ÔN TẬP MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Dành cho sinh viên K49 ĐH Ngoại thương
1. Xác suất (5 điểm)
- Công thức xác suất đầy đủ, công thức xác suất điều kiện.
- Kì vọng, phương sai, mod, med, bảng phân phối, hàm phân phối và hàm mật độ.
2.
-

Phân phối Bernoulli, Chuẩn, xấp xỉ xác suất.
Thống kê (5 điểm)
Lý thuyết mẫu.
Ước lượng tham số.
Kiểm định giả thiết thống kê.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1. Có hai cái hộp: hộp thứ nhất có 3 bi đỏ, 7 bi xanh; hộp thứ hai có 2 bi đỏ, 8 bi xanh. Từ
hộp thứ nhất lấy ra 1 bi, từ hộp thứ hai lấy ra 2 bi, cùng bỏ vào hộp thứ ba đang có 5 bi
xanh. Sau đó từ hộp thứ ba lấy ra 3 bi. Tìm xác suất lấy được
a) 2 bi đỏ;
b) ít nhất 1 bi đỏ.
2. Ở một quầy hàng điện tử các bóng đèn được đóng thành lô, trong mỗi lô có 8 bóng tốt và
2 bóng bị hỏng. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên một lô hàng, từ đó chọn ngẫu nhiên 3
bóng đèn, nếu thấy cả 3 bóng đều tốt thì mua lô hàng.
a) Tìm xác suất khách hàng không mua lô hàng đó.
b) Giả sử khách hàng chọn 8 lô hàng. Tìm xác suất người đó mua 5 lô.
3. Một nhà máy có 4 phân xưởng sản xuất một loại sản phẩm. Cho biết tỷ lệ sản phẩm của
các phân xưởng đó trong kho hàng lần lượt là 25%; 30%, 28%; 17%; còn tỷ lệ phế phẩm
tương ứng là 2%; 1,5%; 2,5%; 1%.
a) Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho hàng của nhà máy. Tìm xác suất chọn
được sản phẩm tốt.
b) Chọn ngẫu nhiên 250 sản phẩm trong kho hàng. Tìm xác suất chọn được

(i) 245 sản phẩm tốt;
(ii) ít nhất 3 phế phẩm.
c) Muốn xác suất lấy được ít nhất 1 phế phẩm trong kho hàng không dưới 98% thì
phải chọn tối thiểu bao nhiêu sản phẩm trong kho hàng đó?
4. Cho biết tỉ lệ học sinh bị cận thị ở một trường THPT là 40%. Chọn ngẫu nhiên 100 học
sinh của trường. Tìm xác suất chọn được
a) Ít nhất 1 học sinh bị cận;
b) từ 70 đến 95 học sinh bị cận.
5. Một loại nón bảo hiểm bán trên thị trường xuất phát từ ba nguồn A, B, C với tỉ lệ thị
trường tương ứng là 20%, 45%, 35%. Cho biết tỉ lệ nón được kiểm định từ ba nguồn đó lần
lượt là 90%, 60% và 70%. Mua ngẫu nhiên một nón loại này.
a) Tìm xác suất mua được nón đã kiểm định.

1


b) Nếu mua được nón chưa qua kiểm định thì khả năng nón này xuất phát từ nguồn
nào là nhiều nhất?
6. Cho biết xác suất có làm bài tập về nhà của sinh viên một trường đại học là 0,65. Chọn
ngẫu nhiên 120 sinh viên của trường. Tìm xác suất trong số đó có
a) 35 sinh viên không làm bài tập về nhà.
b) từ 68 đến 80 sinh viên có làm bài tập về nhà.
7. Một vỉ thuốc có 30 viên thuốc, trong đó có 5 viên kém chất lượng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên
thuốc. Gọi X là số viên kém chất lượng lấy được. Tìm quy luật phân phối xác suất và tính
kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X.
8. Một sinh viên thi 5 môn với xác suất đậu từng môn đều là 0,8. Gọi X là số môn anh ta
đậu. Hãy lập bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất và tính kì vọng, phương sai,
độ lệch chuẩn của X.
9. Điểm thi môn Toán của một số sinh viên trường đại học M được cho trong bảng sau
Điểm

0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Số sinh viên
2 4
7 12 24
28 32 25 17 6
3
a) Hãy ước lượng điểm thi trung bình môn XSTK và tỉ lệ đậu của sinh viên toàn
trường với độ tin cậy 98%.
b) Muốn độ tin cậy khi ước lượng điểm thi trung bình môn XSTK là 95%, sai số
bằng nửa sai số ở câu a thì cần điều tra thêm bao nhiêu sinh viên?
10. Điều tra về thu nhập của một số công nhân trong xí nghiệp ΩMD, ta được bảng số liệu
sau đây:
Thu nhập (triệu đồng/tháng)
Số công nhân
1,6 – 2,0
5
2,0 – 2,4
9
2,4 – 2,8
12
2,8 – 3,2

18
3,2 – 3,6
7
3,6 – 4,0
5
a) Ước lượng thu nhập trung bình của công nhân toàn xí nghiệp với độ tin cậy 99%.
b) Những người có thu nhập trên 3,2 triệu đồng/tháng là người có thu nhập cao. Hãy
ước lượng tỉ lệ công nhân có thu nhập cao trong xí nghiệp với độ tin cậy 95%.
Nếu xí nghiệp có 1800 công nhân thì số công nhân có thu nhập cao tối thiểu của
xí nghiệp là bao nhiêu?
11. Khảo sát về khối lượng của một loại trái cây tại nông trường KKK, người ta ghi được
bảng số liệu sau đây:
Khối lượng (gam)
Số trái
100 – 200
20
200 – 300
50
300 – 400
140
400 – 500
110
2


500 – 600
600 – 700

70
10


Quy định những trái cây có khối lượng trên 400 gam là trái cây loại một.
a) Ước lượng tỉ lệ trái cây loại một của nông trường với độ tin cậy95%?
b) Nếu muốn ước lượng tỉ lệ trái cây loại 1 của nông trường với độ tin cậy 99% và độ
chính xác 3% thì phải điều tra thêm bao nhiêu trái nữa?
12. Sau đây là kết quả điều tra mức điện tiêu thụ hàng tháng của một số hộ gia đình sinh
sống tại thành phố Hồ Chí Minh:
Lượng điện tiêu thụ (Kwh)
Số hộ
80 – 100
14
100 – 120
16
120 – 140
28
140 – 160
20
160 – 180
9
180 – 200
8
200 – 220
5
a) Hãy ước lượng mức điện tiêu thụ trung bình hàng tháng của các hộ gia đình với độ
tin cậy 95%. Cho biết giá điện sinh hoạt là 950 đồng/kwh. Hãy ước lượng tiền điện
tối thiểu mà mỗi hộ gia đình phải trả hàng tháng với độ tin cậy 95%.
b) Hãy ước lượng tỉ lệ hộ gia đình có mức điện tiêu thụ mỗi tháng từ 160 kwh trở lên
với độ tin cậy 99%.
c) Có thông tin cho rằng tỉ lệ tiêu thụ từ 160kw/h trở lên lớn hơn 25%. Với mức ý
nghĩa 2%. Hãy kết luận xem thông tin trên có chính xác không.

13. Số liệu thống kê về doanh số bán hàng tại một cửa hàng trong một số ngày được ghi
nhận như sau:
Doanh số (triệu đồng/ngày)
Số ngày
24
5
30
12
36
25
42
35
48
24
54
15
60
12
65
10
70
6
a) Hãy ước lượng doanh số bán trung bình trong một ngày của cửa hàng với độ tin
cậy 99%.
b) Những ngày có doanh số bán từ 60 triệu đồng trở lên là những ngày “bán đắt
hàng”. Hãy ước lượng doanh số bán trung bình của một ngày “bán đắt hàng” với
3


độ tin cậy 95%. Giả thiết doanh số bán hàng là đại lượng ngẫu nhiên phân phối

theo quy luật chuẩn.
14. Theo dõi số kẹo X (kg) bán ra trong một tuần ta có bảng sau:
Lượng kẹo 0-50 50-100 100-150 150-200 200-250 250-300 300-350
9
23
27
30
25
20
5
Số tuần
a) Để ước lượng số kẹo trung bình bán được trong một tuần với độ chính xác 10kg và
độ tin cậy 99 % thì cần điều tra thêm bao nhiêu tuần nữa?
b) Bằng cách thay đổi mẫu mã người ta thấy số kẹo bán được trung bình trong một tuần
là 200kg. Hãy kết luận về kết quả trên ở mức ý nghĩa 5%?
c) Những tuần bán được từ 250kg trở lên là những tuần hiệu quả. Ước lượng tỉ lệ những
tuần hiệu quả với độ tin cậy 90%.
d) Ước lượng số kẹo bán được trung bình trong tuần với độ tin cậy 98%?
15. Số liệu khảo sát về khối lượng hàng bán được (tấn/tháng) của một loại hàng ở một vùng
như sau:
34
35
36
36
35
37
38
40
40
40

39
39
39
38
38
38
Giả thiết khối lượng hàng bán được là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
a) Tìm khoảng ước lượng với độ tin cậy 98% cho khối lượng hàng bán được trung bình
trong một tháng ở vùng này.
b) Với mẫu trên nếu đưa ra khoảng ước lượng với độ chính xác là 0,3 tấn/tháng thì độ
tin cậy của kết quả là bao nhiêu?
16. Sản phẩm của một nhà máy được đóng thành kiện, mỗi kiện 10 sản phẩm gồm 6 loại A
và 4 loại B. Khách hàng chọn cách kiểm tra như sau: từ mỗi kiện chọn ngẫu nhiên 3 sản
phẩm nếu thấy có ít nhất 2 sản phẩm tốt thì nhận kiện đó, ngược lại thì loại kiện đó. Kiểm
tra 140 kiện hàng trong số rất nhiều kiện. Tính xác suất để có:
a) 93 kiện được chọn.
b) Từ 90 đến 110 kiện được nhận.
17. Một người cân nhắc việc mua cổ phiếu của 2 công ty A và công ty B hoạt động trong 2
lĩnh vực độc lập nhau. Biết lãi suất cổ phiếu (tính bằng %) của 2 công ty là các đại lượng
ngẫu nhiên phân bố theo qui luật chuẩn với các tham số đặc trưng như sau:
Công ty A: X ~ N (12; 3, 52 )
Công ty B: Y ~ N (11; 2, 8)
a) Nếu người đó muốn đạt lãi suất tối thiểu 10% thì nên mua cổ phiếu của công ty nào?
b) Nếu người đó muốn hạn chế rủi ro bằng cách mua cả cổ phiếu của cả 2 công ty thì
nên mua với tỉ lệ nào để mức độ rủi ro về lãi suất là thấp nhất.
18. Trọng lượng ngẫu nhiên của một con cừu là đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo qui
luật chuẩn với trung bình là 25kg và độ lệch chuẩn là 4kg. Chọn ngẫu nhiên một con cừu.
Tính xác suất để con cừu đó có trọng lượng:
a) Nặng hơn 30kg?
4



b) Nhẹ hơn 18kg?
c) Từ 20kg đến 27kg?
19. Có 3 cửa hàng 1,2,3 cùng kinh doanh một loại sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm loại 1 của mỗi
cửa hàng như sau: 70%, 75% và 60%. Một khách chọn ngẫu nhiên một cửa hàng sau đó
mua ngẫu nhiên 5 sản phẩm,
a) Tính xác suất khách không mua được sản phẩm loại A nào cả?
b) Tính xác suất khách mua được 3 sản phẩm loại A khi biết rằng trong 5 sản phẩm
được mua có ít nhất một sản phẩm loại A?
c) Giả sử khách mua được 3 sản phẩm loại A. Tính xác suất trong 5 sản phẩm tiếp theo
khách mua được 4 sản phẩm loại A?
20. An và Bình hai người cùng đi thi. Bài thi trắc nghiệm gồm 5 câu, mỗi câu có 5 đáp án
và chỉ có một đáp án đúng. Cả 2 không học bài nên chọn đánh ngẫu nhiên. Tính xác suất để
số câu đúng của cả hai là như nhau?
21. Để thu hút khách hàng, quán cà phê X phát ngẫu nhiên cho mỗi khách đến uống một
phiếu trên đó có ghi một chữ cái (giả sử rằng mỗi khách chỉ được nhận tối đa 1 phiếu một
ngày và không có khách nào không nhận phiếu). Đến cuối tuần quán này sẽ tổ chức bốc
thăm để chọn ra 7 chữ tương ứng 7 ngày. Nếu khách hàng 1 chữ đúng tương ứng thì được
tặng 100.000; nếu có 2 chữ đúng tuông ứng thì được 150.000 còn có từ 3 chữ đúng tương
ứng trở lên thì được 200.000. Giả sử bạn uống cà phê tại quán này 4 tuần liên tiếp. Tính số
tiền trung bình bạn nhận được?
22. Một sinh viên làm bài trắc nghiệm gồm 50 câu. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, trả
lời sai bị trừ 1 điểm. Do ôn bài khá kĩ nên xác suất trả lời đúng mỗi câu của sinh viên là
85%. Nếu sinh viên được từ 185 điểm trở lên thì được đi chơi với người yêu.
a) Tính xác suất anh này bị ở nhà? ^_^
b) Biết anh này được đi chơi. Tính xác suất anh ta làm đúng cả 50 câu?
23. Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình  . Tính giá trị  biết
rằng P  X  1 X  1  0, 8 .
24. Cho 3 đại lượng ngẫu nhiên độc lập X,Y,Z biết rằng X~B(50;0,6), Y~N(250;100) và Z

là tổng số chính phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra từ 2 lô hàng mỗi lô có 10 sản phẩm. Lô 1 có
6 chính phẩm và lô 2 có 7 chính phẩm. Đặt T  Mod ( X ).X  Var (Y ).Y  P(Z  1).Z .
Hãy tính E (T ); Var (T ) ?
25. Số kw giờ điện một hộ loại A sử dụng trong tháng là X~N(90;100). Một tổ dân phố
gồm 50 hộ loại A. Giá điện là 3000đ/kw và phí dịch vụ là 10.000 một tháng với mỗi hộ.
Hãy dự đoán số tiền điện phải trả của tổ dân phố trên trong một tháng với độ tin cậy 95%?
26. Theo dõi sự phát triển chiều cao của một loại cây sau một năm trồng ta có bảng sau:
Chiều cao 2,5-3,0 3,0-3,5 3,5-4,0 4,0-4,5 4,5-5,0 5,0-5,5 5,5-6,0
Tần số
5
20
25
30
30
23
14
a) Biết chiều cao trung bình của loại cây này sau một năm là 4,5m. Đối với mẫu trên có
cần tiến hành cải tiến kĩ thuật để tăng chiều cao của cây không? Kết luận với mức ý
nghĩa 5%.
5


b) Để ước lượng chiều cao trung bình của loại cây này với độ chính xác là 0,2m thì độ
tin cậy là bao nhiêu.
c) Những cây cao không quá 3,5m là cây chậm lớn. Ước lượng chiều cao trung bình của
các cây chậm lớn với độ tin cậy 98%. Biết rằng chiều cao loại cây này có phân phối
chuẩn.
d) Có tài liệu cho rằng phương sai của các cây chậm lớn là 0,04 m2. Với mức ý nghĩa
5% có chấp nhận được kết quả ấy không?
27. Tiến hành khảo sát số gạo bán hàng ngày tại một cửa hàng ta có:

Số lượng (kg)
Số ngày

110-125
5

125-140
9

140-155
12

155-170
25

170-185
30

185-200
20

200-215
13

215-230
7

a) Chủ hàng tuyên bố rằng nếu mỗi ngày bán không quá 140kg thì nghỉ bán là tốt hơn.
Từ số liệu điều tra cửa hàng kết luận thế nào với mức ý nghĩa 1%.
b) Những ngày bán ra từ 200kg trở lên là những ngày cao điểm. Ước lượng số tiền bán

được trung bình trong những ngày cao điểm với độ tin cậy 95%? Biết gạo có giá
15000đ/kg
c) Để ước lượng tỉ lệ ngày cao điểm với độ chính xác 5% thì độ tin cậy là bao nhiêu?
28. Tại một vùng rừng Việt Nam người ta theo dõi số lượng heo rừng bằng cách đeo vòng
cho chúng. Tiến hành đeo vòng cho 1000 con. Sau một thời gian Bắt lại 200 con thì thấy có
40 con đeo vòng. Hãy ước lượng số heo trong vùng đó với độ tin cậy 99%.
29. Trong một nhà máy sản xuất vi mạch máy vi tính, khi kiểm tra sản phẩm xuất xưởng
người ta chọn ngẫu nhiên 300 vi mạch thì thấy có 13 vi mạch không đạt yêu cầu. Gọi p là tỉ
lệ vi mạch không đạt yêu cầu của nhà máy.
a. Hãy xác định mức ý nghĩa nhỏ nhất để có thể bác bỏ giả thiết “tỉ lệ vi mạch không đạt
yêu cầu là 5%”
b. Hãy xác định mức ý nghĩa nhỏ nhất để chấp nhận giả thiết “tỉ lệ vi mạch không đạt yêu
cầu thấp hơn 5%”
30. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ:
ax+bx 2 , x   0,1
f x  
, x   0,1
0


1





Giả sử E  X   0, 6 . Hãy tính: P  X   và VarX .
2

6