TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SAU ĐẠI HỌC
--------—{–--------

BÁO CÁO NGHIÊN CỨU LỊCH SỬ TOÁN HỌC
CHUYÊN ĐỀ:

HÌNH HỌC SƠ CẤP

Người hướng dẫn khoa học
P.GS-TS. NGUYỄN PHÚ LỘC

NHÓM 01

1


MỤC LỤC

1 Lịch sử tổng quát của hình học sơ cấp.......................................................................4
1.1 Giai đoạn phát sinh..............................................................................................4
1.1.1 Hình học Ai Cập (3000 TCN - 500 TCN) ...................................................4
1.1.2 Hình học Babylon (2000 TCN - 500 TCN) .................................................5
1.2 Giai đoạn toán học sơ cấp....................................................................................6
1.2.1 Hình học cổ Hy Lạp .....................................................................................6
1.2.2 Hình học Ấn Độ............................................................................................7
1.2.3 Hình học Trung Quốc...................................................................................8
1.2.4 Hình học Ả Rập............................................................................................9
2 Các nhà hình học tiêu biểu.......................................................................................10
2.1 THALES (624 TCN- 548 TCN)........................................................................10
2.1.1 Tiểu sử........................................................................................................10

2.1.2 Đóng góp cho hình học sơ cấp...................................................................10
2.2 PYTHAGORAS (khoảng 560 TCN - 480 TCN)...............................................11
2.2.1 Tiểu sử........................................................................................................11
2.2.2 Đóng góp cho hình học sơ cấp...................................................................12
2.2.2.1 Định lý Pythagoras..............................................................................12
2.2.2.2 Định lý đảo Pythagoras........................................................................13
2.3 EUDOXUS (khoảng 408 TCN - 355 TCN)......................................................13
2.4 PLATON (427 TCN hoặc 428 TCN - 347 TCN)..............................................14
2.5 EUCLID (?-? khoảng năm 300 TCN)...............................................................15
2.5.1 Tiểu sử........................................................................................................15
2.5.2 Đóng góp cho hình học sơ cấp...................................................................15
2.6 ARCHIMEDES (287 TCN - 212 TCN)............................................................19
2.6.1 Tiểu sử........................................................................................................19
2.6.2 Đóng góp cho hình học sơ cấp...................................................................19
2.6.2.1 Archimedes - nhà hình học lỗi lạc
...........................................19
2.6.2.2 Tính diện tích của parabol phân..........................................................20
2.6.2.3 Thể tích hình cầu.................................................................................21
2.6.2.4 Những nghiên cứu khác về hình học...................................................22
2.6.2.5 Những tiên đề của Archimedes...........................................................23
2.6.2.6 Đường xoắn ốc ...................................................................................23
2.6.2.7 Hình “Con dao người thợ giầy”...........................................................24
2.6.2.8 Các khối đa diện nửa đều....................................................................24
2.6.3 Archimedes – công trình sáng tạo và các giai thoại...................................25
2.6.3.1 Archimedes nhà thiên văn nổi tiếng....................................................25
2.6.3.2 Archimedes phát minh ra đòn bẩy, bánh xe răng cưa, bộ ròng rọc, đinh
vít,....................................................................................................................25
2.6.3.3 Archimedes - về các vật nổi ...............................................................26
2.6.3.4 Archimedes - súng bắn đá...................................................................27
2.6.3.5 Archimedes chiếc gương quay............................................................28

2.6.3.6 Đừng làm hỏng hình vẽ của tôi – cái chết của Archimedes................28
2.6.3.7 Những công trình khác do Archimedes tìm ra....................................29
2.6.3.8 Tác phẩm của Archimedes..................................................................29
2.6.4 Một số câu nói của Archimedes.................................................................30
2


2.6.5 Một số bài toán cổ của Archimedes............................................................30
2.7 APOLLONIUS (262 TCN - 180 TCN).............................................................30
2.7.1 Tiểu sử........................................................................................................31
2.7.2 Đóng góp cho hình học sơ cấp...................................................................31
2.8 HERON (10 - 75 sau công nguyên)..................................................................32
2.9 MENELAUS (70 - 130 sau công nguyên).........................................................33
2.10 AL KASHI (1380 – 22/06/1429).....................................................................35
2.10.1 Tiểu sử.....................................................................................................36
2.10.2 Các công trình và các giai thoại................................................................36
2.10.2.1 Về thiên văn học: .............................................................................36
2.10.2.2 Về toán học.......................................................................................36
2.10.2.3 Giai thoại và châm ngôn...................................................................37
3 Ứng dụng..................................................................................................................38
3.1 Ứng dụng 1: Tổ chức một buổi sinh hoạt ngoại khóa.......................................38
3.2 Ứng dụng 2: Một số ứng dụng vào dạy học kiến thức đại số............................40
3.3 Ứng dụng 3: Một số ứng dụng vào dạy học kiến thức hình học.......................41
4 TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................45

3


1


Lịch sử tổng quát của hình học sơ cấp

Theo nghĩa ban đầu Hình học (HH) là một bộ phận toán học nghiên cứu các hình, vị
trí tương đối và kích thước các bộ phận của các hình cũng như các phép biến đổi hình (trong
không gian xung quanh chúng ta).
Theo nghĩa hiện đại, HH bao gồm nhiều lí thuyết toán học khác nhau nghiên cứu
những khái niệm, quan hệ tương tự hoặc tổng quát hoá các khái niệm và quan hệ của các
hình không gian. Do vậy HH có liên quan chặt chẽ tới nhiều ngành toán học khác và nhiều
khi không có ranh giới rạch ròi giữa chúng.
Từ HH (geometry) có nguồn gốc từ “Geometria” của Hy Lạp (có nghĩa là đo đất đai).
HH phát sinh từ rất lâu, có lẽ trước thế kỉ XVII trước công nguyên (TCN). Từ thời cổ đại,
HH có nguồn gốc từ thực tế, nó là khoa học về đo đất. Nhiều nền văn minh cổ đại như:
Babylon, Ấn Độ giáo, Trung Quốc và Ai Cập đã sở hữu các thông tin về HH. Những yếu tố
HH đầu tiên có nguồn gốc trong các quan sát đơn giản, xuất phát từ khả năng của con người
để nhận ra và so sánh các hình dạng và kích thước của sự vật. Có rất nhiều trường hợp,
người nguyên thủy đã phải đưa ra các chủ đề về HH, mặc dù nó có thể không được công
nhận là như vậy. Chẳng hạn, người đàn ông phải học với các tình huống liên quan đến
khoảng cách, ranh giới đất đai của họ, xây dựng các bức tường và nhà cửa. Các tình huống
có liên quan trực tiếp đến các khái niệm HH về thẳng đứng, song song, vuông góc.
Ngoài ra, sự xuất hiện của hình dạng với tư cách là nghệ thuật nguyên sơ qua các
kiểu cách đan tết, các mẫu mã dệt thêu và các hình trang trí trên đồ gốm, các công trình kiến
trúc,… cũng đã dần dần cho con người các nhận thức về các hình HH.
Tuy nhiên, hình học trong thời kì này chỉ được tìm thấy thông qua thử nghiệm, quan
sát sự tương tự, dự đoán, và thậm chí là trực giác. Về cơ bản, hình học trong giai đoạn này
chỉ cho phép câu trả lời gần đúng, thường phục vụ cho các mục đích thực tế. Chẳng hạn,
người Babylon cho rằng số π có giá trị là 3 ; người Ai Cập cho rằng công thức tính diện
tích của một hình chữ nhật có thể được áp dụng cho một tứ giác bất kì.
Cùng với những kinh nghiệm về đo đạc đất đai ở Ai Cập, Babylon, Hy Lạp. Bắt đầu
khoảng từ thế kỉ VII TCN - V TCN. Những hiểu biết của con người về các hình dần dần
được trình bày một cách hệ thống như là một khoa học, trong đó xuất hiện các khái niệm,

mệnh đề, chứng minh. Khoảng thế kỉ III TCN, Euclide đã hệ thống hoá toàn bộ các kiến
thức HH đương thời trong bộ sách "Cơ bản" nổi tiếng gồm 13 tập. Về cơ bản, HH trong bộ
sách đó của Euclide cũng là HH sơ cấp ngày nay. Bằng việc đưa vào phương pháp toạ độ ở
nửa đầu thế kỉ XVII, R. Descartes đã tạo ra một bước tiến quan trọng trong HH. Nhờ đó có
thể dùng công cụ đại số và giải tích để nghiên cứu HH. Trên cơ sở đó đã xuất hiện hình
học giải tích, hình học vi phân, hình học xạ ảnh và hình học hoạ hình.
Sự ra đời của HH Lobachevsky (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) ở thế kỉ XIX đã
tạo ra một bước ngoặt mới trong sự phát triển của HH. Nó phá vỡ quan niệm cũ về HH (hay
gắn với trực giác thông thường) và chứng tỏ khả năng tồn tại các loại HH (phi Euclide) khác
nhau.
Trong phần này, chúng tôi chỉ nghiên cứu lịch sử của hình học sơ cấp từ thời nguyên
thủy đến khoảng đầu thế kỉ XVII, tức là chỉ gồm giai đoạn phát sinh và giai đoạn toán học
sơ cấp.
1.1 Giai đoạn phát sinh
Thời gian: từ thời nguyên thủy đến thế kỉ thứ VII, thứ VI trước công nguyên.
Các nền toán học tiêu biểu: cổ Ai Cập và cổ Babylon.

1.1.1 Hình học Ai Cập (3000 TCN - 500 TCN)
4


Người Ai cập sử dụng hình học để xác định thể tích các kho thóc, tìm diện tích các
thửa ruộng, tính toán trong các công trình xây dựng. Người Ai cập canh tác trên những cánh
đồng giàu phù sa do sông Nile mang lại, và họ cũng thường xuyên phải đối phó với nạn lũ
lụt xảy ra bên bờ sông. Vì vậy, họ phải tính toán để đoán trước khi cơn lũ đến và đo đạc lại
đất đai, xây dựng lại các hệ thống tưới tiêu sau khi mỗi cơn lũ đi qua. Chính vì lí do đó mà
hình học của người Ai Cập đã phát triển khá cao.
Hình học của Ai Cập chủ yếu là các quy tắc thực nghiệm. Họ đã phát triển các quy
tắc này để ước lượng và phân chia diện tích đất, họ cũng sử dụng các quy tắc này để xây
dựng tòa nhà, đặc biệt là các kim tự tháp. Họ có phương pháp (sử dụng dây thừng để đo độ

dài) để tính toán diện tích và thể tích hình tam giác, tứ giác, hình tròn, và hình chóp cụt.
2
8 
Họ tính diện tích hình tròn bằng công thức  d ÷ với d là đường kính đường tròn,
9 
π
π
tức là họ đã biết đến số và xấp xỉ gần bằng 3,1605.
Họ tính diện tích của tứ giác có các cạnh a , b , c , d với a và b ; c và d là hai cặp cạnh
 a+b c+d 
đối theo công thức: 
÷. 
÷.
 2  2 
Thể tích của hình lăng trụ đứng bằng đáy nhân
với chiều cao.
Trong bảng Rhind Papyrus (còn gọi là "Ahmes
Papyrus") chứa các quy tắc phân chia, và có 87 bài toán
bao gồm các cách giải phương trình, chuỗi, diện tích của
các miền hình học, thể tích của các kho thóc,…
Trong bảng Moscow Papyrus có 25 bài toán với
các cách giải, một số trong đó là hình học. Bài toán 14,
mô tả cách tính thể tích của một hình chóp cụt đáy là
hình vuông mà theo cách ghi ngày nay là
h
V = ( a 2 + ab + b 2 ) .
3

Bảng Rhind Papyrus


Ngoài ra họ còn biết tính diện tích mặt cong, chẳng hạn như bài toán: Tính diện tích
xung quanh của hình bán trụ có đường cao bằng đường kính đáy.

1.1.2 Hình học Babylon (2000 TCN - 500 TCN)
Hình học Babylon thường có liên quan đến xây dựng và đất đai, chẳng hạn: diện tích
và thể tích của các vật thể hình chữ nhật. Từ nhiều hình mẫu cụ thể, thấy rằng người
Babylon (từ năm 2000 đến 1600 TCN) đã quen thuộc với những qui tắc chung về:
+ Diện tích tam giác vuông, tam giác cầu, diện tích hình chữ nhật, hình thang vuông.
+ Thể tích của hình hộp chữ nhật, lăng trụ đứng có đáy là hình thang đặc biệt.
+ Chu vi đường tròn bằng ba lần đường kính và diện tích hình tròn bằng

1
của bình
12

phương chu vi.
+ Số π thì họ cho bằng 3. Trong một số phiên bản, họ gắn π =

25
.
8

5


+ Hai cạnh tương ứng của hai tam giác vuông đồng dạng là tỉ lệ với nhau, đường
thẳng góc vẽ từ đỉnh của một tam giác cân chia đều cạnh đáy, góc nội tiếp trong nửa đường
tròn là một góc vuông.
+ Định lí Pythagoras
+ Chia một chu vi đường tròn thành 360 phần bằng nhau.

Người ta cũng tìm thấy bốn bảng đặc biệt có niên đại trong khoảng năm 1900 TCN 1600 TCN chứng tỏ kiến thức hình học của người Babylon:
Yale table YBC 7289 - cho thấy cách tính đường chéo của một hình vuông.

Plimpton 322 - cho thấy các bộ ba Pythagoras.

Susa table - chỉ ra cách tìm ra bán kính của đường tròn qua ba đỉnh của một tam giác
cân.
Tell Dhibayi table - chỉ ra cách tìm các cạnh của một hình chữ nhật với diện tích và
đường chéo đã cho.
1.2 Giai đoạn toán học sơ cấp
Thời gian: khoảng từ thế kỉ thứ VI TCN đến khoảng đầu thế kỉ thứ XVII
Các nền toán học tiêu biểu: cổ Hy Lạp, Ấn Độ. Trung Hoa, Ả Rập, Tây Âu,…

1.2.1 Hình học cổ Hy Lạp

6


Người Hy Lạp nhấn mạnh rằng: “hình học thực sự được thành lập bằng cách lý
luận suy diễn". Họ tin rằng hình học sẽ được tìm thấy bằng cách nghiên cứu chứ không
phải là thử nghiệm. Họ đã chuyển đổi các kiến thức hình học có được từ quan sát, thử
nghiệm, các qui tắc sử dụng trong các trường hợp đặc biệt,…thành một kiến thức hình học
có hệ thống hơn.
Theo các bản thảo, từ thế kỉ thứ VII - VI TCN, người Hy Lạp, bắt đầu từ Thales, đã
có ý niệm chứng minh các mệnh đề toán học, từ đó khía cạnh suy diễn của toán học đã xuất
hiện. Các nhà toán học Hy Lạp đã đưa ra phương pháp tiên đề trong khi trình bày một lí
thuyết toán học, điển hình là bộ “Cơ bản” của Euclide. Phương pháp tiên đề do Euclide phát
hiện đã đưa toán học trở thành một khoa học độc lập. Trong thời kì này đã xuất hiện nhiều
nhà toán học tài năng như Thales, Pythagoras, Eudoxus, Euclide, Archimedes, Apollonius,
… và hệ thống kiến thức về hình học sơ cấp, chẳng hạn:

Thales phát hiện một số kết quả như: một đường tròn được phân đôi bởi một đường
kính bất kì; “Hai đường thẳng cắt nhau tạo các cặp góc đối đỉnh bằng nhau”; “Các cạnh
tương ứng của hai tam giác đồng dạng thì tỉ lệ với nhau”; các góc ở đáy của tam giác cân
thì bằng nhau; góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông;....
Pythagoras đưa ra cách dựng ba khối đa diện đều: lập phương, tứ diện đều, thập nhị
diện đều; các thành viên của trường phái Pythagore đã phát triển các tính chất song song
để chứng minh rằng tổng các góc của một tam giác bất kì bằng hai góc vuông,….
Archimedes đã tìm thấy công thức tính diện tích và thể tích của nhiều vật thể. Trên
ngôi mộ của ông là kết quả ông nhận thấy thể tích của một hình cầu bằng hai phần ba thể
tích của hình trụ ngoại tiếp hình cầu đó,….
Một số thuật ngữ như: "hình elip", "parabol," và "hyperbol" mà chúng ta sử dụng
ngày nay cũng có nguồn gốc từ hình học cổ Hy Lạp, chúng xuất hiện trong tác phẩm “ Các
thiết diện conic” của Apollonius.
Đối với nền toán học cổ Hy Lạp, hình học đóng vai trò quan trọng trong việc giải
quyết các bài toán đại số. Chẳng hạn, các phép toán cộng, trừ, nhân, chia đều được định
nghĩa nhờ các đoạn thẳng:
Phép cộng được hiểu là đặt liền các đoạn thẳng.
Phép trừ được diễn tả bằng cách bớt đi một đoạn thẳng từ một đoạn thẳng.
Phép nhân đoạn thẳng dẫn đến phép dựng hình hai chiều, tích của hai đoạn thẳng a
và đoạn thẳng b được xem là hình chữ nhật với hai cạnh a, b.
Trong hình học Hy Lạp cũng có những mệnh đề hình học diễn tả các hằng đẳng thức đại số.
2
Chẳng hạn: hình sau cho ta cách biểu diễn của hằng đẳng thức: ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2
a2

ab

ab

b2


Từ thế kỉ thứ V TCN, người Hy Lạp đã đặt ra ba bài toán dựng hình cổ nổi tiếng
không thể giải được bằng thước và compa. Đó là: Tăng đôi một khối lập phương, chia ba
một góc và cầu phương một hình tròn. Việc giải quyết các bài toán này đã làm nảy sinh các
lí thuyết mới trong nền toán học cổ Hy Lạp: lí thuyết thiết diện côníc, lí thuyết các đường
cong bậc 3, bậc 4, sự phát hiện ra đường cong siêu việt.
1.2.2 Hình học Ấn Độ

7


Hình học Ấn Độ hoàn toàn mang tính chất thực dụng (trực giác và nghiệm đúng).
Thường có vẽ hình, có nêu hoặc không nêu định lí, quy tắc, nhưng không chứng minh mà
chỉ ghi dưới hình vẽ “Hãy xem đây!”
Brahmagupta dùng số π với hai giá trị gần đúng π = 3 , π = 10 . Ông còn mở rộng
công thức Hêrông trong trường hợp tứ giác nội tiếp bằng công thức:
A=

Đối

( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) với a, b, c, d là các cạnh và
với

tứ

giác

bất

kì


a+b+c+d
.
2

mở rộng công thức Hêrông cho ta:
A = ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d )  − abcd .cos α , với α là nữa tổng của hai góc đối trong tứ
giác.
Manava nêu cách dựng hình tròn xấp xỉ với một hình chữ nhật, cách dựng hình tròn
25
= 3,125 .
xấp xỉ với một hình vuông và lấy giá trị xấp xỉ của π =
8
Apastamba xem xét các bài toán về cầu phương một hình tròn, chia một đoạn thành 7
577
= 1, 414215686 chính xác đến 5 chữ số thập
phần bằng nhau và lấy giá trị xấp xỉ 2 =
408
phân.
Katyayana phát biểu trường hợp tổng quát của định lý Pythagore cho đường chéo của
hình chữ nhật bất kỳ.
Một bộ phận đặc biệt quan trọng của toán học Cổ Ấn Độ là tam giác lượng, xem như
công thức tính toán để nghiên cứu thiên văn. Điều đáng chú ý là toán học Ấn Độ rất độc
đáo không hề mang dấu ấn của Trung Quốc, Hy Lạp hay Babylon.
Lượng giác Hylap của Ptôlêmê căn cứ vào quan hệ hàm giữa dây cung của đường
tròn với góc ở tâm tương ứng. Người Ấn Độ đã cấu tạo các bảng lượng giác trong đó các
dây cung được thay bằng nữa dây.
Nhìn chung, ta thấy ở Ấn Độ, các phương pháp tính toán bằng thuật toán rất có ưu
thế. Việc xây dựng hệ thống lí luận suy diễn ít được thấy, hình học có tính chất nghiệm
đúng. Những đặc điểm này bắt nguồn từ những điều kiện kinh tế của đời sống xã hội.

2

thì

p=

sự

2

1.2.3 Hình học Trung Quốc
Nền toán học Trung Quốc đã đạt được những thành tựu khá cao. Khoảng 3000 năm
trước công nguyên, người Trung Hoa đã biết dùng compa và eke để vẽ các hình hình học.
Vào thề kỉ thứ IV trước công nguyên, Mặc Địch (tức Mặc Tử) đã định nghĩa đường
tròn là hình mà từ giữa ra đều nhau.
Vào khoảng năm 152 trước công nguyên, Trần Sanh đã viết “Cửu chương toán
thuật”. Trong các thế kỉ VII- X, “Cửu chương toán thuật” dùng làm sách giáo khoa và trở
thành một tác phẩm kinh điển đối với các nhà toán học Trung Quốc. Tác phẩm này có 9
chương, trong đó, chương I có tên là phương điền, nêu lên quy tắc tính diện tích hình vuông,
hình chữ nhật. Khi tính diện tích hình tròn, hình vành khăn người ta lấy π = 3. Chương V có
nội dung là “ước tính các công trình” đo thể tích, kích thước cần thiết khi xây dựng tường
thành, đào hào hố, đắp đê đập, xây pháo đài,… với nhiều hình thù khác nhau, trong đó có
các công thức tính thể tích của các khối khác nhau. Chương IX gồm những bài toán xác
định khoảng cách và chiều cao không tới được nhờ định lý Cao Thương (định lý
Pythagoras) và các tính chất của tam giác đồng dạng.
Thế kỉ thứ I trước công nguyên, Lưu Hâm tính được π gần bằng 3,1547. Vào thế kỉ
thứ II sau công nguyên, Trương Hoành tìm được π gần bằng 10 và ông dùng giá trị này
để tích thể tích hình cầu.

8



1.2.4 Hình học Ả Rập
Hình học Ả Rập có một số đặc điểm:
+ Lưu giữ nhiều hơn là khám phá, đã bền bỉ nổ lực dịch thuật thỏa đáng các kinh
điển lớn của Hy Lạp.
+ Abul Wefa có công trình nghiên cứu, trong đó ông cho biết cách đặt các đỉnh của
một đa diện đều lên hình cầu ngoại tiếp của chúng mà chỉ dùng compa có độ mở cố định.
+ Omar Khayyam nói tới phép giải tích hình học cho các phương trình bậc 3.
+ Nasired-din nghiên cứu về định đề song song của Eucid và đưa ra một phép chứng
minh độc đáo về định lý Pythagoras
+ Al-Haitam vào khoảng 965-1039, có bài toán hình học dẫn tới phương trình bậc 4,
được giải bằng phương pháp Hy Lap là cho một Hypebol và đường tròn giao nhau.

9


2 Các nhà hình học tiêu biểu
2.1 THALES (624 TCN- 548 TCN)

Thales thành Miletos (tiếng Hy Lạp: Θαλῆς ὁ Μιλήσιος; khoảng 624 TCN – khoảng
548 TCN), là một triết gia, một nhà toán học người Hy Lạp sống trước Socrates, người đứng
đầu trong bảy nhà hiền triết của Hy Lạp. Ông cũng được xem là một nhà triết gia đầu tiên
trong nền triết học Hy Lạp cổ đại, là "cha đẻ của khoa học". Tên của ông được dùng để đặt
cho một định lý toán học do ông phát hiện ra.
2.1.1 Tiểu sử
Thales sống trong khoảng thời gian từ năm 624 TCN– 546 TCN, ông sinh ra ở thành
phố Miletos, một thành phố cổ trên bờ biển gần cửa sông Maeander (của Thổ Nhĩ Kỳ).
Tuổi thọ của ông không được biết một cách chính xác. Có hai nguồn: một nguồn cho là ông
sống khoảng 90 tuổi, còn một nguồn khác cho là ông sống khoảng 80 tuổi.

2.1.2 Đóng góp cho hình học sơ cấp
Định lý Thales:

DE AE AD
=
=
BC AC AB

Định lý Thales: Hai đường thẳng song song định ra trên hai đường thẳng giao nhau những
đoạn thẳng tỷ lệ.
Góc chắn nửa đường tròn thì bằng một vuông.
Đường kính chia đôi đường tròn thành hai phần bằng nhau.
Hai góc đáy của tam giác cân thì bằng nhau.
Hai tam giác nếu có hai cặp góc đối và cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

10


Ông cũng nghĩ ra phương pháp đo chiều cao của các kim tự tháp Ai Cập căn cứ vào bóng
của chúng.
2.2 PYTHAGORAS (khoảng 560 TCN - 480 TCN)

Pythagoras (tiếng Hy Lạp: Πυθαγόρας; sinh khoảng năm 580 đến 572 TCN - mất
khoảng năm 500 đến 490 TCN) là một nhà triết học người Hy Lạp và là người sáng lập ra
phong trào tín ngưỡng có tên học thuyết Pythagoras.
Ông thường được biết đến như một nhà khoa học và toán học vĩ đại. Trong tiếng
Việt, tên của ông thường được phiên âm từ tiếng Pháp (Pythagore) thành Pi-ta-go.
Pythagoras đã chứng minh được rằng tổng 3 góc của một tam giác bằng 180° và nổi tiếng
nhất nhờ định lý toán học mang tên ông. Ông cũng được biết đến là "cha đẻ của số". Ông đã

có nhiều đóng góp quan trọng cho triết học và tín ngưỡng vào cuối thế kỷ 6 TCN. Về cuộc
đời và sự nghiệp của ông, có quá nhiều các huyền thoại khiến việc tìm lại sự thật lịch sử
không dễ. Pythagoras và các học trò của ông tin rằng mọi sự vật đều liên hệ đến toán học,
và mọi sự việc đều có thể tiên đoán trước qua các chu kỳ.
2.2.1 Tiểu sử
Pythagoras sinh tại đảo Samos (Bờ biển phía Tây Hy Lạp), ngoài khơi Tiểu Á. Ông
là con của Pythais (mẹ ông, người gốc Samos) và Mnesarchus (cha ông, một thương gia từ
Tyre). Khi đang tuổi thanh niên, ông rời thành phố quê hương tới Crotone phía nam Ý, để
trốn tránh chính phủ chuyên chế Polycrates. Theo Iamblichus, Thales, rất ấn tượng trước
khả năng của ông, đã khuyên Pythagoras tới Memphis ở Ai Cập học tập với các người tế lễ
nổi tiếng tài giỏi tại đó. Có lẽ ông đã học một số nguyên lý hình học, sau này là cảm hứng
để ông phát minh ra định lý sau này mang tên ông tại đó.
Ngay sau khi di cư từ Samos tới Crotone, Pythagoras đã lập ra một tổ chức tôn giáo
kín rất giống với (và có lẽ bị ảnh hưởng bởi) sự thờ cúng Orpheus trước đó.
Pythagoras đã tiến hành một cuộc cải cách đời sống văn hoá ở Crotone, thúc giục các công
dân ở đây noi theo đạo đức và hình thành nên một giới tinh hoa (elite) xung quanh ông.
Trung tâm văn hoá này có các quy định rất chặt chẽ. Ông mở riêng các lớp cho nam và nữ
sinh. Những người tham gia tổ chức của Pythagoras tự gọi mình là Mathematikoi. Họ sống
trong trường, không được có sở hữu cá nhân và bị yêu cầu phải ăn chay. Các sinh viên khác
sống tại các vùng gần đó cũng được cho phép tham gia vào lớp học của Pythagoras. Được
gọi là Akousmatics, các sinh viên đó được ăn thịt và có đồ sở hữu riêng.
Theo Iamblichus, các môn đồ Pythagoras sống một cuộc sống theo quy định sẵn với
các môn học tôn giáo, các bữa ăn tập thể, tập thể dục, đọc và học triết học. Âm nhạc được
coi là nhân tố tổ chức chủ chốt của cuộc sống này: các môn đồ cùng nhau hát các bài ca

11


tụng Apollo; họ dùng đàn lyre để chữa bệnh cho tâm hồn và thể xác, ngâm thơ trước và sau
khi ngủ dậy để tăng cường trí nhớ.

Lịch sử của Định lý Pythagoras mang tên ông rất phức tạp. Việc Pythagoras đích
thân chứng minh định lý này hay không vẫn còn chưa chắc chắn, vì trong thế giới cổ đại
khám phá của học trò cũng thường được gán với cái tên của thầy. Văn bản đầu tiên đề cập
tới định lý này có kèm tên ông xuất hiện năm thế kỷ sau khi Pythagoras qua đời, trong các
văn bản của Cicero và Plutarch. Mọi người tin rằng nhà toán học Ấn Độ Baudhayana đã tìm
ra Định lý Pythagoras vào khoảng năm 800 TCN, 300 năm trước Pythagoras.
Ngày nay, Pythagoras được kính trọng với tư cách là người đề xướng ra Ahlu lTawhīd, hay đức tin Druze, cùng với Platon.
2.2.2 Đóng góp cho hình học sơ cấp
Có hàng trăm cách chứng minh định lý Pythagoras. Cách chứng minh được thể hiện
trong hình này thuộc về Leonardo da Vinci. Trong toán học, định lý Pythagoras (còn gọi là
định lý Pythagore theo tiếng Pháp hay định lý Pythagoras theo tiếng Anh) là một liên hệ
trong hình học phẳng giữa ba cạnh của một tam giác vuông.
Định lý này được đặt tên theo nhà triết học và nhà toán học Hy Lạp Pythagoras sống
vào thế kỷ 6 TCN, mặc dù định lý toán học này đã được biết đến bởi các nhà toán học Ấn
Độ (trong quyển Sulbasutra của Baudhayana và Katyayana), Hy Lạp, Trung Quốc và
Babylon từ nhiều thế kỷ trước.

Hai cách chứng minh cổ nhất của định lý Pythagoras được cho là nằm trong quyển
Chu bễ toán kinh khoảng năm 500 đến 200 TCN và bộ Cơ bản của Euclid khoảng 300 năm
TCN.
2.2.2.1 Định lý Pythagoras

Cách phát biểu của Euclid: Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trên cạnh kề của
một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền của tam giác này.
Một tam giác vuông là một tam giác có một góc vuông; các cạnh kề của nó là các
cạnh tạo nên góc vuông; cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông. Trong hình vẽ dưới, a
và b là các cạnh kề, c là cạnh huyền:

12



Pythagoras đã phát biểu định lý mang tên ông trong cách nhìn của hình học phẳng
thông qua: Diện tích hình vuông tím bằng tổng diện tích hình vuông đỏ và xanh lam.
Tương tự, quyển Sulbasutra chép:
Một dây thừng nối dọc đường chéo hình chữ nhật tạo ra một diện tích bằng tổng
diện tích tạo ra từ cạnh ngang và cạnh dọc của hình chữ nhật đó.
Dùng đại số sơ cấp hay hình học đại số, có thể viết định lý Pythagoras dưới dạng
hiện đại, chú ý rằng diện tích một hình vuông bằng bình phương độ dài của cạnh hình vuông
đó:
Nếu một tam giác vuông có cạnh kề dài bằng a và b và cạnh huyền dài c, thì a2 + b2 = c2
2.2.2.2 Định lý đảo Pythagoras

Định lý đảo Pythagoras phát biểu là: Cho ba số thực dương a, b, và c thỏa mãn
a + b = c2, tồn tại một tam giác có các cạnh là a, b và c, và góc giữa a và b là một góc
vuông.
Định lý đảo này cũng xuất hiện trong bộ Cơ bản và được phát biểu bởi Euclid là:
Nếu bình phương của một cạnh của một tam giác bằng tổng bình phương hai cạnh kia, thì
tam giác có góc nằm giữa hai cạnh nhỏ là góc vuông.
2

2

2.3 EUDOXUS (khoảng 408 TCN - 355 TCN)

Eudoxus là một nhà toán học vùng Tiểu Á. Những kết quả nghiên cứu toán học của
Eudoxus được Euclide tiếp thu để làm cơ sở cho ba quyển 5, 6, 7 trong bộ "Cơ bản" của

13



mình. Thành tựu xuất sắc nhất của Eudoxus là tổng quát hóa lý thuyết của Pythagoras về tỉ
lệ.
Lý thuyết tỉ lệ của Pythagoras chỉ áp dụng cho đại lượng thông ước. Eudoxus đã khắc
phục hạn chế bằng cách đưa ra khái niệm số vô tỉ. Eudoxus đề xuất "phương pháp vét kiệt"
để tìm diện tích hình tròn thông qua diện tích đa giác đều nhiều cạnh nội tiếp trong đường
tròn. Cách làm này gần với phương pháp tính giới hạn được phát triển sau này.
2.4 PLATON (427 TCN hoặc 428 TCN - 347 TCN)

Platon là nhà toán học , triết học cổ Hy Lạp sinh tại Athens. Ông là học trò của
Socrat và đi nhiều nơi để trau dồi kiến thức. Khi trở về Athens năm 387 TCN ông đã thành
lập một học viện nổi tiếng đáp ứng có hệ thống các nhu cầu về toán học và khoa học và chủ
trì học viện này cho đến cuối đời. Hầu như toàn bộ các công trình toán học của thế kỷ thứ
IV TCN là do bạn bè và môn sinh của Platon thực hiện khiến cho học viện của ông là chiếc
cầu nối của trường phái toán học Pythagoras xa xưa và trường phái toán học ở Alexandria.
Ảnh hưởng của Platon về toán học không do những khám phá của ông mà do lòng tin vào
đầy nhiệt tình của ông rằng việc nghiên cứu toán sẽ mang lại cho con người một nhãn quan
được tôi luyện tinh tế nhất và do đó thật cần thiết trong việc tu dưỡng của các triết gia và
cho những người cần phải điều khiển trạng thái tư tưởng của mình. Điều này giải thích tại
sao trên cổng vào học viện có biển đề "Ai không thông thạo về hình học thì xin đừng vào !".
Platon là trong những người sáng lập ra phương pháp logic của toán học. Vì yếu tố
logic của toán học và vì ông cảm thấy việc nghiên cứu nó sẽ tạo nên tinh thần thuần khiết,
nên với Platon toán học dường như có một tầm quan trọng vô cùng và cũng chính vì vậy mà
nó chiếm một vị trí đáng kể trong chương trình của học viện. Platon cũng là một nhà hình
học nổi tiếng với việc tìm ra 5 hình đa diện đều. Platon cho rằng cần phải nghiên cứu thiên
văn học chính xác như nghiên cứu toán học nhờ vào các định lý. Người ta còn cho rằng vào
những năm cuối đời Platon đã có ý tưởng rằng Trái Đất tự quay xung quanh trục. Platon
cũng là người có những cố gắng nghiêm túc đầu tiên về triết học trong toán học.

14



2.5 EUCLID (?-? khoảng năm 300 TCN)

2.5.1 Tiểu sử
Euclid (tiếng Hy Lạp: Εὐκλείδης, phiên âm tiếng Việt là Ơ-clit) là nhà toán học
lỗi lạc thời cổ Hy Lạp, sống vào thế kỷ thứ III TCN. Ông được mệnh danh là "cha đẻ của
hình học". Euclid sinh ra ở thành thị Athena, là học trò của Platon. Thời cổ đại, Athena
là một quốc gia thành thị dân chủ và văn minh của Hy Lạp, ở đây đã tập trung nhiều nhà
bác học và văn nghệ sĩ nổi tiếng. Euclid học Platon, một nhà triết học duy tâm, có trình
độ học vấn uyên bác. Tiếng tăm của ông đã được vua Ai Cập Ptôlêmê biết đến và nhà
vua đã mời ông tới kinh đô Alêcxăngđria để làm vẻ vang cho nhà vua. Thành phố
Alêcxăngđria là một trung tâm khoa học,dưới triều đại của Hoàng đế Ptolémée Đệ I, tức
là giữa 323 và 285 TCN. Nơi tụ họp nhiều nhà bác học nổi tiếng trên thế giới. Nơi đây
có một thư viện lớn tập trung nhiều sách vở của thế giới Đông - Tây. Euclid đã đến đây
nghiên cứu, học tập, bổ sung kiến thức toán học.
2.5.2 Đóng góp cho hình học sơ cấp
Nhà toán học Euclid là một trong những nhà khoa học đầu tiên làm việc tại Bảo
Tàng. Và Archimedes, người sống sau Hoàng đế Ptôlêmê Đệ nhất cũng đã nói về Euclid
trong tác phẩm của mình. Tại đây ông thành lập một trường học và đã giảng dạy các
nguyên tắc cơ bản của môn hình học. Những nguyên tắc này đã được truyền đạt từ thời
đại ông đến ngày nay. Một trong những học trò của ông là Conon, thầy giáo của
Archimedes. Những nhà văn cổ đại khi viết về Euclid đều miêu tả ông là một ông già tốt
bụng và nhỏ nhẹ. Học trò kính trọng ông vì lòng kiên nhẫn và tốt bụng của ông. Tuy
nhiên ông cũng hết sức quả quyết ngay cả đối với đức Vua Hoàng đế Ptôlêmê Đệ nhất
của Ai Cập.
Một lần, Nhà Vua gặp khó khăn về việc học môn hình học trong một quyển sách
của Euclid mang tên: Cơ bản. Tục truyền rằng có lần hoàng đế Ptôlêmê hỏi Euclid:
"Liệu có thể đến với hình học bằng con đường khác ngắn hơn không?". Ông trả lời ngay:
"Tâu bệ hạ, trong hình học không có con đường dành riêng cho nhà vua”. Người Ai Cập


15


dùng hình học để đo đạc đất đai của nhà nông sau những cơn lũ hàng năm do sông Nile
gây ra vì lũ đã xóa đi các điểm mốc đánh dấu phần đất đai của mỗi người. Các nước gọi
môn hình học là Geometrie tiếng Hy Lạp có nghĩa là sự do đại đất đai. Trái lại người Hy
Lạp không mấy quan tâm đến việc áp dụng hình học vào đời sống thực tế mà họ thích
các định lý và chứng minh của hình học và coi đó là các bài tập về logic và phương pháp
suy diễn. Một dịp nọ, khi một học trò của Euclid phàn nàn rằng anh ta chẳng thấy lợi ích
thiết thực của môn học này. Euclid quay sang một người hầu và bảo: "Hãy cho anh học
trò này một đồng tiền vì anh ta phải có lợi nhuận từ những gì anh ta đã học được". Đóng
góp vĩ đại của Euclid cho toán học là việc sắp xếp và tổ chức lại hình học thành một môn
học quy củ. Ông đã đơn giản hóa và sắp xếp lại các tác phẩm riêng lẻ của các bậc trên
bối, hệ thống các định lý và chứng minh nó thành một chuỗi có lôgic. Ông đã sửa lại
cách chứng minh cũ và nghĩ ra cách chứng minh mới để bổ sung những điều còn thiếu
sót.
Các nhà hình học đầu tiên mà Euclid đã bổ sung cho tác phẩm của họ là Thales và
Pythagoras. Ai ai cũng còn nhớ định lý Pythagoras: Trong tam giác vuông bình phương
cạnh huyền bằng tổng bình phường 2 cạnh góc vuông.
Khác với Thales, Euclid đã để lại rất nhiều bài viết cung cấp một cái nhìn mới cho
các nhà toán học. Trong đó đặc biệt phải kể đến các phát biểu về các đường conic, về
những sai số trong hình học, ứng dụng toán học vào nhạc và 13 quyển sách về các
nguyên tắc cơ bản của toán học. Ngoài ra, người ta còn nhắc đến ông qua phép chia
Euclid, khoảng cách Euclid, không gian véctơ Euclid …
Ngoài ra ông còn tham gia nghiên cứu về luật xa gần, đường cônic, lý thuyết số và
tính chính xác. Bằng cách chọn lọc, phân biệt các loại kiến thức hình học đã có, bổ sung,
khái quát và sắp xếp chúng lại thành một hệ thống chặt chẽ, dùng các tính chất trước để
suy ra tính chất sau. Vào cuối thế kỷ XIX, những sai sót nhỏ trong bộ: Cơ bản những
định nghĩa sai hay thiếu sự hoàn chỉnh trong các tiên đề của ông được chỉ ra và bỏ đi
trong các bản dịch lại. Tuy nhiên về cơ bản bộ Cơ bản vẫn không thay đổi giá trị của nó.

Tác phẩm của Euclid: bộ Cơ bản được dịch ra nhiều thứ tiếng và vẫn được dùng như một
quyển sách giáo khoa cơ bản về hình học từ 2000 năm nay.
Bản dịch tiếng Anh đầu tiên của HarryBiilingsley viết vào năm 1570. Tác phẩm
này gồm 13 tập sách trong đó chỉ có sáu quyển thường được in thành sách học cho các
trường trung học. Một vài phần trong tác phẩm này do học trò của ông soạn nhưng
những phần chính và hướng dẫn đều là của ông. Chúng ta vẫn còn nhớ tiên đề mà mọi
người đã công nhận không cần phải chứng minh: Qua một điểm nằm trên một mặt phẳng
ta có thể vẽ một đường thẳng song song với một đường thong thứ hai và chỉ một mà thôi.
Vào thế kỷ XIX, nhà toán học người Nga Lobachevsky cho rằng qua điểm P trong không
gian có thể có vô số những đường thẳng song song. Ông đã can đảm thành lập môn hình
học Phi Euclid. Một người Đức Riemann đã đóng góp nhiều trong việc phát triển hình
học Phi Euclid.
Có thể nói hầu hết kiến thức hình học ở cấp trung học cơ sở hiện nay đều đã được
đề cập một cách có hệ thống, chính xác. Bộ sách Cơ bản đồ sộ của Euclid đã đặt nền
móng cho môn hình học cũng như toàn bộ toán học cổ đại. Bộ sách gồm 13 quyển: sáu
quyển đầu gồm các kiến thức về hình học phẳng, ba quyển tiếp theo có nội dung số học
được trình bày dưới dạng hình học, quyển thứ mười gồm các phép dựng hình có liên
quan đến đại số, 3 quyển cuối cùng nói về hình học không gian. Cụ thể:
- Quyển 1: Nêu lên những phép dựng cơ bản, các phép tính trên đoạn thẳng và góc,
tính chất của hình tam giác, hình chữ nhật, hình bình hành, vấn đề so sánh diện tích các hình
đó. Kết thúc quyển 1 là định lý Pitago thuận và đảo.
Trong quyển thứ nhất, Euclid đưa ra 5 định đề:
1.Qua hai điểm có thể kéo dài vô hạn.

16


2. Với tâm điểm bất kì, luôn luôn vẽ được một đường thẳng
3. Đường thẳng bất kì và bán kính bất kì, luôn luôn vẽ được một đường
tròn.

4. Mọi góc vuông đều bằng nhau.
5. Nếu hai đường thẳng tạo thành với một đường thẳng thứ ba hai góc trong
cùng phía có tổng nhỏ hơn 1800 thì chúng sẽ cắt nhau về phía đó.
Và 5 tiên đề:
- Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau.
- Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái
bằng nhau.
- Bớt đi những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái
bằng nhau.
- Trùng nhau thì bằng nhau.
- Toàn thể lớn hơn một phần.
Với các định đề và tiên đề đó, Euclid đã chứng minh được tất cả các tính chất
hình học. Con đường suy diễn hệ thống và chặt chẽ của bộ cơ bản làm cho tập sách được
chép tay và truyền đi các nước. Tuy nhiên, các định đề và tiên đề của Euclid còn quá ít,
đặc biệt là không có các tiên đề về liên tục, nên trong nhiều chứng minh, ông phải dựa
vào trực giác hoặc thừa nhận những điều mà ông không nêu thành tiên đề.
- Quyển 2: Nghiên cứu các tương quan giữa diện tích hình chữ nhật và diện tích hình
vuông. Những hẹ thức này dược lựa chọn để chúng trở thành công cụ hình học chung nhằm
giải thích các hằng đẳng thức đại số và để giải các bài toán quy về phương trình bậc hai, đây
là quyển sách về đại số - hình học. Quyển này ngắn nhất trong 13 quyển, chỉ gồm 2 định
nghĩa và 14 mệnh đề.
- Quyển 3: Đề cập tới tính chất của hình tròn và đường tròn, dây cung và tiếp tuyến,
góc ở tâm và góc nội tiếp. Trong quyển này, phép quy nạp Aristotle được dùng để chứng
minh định lý về số đo góc nội tiếp.
- Quyển 4: Bao gồm những tính chất của đa giác đều nội tiếp và ngoại tiếp, cũng
như cách dựng các đa giác đều 3; 5; 6 và 15 cạnh.
- Quyển 5: Trình bày lý thuyết tổng quát về các tỉ số của Eudoxus. Đó là hình ảnh
ban đầu của lý thuyết số thực dưới dạng tương ứng với nhát cắt Đêđêkin.
- Quuyển 6: Nêu các ứng dụng của lý thuyết tỉ số vào hình học phẳng. Trong
quyển này còn có nhóm định lý về việc ứng dụng diện tích để tìm đoạn thẳng, kể cả ứng

ụng thiếu (eliptic) và ứng dụng thừa (hypebolic).Các định lý này cho ta phương pháp
b 2
hình học để giả các bài toán dẫn đến các phương trình bậc hai dạng ax + x = S (với a,
c
b, c là các đoạn thẳng đã cho, S là diện tích đã cho và x là đoạn thẳng phải tìm). Đó là
kết quả quen biết của môn đại số - hình học.
- Quyển 7: Bắt đầu nằng thuật toán trừ liên tiếp (thuật toán Euclid). Sau đó là
những mệnh đề về lý thuyết chia hết. Cuối cùng là lý thuyết tỉ số với số hữu tỉ.
- Quyển 8: Khảo sát các “tỉ số liên tiếp” nghĩa là các tỉ thức dạng:
a0 a1
a
a
=
= ×××= n −2 = n −1
a1 a2
an −1
an

Tỉ số giữa các số hạng trong tỉ lệ liên tiếp là hình thức cổ điển của ố luỹ thừa, ở đây ta cũng
thấy có số trung tỉ và phương pháp tìm cấp số nhân.
- Quyển 9: Viết về lý thuyết số nguyên tố, trong đó có chứng minh rằng số nguyên
tố nhiều vô hạn mà phương pháp chứng minh giống như chứng minh ngày nay (phản
n

chứng). Có trình bày đầy dủ tính chất nổi tiếng sau: “Nếu số S có dạng

∑2

k


là số

k =0

17


nguyên tố thì số S1 = S .2n là số hoàn hảo.” (số hoàn hảo là số bằng tổng tất cả các ước
của nó, kể cả đơn vị trừ chính nó). Về vấn đề những số có dạng nói trên có phải là tất cả
các ố hoàn hảo hay không thì đến nay cũng chưa giải quyết được.
- Quyển 10: Đó là quyển nhiều trang nhất, đáng chú ý và khá khó, gồm bốn định
nghĩa và 115 mệnh đề. Quyển này trình bày sự phân loại số vô tỉ, những kiến thức về các
số vô tỉ trùng phương, nghĩa là những biểu thức dạng

a ± b với a, b là nnhững đoạn

thẳng thông ước. Ngoài ra, trong quyển này còn trình bày bổ đề về “phương pháp vét
cạn”, phương pháp tìm một số vô hạn những bộ ba số nguyên Pythagoras, tìm hiểu tiêu
chuẩn thông ước của hai đại lượng, tìm số đo chung lớn nhất của những đại lượng thông
ước.
- Quyển 11: Một số định nghĩa liên quan đến không gian và hàng loạt định lý về
vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian và về góc đa diện.
Ngoài ra còn đề cập tỉ số giữa thể tích các hình hộp, hình lăng trụ.
- Quyển 12: Nghiên cứu tỉ số thể tích của tất cả vật thể sơ cấp khác (chóp, trụ,
nón, cầu) nhờ “phương pháp vét cạn”.
- Quyển 13: Trình bày cách dựng năm khối đa diện đều: Khối 4 mặt (tứ diện), sáu
mặt, tám mặt, mười hai mặt và hai mươi mặt đều và chứng minh rằng không còn loại đa
diện nào khác.
Một số phần trong bộ tài liệu đó chắc chắn là công trình riêng của Euclid, và ông
cũng đã thừa nhận công khai rằng ông đã thừa kế ở các phần khác nhưng một sự phân

định chính xác giữa cái riêng của ông và cái thừa kế thì rất khó biết chắc. Tuy nhiên, kể
cả khi ông không có đóng góp chút gì vào nguyên tác, bộ “Cơ bản” vẫn không giảm sút
ý nghĩa vốn có của nó vì đó là một cố gắng thành công nổi bậc để sắp xếp lại toàn bộ các
kiến thức toán học vào trong một hệ thống diễn dịch logic trên nền tảng tiên đề đơn giản.
Người đời sau hết lời ca ngợi bộ “Cơ bản” chính vì cách suy luận độc đáo của Euclid.
Ông sử dụng 9 tiên đề và 5 định đề, 125 định nghĩa để xây dựng thành công 465 mệnh đề
toán học. Cho đến ngày nay, nội dung bộ “Cơ bản” vẫn được dạy ở trường phổ thông các
nước trên thế giới.
Ngoài bộ “Cơ bản” Euclid còn viết nhiều sách khác. Nhiều quyển bị thất lạc,
nhưng trong số những sách còn lại là quyển Quang học. Ngoài các bài viết và những
chứng minh các định lý hình học - một tượng đài trí tuệ hùng vĩ tới mức được chấp nhận
hoàn toàn trong suốt hai mươi hai thế kỷ sau, Euclid còn quan tâm đến vấn đề thị giác. Và
sự quan tâm ấy hoàn toàn có cơ sở: ông thấy ở đó một lĩnh vực lý tưởng để áp dụng các ý
tưởng hình học thân thiết của ông. Ông đã chấp nhận một cách tự nhiên quan niệm về “tia
thị giác” của Empédocle: trong số ba lý thuyết mà các bậc tiền bối đưa ra, thì lý thuyết “tia
thị giác” phù hợp nhất với cách xử lý toán học chặt chẽ. Ông đã đưa ra nhiều lập luận xác
đáng để ủng hộ giả thuyết này. Chẳng hạn, ông lập luận rằng chúng ta không phải lúc nào
cũng tri giác được các vật, ngay cả khi cái nhìn của chúng ta bặt gặp chúng: chưa chắc bạn
nhận thấy một cái kim rơi xuống đất ngay cả khi nó nằm trong tầm nhìn của bạn; trong khi
đó, nếu thị giác chỉ phụ thuộc vào ánh sáng được cái kim phản xạ đến mắt bạn, thì chắc
chắn bạn phải nhìn thấy nó ngay lập tức. Ngược lại, lý thuyết “tia thị giác” phát ra từ “ngọn
lửa” bên trong mắt bạn có thể giải thích rất rõ điều đó: cái kim chỉ có thể nhìn thấy được
ngay vào lúc các tia phát ra từ mắt chúng ta bắt gặp nó.

18


2.6 ARCHIMEDES (287 TCN - 212 TCN)

2.6.1 Tiểu sử

Archimedes - nhà bác học vĩ đại của Hy Lạp cổ, Archimedes (287 - 212 TCN) - là
nhà giáo, nhà bác học vĩ đại của Hy Lạp cổ đại, ông sinh tại thành phố Siracuse, một thành
bang của Hy Lạp cổ đại. Cha của Archimedes là một nhà thiên văn và toán học nổi tiếng
Phidias, đã đích thân giáo dục và hướng dẫn ông đi sâu vào hai bộ môn này. Năm 7 tuổi ông
học khoa học tự nhiên, triết học, văn học. Mười một tuổi ông đi du học Ai Cập, là học sinh
của nhà toán học nổi tiếng Ơ-clit; rồi đến Tây Ban Nha và định cư vĩnh viễn tại thành phố
Cyracuse, xứ Sicile(nay thuộc nước Italia). Ðược hoàng gia tài trợ về tài chính, ông cống
hiến hoàn toàn cho nghiên cứu khoa học.
Học trò của nhà Thiên văn chính thức của vua Ptolémée III Evergète tại Alexandrie
là Conon de Samos (280, 220 TCN) và bạn của Ératosthène de Cyrène (284; 192 TCN) học
trong trường thuộc trường phái Euclide (323; 283 TCN) tại Ai Cập. Conon de Samos và
Archimedes suốt đời là bạn của nhau.
2.6.2 Đóng góp cho hình học sơ cấp

2.6.2.1 Archimedes - nhà hình học lỗi lạc

19


Archimedes đã có nhiều phát minh lớn về toán học. Ông đã để lại nhiều tác phẩm
như: “Về hình cầu và hình trụ ”, “Về độ đo các cung”, “Về việc cầu phương parabol”, “Về
các đường xoắc ốc”, v.v….
Archimedes đã tính được diện tích nhiều hình, thể tích nhiều vật thể bằng một
phương pháp đặc biệt, chứng tỏ rằng ông có khái niệm khá rõ về phép tính vi tích phân, một
bộ phận quan trọng của toán học hiện đại. Về mặt này ông đã đi trước thời đại hàng 20 thế
kỉ, vì mãi đến thế kỉ thứ 17 phép tính vi tích phân mới thật sự hình thành và phát triển với
Lebnit và Niutơn.
2.6.2.2 Tính diện tích của parabol phân
Archimedes là người đầu tiên tìm ra phương pháp tính parabol phân, chẳng hạn phần
ABC giới hạn bởi parabol ABC và đường thẳng AC.

Qua trung điểm I của AC kẻ đường song song IBG với trục của parabol. Archimedes khẳng
1
3

định rằng diện tích phần parabol ABC bằng 1 lần diện tích tam giác ABC.
Sau đây là phương pháp chứng minh cơ học của ông. Kẻ AR//IB cắt tiếp tuyến CG
tại R. Kéo dài CB cắt AR ở D trên đó đặt DE = DC. Bây giờ coi CE là đòn bẩy có thể quay
xung quanh điểm D. Ta kẻ MP qua điểm O tuỳ ý song song với GI.
Theo tính chất của parabol mà Acsimet cho là đã biết, tức là BI = BG, thì NP = NM,
DA = DR và

PN AC DC DE
=
=
=
PO AP DN DN

(*)

Nếu bây giờ trên đầu mút kia của đòn bẩy tại điểm E treo một đoạn TH = PO thì theo
luật đòn bẩy mà Archimedes tự tìm ra, đoạn TH cân bằng với đoạn MP. Dãy tỉ số (*) chứng
tỏ rằng khối lượng hai đoạn thẳng đó tỉ lệ nghịch với các cánh tay đòn. Điều này đúng với
mọi đoạn thẳng kẻ trong tam giác ABC song song với IG.
Do tam giác ACR gồm tất cả đoạn (tương tự PM) mà ta có thể kẻ trong tam giác và
do phần parabol ABC gồm tất cả đoạn (tương tự PO) ở trong parabol nên tam giác ACR
phải cân nặng như phần parabol sao cho trọng tâm của nó là E, ngoài ra D là trọng tâm
chung của chúng.
1
3


Thật thế, trọng tâm tam giác ACR là K mà DK = DC. Vì cánh tay đòn DE có treo
phần parabol gấp 3 cánh tay đòn DK và do tam giác ACR cùng cân nặng gấp ba phần
parabol. Nhưng tam giác ACR gấp đôi tam giác ACD tức gấp bốn ABC. Vậy diện tích phần
parabol ABC bằng

20

4
diện tích tam giác ABC.
3


R

M
T
G

E

D

H

N
B

K

C


O
I

P
A

Như đã được chứng minh bởi Archimedes, diện tích của phần parabol ở hình trên tương
đương với 4/3 diện tích của hình tam giác nội tiếp ở hình dưới.
2.6.2.3 Thể tích hình cầu
Archimedes đã chứng tỏ rằng hình trụ ngoại tiếp hình cầu lớn 1

1
lần hình cầu(lớn,
2

nhỏ ở đây là tương quan thể tích).
N
I

H

D

R

Z

Q


A

S

C

U

T

P

O
L

K
B

G

M

E

Một hình cầu có thể tích và diện tích bề mặt bằng 2/3 thể tích và diện tích bề mặt của
hình trụ bao quanh nó. Mô hình một hình cầu và hình trụ như trên đã được đặt trên mộ của
Archimedes theo yêu cầu của ông.
Giả sử ABCD là hình tròn lớn của hình cầu. Xét hình tròn lớn thứ hai dựng trên
đường kính BD và mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng của hình tròn thứ nhất, rồi hình nón


21


đi qua hình tròn thứ hai này có đỉnh A và trục AC, đáy là hình tròn đường kính EI và cuối
xét hình trụ EIHG có trục AC, đáy là hình tròn lớn EI.
Bây giờ nếu MQN là đường thẳng tuỳ ý song song với BD trong mặt phẳng hình
tròn ABCD cắt đường tròn đó tại O và Z, cắt mặt xung quanh hình nón tại P và Q. Thế thì:
UP2 + UO2 = UA2 + UO2 = AO2 = AU.AC
(UP2 + UO2): UN2 = (AU.AC): AC2 = AU:AC
(*)
Vậy tỉ số của tổng(nói về diện tích) các hình tròn đường kính PQ, ZO và hình tròn
đường kính MN bằng tỉ số của AU và AC.
Bây giờ lại xét AC là cánh tay đòn của đòn bẩy với điểm tựa tại A và cánh tay đòn
kia AS bằng AC, sau đó có hình tròn đường kính PQ, ZO, chuyển động về S. Khi đó theo
(*) chúng sẽ cân bằng với đường tròn MN treo tại tâm U của nó.
Vì hình trụ EIHG bao gồm hai hình tròn đó nên hình trụ cùng cân nặng bằng hình
cầu và hình nón cùng treo tại điểm S. Do T là trọng tâm hình trụ nên tỉ số của hình trụ và
tổng “nón và cầu” bằng tỉ số AS và AT, tức là 2:1. Vậy hình nón và hình cầu cộng lại bằng
nửa hình trụ. Nhưng hình nón bằng

1
1
2
hình trụ nên hình cầu bằng hình trụ hay hình trụ
3
6
3

nhỏ KLRQ.
Kết quả này có thể phát biểu cách khác như sau: hình cầu gấp bốn lần hình nón đáy

bằng hình tròn lớn của hình cầu và đường cao bằng bán kính. Từ đó Archimedes rút ra nhận
xét là diện tích mặt cầu bằng bốn lần diện tích hình tròn lớn. Nếu mồi hình tròn bằng tam
giác đáy là chu vi hình tròn và đường cao là bán kính thì tương tự mỗi hình cầu phải bằng
hình nón đáy là diện tích mặt cầu và đường cao là bán kính của nó.
Archimedes đã chứng minh những kết quả trên trong cuốn “Về hình cầu và hình trụ ”.
2.6.2.4 Những nghiên cứu khác về hình học
Trong một hình lăng trụ đáy vuông có hình trụ nội tiếp mà đáy là hình tròn nội tiếp
hình vuông đáy lăng trụ, ta cắt lăng trụ bằng một mặt phẳng quan tâm đáy dưới và cạnh đáy
trên. Ta sẽ được một khối giới hạn bởi mặt hình trụ, mặt phẳng cắt và mặt phẳng đáy. Khối
này có thể tích bằng

1
thể tích lăng trụ.
6

Archimedes đã nêu lên nhận xét trên vần bằng phương pháp cơ học như các vấn đề ở
trên rồi mới chứng minh chặt chẽ bằng hình học.
Cuối cùng ông còn nêu thêm:
Nếu trong một hình lập phương có hai hình trụ nội tiếp với trục vuông góc thì thể
tích của phần chung bằng

2
thể tích của hình lập phương.
3

Ngoài ra ông đã tính được:
Thể tích khối phỏng cầu (sphéroide)
Thể tích của parabôlôit phân quay
Trọng tâm của parabôlôit phân quay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
Trọng tâm của nửa hình cầu

Thể tích cầu phân
Thể tích phỏng cầu phân
Trọng tâm cầu phân
Trọng tâm phỏng cầu phân
Trọng tâm hypebôlôit phân quay.
Archimedes đã chứng minh một cách chặt chẽ định lí về diện tích parabol phân bằng
hai cách: cơ học và hình học; trong tác phẩm “về việc cầu phương parabol ”, ông đã đánh
giá tổng các dãy vô hạn bằng phương pháp giới hạn hoặc bằng “phương pháp epxilon ”.

22


Điều đó chứng tỏ ông đã có tư duy khá rõ về toán học hiện đại. Đối với Archimedes những
điều trên được coi là “trò chơii trẻ con”.
2.6.2.5 Những tiên đề của Archimedes
Tiên đề “toàn thể lớn hơn bộ phận” của Euclid cùng với bổ đề của Archimedes là
hoàn toàn đủ để đo diện tích các hình phẳng và thể tích các khối đa diện. Nhưng muốn đo
cung và mặt cong thì phải có một số tiên đề khác. Làm sao có thể biết được độ dài đường
tròn lớn hơn chu vi đa giác nội tiếp và nhỏ hơn chu vi đa giác ngoại tiếp? Vì thế
Archimedes đã nêu lên một số tiên đề mới.
Ông xét những đường cong phẳng giới nội nằm hoàn toàn về một phía của đường
thẳng nối hai đầu mút của chúng, và những bề mặt giới hạn bởi đường cong nằm trong mặt
phẳng đồng thời nằm hoàn toàn về một phía của mặt phẳng đó. Ông gọi đường cong và bề
mặt cùng loại này là “lồi cùng một phía” nếu tất cả các đoạn thẳng nối 2 điểm tuỳ ý của
đường cong hoặc của bề mặt luôn nằm về một phía của đường cong hoặc cầu bề mặt đó,
hoặc nằm trên chúng. Sau đó ông đưa ra một số tiên đề sau đây:
1.Trong tất cả những đoạn thẳng nối hai điểm thì đường thẳng là ngắn nhất.
2. Nếu trong một mặt phẳng có hai đường cong lồi cùng phía mà cùng nối hai điểm,
đồng thời một đường bao phủ hoàn toàn đường kia (chúng có thể trùng nhau ở một số
đoạn) thì đường trước sẽ dài hơn đường sau.

3. Trong tất cả những bề mặt giới hạn bởi cùng một đường cong phẳng thì bề mặt
phẳng là nhỏ nhất.
4. Giống như tiên đề 2 nhưng lại là bề mặt.
5. Nếu hiệu hai độ dài của hai đường, hai diện tích của hai mặt, hoặc hai thể tích
của hai vật thể không bằng nhau, được tăng lên một số lần đủ lớn thì hiệu đó có thể lơn hơn
đại lượng cho trước cùng loại.
Đó là “tiên đề Archimedes” nổi tiếng.
Lần đầu tiên Archimedes đã định nghĩa diện tích xung quanh của hình trụ đứng và
hình nón đứng bao hàm giữa lăng trụ nội tiếp và lăng trụ ngoại tiếp theo tiên đề 4.
Trong cả hai trường hợp ông đã xây dựng hình tròn mà diện tích bằng diện tích xung
quanh của hình trụ hoặc hình nón. Trong trường hợp hình trụ chẳng hạn, bán kính hình tròn
này bằng số trung bình nhân giữa đường cao và đường kính hình trụ.
Bấy giờ Archimedes mới chuyển qua định nghĩa nổi tiếng về diện tích mặt cầu và thể
tích hình cầu, diện tích cầu phân và thể tích quạt cầu.
2.6.2.6 Đường xoắn ốc
Nếu một đường thẳng chuyển động đều xung quanh một điểm O cố định và đồng
thời một điểm P chuyển động đều dọc theo đường thẳng xuất phát từ O thì điểm P đó vạch
nên một đường xoắn ốc.

23


Archimedes đã nêu lên trong toạ độ cực tính chất đặc trưng của các điểm của đường
xoắn ốc, sau đó xác định tiếp tuyến tại một điểm tuỳ ý của đường xoắn ốc và cuối cùng tìm
diện tích phần mặt phằng giữa hai bán kính tuỳ ý, giữa hai vòng xoắn liên tiếp hoặc ở trong
vòng đầu tiên của đường xoắn ốc.
Trên hình ta thấy rõ là diện tích nêu ở trên nằm giữa hai tổng của các hình viên phân
(“tổng trong” và “tổng ngoài”). Điều khó khăn duy nhất trong việc chứng minh là tính tổng
của dãy: 12+22+32+…+ n2. Ở đây Archimedes đã nêu lên công thức:
3[a2 + (2a2) + (3a2) + ….+ (na)2] = n(na)2 + (na)2 a(a+2a+3a+…+na)

2.6.2.7 Hình “Con dao người thợ giầy”
Xét hình “con dao người thợ giầy” giới hạn bởi
ba nửa đường tròn từng đôi tiếp xúc nhau tại các đầu
mút. Hình này bằng hình tròn đường kính BD. Đoạn
BD chia thành hai phần: hai hình tròn nội tiếp trong hai
phần đó bằng nhau. Acsimet đã nêu ra phương pháp
biểu thị đường kính của hình tròn nội tiếp trong hinh “
con dao người thợ giầy” theo độ dai AC nếu cho biết tỉ
số mà D chia đoạn AC.

B

A
C

D

Ngoài ra Archimedes còn trình bày một mệnh đề
tuyệt vời. Kéo dài dây cung AB của một đường tròn tuỳ
ý một đoạn BC bằng bán kính và kẻ qua C đường kính
FDE. Thế thì cung AE lớn gấp 3 lần cung BF.

B

A

C
F
E


D

Cách chứng minh rất đơn giản:
·
·
sd »AE = ·ADE = DAB
+ ACD
·
= ·ABD + BDC
·
·
= 2 BDC
+ BDC
·
»
= 3BDC
= 3sd BF

Dựa vào mệnh đề này ta có thể chia một cung AE cho trước thành 3 phần bằng nhau
như sau: kẻ đường kính EF rồi đoạn BC sao cho BC bằng bán kính r (chẳng hạn dùng thước
trên có hai vạch cách nhau r) và CB kéo dài đi qua A. Khi đó cung BR sẽ bằng
2.6.2.8 Các khối đa diện nửa đều
Archimedes còn nghiên cứu các khối đa diện nửa đều giới hạn bởi:
4 tam giác đều và 4 lục giác đều

24

1
cung AE.
3



hoặc 8 tam giác đều và 6 hình vuông,
hoặc 6 hình vuông và 8 lục giác,
hoặc 8 tam giác và 6 bát giác,
hoặc 8 tam giác và 18 hình vuông,
hoặc 12 hình vuông, 8 lục giác và 6 bát giác,
hoặc 20 tam giác và 12 ngũ giác,
hoặc 12 ngũ giác và 20 lục giác,
hoặc 20 tam giác và 12 thập giác,
hoặc 32 tam giác và 6 hình vuông,
hoặc 20 tam giác, 20 hình vuông và 12 ngũ giác,
hoặc 30 hình vuông, 20 lục giác và 12 thập giác.
2.6.3 Archimedes – công trình sáng tạo và các giai thoại
2.6.3.1 Archimedes nhà thiên văn nổi tiếng
Trong cuốn “Tính toán hạt cát” Archimedes đã mô tả một dụng cụ mà ông đã sáng
tạo để đo đường kính của Mặt trời chính của quyển sách này là chỉ ra phương pháp thuận
tiện có thể biểu diễn các số lớn hơn các hạt cát lấp đầy toàn bộ không gian vũ trụ.
Archimedes cho rằng: Quả đất nằm ở trung tâm vũ trụ và ông đã tính khoảng cách từ
Quả đất đến Mặt trăng, từ Mặt trăng đến sao Kim, đến sao Thuỷ, đến sao Hoả, đến sao Mộc,
đến sao Thổ và cuối cùng đến những ngôi sao khác.
Là nhà thiên văn nổi tiếng, Archimedes đã sáng tạo ra nhà vũ trụ với hình cầu rỗng
quay do hệ thống máy móc bên trong, dùng để tạo lại chuyển động của Mặt trời, của Mặt
trăng và của năm hành tinh.
2.6.3.2 Archimedes phát minh ra đòn bẩy, bánh xe răng cưa, bộ ròng rọc, đinh vít,..
Trong tác phẩm “Về sự cân bằng của các hình phẳng” Archimedes lần đầu tiên đã
trình bày một cách lôgíc và chặt chẽ định luật nổi tiếng về đòn bẩy xuất phát từ một dãy tiên
đề:
“Hai đại lượng cân bằng nhau nếu các khoảng cách của chúng (đến điểm tựa của
đòn bẩy) tỉ lệ nghịch với trọng lượng”.

Sử dụng định luật này có thể xác định trọng tâm của hình bình hành, hình tam giác
và hình thang, trọng tâm của parabol phân, của phần diện tích parabol bao hàm giữa hai
đường thẳng song song.
Ngoài ra nhà văn cổ Hi Lạp Aphinô đã tả quang cảnh công trình đóng tàu thuỷ của
Archimedes như sau:
“Nhà hình học Archimedes được giao đóng một chiếc tàu to bằng 64 chiếc tàu
thường. tất cả mọi thứ cần thiết, các loại gỗ quý được chở từ khắp nơi đến. Nhiều thợ đóng
tàu cũng được triệu về đây. Mọi việc được tiếng hành rất nhanh chóng, có qui củ, nên chỉ
sau nửa năm đã làm xong một nửa tàu. Riêng việc hạ thuỷ tàu này, mọi người bàn cãi rất
nhiều: làm sao để có thể đưa được một con tàu lớn như vậy xuống nước?
Nhưng Archimedes đã dùng trục quay để kéo con tàu với rất ít người giúp việc.
Chiếc tàu khổng lồ này có đầy đủ tiên nghi, như nhà bếp, nhà ăn, chỗ dạo chơi, kho lương
thực, thư viện,….”

25