Đề thi HSG lớp 12 có đáp án đề 41
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (99.98 KB, 5 trang )
Kì thi học sinh giỏ lớp 12
Môn Toán-Bảng A
(Thời gian 180 phút,không kể giao đề )
Bài 1 . Cho hàm số : f(x) = x(x-1)(x-2) (x-2006). Tính f
'
(0).
Bài 2. Tính I =
+
1
0
4
2
1
)1(
x
dxx
Bài 3 . Tìm m để phơng trình :
032.4
2
=+
mm
xx
có nghiệm duy nhất.
Bài 4. Giải phơng trình :
1221
3
=+
xx
.
Bài 5. Tìm tổng các nghiệm thuộc [2;40] của phơng trình:
x
x
xx
2
3
22
sin
1sin
cotcos2
+
=+
g
Bài 6. Cho
ABC, Chứng minh rằng (p-a)(p-b)(p-c)
8
abc
với
2
cba
p
++
=
.
Bài 7. Tính L=
n
lim
[(1+x)(1+x
2
)(1+x
4
) (1+x
2
n
)], với
x
<1.
Bài 8. Giải bất phơng trình:
0
12
122
1
+
x
x
x
Bài 9. Trong không gian cho hai điểm A,B cố định có AB=10.
Tìm quỹ tích điểm M sao cho AM=3BM.
Bài10. Chứng minh rằng: Nếu n,k
N thì:
n
kn
c
+
2
.
n
kn
c
2
(
n
n
c
2
)
2
.
----hết-----
đáp án thang điểm đề thi học sinh giỏi lớp 12
Môn Toán-Bảng A
Đáp án thang điểm này gồm có : 4 trang.
Bài Nội dung điểm
Bµi 1 2.0
Cho x
0
=0 mét sè gia
∆
x=x-x
0
=x.
Ta cã
∆
y=f(x
0
+
∆
x)-f(x
0
)
= f(
∆
x)-f(0)=
)2006)...(2)(1(
−∆−∆−∆∆
xxxx
0.5
Suy ra
)2006)...(2)(1(
−∆−∆−∆=
∆
∆
xxx
x
y
⇒
f
)0(
'
=
x
y
x
∆
∆
→∆
0
lim
=
0
lim
→∆
x
)2006)...(2)(1(
−∆−∆−∆
xxx
=(-1)(-2) (-2006)=2006 !…
1.0
vËy f
)0(
'
=2006! 0.5
Bµi 2 2.0
Ph©n tÝch x
4
+1 =(x
2
+
2
x+1)( x
2
-
2
x+1) 0.5
Ph©n tÝch
1212
1
1
22
4
2
+−
+
+
++
+
=
+
−
xx
DCx
xx
BAx
x
x
§ång nhÊt hai vÕ ta ®îc
−
=
=
−
=
−
=
2
1
2
1
2
1
2
1
D
C
B
A
1.0
VËy I=
∫ ∫
++
+−
=
+
1
0
1
0
2
4
12
)22(
22
1
1
xx
dxx
x
dx
+
∫
+−
−
1
0
2
12
)22(
22
1
xx
dxx
=
0
1
)12ln(
22
1
0
1
)12ln(
22
1
22
+−+++
−
xxxx
=
)
22
22
ln(
22
1
+
−
0.5
Bµi 3 2.0
Gi¶ sö x
0
lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh th× -x
0
còng lµ nghiÖm . Do tÝnh duy
nhÊt nghiÖm nªn x
0
=-x
0
⇒
x
0
=0 0.5
Thay x
0
=0 vµo ph¬ng tr×nh ta ®îc m= -1, m=2 0.5
Víi m=-1, ta cã pt:
10120)22)(12(0224
=⇔=−⇔=+−⇔=−+
x
xxxxx
0.5
Với m=2, ta có pt:
10120)12(012.24
2
====+
x
xxxx
Vậy m=-1,m=2 là giá trị cần tìm.
0.5
Bài 4 2.0
Đặt t=
1212
3
3
=
xtx
0.5
Pt
=
=+
=+++
=+
=
=+
tx
tx
txtx
tx
xttx
tx 21
0]2
4
3
)
2
1
)[((
21
)(2
21
3
22
3
33
3
1.0
x
3
-2x+1=0
x=1, x=
2
51
+
, x=
2
51
.
Vậy phơng trình có 3 nghiệm là: x=1, x=
2
51
+
, x=
2
51
.
0.5
Bài 5 2.0
ĐK:sinx
0,PT
2cos
2
x+cotg
2
x=sin x +1+ cotg
2
x
2sin
2
x+sinx-1=0
+=
+=
+
=
=
=
kx
kx
k
x
x
x
2
6
5
2
6
2
43
2
1
sin
1sin
3
2
1
0.5
a.Cho 2
5,4,3,2,1,040
2
43
=
+
k
k
Vậy tổng các nghiệm của họ x
1
là :
39)34(
2
5
0
=+
=
k
k
0.5
b.Tơng tự tổng các nghiệm của họ x
2
là :
43)2
6
(
6
1
=+
=
k
k
0.5
c.tổng các nghiệm của họ x
3
là :
35)2
6
5
(
5
0
=+
=
k
k
Vậy tổng các nghiệm là 39
+43
+35
=117
0.5
Bài 6 2.0
Theo BĐT CôSi ta có: (p-a)(p-b)
44
)2(
22
cbap
=
0.5
Tơng tự: (p-b)(p-c)
44
)2(
22
acbp
=
(p-a)(p-c)
44
)2(
22
bcap
=
Nhân vế với vế của 3 BĐT trên ta đợc :
[(p-a)(p-b)(p-c)]
2
4
1
.)
4
(
2
abc
1.0
8
))()((
abc
cpbpap
(Đpcm)
0.5
Bài 7 2.0
Nhân và chia biểu thức lấy giới hạn với (1-x) ta đợc : 0.5
L=
)1(
1
)].1)...(1)(1)(1)(1[(lim
242
x
xxxxx
n
n
++++
=
)1(
1
)].1)...(1)(1)(1[(lim
2422
x
xxxx
n
n
+++
= =
=
x
x
n
n
1
])(1[
lim
22
1.0
Vì
1
<
x
nên
22
)(lim
n
x
n
=0. Vậy L=
x
1
1
0.5
Bài 8 2.0
Vì f(x)=2
1-x
-2x+1=-2x+1+
x
2
2
là hàm nghịch biến và f(1)=0 nên
f(x)>f(1)=0
x<1
1-x>0. Vậy f(x) cùng dấu với (1-x).
1.0
Vì g(x)=2
x
-1 là hàm đồng biến và g(0) =0 nên g(x)>0
x>0.
Vậy g(x) cùng dấu với x. 0.5
Suy ra BPT
100
1
0
)(
)(
<
x
x
x
xg
xf
.
Vậy tập nghiệm của BPT là: (0;1]
0.5
Bài 9 2.0
Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho A=(-5;0;0), B=(5;0;0). 0.5
Gọi M(x;y;z) là điểm thoã mãn AM=3BM
AM
2
=9BM
2
(x+5)
2
+y
2
+z
2
=9(x-5)
2
+9 y
2
+9z
2
x
2
+y
2
+z
2
-
2
25
x +25 =0 (*) Đây là phơng trình mặt cầu.
1.0
Vậy quỹ tích điểm M cần tìm là mặt cầu có phơng trình (*). 0.5
Bài 10 2.0
Cố định n, với 0
nk
, xét dãy số {u
k
}
Ta có
)!(!
)!2(
.
)!(!
)!2(
.
22
knn
kn
knn
kn
u
cc
n
kn
n
n
k
+
+
==
)!1(!
)!12(
.
)!1(!
)!12(
.
1212
1
++
++
=
++
+
knn
kn
knn
kn
u
cc
n
kn
n
kn
k
0.5
1
)2)(1(
))(12(
1
++
++
=
+
knkn
knkn
u
u
k
k
(2n+k+1)(n-k)
(n+k+1)(2n-k)
2nk+n
0 đúng vì 0
nk
.
Vậy {u
k
} là dãy số giảm.
1.0
Suy ra với k
0 ta có u
k
=
n
kn
n
kn
cc
+
22
.
2
2
)(
n
n
c
=u
0
(đpcm)
0.5
--------Hết-------
