con cực tiểu của F
chứa và i , kí hiệu trường con đó là (i) .
Mọi trường con của F chứa và i thì cũng chứa các phần tử có
dạng z a bi với a, b
. Nếu chứng minh được rằng tập hợp P
chứa các phần tử có dạng ấy lập thành một trường con của trường F
(i) .
thì ta sẽ có P
Rõ ràng 1
. Vậy để chứng minh P là một
1 0i nên P
trường con của F ta chỉ cần chứng minh:
P thì x


x, y

Giả sử x
x

y

xy

a

(a
(a

y

P, xy

P và nếu x

bi, y

c

di khi đó ta có:

bi )

bi )(c


(c

di )

(a

c)

di )

(ac

bd )

(b

(ad

0 thì x

d )i
bc)i

1

P.

P
P


Nếu x 0 thì có ít nhất 1 trong 2 số a, b khác 0 do đó a 2
và ta có:
x

a

1

Vậy

a2

b2

(i )

P

( b)
i
a 2 b2
a

bi a,b

nhất. Thậy vậy, giả sử a
b

thì i


a
d

0

P

Như vậy mỗi phần tử của

d

b2

c
b

(i) có dạng a

bi
i

bi và biểu diển đó là duy

di thì (a

c)

(d

b)i . nếu


, vô lí. Vậy d

b

a

c.

c

Bây giờ ta sẽ chứng minh trường

(i) đẳng cấu với trường số phức

.
Xét qui tắc tương ứng
:
a

bi

(a

bi)

(a, b)

5



Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số
Ta chứng minh được

là song ánh và là đẳng cấu.

Vì tất cả các trường đẳng cấu với một trường đã cho đều dẳng cấu với nhau
nên ta có đpcm.

6


Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số
CHƢƠNG 2
VẤN ĐỀ DẠY VÀ HỌC NỘI DUNG SỐ PHỨC Ở TRƢỜNG THPT

1. SƠ LƢỢC VẤN ĐỀ DẠY VÀ HỌC SỐ PHỨC
1.1 Phân phối và thời lƣợng
- Nội dung số phức được giảng dạy vào học kì II, cho học sinh lớp 12 ở các
trường THPT.
- Thời lượng là 9 tiết (tiết 62-70), được chia ra lảm 4 bài học:
 Bài 1: Số phức chiếm 2 tiết
 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức chiếm 1 tiết
 Bài 3: Phép chia số phức chiếm 1 tiết.
 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực chiếm 3 tiết.
 Ôn tập chương và kiểm tra 1 tiết chiếm 2 tiết.
2. NỘI DUNG SỐ PHỨC Ở TRƢỜNG THPT
2.1 Số phức
2.1.1 Số i
Với mong muốn mở rộng tập số thực để mọi phương trình bậc n đều có

nghiệm, người ta đưa ra một số mới, kí hiệu là i và coi nó là nghiệm của
phương trình x 2 1 0 . Như vậy: i 2
2.1.2 Định nghĩa số phức

1.

Mỗi biểu thức có dạng a bi , trong đó a, b
, i2
1 được gọi là một số
phức.
Đối với số phức z a bi , ta nói a là phần thực, b là phần ảo của số phức z
Tập hợp các số phức kí hiệu là .
2.1.3 Số phức bằng nhau
Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực bằng phần thực và phần ảo của chúng
tương ứng bằng nhau.

a

bi

c

di

a

c

b


d

 Chú ý:
- Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0: a
Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có
.
- Số phức 0 bi được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản là bi
bi 0 bi
Đặc biệt
i 0 1i
Số i được gọi là đơn vị ảo.
2.1.4 Biểu diễn hình học số phức

a

0i

7


Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số
Mỗi số phức z

a

bi hoàn toàn được xác định bởi căp số thực (a;b) .

Điểm M (a;b) trong hệ trục tọa độ vuông

y


góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu
diển số phức z a bi .

M
b
O

x

a

2.1.5 Môđun của số phức
Giả sử số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M (a;b) trên mặt phẳng
tọa độ.
y

Độ dài của vectơ OM được gọi là
môđun của số phức z và kí hiệu là z .
Vậy z

OM hay a

bi

a2

b2

Dễ thấy a

2.1.6

bi



z



z

a

b
O

Số phức liên hợp
Cho số phức z a bi . Ta gọi a
và kí hiệu là z
Nhận xét :

M

OM

a

x


bi là số phức liên hợp của z

bi .

y
b

z
z

z=a+bi

a

O

x

-b
z=a-bi

2.2 Cộng, trừ và nhân số phức
2.2.1 Phép cộng và phép trừ
Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ da
thức (coi i là biến).
Tổng quát
 (a bi ) (c di ) (a c) (b d )i
 (a

bi ) (c


di )

(a

c)

(b

d )i

2.2.2 Phép nhân
Phép nhân số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i 2
trong kết quả nhận được.

1

8


Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số
Tổng quát : (a

bi)(c

di)

(ac

bd)


(ad

bc)i

Tính chất : Phép cộng và phép nhân số phức có tất cả các tính chất của phép
cộng và phép nhân số thực.
Cho z 1, z 2 , z 3 là các số phức. Khi đó ta có :


z1

z2

 (z 1


z2

z2 )

z 1.z 2

z3

z1

(z 2

z3)


z 2 .z 1

 (z 1.z 2 ).z 3


z1

z 1.(z 2

z 1.(z 2 .z 3 )

z3)

z 1.z 2

z 1z 3

z 2 .z 1

z 3z 1

(z 2

z 3 ).z 1

2.3 Phép chia số phức
2.3.1 Tổng và tích của hai số phức liên hợp
Cho số phức z a bi . Ta có :


z

z

(a

z .z

(a

bi )

(a

bi )

2a

bi )(a

bi )

a2

(bi )2

a2

b2


z

2

Vậy tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực.
2.3.2 Phép chia hai số phức
Chia số phức c di cho số phức a bi khác 0 là tìm số phức z sao cho
c di (a bi )z . Số phức z được gọi là thương trong phép chia c di

bi và kí hiệu là:

cho a

z
c
a

Tổng quát, giả sử z

(a

bi )z

c

c
a

di
.

bi

di
. Theo định nghĩa phép chia số phức, ta có
bi

di .

Nhân hai vế với số phức liên hợp của a

(a 2

b 2 )z

(ac

bd )

(ad

Nhân hai vế với số thực

z
Vậy

1
a

2


c
a

b2
di
bi

(ac
ac
a2

Nói cách khác :

z1
z2

bc)i

1
a2

bi , ta được :

b2

, ta được :

bd )

(ad


bc)i

bd
b2

ad
a2

bc
i
b2

z 1.z 2
z2
9


Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số
2.4 Phƣơng trình bậc hai với hệ số thực
2.4.1 Cân bậc hai của số thực âm
Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ đẳng thức i 2
1 , ta nói i
là một căn bậc hai của 1 ; i cũng là một căn bậc hai của 1 vì

( i )2

1 . Từ đó, ta xác định căn bậc hai của một số thực a âm là : i a

2.4.2 Phƣơng trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai ax 2

b2

Xét biệt số
 Khi

bx

c

0 với a, b, c

,a

0.

4ac của phương trình. Ta thấy :

0 , phương trình có một nghiệm thực x

 Khi
0 , có hai căn bậc hai thực của
hai nghiệm thực phân biệt :

b

x 1,2

2a


là

b
.
2a
và phương trình có

.

 Khi
0 phương trình không có nghiệm thực vì không tồn tại căn
bậc hai thực của . Tuy nhiên, ta vẫn có hai căn bậc hai thuần ảo của
là

i

. Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức được xác định

bởi công thức :

b

x 1,2
-

i
2a

Nhận xét :

Trên tập số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất
thiết phân biệt).
Tổng quát, người ta đã chứng minh được rằng mọi phương trình bậc
n (n 1) :
an x

n

an 1x n

1

...

Trong đó a 0, a1,..., an

a1x

, an

a0

0

0 đều có n nghiệm phức(các nghiệm

không nhất thiết phân biệt).
Đó là định lí cơ bản của Đại số.
3. MỘT SỐ NỘI DUNG SỐ PHỨC TRONG CHƢƠNG TRÌNH NÂNG
CAO

3.1 Căn bậc hai của số phức
Cho số phức w . Mỗi số phức z thỏa mãn z 2
của w .

w được gọi là một căn bậc hai

10


Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số
Có thể tìm căn bậc hai của số phức như sau:
a. Trường hợp w là số thực
Nếu w

0 thì căn bậc hai của w là

w.

Nếu w 0 thì căn bậc hai của w là i w .
), b 0 .
b. Trường hợp w a bi,(a, b

z

x

(x

yi )2


) là căn bậc hai của w khi và chì khi z 2

yi(x , y
a

bi

x2

y2

2xyi

a

w , tức là

bi

Do đó để tìm số phức z ta tìm các cặp số thực (x i , yi ) là nghiệm của hệ
phương trình:
x2

y2

a

2xy

b


.

Vậy căn bậc hai của số phức w

a

bi là z i

xi

yii .

Nhận xét: mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai là hai số đối của nhau.
3.2 Phƣơng trình bậc hai hệ số phức
Nhờ tính được căn bậc hai của số phức, dễ thấy mọi phương trình bậc hai

Az 2 Bz C 0
Trong đó A, B,C là các số phức, ( A 0 )đều có hai nghiệm phức(có thể
trùng nhau). Việc giải phương trình đó được tiến hành tương tự như trong
trường hợp A, B,C là những số thực. Cụ thể là:

A2 4AC .
0 thì phương trình có hai ngiệm phân biệt:

Xét biệt thức
 Nếu

B
B

; z2
trong đó là một căn bậc hai của
2A
2A
0 thì phương trình có nghiệm kép:

z1
 Nếu

.

B
.
2A
3.3 Dạng lƣợng giác của số phức
Sau đầu thế kỉ XVIII, A. De Moivre, 1667 – 1754, người Anh) tìm ra đuọng
mối liên hệ giữa căn của số phức với lượng giác.
y
3.3.1 Acgumen cùa số phức z 0
E
Cho số phức z 0 . Điểm M biểu diễn cho số phức z .
Số đo (radian) của góc lượng giác tia đầu Ox ,
tia cuối OM được gọi là một acgumen của z .

Nếu z a bi thì
O
z1

sin


z2

b
, cos
r

a
; tan
r

x

b
.
a
11


Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số
Trong đó r

z .

3.3.2 Dạng lƣợng giác của số phức
Xét số phức z a bi 0,(a, b

z

r (cos


).

i sin ) được gọi là dạng lượng giác của số phức z .

 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác
Nếu z
z .z

z
z

r(cos

i sin ), z

r .r cos(

r
cos(
r

)

r (cos

i sin )

i sin(

i sin(


)

3.3.3 Công thức Moivre
Cho số phức z r (cos

zn

r (cos

i sin

)

) .

i sin ) . Ta có:
n

r n (cos n

i sin n )

Mở rộng ta tìm được căn bậc n của số phức z
Gọi w là căn bậc n của số phức z
w

n

r cos(


k2
)
n

) thì

i sin(

r (cos

r (cos

i sin ) .

i sin )

k2
) với k
n

0,1, 2,...(n

1).

4. Dạy và Học nôi dung số phức ở trƣờng THPT
Việc day học số phưc nên theo một trình tự nhất định :
 Cấu trúc của hệ thống số phức
 Các phép toán cộng và nhân trên . Số phức liên hợp và số phức
nghịch đảo.

 Số phức bằng nhau.
 Căn bậc hai của số phức.
 Giải phương trình bậc hai với hệ số thực
 Giải phương trình bậc hai với hệ số phức
 Bài tập.
Cụ thể như sau chúng ta có thể dạy các nội dung như sau :
1. Khái niệm số phức
Tiến trình đưa vào đối tượng số phức :
Dạng đại số của số
phức và ứng dụng

Biểu diễn hình học của số
phức và ứng dụng
12


Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số
2. Các phép toán trên số phức
 Phép cộng, trừ và nhân
Ngay sau khi đưa vào định nghĩa số phức, phép toán cộng và nhân ban
đầu được giới thiệu một cách “hình thức” theo phép cộng và nhân các
đa thức:
Phép toán ( ) và giữa các phần tử của
được xác định một
cách hình thức theo quy tắc cộng, nhân các biểu thức tuyến tính a

bi

2


( i là biến) với i được thay thế bằng 1 .
 Phép chia
Phép chia không được đề cập đến một cách trực tiếp mà chỉ được đề
cập gián tiếp thông qua ví dụ.
 Phép lũy thừa
Phép luỹ thừa được đưa vào chủ yếu khi đã giới thiệu biểu diễn hình
học của số phức. Nên đề cập nhiều đến luỹ thừa của các số phức khi đã
được viết dưới dạng môđun/argument, luỹ thừa của số phức ở dạng đại
số hầu như không được quan tâm tới, trừ một số bài tính toán tới luỹ
thừa 2, 3 đơn giản.
 Phép khai căn
Căn bậc hai của số phức được đưa vào qua cái ví dụ tìm số phức z sao
cho z 2 w .
3. Phương trình bậc hai
SGK đưa vào cả phương trình bậc hai với hệ số thực và phương trình
bậc hai với hệ số phức. Vấn đề ở đây không phải là xây dựng công thức
nghiệm bởi công thức nghiệm không thay đổi với phương trình bậc hai
có nghiệm thực thông thường. Vấn đề ở đây là giải quyết trường hợp
biệt thức
0.
4. Biểu diễn số phức :
Biểu diễn số phức bằng một điểm
Biểu diễn hình học của số phức được đưa vào ngay sau khi nhận xét
rằng có một tương ứng mộtmột giữa số phức z a bi với một cặp số
thực có thứ tự (a, b) .
“Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của
chúng bằng nhau. Như vậy có tương ứng một một giữa số phức
z a bi với một cặp số thực có thứ tự (a, b) . Điều này dẫn tới việc
người ta dùng điểm A với tọa độ Đề-các (a, b) để biểu diễn số phức


z

a

bi ”

13


Bài Thu Hoạch Lý Thuyết Số
 KẾT LUẬN :
Số phức được đưa vào SGK 12CB theo trình tự như sau :

Như vậy, trình tự xuất hiện của số phức trong lịch sử đã được noospheer chuyển đối.
Tronglịch sử, số phức xuất hiện trước hết với cơ chế công cụ và chỉ là các kí hiệu hình
thức chứ chưa có nghĩa đại số hay hình học cụ thể, còn trong thể chế dạy học SGK 12CB,
số phức đi theo trình tựngược lại. Dạng đại số của số phức, trong lịch sử xuất hiện cuối
cùng thì trong thể chế được giớithiệu đầu tiên, số phức lúc bấy giờ đóng vai trò đối tượng
nghiên cứu. Khi các khái niệm liên quancùng các phép toán đã được giới thiệu thì mới
kết thúc vai trò đối tượng của số phức để chuyển sang cơ chế công cụ: ứng dụng số phức
để giải phương trình bậc hai với hệ số thực. Cách thức chuyển đổi này cũng thường gặp
trong quá trình chuyển đổi từ tri thức khoa học sang tri thức giảng dạy, nhằm mục đích sư
phạm.

Hết

14