LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: Ban chủ nhiệm khoa
Toán −Lý −Tin, phòng khảo thí và đảm bảo chất lượng, phòng đào tạo
đại học, các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích, đặc biệt là thầy giáo Vũ
Việt Hùng, người đã định hướng nghiên cứu, hướng dẫn, cũng như động
viên tôi có thêm nghị lực hoàn thành đề tài này.
Nhân dịp này tôi xin cảm ơn tới người thân và các bạn sinh viên lớp K53
ĐHSP Toán.
Những ý kiến đóng góp, giúp đỡ, động viên của thầy cô và bạn bè đã tạo
điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2015.
Nhóm sinh viên thực hiện
Lường Văn Văn
Vũ Thị Lan

1


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết độ đo là một trong những nội dung kiến thức cơ bản của giải
tích hiện đại. Đây là cơ sở để nghiên cứu nhiều vấn đề quan trọng của giải
tích nói chung. Ở học phần lý thuyết độ đo trong chương trình học của
sinh viện năm thứ ba đại học sư phạm toán hiện nay, lý thuyết độ đo được
trình bày dạng cơ bản nhất. Vì vậy, việc trình bày chi tiết vấn đề liên quan
đến độ đo trên một số không gian đo đặc biệt sẽ giúp cho sinh viên có sự
hiểu biết sâu sắc thêm cũng như định hướng, làm quen dần với những nội
dung kiến thức chuyên sâu cần thiết cho những nghiên cứu tiếp theo về
vấn đề này.
Mặt khác nội dung kiến thức về độ đo là một trong những nội dung khá

quan trọng của giải tích nói chung và giải tích hiện đại nói riêng. Việc xây
dựng độ đo xuất phát từ vấn đề: Trên đường thẳng, có những tập được
gán một số không âm gọi là độ dài, chẳng hạn như độ dài đoạn thẳng.
Nhưng cũng có những tập mà trực quan ta không biết được độ dài của
nó xác định như thế nào, chẳng hạn như tập những số hữu tỉ trong đoạn
[0, 1]. Người ta đã xây dựng lý thuyết độ đo để có thể đo được những tập
như thế và hơn cả như vậy.
Về vấn đề tích phân trong giải tích cổ điển, chúng ta đều đã biết về tích
phân Riemann, tích phân này có một số hạn chế. Với tích phân này, nhiều
vấn đề của giải tích đã không được giải quyết một cách thỏa đáng, chẳng
hạn vấn đề qua giới hạn dưới dấu tích phân,... Đây là những vấn đề đã
được học trong chương trình năm thứ ba của bậc đại học tại Khoa Toán Lý - Tin.
Mặt khác, cũng trong chương trình năm thứ 3 của bậc đại học, chúng tôi
cũng được nghiên cứu lý thuyết không gian tôpô ở học phần trước của học
phần độ đo - tích phân cùng với đó, chúng tôi cũng đã được học học phần
đại số đại cương, nơi mà lý thuyết nhóm được nghiên cứu đầy đủ. Đồng
thời, như chúng ta đã biết, ngày nay các bộ môn toán học cũng đang có
2


xu hướng hòa quyện vào nhau cùng nghiên cứu, một trong những hướng
chủ đạo đó là nghiên cứu những lớp đối tượng trong toán học hiện đại mà
trong đó có cả cấu trúc đại số (có các phép toán đại số) và có cả cấu trúc
tôpô, nơi đã có sẵn cấu trúc tôpô cho phép ta nghiên cứu tính liên tục của
các hàm trên chúng,... Hơn nữa, chúng ta đều đã biết một trong những kết
quả rất quan trọng của giải tích hiện đại đó là định lý biểu diễn Riesz trong
không gian Hilbert, nơi đã có sẵn một tích vô hướng. Kết quả thật tuyệt
vời khi mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert có thể
biểu diễn thông qua tích vô hướng đã có. Điều này đã làm cho việc nghiên
cứu các phiếm hàm đã cho diễn ra thực sự thuận lợi. Tuy nhiên có thể

thấy không gian Hilbert là một trong những không gian đẹp và có nhiều
điều kiện ngặt nghèo. Chính vì lý do đó, chúng tôi cũng đặt ra vấn đề là
tiến hành nghiên cứu vấn đề tương tự trong không gian (có cả cấu trúc đại
số, tôpô) không phải là Hilbert. Kết quả trả lời cho câu hỏi là chúng ta đã
biết độ đo sinh ra một phiếm hàm tuyến tính dương trên không gian các
hàm số thực liên tục có giá compact, nhưng điều ngược lại có đúng không
? Điều này sẽ được khẳng định trong định lý biểu diễn Riesz.
Xuất phát từ những lí do trên chúng tôi đã mạnh dạn chọn đề tài "Độ đo
trên không gian tôpô " để nghiên cứu.
2. Mục đích, đối tượng, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu, giới
hạn phạm vi nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu độ đo trên không gian tôpô,và lý thuyết biểu diễn Riesz liên
hệ giữa độ đo và phiếm hàm tuyến tính liên tục. Từ đó đưa ra một số ứng
dụng của lý thuyết này trong giải tích hiện đại.
2.2. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là độ đo trên không gian tôpô.
2.3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích như trên, tôi đã đặt nhiệm vụ tìm hiểu và trình bày lại
các vấn đề kiến thức có liên quan một cách có hệ thống và lôgic. Từ đó
3


trình bày một cách chi tiết về độ đo trên không gian tôpô.
2.4. Phương pháp nghiên cứu
Do đặt ra nhiệm vụ như trên và do đặc thù bộ môn, tôi chọn phương
pháp sưu tầm tài liệu, hỏi ý kiến chuyên gia, giảng viên hướng dẫn, nhóm
nghiên cứu. Từ đó hệ thống lại kiến thức theo nội dung của đề tài.
2.5. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu là nghiên cứu vấn đề về độ đo trên không gian tôpô.

3. Bố cục
Từ mục đích và nhiệm vụ đặt ra bố cục của đề tài được sắp xếp như
sau: Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo,
nội dung đề tài gồm ba chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Hệ thống cơ bản các nội dung kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu
nội dung chính của đề tài trong chương 1 như: Lý thuyết độ đo, hàm đo
được, đặc biệt là định lý cấu trúc hàm đo được. Tiếp đó chúng tôi trình
bày một số kiến thức cơ sở của không gian tôpô cũng như một số lớp không
gian tôpô cần dùng sau đó. Cuối cùng trong chương 1, chúng tôi dành cho
việc trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian định chuẩn, không
gian Hilbert cũng như về sơ lược toán tử tuyến tính trong các không gian
này.
Chương 2. Độ đo trên không gian tôpô.
Trình bày lý thuyết cơ bản về việc xậy dựng độ đo trên không gian
tôpô, đặc biệt là trong không gian tôpô Hausdroff compact địa phương.
Tiếp theo đó, chúng tôi trình bày Định lí biểu diễn Riesz-Markov và Định
lý Lusin. Cuối cùng trong chương 2 chúng tôi cũng trình bày vấn đề liên
quan đến giá của độ đo.
Chương 3. Phiếm hàm tuyến tính liên tục và định lý biểu diễn Riesz.
Trình bày kết quả chính của đề tài, Định lý biểu diễn Riesz. Phần cuối
của đề tài cũng dành cho việc xây dựng độ đo Haar.
4. Đóng góp của đề tài
4


Đề tài trình bày một cách có hệ thống kiến thức liên quan về tôpô và
lý thuyết cơ bản của độ đo, về phiếm hàm tuyến tính trong không gian
định chuẩn. Kết quả chính của đề tài là trình bày định lý biểu diễn Riesz
cho không gian định chuẩn, khác với kết quả tương tự trong không gian

Hilbert được học trong chương trình đại học đối với sinh viên. Đề tài cũng
là tài liệu tham khảo chuyên sâu hữu ích cho các sinh viên chuyên ngành
toán trong lĩnh vực của đề tài nói riêng và là tài liệu tham khảo cho sinh
viên Khoa Toán – Lý – Tin trường Đại học Tây Bắc tại thư viện của nhà
trường nói chung.

5


Mục lục

Lời cảm ơn

1

Mở đầu

2

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

8

1.1

1.2

Đại số và σ-đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8


1.1.1

Đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2

σ-đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Độ đo trên đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1

Hàm tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2

Độ đo trên đại số tập hợp . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.3


Các tính chất cơ bản của độ đo . . . . . . . . . . .

11

1.2.4

Độ đo ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.5

Độ đo đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3

Độ đo trong Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4

Hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4.1


Định nghĩa và các điều kiện tương đương . . . . . .

14

1.4.2

Các phép toán với hàm đo được . . . . . . . . . . .

14

1.4.3

Các định lí về hàm đo được . . . . . . . . . . . . .

15

1.5

Cấu trúc của hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6

Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.6.1


Tôpô trên một tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.6.2

Một số không gian tôpô quan trọng . . . . . . . . .

18

Không gian tuyến tính định chuẩn . . . . . . . . . . . . . .

18

1.7

6


1.8

1.9

1.7.1

Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . .

18


1.7.2

Không gian tuyến tính định chuẩn . . . . . . . . .

19

Phiếm hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.8.1

Định nghĩa toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . .

20

1.8.2

Phiếm hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.9.1

Không gian tiền Hilbert . . . . . . . . . . . . . . .


21

1.9.2

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2 ĐỘ ĐO TRÊN KHÔNG GIAN TÔPÔ

23

2.1

Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2

Độ đo trên không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.1

Phân hoạch đơn vị . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31


2.2.2

Hàm tuyến tính dương . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.3

Định lí biểu diễn Riesz-Markov . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.4

Định lí Lusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.5

Giá của một độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3 PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC VÀ ĐỊNH LÝ
BIỂU DIỄN RIESZ

54

3.1


Liên hợp của không gian Lebesgue

. . . . . . . . . . . . .

54

3.2

Liên hợp của không gian Cc (X) . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.3

Định lí biểu diễn Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.4

Độ đo Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

Kết luận

77

Tài liệu tham khảo


79

7


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về đại số,
độ đo, hàm đo được và các không gian tôpô, không gian tuyến tính định
chuẩn, phiếm hàm tuyến tính liên tục và không gian Hilbert.
1.1

Đại số và σ-đại số tập hợp

1.1.1

Đại số tập hợp

Định nghĩa 1.1. Cho X là tập tùy ý khác rỗng. Ta gọi C các tập con của
X là một đại số trên X nếu thỏa mãn các tính chất sau:
a) X ∈ C.
b) Nếu A ∈ C thì CA ∈ C.
c) Nếu A, B ∈ C thì A ∪ B ∈ C.
Ngoài ra ta còn có thể kiểm tra C là đại số các tập con của X dựa vào bổ
đề sau.
Bổ đề 1.2. C là một đại số các tập con của X nếu và chỉ nếu C thỏa mãn
các điều kiện sau:
a) X ∈ C.

b) Nếu A ∈ C thì CA ∈ C.
c) Nếu A, B ∈ C thì A ∩ B ∈ C.
8


Chứng minh. Giả sử C là một đại số các tập con của X. Theo định nghĩa
C thỏa mãn các điều kiện a),b). Nếu A, B ∈ C, theo b) ta có CA, CB ∈ C,
lại theo c) ta có (CA) ∪ (CB) ∈ C và do đó, theo b) ta có A ∩ B =
C(CA ∪ CB) ∈ C. Ngược lại chứng minh tương tự.
Bổ đề 1.3. Giao của một họ tùy ý các đại số các tập con của X là một
đại số các tập con của X.
Cho A là một họ tùy ý các tập con của X. Bao giờ cũng tồn tại một đại
số các tập con của X chứa A, chẳng hạn đại số P(X) tất cả các tập con
của X. Kí hiệu C(A) là giao của tất cả các đại số các tập con của X chứa
A, khi đó C(A) là một đại số gọi là đại số các tập con của X sinh bởi A.
1.1.2

σ-đại số tập hợp

Định nghĩa 1.4. Cho X là tập tùy ý khác rỗng. Một họ F các tập con
của X được gọi là một σ-đại số trên X nếu thỏa mãn các điều kiện:
a) X ∈ F.
b) Nếu A ∈ F thì CA ∈ F.
∞

An ∈ F.

c) Nếu {An }n∈N∗ ⊂ F thì
n=1


Ta cũng có thể kiểm tra F là σ- một đại số các tập con của X dựa vào bổ
đề sau.
Bổ đề 1.5. F là σ- một đại số các tập con của X nếu và chỉ nếu F thỏa
mãn các điều kiện sau:
a) X ∈ F.
b) Nếu A ∈ F thì CA ∈ F.
∞

c) Nếu {An }

n∈N∗

⊂ F thì

An ∈ F.
n=1

Bổ đề 1.6. Giao của họ tùy ý các σ-đại số các tập con của X là một σ-đại
số các tập con của X.
9


Cho A là một họ tùy ý các tập con của X. Kí hiệu F(A) là giao của tất
cả các σ-đại số các tập con của X chứa A, khi đó F(A) là một σ-đại số
gọi là đại số các tập con của X sinh bởi A.
1.2

Độ đo trên đại số tập hợp

1.2.1


Hàm tập hợp

Định nghĩa 1.7. Cho X = ∅, C- họ các tập con nào đó của X. Hàm
µ :C → R = R ∪ {−∞; +∞}
A → µ(A)
Khi đó ta nói hàm µ là một hàm tập hợp. Hơn nữa ta gọi
i) µ có tính chất cộng tính nếu
∀A, B ∈ C, A ∩ B = ∅ ⇒ µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B).
ii) µ được gọi là có tính chất σ- cộng tính nếu ∀{An }n∈N∗ ⊂ C sao cho
∞

An ∈ C thì

Ai ∩ Aj = ∅(i = j),
n=1

∞

∞

µ

An

µ(An ).
n=1

n=1


1.2.2

=

Độ đo trên đại số tập hợp

Định nghĩa 1.8. Một hàm tập µ trên đại số C- các tập con của X. Khi
đó µ được gọi là một độ đo nếu:
(i) µ(A) ≥ 0, ∀A ∈ C.
(ii) µ(∅) = 0.
(3i) µ có tính chất σ- cộng tính.
Khi đó ta gọi µ(A) là độ đo của A, ∀A ∈ C.

10


Định nghĩa 1.9. Cho µ là một độ đo trên đại số các tập con của X. Ta
nói
a) Độ đo µ là hữu hạn nếu µ(X) < +∞;
b) Độ đo µ là σ- hữu hạn nếu tồn tại một dãy {Xn }n=1,∞ ⊂ C sao cho
∞

X=

Xn và µ(Xn ) < +∞ với mọi n ∈ N∗ .

n=1

1.2.3


Các tính chất cơ bản của độ đo

Các tính chất cơ bản của độ đo được thể hiện ở trong định lí sau.
Định lý 1.10. Giả sử µ là một độ đo trên đại số C các tập con của X.
Khi đó
a) Nếu A, B ∈ C, A ⊂ B thì µ(A) ≤ µ(B);
b) Nếu A, B ∈ C, B ⊂ A, µ(B) < +∞ thì µ(A \ B) = µ(A) − µ(B);
∞

c) Nếu {An }n∈N∗ ⊂ C, A ∈ C, A ⊂

+∞

An thì µ(A) ≤
n=1

µ(An );
n=1
∞

An ⊂ A thì

d) Nếu {An }n∈N∗ ⊂ C, Ai ∩ Aj = ∅, (i = j), A ∈ C,
n=1
+∞

µ(An ) ≤ µ(A).
n=1

Phần chứng minh có thể xem trong tài liệu [3].

Bên cạnh định nghĩa độ đo, ta còn có định nghĩa về độ đo ngoài, một khái
niệm quan trọng cho việc mở rộng độ đo.
1.2.4

Độ đo ngoài

Định nghĩa 1.11. Hàm tập hợp µ∗ xác định trên σ-đại số P(X) tất cả
các tập con của X được gọi là một độ đo ngoài nếu µ∗ thỏa mãn các điều
kiện:
a) µ∗ (A) ≥ 0 với mọi A ⊂ X;
b) µ∗ (∅) = 0;
11


c) µ∗ là σ-cộng tính dưới, nghĩa là nếu A ⊂

∞

An thì
n=1

∞
∗

µ∗ (An ).

µ (A) ≤
n=1

Từ điều kiện c) ta thấy nếu A ⊂ B thì µ∗ (A) ≤ µ∗ (B).

Tiếp theo đây, chúng tôi trình bày hai kết quả về mở rộng độ đo của
Caratheodory, đây là kết quả quan trọng trong việc thác triển độ đo từ đại
số lên σ- đại số.
Định lý 1.12. (Caratheodory 1) Cho µ∗ là một độ đo ngoài trên X và L
là họ tất cả các tập con A của X thỏa mãn:
µ∗ (E) = µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E \ A)

với mọi E ⊂ X

Khi đó:
a) L là một σ- đại số;
b) µ = µ∗ |L là một độ đo trên L.
Độ đo µ = µ∗ |L , tức là µ(A) = µ∗ (A) với mọi A ∈ L, được gọi là độ đo
cảm sinh bởi độ đo ngoài µ∗ và các tập A ∈ L được gọi là các tập µ∗ - đo
được.
Định lý 1.13. (Caratheodory 2) Cho m là độ đo trên đại số C các tập con
của X. Đặt
∞
∗

∞

m(An ) : {An } ⊂ C, A ⊂

µ (A) = inf
n=1

An

.


n=1

Khi đó:
a) µ∗ là độ đo ngoài.
b) µ∗ |C = m, C ⊂ F(C) ⊂ L.
Chứng minh hai định lý trên có thể xem trong tài liệu [3].
Người ta thấy rằng không phải mọi tập con của tập đo được là đo được,
vì vậy ta có định nghĩa độ đo đủ sau.
12


1.2.5

Độ đo đủ

Định nghĩa 1.14. Ta nói độ đo µ trên σ-đại số F là độ đo đủ nếu với mọi
tập con của một tập bất kì thuộc F có độ đo bằng không đều đo được.
1.3

Độ đo trong Rk

Trong phần này ta sẽ áp dụng lý thuyết tổng quát để xây dựng độ đo
Lebesgue trên Rk .
Xây dựng độ đo m trên đại số C(J) các gian trong R.
Gọi I là khoảng trong J, có đầu mút a và b.
Gọi độ dài của I là




0
nếu I = ∅



m(I) = b − a nếu a, b hữu hạn




+∞ nếu a hoặc b vô hạn
n

Mỗi ∆ ∈ C(J), ∆ =

Ii , Ii ∩ Ij = ∅.
i=1

Đặt

n

m(∆) =

m(Ii ).

(1)

i=1


Khi đó công thức (1) xác định một độ đo trên C(J) .
Ta có thể mở rộng độ đo dựa vào định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.15. Áp dụng định lý mở rộng độ đo của Caratheodory thác
triển độ đo m trên đại số C = C(J) ta thu được độ đo đủ µ mở rộng của
độ đo m tới σ-đại số L ⊃ F(C) ⊃ C. Ta gọi mỗi tập A ∈ L là tập đo được
Lebesgue trên R hay gọn hơn là L-đo được. Vì F(J) là σ-đại số Borel trong
R mà F(J) ⊂ F(C) ⊂ L nên mọi tập Borel là L-đo được.
Để kiểm tra tập A có đo được Lebesgue hay không ta dùng định lý sau.
Định lý 1.16. Tập con A ⊂ R là đo được Lebesgue khi và chỉ khi A thỏa
mãn một trong hai điều kiện sau:
13


a) Với mỗi

> 0 đều tồn tại tập mở G ⊃ A sao cho µ∗ (G \ A) < .

b) Với mỗi

> 0 đều tồn tại tập đóng F ⊂ A sao cho µ∗ (A \ F ) < .

Trong đó µ∗ là độ đo ngoài xác định bởi độ đo m cảm sinh độ đo µ.
1.4

Hàm đo được

Trong phần này ta sẽ hệ thống lại kiến thức về định nghĩa hàm đo được
và các tính chất của hàm đo được.
1.4.1


Định nghĩa và các điều kiện tương đương

Định nghĩa 1.17. Cho (X, F, µ) là không gian đo, lấy A ∈ F. Ta nói
rằng f : A → R là hàm đo được trên A nếu
∀a ∈ R : {x ∈ A : f (x) < a} ∈ F.
Khi X = Rk và µ là độ đo Lebesgue trên σ-đại số L thì ta nói hàm f đo
được Lebesgue hay gọn hơn là đo được (L). Khi F = B(σ-đại số Borel trên
Rk ) thì f được gọi là đo được Borel và ta gọi f là một hàm số Borel.
Ngoài ra ta cũng có thể kiểm tra hàm f có đo được trên A hay không dựa
vào mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.18. Hàm f đo được trên A khi và chỉ khi một trong các điều
kiện sau thỏa mãn:
(∀a ∈ R), {x ∈ A|f (x) > a} ∈ F.
(∀a ∈ R), {x ∈ A|f (x) ≤ a} ∈ F.
(∀a ∈ R), {x ∈ A|f (x) ≥ a} ∈ F.
1.4.2

Các phép toán với hàm đo được

Định lý 1.19. 1) Nếu f đo được trên A thì với mọi α > 0 hàm |f |α cũng
đo được.
14


2) Nếu f, g đo được trên A thì các hàm
f + g, f − g, f.g, max(f, g), min(f, g)
cũng đo được. Ngoài ra nếu (∀x ∈ A)g(x) = 0 thì

f
cũng đo được.

g

Định lý 1.20. Nếu {fn }n∈N∗ là dãy hàm số đo được và hữu hạn thì các
hàm
sup fn , inf fn , limfn , lim fn , lim fn
n

n

n

n→∞

n

(nếu có)

cũng đo được.
Việc chứng minh các định lý trên có thể tham khảo tài liệu [3].
1.4.3

Các định lí về hàm đo được

Ta có bất đẳng thức Holder như sau.
Định lý 1.21. Cho p, q ∈ (1, ∞) là các phần tử liên hợp. Nếu f ∈ Lp và
g ∈ Lq thì f.g ∈ L1 và
fg

1


≤ f

Mệnh đề 1.22. Nếu f ∈ L1 (µ) và

E

p

g q.

f dµ = 0 ∀E ∈ A thì f = 0.

Định lý 1.23. Cho (X, A, µ) là σ-không gian đo hữu hạn xác định dương,
g ∈ L1 (µ). Cho λ là độ đo phức sao cho dλ := gdµ thì
d|λ| = |g|dµ.
Định lý 1.24. Cho µ là độ đo phức trên không gian đo (X, A), thì tồn tại
một hàm đo được h sao cho |h| = 1 trên X và dµ = hd|µ|.
Bổ đề 1.25. ( Bổ đề về giá trị trung bình)
Cho (X, A, σ) là một σ-không gian đo hữu hạn dương và g ∈ L1 (σ) sao cho
∀E ∈ A, với 0 < σ(E) < ∞,
AE (g) :=

1
σ(E)

gdσ
E

chứa trong tập đóng F ⊂ C. Khi đó g ∈ F -h.k.n đối với σ.
15



Định lý 1.26. (Lebesgue–Radon–Nikodym)
Cho (X, A, σ) là một σ-không gian đo hữu hạn dương, λ là một độ đo hữu
hạn dương trên (X, A). Khi đó
(a) λ được phân tích Lebesgue duy nhất dưới dạng
λ = λa + λs
với λa

µ và λs ⊥µ.

(b) Tồn tại duy nhất a, h ∈ L1 (µ) sao cho
λa (E) =

hdµ
E

với mọi E ∈ A
((a) được gọi là định lí phân tích Lebesgue và (b) được gọi định lí Radon–Nikodym).
Chứng minh các định lí trên xem tài liệu [5].
1.5

Cấu trúc của hàm đo được

Cho không gian độ đo (X, F, µ) và A ⊂ X. Ta gọi hàm số χA : X → R
cho dưới đây là hàm đặc trưng của tập A (ta cũng có thể ký hiệu hàm đặc
trưng của A là IA )

1 nếu x ∈ A
χA (x) =

0 nếu x ∈
/A
Với mỗi a ∈ R ta có



X



{x ∈ X|χA (x) ≥ a} = A




∅

nếu a ≤ 0
nếu 0 < a ≤ 1
nếu a > 1

Vì vậy hàm đặc trưng χA đo được trên X khi và chỉ khi A đo được, nghĩa
là A ∈ F.
Định nghĩa 1.27. Hàm số f : X → R được gọi là hàm đơn giản trên tập
A ⊂ X nếu f đo được và chỉ nhận hữu hạn giá trị hữu hạn.
16


Nếu f là hàm đơn giản trên A và f (A) = {a1 ; a2 ; · · · ; an }, (ai ∈ R). Ta đặt
Ai = {x ∈ A|f (x) = ai }, (i = 1, n).

n

Suy ra các tập Ai đo được và f =

a i χAi .
i=1

n

Ngược lại, nếu f biểu diễn được dưới dạng f =

ai χAi , trong đó các tập
i=1

Ai đo được rời nhau thì f là hàm đơn giản trên X.
Ta có định lý quan trọng về cấu trúc của hàm đo được như sau.
Định lý 1.28. Mọi hàm đo được f đều là giới hạn điểm của dãy hàm đơn
giản {fn }. Hơn nữa với f ≥ 0, có thể chọn {fn } là dãy hàm đơn điệu tăng,
nếu f bị chặn thì có thể chọn fn ⇒ f .
(Chứng minh xem tài liệu [3]).
1.6
1.6.1

Không gian tôpô
Tôpô trên một tập hợp

Định nghĩa 1.29. Giả sử X là tập hợp khác rỗng. Ta gọi một họ τ các
tập con của X là một tôpô trên X nếu thỏa mãn các tiên đề sau:
1) ∅ ∈ τ, X ∈ τ,
2) Nếu G1 , G2 ∈ τ thì G1 ∩ G2 ∈ τ ,

3) Nếu {Gi }i∈I ⊂ τ thì

Gi ∈ τ .
i∈I

Khi đó cặp (X, τ ) được gọi là một không gian tôpô. Mỗi phần tử của τ
được gọi là một tập mở trong X đối với tôpô τ .
Ví dụ 1.30. Cho X là tập tùy ý khác rỗng. Khi đó τ = {∅; X} là một
tôpô trên X. Tôpô này là tôpô yếu nhất trên X, được gọi là tôpô thô.
Ví dụ 1.31. Cho X là tập tùy ý khác rỗng. Khi đó τ = P(X)-họ tất cả
các tập con của X là một tôpô trên X. Tôpô này là tôpô mạnh nhất trên
X, được gọi là tôpô rời rạc.
17


1.6.2

Một số không gian tôpô quan trọng

T1 -không gian và T2 -không gian

Định nghĩa 1.32. Ta nói (X, τ ) là T1 -không gian nếu ∀x, y ∈ X : x = y
thì đều tồn tại hai lân cận tương ứng Ux , Uy : x ∈
/ Uy , y ∈
/ Ux .
Định nghĩa 1.33. Ta nói (X, τ ) là T2 -không gian (không gian tách hausdorff) nếu ∀x, y ∈ X : x = y đều tồn tại hai lân cận tương ứng Ux , Uy :
Ux ∩ Uy = ∅.
Nhận xét 1.34. X là T2 -không gian thì X là T1 -không gian. Ngược lại
không đúng.
Không gian chính quy, không gian chuẩn tắc


Định nghĩa 1.35. Ta nói (X, τ ) là không gian tôpô chính quy nếu ∀x ∈
X, ∀F -đóng, F ⊂ X, x ∈
/ F đều tồn tại lân cận Ux của x, VF của F sao
cho Ux ∩ VF = ∅.
Định nghĩa 1.36. Ta nói (X, τ ) là không gian tôpô chuẩn tắc nếu ∀F1 , F2 đóng, F1 ∩ F2 = ∅ đều tồn tại UF1 , VF2 là hai lân cân tương ứng của F1 , F2 ,
sao cho UF1 ∩ VF2 = ∅.
Một trong những Bổ đề quan trọng của không gian tôpô là Bổ đề Uryson.
Đó là điều kiện để không gian tôpô X là không gian chuẩn tắc.
Bổ đề 1.37. (Uryson).Không gian tôpô X là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu
với hai tập đóng rời nhau F1 , F2 bất kì trong X và với mọi đoạn [a, b] ⊂
R, (a < b) đều tồn tại hàm liên tục g : X → [a, b] sao cho g(F1 ) = a và
g(F2 ) = b.
1.7
1.7.1

Không gian tuyến tính định chuẩn
Không gian tuyến tính

Định nghĩa 1.38. Ta nói X là một không gian tuyến tính trên trường số
K (thường xét K = R hoặc C), nếu với mọi x, y ∈ X xác định hai phép
18


toán: cộng véctơ x + y và nhân véctơ với một số thuộc trường K: αx, thỏa
mãn các tiên đề sau:
a) Giao hoán x + y = y + x
(∀x, y ∈ X).

x + (y + z) = (x + y) + z

b) Kết hợp
(∀x, y ∈ X; ∀α, β ∈ K).
α(βx) = (αβ)x

(α + β)x = αx + βx
c) Phân phối:
α(x + y) = αx + αy

(∀x, y ∈ X; ∀α, β ∈ K).

d) Tồn tại phần tử không:∃θ ∈ X, ∀x ∈ X : x + θ = θ + x = x.
e) Tồn tại phần tử đối: ∀x ∈ X, ∃(−x) ∈ X : x + (−x) = θ.
f) 1.x = x.
Phần tử không và phần tử đối là duy nhất.
Ví dụ 1.39. 1) X = R, phép cộng và nhân với một số thực hiện bình
thường.
2) X = Rn , phép cộng véctơ và nhân với một số thực hiện theo từng
thành phần: Giả sử x = (x1 , · · · , xn ); y = (y1 , · · · , yn ). Khi đó:
x + y = (x1 + y1 , · · · , xn + yn ); αx = (αx1 , · · · , αxn ).
1.7.2

Không gian tuyến tính định chuẩn

Định nghĩa 1.40. Cho X là một không gian tuyến tính. Ta nói X là
không gian tuyến tính định chuẩn, nếu với mọi x ∈ X xác định một số,
gọi là chuẩn của x (kí hiệu x ) thỏa mãn ba tiên đề sau:
1) Xác định dương: ∀x ∈ X : x ≥ 0. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = 0.
2) Thuần nhất dương ∀x ∈ X; ∀λ ∈ R : λx = |λ| x .
Nếu X xác định trên trường C thì |λ| là mođun của số phức λ ∈ C.

19


3) Bất đẳng thức tam giác: ∀x, y ∈ X : x + y ≤ x + y .
Mọi không gian tuyến tính định chuẩn (X, . ) là không gian metric
với khoảng cách được xác định như sau:
∀x, y ∈ X

d(x, y) := x − y .

Ví dụ 1.41. 1) X = R : x = |x|, ∀x ∈ R.
2) X = Rn , x = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rk :
1/p

n

x

p

|xi |p

:=

1 ≤ p < +∞;

i=1

x


∞

= max |xi |.
1≤i≤n

3) X = C[a, b] = {tập các hàm liên tục trên [a, b]} :
1/p

b

x

p

p

|x(t)| dt

=

1 ≤ p < +∞;

a

x

∞

= max |x(t)|.
a≤t≤b


4) X = l∞ . Không gian các dãy bị chặn (còn kí hiệu là m)
x = sup |xk |.
k≥1
1/p

∞

5) X = lp ;

x

p

p

|xk |

=

,

1 ≤ p < +∞.

k=1

1.8
1.8.1

Phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa toán tử tuyến tính

Định nghĩa 1.42. Ta nói A là toán tử tuyến tính đưa không gian tuyến
tính định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y , nếu
∀x, y ∈ X; ∀α, β ∈ R : A(αx + βy) = αAx + βAy.
Nói riêng, Aθx = θy .
Toán tử tuyến tính A liên tục tại điểm x0 ∈ X, nếu với mọi dãy {xn } hội
tụ đến x0 ta đều có Axn → Ax0 (n → ∞).
20


Ví dụ 1.43. 1) A = 0-toán tử không: Ax = θ

∀x ∈ X

2) A = I-toán tử đơn vị:Ax = x ∀x ∈ X.
1.8.2

Phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.44. Ta nói f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không
gian định chuẩn X, nếu ánh xạ f : X → R là toán tử tuyến tính liên tục.
Chuẩn của phiếm hàm tuyến tính liên tục là
f = sup |f (x)| = sup
x ≤1

1.9

x=θ


|f (x)|
.
x

Không gian Hilbert

1.9.1

Không gian tiền Hilbert

Định nghĩa 1.45. Không gian tuyến tính X trên trường số thực được gọi
là không gian tiền Hilbert (hay không gian có tích vô hướng) nếu ∀x, y ∈ X,
xác định một số (x, y) gọi là tích vô hướng của x và y, thỏa mãn các tiên
đề sau:
a) Xác định dương:(x, x) ≥ 0 ∀x ∈ X. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = θ.
b) Đối xứng: (x, y) = (y, x) ∀x, y ∈ X.
c) Song tuyến tính: (αx+βy, z) = α(x, z)+β(y, z) ∀α, β ∈ R, ∀x, y, z ∈
X.
Chú ý 1.46. 1) Từ b),c) suy ra
(x, αy + βz) = (αy + βz, x) = α(y, x) + β(z, x) = α(x, y) + β(x, z).
2) Nếu X là không gian tiền Hilbert thì X là không gian định chuẩn.

21


1.9.2

Không gian Hilbert


Từ không gian tiền Hilbert ta có định nghĩa không gian Hilbert sau.
Định nghĩa 1.47. Không gian Hilbert X là không gian tiền Hilbert với
chuẩn sinh bởi tích vô hướng làm cho X là một không gian Banach.

22


Chương 2

ĐỘ ĐO TRÊN KHÔNG GIAN
TÔPÔ
Trong chương này, trước hết chúng tôi sẽ trình bày sơ lược lý thuyết tích
phân Lebesgue làm cơ sở cho việc nghiên cứu định lý biểu diễn Riesz, một
trong những nội dung chính của đề tài trong chương sau. Tiếp theo đó,
chúng tôi trình bày nội dung chính tiếp theo của đề tài về độ đo trên không
gian tôpô cũng như lý thuyết cơ bản về phiếm hàm tuyến tính trên không
gian tôpô.
2.1

Tích phân Lebesgue

Trong mục này, chúng tôi trình bày lý thuyết tích phân Lebesgue, một
trong những lý thuyết cơ bản của giải tích hiện đại. Cần phải nói thêm
rằng, lý thuyết tích phân Lebesgue có nhiều phương pháp xây dựng khác
nhau cũng giống như đối với tích phân Riemann. Ở đây chúng tôi trình
bày theo một phương pháp khác với tài liệu [3], phương pháp chủ yếu khi
được học trong chương trình đại học. Trước hết chúng ta định nghĩa tích
phân Lebesgue cho hàm đo được không âm như sau.
Định nghĩa 2.1. Cho (X, A, µ) là không gian đo và φ : X → [0; ∞) là
hàm đơn giản trên X. Tích phân Lebesgue trên X của φ ứng với độ đo µ,


23


kí hiệu là

X

φdµ hoặc

φdµ được định nghĩa bởi
ck µ(Ek ) ∈ [0; ∞).
k

Ở đó φ =

k ck IEk , Ek

= [φ = ck ] và ck là các giá trị đôi một khác nhau

của φ; IEk là hàm đặc trưng của Ek .
Rõ ràng, từ định nghĩa ta có
IE dµ = µ(E), E ∈ A.
và
0

φdµ

φ µ([φ = 0]).


(1)

Trường hợp hàm f đo được không âm tùy ý f : X → [0; ∞) ta xét tập Sf
các hàm đơn giản không âm φ thỏa mãn: 0 ≤ φ ≤ f , và định nghĩa
f dµ := sup

φdµ.

(2)

φ∈Sf

Cuối cùng, nếu E ∈ A, thì tích phân trên E của f được định nghĩa bởi
f dµ :=

f IE dµ.

(3)

E

Tiếp theo giả sử φ, ψ là hàm đơn giản và ck , dj là giá trị khác nhau trên
Ek và Fj tương ứng của hai hàm φ và ψ. Kí hiệu:
Q := (k, j) ∈ N2 ; Ek ∩ Fj = ∅ .
Nếu φ ≤ ψ thì ck ≤ dj
φdµ =

với (k, j) ∈ Q. Do đó
Ck µ(Ek ∩ Fj )


Ck µ(Ek ) =
k

≤

(k,j)∈Q

dj µ(Ek ∩ Fj ) =

dj µ(Fj ) =

ψdµ.

j

(k,j)∈Q

Như vậy tích phân là hàm đơn điệu của các hàm đơn giản.
Từ định nghĩa, ta nhận thấy nếu f là hàm đơn giản thì

φdµ ≤

f dµ với

mọi φ ∈ Sf . Và vì thế cận trên đúng ở (2) sẽ nhỏ hơn hoặc bằng tích phân
24


của hàm đơn giản f . Nhưng do f ∈ Sf , nên ta có bất đẳng thức ngược lại.
Vì vậy mà hai định nghĩa của tích phân f trong trường hợp f là hàm đơn

giản trùng nhau.
Mặt khác ta lại có Scf = cSf := {cφ; φ ∈ Sf } với 0 ≤ c < ∞, nên ta có
f dµ (0 ≤ c < ∞).

cf dµ = c

Đồng thời nếu f ≤ g thì Sf ⊂ Sg và vì thế

f dµ ≤

E ⊂ F (cả hai đều đo được) thì f IE ≤ f IF và vì thế

(4)
gdµ. Đặc biệt, nếu
E

f dµ ≤

F

f dµ.

Nếu µ(E) = 0 thì với mọi φ ∈ SSIE giả sử có giá trị ck khác 0 trên Ek ∩ E,
có độ đo là 0 và vì thế

φdµ = 0, ∀φ nên ta được
f dµ = 0.
E

Nếu f = 0 trên E(E ∈ A) thì f IE là hàm hằng bằng 0, vì thế có tích phân

bằng 0 (từ định nghĩa tích phân hàm đơn giản), nghĩa là:

E

f dµ = 0 khi

f = 0 trên E.
Bây giờ ta xét hàm tập
φdµ, E ∈ A.

ν(E) :=

(5)

E

với một hàm đơn giản cố định φ ≥ 0. Trường hợp đặc biệt ν(∅) = 0. Bây
giờ ta viết φ =

Ck IEk ∩A và lấy các tập rời nhau Aj ∈ A, j = 1, 2, · · · có

hợp bằng A. Khi đó
Ck IEk ∩A ,

φIA =

vì vậy, từ tính chất σ cộng tính của µ ta được
Ck µ(Ek ∩ A) =

ν(A) : =

k

j

k

Ck µ(Ek ∩ Aj ) =

=
j

µ(Ek ∩ Aj )

Ck

ν(Aj ).
j

k

Như vậy ν là là độ đo. Như chúng ta sẽ thấy trong chứng minh sau này
của chúng tôi, khẳng định này vẫn còn đúng với mọi hàm đo được φ ≥ 0
(không nhất thiết là hàm đơn giản).
25