TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN-TIN
———————o0o———————

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI:

PHƯƠNG TRÌNH LIÉNARD SUY RỘNG
Chuyên ngành: Giải tích

Sinh viên thực hiện:

TRẦN THỊ TUYẾT MAI

HÀ NỘI - 2016


Mục lục
LỜI MỞ ĐẦU

2

1 KIẾN THỨC CẦN CHUẨN BỊ
1.1 Định lí về sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . .
1.2 Tiêu chuẩn ổn định nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . . .
1.2.1 Khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov . . . . . . . . . . .
1.2.2 Tính ổn định của hệ phi tuyến: Phương pháp hàm Lyapunov
1.2.3 Nguyên lí bất biến LaSalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Định lí về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm tuần hoàn . . . . . .
1.3.1 Tiêu chuẩn Bendixson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2 Tiêu chuẩn Poincaré-Bendixson . . . . . . . . . . . . . . . .
2 PHƯƠNG TRÌNH LIÉNARD SUY RỘNG
2.1 Thiết lập phương trình Liénard . . . . . . .
2.2 Sự tồn tại nghiệm địa phương . . . . . . . .
2.3 Tính ổn định của nghiệm dừng . . . . . . .
2.4 Sự tồn tại và không tồn tại của nghiệm tuần

. . .
. . .
. . .
hoàn

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

4
4
5
5
6

7
9
9
10

.
.
.
.

11
11
13
14
16

KẾT LUẬN

20

TÀI LIỆU THAM KHẢO

21

1


LỜI MỞ ĐẦU
Phương trình vi phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễn
mối quan hệ giữa một hàm chứa biến với các đạo hàm của nó (có bậc khác

nhau), nó được coi như cầu nối giữa lí thuyết và ứng dụng. Vì vậy, nó là
một chuyên ngành quan trọng của Toán học và là môn học được giảng dạy
rộng rãi ở các trường đại học trong và ngoài nước.
Vai trò quan trọng cũng như động lực phát triển của phương trình
vi phân là chú trọng đến ứng dụng của nó trong thực tiễn. Vì thế, xuất
phát từ các bài toán của vật lí, cơ học, kĩ thuật hoặc sinh thái học quần
thể,. . . dẫn đến việc nghiên cứu các phương trình vi phân, đặc biệt là các
phương trình ôtônôm phi tuyến. Trong số các phương trình này, Phương
trình Liénard có một vị trí quan trọng, xuất phát từ bài toán thực tiễn
trong mạch điện. Mục tiêu của khóa luận này là trình bày quá trình thiết
lập phương trình và một số kết quả về sự tồn tại nghiệm, nghiệm tuần
hoàn và tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình đó.
Nội dung khóa luận gồm hai chương:

• Chương 1 trình bày các định lí cơ bản về sự tồn tại nghiệm, tính duy
nhất nghiệm; đưa ra lí thuyết định tính nghiệm của các phương trình
vi phân bao gồm lí thuyết ổn định Lyapunov, lí thuyết tập giới hạn,
tập bất biến và miền hút. Ngoài ra chương này còn trình bày các tiêu
chuẩn ổn định của nghiệm dừng bao gồm định lí ổn định và không ổn
định Lyapunov, nguyên lí bất biến LaSalle. Ở cuối chương là định lí
Bendixson và định lí Poincaré-Bendixson.
• Chương 2 trình bày quá trình thiết lập phương trình Liénard gốc từ
bài toán thực tiễn và đưa ra phương trình Liénard mở rộng; xét sự
tồn tạị của nghiệm và tính ổn định nghiệm dừng của phương trình
mở rộng. Và ở cuối chương chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn
của phương trình Liénard suy rộng với điều kiện phù hợp.

2



Trong quá trình làm khóa luận này, tôi đã tham khảo giáo trình [1] và
bài báo [2].
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến trường Đại học Sư
phạm Hà Nội, khoa Toán-Tin, quý thầy cô trong Bộ môn Giải tích đã tận
tình giảng dạy, hướng dẫn, tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình
học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận. Đặc biệt, em xin bày tỏ
lòng biết ơn chân thành nhất tới PGS.TS. Cung Thế Anh đã dành thời
gian quý báu nhiệt tình hướng dẫn, giúp đỡ và động viên em trong quá
trình làm khóa luận.
Mặc dù bản thân có nhiều cố gắng nhưng do năng lực và kinh nghiệm
nghiên cứu khoa học còn hạn chế nên không thể tránh khỏi sai sót trong
khóa luận này. Kính mong sự chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo và các bạn
quan tâm. Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2016
Trần Thị Tuyết Mai

3


Chương 1
KIẾN THỨC CẦN CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi xin trình bày một số định lí cơ bản về sự
tồn tại nghiệm, tiêu chuẩn ổn định của nghiệm dừng và điều kiện tồn tại
nghiệm tuần hoàn trong [1] . Các kiến thức chuẩn bị này phục vụ cho việc
nghiên cứu nghiệm của phương trình Liénard mở rộng được trình bày ở
chương sau.

1.1

Định lí về sự tồn tại nghiệm của phương trình

vi phân

Xét bài toán giá trị ban đầu

x˙ = f (t, x)
x(t0 ) = x0 ,

(1.1)

trong đó f : D −→ Rn là hàm liên tục trên tập D ⊂ R × Rn chứa (t0 , x0 ).
Một hàm x : I −→ Rn xác định trên một khoảng I chứa t0 gọi là một
nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.1) nếu x(t0 ) = x0 , (t, x(t)) ∈ D, x(t)
là hàm khả vi và x(t)
˙
= f (t, x(t)), với mọi t ∈ I .
Dễ thấy x(t) là một nghiệm của bài toán (1.1) khi và chỉ khi nó là
nghiệm liên tục của phương trình tích phân
t

x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds.

(1.2)

t0

Trong mục này, ta sẽ nhắc lại một số kết quả cơ bản về sự tồn tại
nghiệm của bài toán (1.1).


4


Định lí 1.1.1 (Định lí Picard-Lindelof). Giả sử f : [t0 − a, t0 + a] ×
B(x0 , b) −→ Rn là hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz đối
với x đều theo t, tức là f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y , ∀(t, x), (t, y) ∈
[t0 − a, t0 + a] × B(x0 , b), và giả sử

f (t, x) ≤ M, ∀(t, x) ∈ [t0 − a, t0 + a] × B(x0 , b).
Trong đó B(x0 , b) là hình cầu đóng tâm x0 bán kính b trong Rn . Khi đó bài
toán giá trị ban đầu (1.1) có duy nhất nghiệm (x(t)) xác định trên đoạn
b
[t0 − α, t0 + α], với α = min a,
.
M
Chú ý.
a) Nếu bỏ giả thiết f liên tục Lipschitz đối với biến x, nghiệm của bài
toán (1.1) có thể không duy nhất.
Ví dụ :Xét bài toán
2

x˙ = 3x 3 ,

x(0) = 0.

Gần điểm t0 = 0 bài toán có hai nghiệm x(t) = 0 và x(t) = t3 . Nguyên
nhân là gần về 0, vế phải không thỏa mãn điều kiện Lipschitz.
b) Giả thiết f liên tục Lipschitz đối vói biến x sẽ được thỏa mãn nếu
∂f
f (t, ·) có các đạo hàm riêng

(t, ·), i = 1, ..., n, liên tục và bị chặn
∂xi
đều đối với t.
Ta thường sử dụng hệ quả quan trọng sau.

∂f ∂f
∂f
,
, ...,
là những hàm liên tục trên
∂x1 ∂x2
∂xn
tập mở D ⊂ R × Rn và (t0 , x0 ) ∈ D. Khi đó, bài toán (1.1) có nghiệm duy
nhất xác định trong một lân cận của t0 .
Hệ quả 1.1.2. Giả sử f và

1.2
1.2.1

Tiêu chuẩn ổn định nghiệm của phương trình
vi phân
Khái niệm ổn định theo nghĩa Lyapunov

Xét hệ phương trình vi phân
5


x˙ = f (t, x),

t ≥ 0,


(2.1)

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái của hệ, f : R+ × Rn → Rn là hàm
vectơ cho trước. Giả thiết f (t, x) là hàm thỏa mãn các điều kiện sao cho
nghiệm của hệ (2.1) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, luôn tồn tại.
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử x(t) là một nghiệm của hệ (2.1) xác định trên
khoảng [t0 , +∞).
a) Nghiệm x(t) gọi là ổn định trên khoảng [t0 , +∞) nếu với mỗi số ε > 0,
tồn tại δ > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) với y(t0 ) − x(t0 ) < δ sẽ tồn
tại trên cả khoảng [t0 , +∞) và thỏa mãn

y(t) − x(t) < ε, ∀t ≥ t0 .
b) Nghiệm x(t) gọi là ổn định tiệm cận trên khoảng [t0 , +∞) nếu nó ổn
định và tồn tại β > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) với y(t0 ) − x(t0 ) < β
sẽ thỏa mãn

lim

t→+∞

1.2.2

y(t) − x(t) = 0.

Tính ổn định của hệ phi tuyến: Phương pháp hàm Lyapunov

Trong mục này ta sẽ trình bày phương pháp đề xuất bởi Lyapunov,
để xét tính ổn định của điểm cân bằng (không giảm tính tổng quát, ta có
thể coi điểm cân bằng là gốc tọa độ 0).

Xét hệ vi phân ôtônôm

x˙ = f (x),

(2.2)

ở đó f là hàm liên tục trên tập mở D ⊂ Rn chứa 0 và f (0) = 0.
Nghiệm 0 của hệ (2.2) được gọi là trạng thái dừng hoặc trạng thái
cân bằng của hệ. Ta sẽ xét tính ổn định của nghiệm này.
Định nghĩa 1.2.2. Nghiệm 0 của hệ (2.2) gọi là ổn định mũ nếu tồn tại
các hằng số dương γ, β, c sao cho với mọi nghiệm x(t) của (2.2):
6


x(0) < β kéo theo x(t) < ce−γt với t > 0,
nói riêng, nó yêu cầu các nghiệm này tồn tại trên cả khoảng [t0 , +∞).
Cho hàm giá trị thực V ∈ C 1 (D), ta định nghĩa

V˙ := (gradV (x), f (x)) = f1 (x)Vx1 (x) + ... + fn Vxn (x).
Dễ thấy V˙ là đạo hàm của V theo hướng (không chuẩn hóa) f :

1
V˙ (x) = lim [V (x + tf (x)) − V (x)].
t→0 t
d
Có thể kiểm tra được rằng nếu x(t) là một nghiệm của (2.2) thì V (x(t)) =
dt
V˙ (x(t)), và V˙ thường được gọi là đạo hàm của V dọc theo quỹ đạo.
Công thức này có thể dùng để nhận thông tin về dáng điệu của V dọc
theo quỹ đạo mà không cần biết trước nghiệm.

Một hàm Lyapunov đối với hệ (2.2) là hàm V ∈ C 1 (D) thỏa mãn

V (0) = 0, V (x) > 0 với x = 0, và V˙ (x) ≤ 0 trong D.
Định lí 1.2.3 (Định lí ổn định Lyapunov). Giả sử f ∈ C(D) với f (0) = 0
và tồn tại một hàm Lyapunov V đối với hệ (2.2). Khi đó
a) Nếu V˙ ≤ 0 trong D thì nghiệm 0 của hệ (2.2) ổn định;
b) Nếu V˙ < 0 trong D \ {0} thì nghiệm 0 của hệ (2.2) ổn định tiệm cận;
β

c) Nếu V˙ ≤ −αV và V (x) ≥ b x
0 của hệ (2.2) ổn định mũ.

trong D với α, β, b > 0 thì nghiệm

Định lí 1.2.4 (Định lí về tính không ổn định). Giả sử V ∈ C 1 (D), V (0) =
0 và V (xk ) > 0 với một dãy {xk } trong D \ {0} mà xk −→ 0. Nếu V˙ > 0
với x = 0 hoặc V˙ ≥ λV trong D với λ > 0, thì nghiệm 0 của (2.2) là
không ổn định. Nói riêng, nghiệm 0 là khộng ổn định nếu V (x) > 0 và
V˙ (x) > 0 với x = 0.

1.2.3

Nguyên lí bất biến LaSalle

Tập giới hạn và tập bất biến

Xét phương trình vi phân ôtônôm

x˙ = f (x),


(2.3)
7


ở đó f là hàm liên tục Lipschitz địa phương trên tập mở D ⊂ Rn . Nghiệm
x(t) với điều kiện ban đầu x(0) = x0 được kí hiệu là x(t, t0 ). Nghiệm này
tồn tại trên khoảng cực đại J = (t− , t+ ) với −∞ ≤ t− < 0 < t+ ≤ +∞
và sinh ra một quỹ đạo γ = x(J).
Các tập hợp γ + = x([0, t+ )) và γ − = x((t− , 0]) được gọi tương ứng là nửa
quỹ đạo dương và nửa quỹ đạo âm.
Một điểm a ∈ Rn gọi là một điểm ω -giới hạn nếu t+ = +∞ và tồn tại một
dãy tk → +∞ sao cho lim x(tk ) = a. Tập hợp L+ gồm tất cả các điểm
k→∞

ω -giới han gọi là tập ω -giới han.
Tương tự, một điểm a ∈ Rn gọi là một điểm α-giới hạn nếu t− = −∞ và
tồn tại một dãy tk → −∞ sao cho lim x(tk ) = a. Tập hợp L− gồm tất cả
k→∞

các điểm α-giới han gọi là tập α-giới han.
Ta cũng thường dùng kí hiệu ω(A) và α(A) để chỉ tập ω -giới hạn và α-giới
hạn của A.
Một tập M ⊂ D gọi là bất biến (tương ứng bất biến dương, bất biến âm)
đối với phương trình vi phân (2.3) nếu γ(M ) ⊂ M (tương ứng γ + (M ) ⊂
M, γ − (M ) ⊂ M ).
Miền hút

Xét lại hệ (2.3) với f là hàm liên tục Lipschitz địa phương trên tập
mở D ⊂ Rn chứa 0. Nếu f (0) = 0 và điểm cân bằng x = 0 là ổn định tiệm
cận thì tập hợp các η ∈ D sao cho nghiệm tương ứng x(t, η) −→ 0 khi

t −→ +∞ là một lân cận của gốc tọa độ. Tập này gọi là miền hút của 0.
Nguyên lí bất biến LaSalle

Định lí 1.2.5 (Nguyên lí bất biến LaSalle ). Giả sử Ω ⊂ D là một tập
compact, bất biến dương đối với phương trình x˙ = f (x). Giả sử V : D −→
R là hàm khả vi liên tục sao cho V˙ (x) ≤ 0 trong Ω. Giả sử E là tập các
điểm của Ω mà V˙ (x) = 0 và M là tập bất biến lớn nhất trong E . Khi đó
Ω chứa trong miền hút của M , tức là với mọi x0 ∈ Ω,

lim dist(x(t, x0 ), M ) = 0.

t→+∞

Khác với Định lí Lyapunov, Định lí 1.2.5 không yêu cầu tính xác định
dương của hàm V (x). Việc xây dựng tập Ω không nhất thiết phải gắn liền
8


với việc xây dựng hàm V (x). Nếu Ωc = {x ∈ Rn : V (x) ≤ c} bị chặn và
V˙ (x) ≤ 0 trong Ωc , ta có thể lấy Ω = Ωc .
Định lí 1.2.6 (Định lí ổn định LaSalle). Giả sử f là hàm liên tục Lipschitz
địa phương trên D với f (0) = 0 và V ∈ C 1 (D) là một hàm Lyapunov đối
với f . Nếu M = {0} là tập con bất biến lớn nhất của tập N = {x ∈ D :
V˙ (x) = 0}, thì điểm cân bằng này là ổn định tiệm cận.
Định lí 1.2.7 (Định lí không ổn định Cetaev-Krasovsky). Giả sử f thỏa
mãn các giả thiết của định lí ổn định LaSalle và giả sử G là tập con mở
của D với 0 ∈ ∂G. Giả sử hàm V ∈ C 1 (G) ∩ C(G) thỏa mãn các điều
kiện sau :
a) V > 0 trong G , V = 0 trên ∂G ∩ D;
b) V˙ ≥ 0 trong G.

Nếu tập rỗng là tập con bất biến duy nhất của tập hợp

N = {x ∈ G : V˙ (x) = 0}
thì điểm cân bằng 0 là không ổn định.

1.3
1.3.1

Định lí về sự tồn tại và không tồn tại nghiệm
tuần hoàn
Tiêu chuẩn Bendixson

Xét hệ phương trình vi phân trong miền D ⊂ R2 :

x˙ = f (x, y)
y˙ = g(x, y)

(2.4)

Ta có dấu hiệu sau để nhận biết sự không tồn tại nghiệm tuần hoàn của
hệ.
Định lí 1.3.1 (Tiêu chuẩn Bendixson). Giả sử D ⊂ R2 là miền đơn liên,
f và g là các hàm khả vi liên tục trong D. Hệ (2.4) chỉ có thể có nghiệm
tuần hoàn khi ∇ · (f, g) đổi dấu trong D hoặc ∇ · (f, g) = 0 trong D.

9


1.3.2


Tiêu chuẩn Poincaré-Bendixson

Xét phương trình

x˙ = f (x),

(2.5)

với x ∈ R2 và f : R2 −→ R2 có các đạo hàm riêng cấp một liên tục và ta
giả sử rằng các nghiệm đang xét tồn tại với −∞ < t < +∞.
Định lí 1.3.2 (Poincaré-Bendixson). Xét phương trình x˙ = f (x) trong R2
và giả sử γ + là một quỹ đạo dương bị chặn và ω(γ + ) chỉ chứa các điểm
thường. Khi đó ω(γ + ) là một quỹ đạo tuần hoàn. Nếu ω(γ + ) = γ + thì quỹ
đạo tuần hoàn này gọi là một chu trình giới hạn. Khẳng định tương tự
cũng đúng đối với quỹ đạo âm bị chặn.
Trong thực hành, để áp dụng Định lí Poincaré-Bendixson ta phải
tìm một miền D trong R2 chỉ chứa các điểm thường và phải tìm ít nhất
một quỹ đạo với t ≥ 0 đi vào miền D và không rời khỏi nó. Khi đó D sẽ
phải chứa ít nhất một quỹ đạo tuần hoàn.

10


Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH LIÉNARD SUY
RỘNG
Nhiều bài toán của vật lí, cơ học, kĩ thuật, sinh học...dẫn đến việc
nghiên cứu các phương trình vi phân. Trong chương này, chúng tôi trình
bày một mô hình toán học trong mạch điện dẫn đến phương trình Liénard
mở rộng và các tính chất định tính nghiệm của phương trình này.


2.1

Thiết lập phương trình Liénard

Xét mạch điện gồm một điện trở R, một cuộn cảm L và một tụ điện
C mắc nối tiếp như sau :
α

R

C

γ

β
L

Trong mạch ta cho một dòng điện chạy qua mỗi nhánh. Gọi iR , iL , iC
lần lượt là các dòng điện chạy qua R, L, C .
Định luật Krichhoff phát biểu rằng :
Tại bất kì nút(ngã rẽ) nào trong một mạch điện thì tổng cường độ dòng
điện chạy đến nút phải bằng tổng cường độ dòng điện chạy ra khỏi nút.
Tức là
iR = iL = −iC .
11


Trạng thái của mạch điện được đặc trưng bởi dòng điện i và điện áp qua
mỗi nhánh.

Kí hiệu các điện áp lần lượt là: VR , VL , VC . Ta có

VR = V β − Vα ,

VL = Vα − Vγ ,

VC = Vβ − Vγ .

⇒ VR + VL − VC = Vβ − Vα + Vα − Vγ − Vβ + Vγ = 0.
Điện trở trong nhánh R áp đặt một "quan hệ hàm" trên iR và VR như sau
VR = G(iR ),
trong đó F ∈ C 1 (R).
Tiếp theo ta xét sự chuyển tiếp theo thời gian của trạng thái vật lí

(i(t), V (t)) = (iR (t), iL (t), iC (t), VR (t), VL (t), VC (t)).
• Cuộn cảm
Theo định luật Faraday, từ trường biến thiên theo thời gian tạo ra
một điện thế trên cuộn dây VL .
Với từ dung ( độ tự cảm )L không đổi theo thời gian
VL (t) = L

diL (t)
.
dt

• Tụ điện
Đặt vào hai bản cực dẫn điện của tụ điện một điện áp thì các bản cực
sẽ tích các điện tích trái dấu. Khoảng không gian này tích lũy một
điện trường phụ thuộc vào một hệ số C (điện dung) dương, không đổi
theo thời gian

dVC (t)
C
= iC (t).
dt
Ta có

L

diL (t)
= VL = VC − VR = VC − G(iR ) = VC − G(iL )
dt

do iR = iL .
Và

C

dVC (t)
= iC = −iL .
dt

12


Coi L = C = 1. Ta kí hiệu x = iL và y = VC . Ta có hệ sau

dx


= y − G(x)

dt

 dy = −x
dt
hay dạng tương đương

x¨ + g(x)x˙ + x = 0,
ở đó g(x) = G (x).
Đây là một dạng của phương trình Liénard, là trường hợp riêng của phương
trình Liénard suy rộng sau :

x¨ + g(x)x˙ + h(x) = 0.
*Chú ý
Đặc biệt, nếu g(x) = x3 − x, h(x) = x ta có phương trình Van der Pol, có
thể được coi là một trong những ví dụ cơ bản nhất của phương trình vi
phân phi tuyến không tầm thường.

2.2

Sự tồn tại nghiệm địa phương

Xét phương trình Liénard suy rộng

x¨ + g(x)x˙ + h(x) = 0,
trong đó g, h là hàm Lipschitz địa phương. Ta chứng minh phương trình
trên có duy nhất nghiệm với điều kiện ban đầu cho trước.
Thật vậy, ta viết lại phương trình dưới dạng hệ cấp 1

x˙ = y = f1 (x, y)
y˙ = −g(x).y − h(x) = f2 (x, y).

Đặt X˙ = F (X), ở đó X =

x
y

, F (X) =

là hàm liên tục.
13

f1 (x, y)
f2 (x, y)

. Khi đó F (X)


• Với (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ tập bị chặn B ⊂ R2 , ta có
|f1 (x1 , y1 ) − f1 (x2 , y2 )| = |y1 − y2 |.
Chọn L(B) = 1 suy ra |f1 (x1 , y1 ) − f1 (x2 , y2 )| ≤ L(B)(|x1 − x2 | +
|y1 − y2 |) ∀(x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ B .
• Do g, h là Lipschitz địa phương, ta có
|g(x1 ) − g(x2 )| ≤ c1 .|x1 − x2 |
|h(x1 ) − h(x2 )| ≤ c2 .|x1 − x2 |,
∀(x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ B .
Và :
|f2 (x1 , y1 ) − f2 (x2 , y2 )| = | − g(x1 ).y1 − h(x1 ) + g(x2 ).y2 + h(x2 )|
= |(−g(x1 )y1 + y1 g(x2 )) + (g(x2 ).y2 − g(x2 ).y1 ) + (h(x2 ) − h(x1 ))|
≤ |c1 y1 |x1 − x2 | + g(x2 )(y2 − y1 ) + c2 .|x1 − x2 ||
≤ |c1 y1 + c2 ||x1 − x2 | + |g(x2 )||y2 − y1 | .
Do (y1 , y2 ) ∈ B bị chặn nên |c1 y1 + c2 | ≤ δ1 .

Lại có g là Lipschitz địa phương suy ra g bị chặn. Khi đó |g(x2 )| ≤ δ2 .
Đặt L(B) = max(δ1 , δ2 ), ta có
|f2 (x1 , y1 ) − f2 (x2 , y2 )| ≤ δ1 |x1 − x2 | + δ2 |y2 − y1 | ≤ L(B)(|x1 − x2 | +
|y1 − y2 |)∀(x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ B.
Do đó F là Lipschitz địa phương. Suy ra phương trình Liénard suy
rộng có duy nhất nghiệm.

2.3

Tính ổn định của nghiệm dừng

Xét phương trình Liénard suy rộng

x¨ + g(x)x˙ + h(x) = 0,
mô tả dao động, ở đây g(x)x˙ biểu diễn số hạng ma sát tuyến tính đối với
vận tốc và h(x) mô tả lực đàn hồi, h(x) = −k.x với k là hệ số đàn hồi (độ
cứng của vật).
Giả sử g và h là những hàm Lipschitz địa phương, hơn nữa g(x) > 0
do lực ma sát ngược hướng vectơ vận tốc.

14


Ta viết lại phương trình dưới dạng

x˙ = y = f1 (x, y)
y˙ = −g(x)y − h(x) = f2 (x, y).
Rõ ràng hệ này chỉ có một điểm cân bằng là (0, 0).
1
Đặt V (x, y) = y 2 + R(x), ở đó

2
x

R(x) =

h(s)ds.
0

Ta có : V (0, 0) = 0 do R(x) = xh(x),
và giả sử xh(x) > 0 với x = 0 . Suy ra V (x, y) > 0, ∀(x, y) = (0, 0).
Đạo hàm dọc theo quỹ đạo của V là

V˙ (x, y) = h(x)y + y[−g(x)y − h(x)] = −y 2 g(x).
Suy ra V là hàm Lyapunov.

• Nếu g(x) ≥ 0 suy ra V˙ ≤ 0 . Khi đó, theo định lí ổn định Lyapunov,
điểm cân bằng (0, 0) là ổn định.
• Nếu g(x) > 0 với x = 0.
Xét tập N = {(x, y) ∈ D : V˙ (x, y) = 0}.
⇒ N = {(0, y), (x, 0)}∀(x, y). Hiển nhiên {(0, 0)} là tập con bất biến
của tập N vì f1 (0, 0) = f2 (0, 0) = 0.
Hơn nữa, ta thấy (x, 0) và (0, y) không bất biến với x, y = 0 nên
{(0, 0)} là tập con bất biến lớn nhất của tập N .
Theo định lí ổn định LaSalle, điểm cân bằng (0, 0) là ổn định tiệm
cận.
• Nếu g(x) < 0 với x = 0.
Giả sử G = D \ {(0, 0)} , 0 ∈ ∂G.
Rõ ràng V (x, y) > 0 trong G; V = 0 trên ∂G ∩ D và V˙ ≥ 0 trong D.
Xét tập M = {(x, y) ∈ G : V˙ (x, y) = 0}.
Suy ra M = {(x, 0), (0, y)}∀x, y = 0.

Mà (x, 0) và (0, y) không bất biến với x, y = 0 ⇒ M = ∅.
15


Theo Định lí không ổn định Cetaev-Krasovsky, điểm cân bằng (0, 0)
là không ổn định.

2.4

Sự tồn tại và không tồn tại của nghiệm tuần
hoàn

Trong phần này, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự tồn tại và
không tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình Liénard mở rộng với
một số điều kiện cho trước. Nội dung của mục này được viết dựa trên các
tài liệu [1], [2] trong phần tài liệu tham khảo.
a) Sự không tồn tại nghiệm tuần hoàn
Xét phương trình Liénard suy rộng

x¨ + g(x)x˙ + h(x) = 0.
Ta giả sử g, h là các hàm trơn và g(x) > 0∀x ∈ R.
Đặt x = x, x˙ = y , ta có hệ sau

x˙ = y = f (x, y)
y˙ = −h(x) − g(x)y = g(x, y).
Ta có

∇ · (f, g) = −g(x) < 0.
Theo tiêu chuẩn Bendixson, phương trình trên không có nghiệm tuần
hoàn.

b) Sự tồn tại nghiệm tuần hoàn
Xét phương trình Liénard suy rộng

x¨ + g(x)x˙ + h(x) = 0,

(4.1)

ở đó g(x) và h(x) là các hàm liên tục trên R thỏa mãn những tính
chất sau đây:
a) g(x) và h(x) là hàm giá trị thực và h(x) là hàm Lipschitz địa
phương;
16


b) g(0) < 0 và ở đó tồn tại δ > 0 sao cho g(x) > 0 khi |x| > δ;
c) xh(x) > 0 khi x = 0;
d) min{limx→+∞ sup(h(x)/g(x)), limx→−∞ sup(|h(x)|/g(x))} < +∞,
e) tồn tạị h ≥ δ và b ≥ 0 sao cho g(x) + |h(x)| > b > 0 khi |x| > h.
Khi đó phương trình Liénard suy rộng có ít nhất một nghiệm tuần
hoàn.
Chứng minh:
Tính chất (a) đảm bảo sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương
trình (4.1).
Bây giờ ta đưa phương trình trên về dạng

x˙ = y
y˙ = −g(x)y − h(x).
Từ g(0) < 0, trên một lân cận của điểm gốc ta có g(x) < 0. Sau đó,
ta có thể so sánh với phương trình


x¨ + h(x) = 0.
Từ đây suy ra gốc tọa độ là điểm đẩy địa phương và từ tính chất (c)
suy ra không có điểm tới hạn nào khác.
Bây giờ chúng ta xem xét những điểm trên phẳng pha khi y˙ = 0 và
x˙ = 0, đó là những điểm mà tại đó những đường tiếp tuyến tới quỹ
đạo của hệ thống pha

x˙ = y
y˙ = −g(x)y − h(x),
−h(x)
.
g(x)
Do tính chất (b), có những điểm mà ở đó g(x) triệt tiêu hết. Giả
sử δ1 < 0 là bé nhất và δ2 < 0 là lớn nhất tiến dần về 0 (khi đó
δ ≥ max{|δ1 |, δ2 }).
−h(x)
−h(x)
Ta có limx→δ1−
= +∞ và limx→δ2+
= −∞.
g(x)
g(x)
−h(x)
Giả sử ∆1 là đồ thị của hàm u1 (x) =
với x ∈ (−∞, δ1 ).Và
g(x)
là nằm ngang. Đó là những điểm cho bởi y =

17



−h(x)
với x ∈ (δ2 , +∞). Đường cong
g(x)
∆1 , ∆2 chia mặt phẳng pha thành 3 miền.
Tính chất (d) đảm bảo rằng hoặc (i)u1 (x) bị chặn khi x −→ −∞
hoặc (ii)u2 (x) bị chặn khi x −→ +∞. Chúng ta giả sử rằng (i) đúng.
(với trường hợp (ii) tương tự).
Từ u1 (x) > 0 cùng các tính chất, chúng ta có thể chọn một điểm α
trên ∆1 sao cho hoành độ xα nằm về phía bên trái của δ1 và tung độ
của nó lớn hơn các giá trị của u1 (x) khi x < xα .
∆2 là đồ thị của hàm u2 (x) =

G(x, y) = −g(x)y − h(x).
∂G(x, y)
= −g(x), chúng ta có thể chứng minh rằng với một giá
∂y
trị cố định x nào đó không thuộc đoạn [δ1 , δ2 ], y˙ = G(x, y) là một
hàm giảm của y .
Quỹ đạo đi qua điểm α và đến từ vô cùng, không cắt trục hoành trước
khi gặp điểm α = (xα , u1 (xα )) ∈ ∆1 .
Từ
dy
y˙
h(x)
= = −g(x) −
(4.2)
dx x˙
y
Từ


kéo theo quỹ đạo này không có đường tiệm cận thẳng đứng, bị chặn
cách xa trục Ox và cắt trục Oy . Bằng lập luận tương tự, ta có thể
chứng minh rằng quỹ đạo sau khi đi vào nửa mặt phẳng x > 0, hoặc
cắt Ox trên nửa khoảng 0 < x ≤ δ2 , hoặc cắt đường thẳng x = δ2 .
Ở trường hợp sau, y(x) sẽ giảm sau khi x = δ2 ; tính chất (e)
không cho phép tồn tại một tiệm cận ngang nên quỹ đạo cuối cùng
phải đi qua Ox khi x > δ2 . Quỹ đạo bây giờ nằm trên nửa mặt phẳng
y < 0. Do (4.2), quỹ đạo phải đi qua Oy tại một số điểm y < 0.
Sau này, từ tính chất (e), quỹ đạo cắt Ox hoặc trên khoảng (δ1 , 0)
hoặc tại một số giá trị x ≤ δ1 . Ở trường hợp sau, quỹ đạo có thể
cắt đường cong ∆1 nhưng tung độ của điểm cắt nhau phải nhỏ hơn
supu1 (x) với −∞ < x < xα .
Cuối cùng, quỹ đạo phải giữ nguyên phần phía dưới của đồ thị ∆1
vì y(x) là một hàm giảm trên ∆1 . Trong trường hợp bất kì nào đó,
chúng ta có thể kết luận rằng quỹ đạo này bị chặn.
18


Trong trường hợp khi u2 (x) bị chặn, cách giải quyết tương tự
xuất phát từ một điểm β ∈ ∆2 , với hoành độ xβ > δ2 .
Chúng ta đã chỉ ra rằng xuất phát ở t = 0 từ một điểm α (hoặc
β ), (x(t), y(t)) là một quỹ đạo bị chặn khi t > 0. Tập giới hạn là
compact và khác rỗng. Từ điểm tới hạn duy nhất, chúng ta có thể kết
luận rằng tập giới hạn là một quỹ đạo đóng. Do đó, (4.1) có ít nhất
một nghiệm tuần hoàn.

19



KẾT LUẬN
Trong khóa luận này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và một số tính
chất định tính nghiệm của phương trình Liénard suy rộng. Các kết quả
được trình bày trong khóa luận bao gồm

• Thiết lập phương trình Liénard;
• Sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương;
• Tính ổn định của nghiệm dừng 0;
• Một số điều kiện đủ cho sự tồn tại và không tồn tại nghiệm tuần
hoàn.

20


Tài liệu tham khảo
[1] Cung Thế Anh, Cơ sở lí thuyết phương trình vi phân, NXB Đại học
Sư phạm, Hà Nội, 2015.
[2] G.C. Rota, Periodic solutions of Liénard’s equation, Journal of Mathemtical Analysis and Applications 86(1982), 379-382.

21