LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành đề tài, chúng em đã nhận
được sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo hướng dẫn khoa học Thạc sĩ
Nguyễn Đình Yên, giảng viên khoa Toán - Lý -Tin, trường Đại học Tây
Bắc, cùng các thầy cô giáo giảng dạy môn Toán. Chúng em xin bày tỏ sự
cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo.
Ngoài ra, trong quá trình thực hiện đề tài chúng em còn nhận được sự
giúp đỡ nhiệt tình của:
Phòng quản lý Khoa học và Quan hệ Quốc tế trường Đại học Tây Bắc,
Ban chủ nhiệm khoa Toán - Lý -Tin, cán bộ Trung tâm thư viện trường
Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên và giúp đỡ chúng
em hoàn thành đề tài.
Đây là đề tài đầu tay và cũng là lần đầu tiên chúng em được làm quen
với phương pháp nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi những thiếu
sót. Chúng em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo
và các bạn sinh viên để đề tài đầy đủ và hoàn thiện.
Cuối cùng chúng em xin kính chúc các thầy cô giáo sức khỏe, công tác
tốt, chúc các bạn sinh viên mạnh khỏe thành công trong học tập.
Sơn La, tháng 05 năm 2015
Nhóm sinh viên thực hiện
Nguyễn Lệ Quyên
Đinh Thị Yêu
Nguyễn Thị Quýt
Lê Thị Thúy Hồng


Mục lục
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1. Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

3. Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

4. Đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

5. Phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

6. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

7. Đóng góp đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

8. Cấu trúc của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


2

NỘI DUNG ĐỀ TÀI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Chương 1.MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1. Nhóm, Vành, Trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3. Trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2. Iđêan, Vành thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10


2.1. Iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2. Iđêan sinh bởi một tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.3. Các phép toán trên iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.4. Vành Thương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.5. Iđêan nguyên tố và Iđêan tối đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3. Các vành đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.1. Vành chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.2. Vành Noetherian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


18

3.3. Vành đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2


4. Tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

5. Một số định lý liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Chương 2.TẬP ĐẠI SỐ VÀ TÔPÔ ZARISKI . . . . . . . . . . . . . . . .

31

1. Không gian afine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2. Tập đại số và Iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3. Iđêan căn và Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


49

KẾT LUẬN CHUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3


MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài
Chúng ta đang sống trong thế kỉ XXI, thế kỉ của khoa học công nghệ

và hội nhập. Vì vậy, việc trang bị kiến thức toán học là vô cùng quan trọng
trong sự phát triển của xã hội.
Hình học đại số phát triển khá mạnh trong những năm gần đây. Hình
học đại số là bộ môn toán học dùng các công cụ đại số để nghiên cứu hình
học. Nó có vị trí trung tâm trong toán học hiện đại và liên quan tới những
môn học khác như: Giải tích phức, Tôpô và Lý thuyết số... Tập đại số và
Tôpô Zariski là một trong những kiến thức cơ sở nền tảng trong đại số.
Hơn nữa, trong chương trình học phần kiến thức này không được giới thiệu
và giảng dạy.
Là sinh viên ngành Toán với mong muốn tìm hiểu, nâng cao kiến thức

để mở rộng thêm vốn hiểu biết về đại số hiện đại và giải tích. Chúng em
hi vọng với sự cố gắng của mình, đề tài này có thể là tài liệu tham khảo
cho các bạn sinh viên yêu thích Toán.
Xuất phát từ những lý do trên chúng em đã chọn đề tài nghiên cứu
là: "Bước đầu tìm hiểu tập đại số và Tôpô Zariski ".

2.

Mục đích nghiên cứu
- Trình bày chi tiết kiến thức cơ sở để hiểu các khái niệm, tính chất

của Tập đại số và Tôpô Zariski.
- Hệ thống hóa, trình bày chi tiết khái niệm, tính chất cơ bản của Tập
đại số, Tôpô Zariski nhằm giúp bạn đọc hiểu sâu hơn những kiến thức về
nó mà trong quá trình học tập chưa có điều kiện nghiên cứu.

1


3.

Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các vấn đề về tập đại số và tôpô Zariski.
- Làm rõ các định nghĩa, tính chất, mệnh đề và các ví dụ liên quan

đến tập đại số và tôpô Zariski.

4.

Đối tượng nghiên cứu

- Tập đại số, Tôpô Zariski.

5.

Phạm vi nghiên cứu
- Khái niệm, tính chất cơ bản của Tập đại số, Tôpô Zariski.

6.

Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp thảo luận nhóm.
- Trao đổi với giáo viên hướng dẫn.

7.

Đóng góp đề tài
- Tìm hiểu thêm về tôpô Zariski, mối lên hệ giữa đại số và giải tích

thông qua tập đại số và tôpô Zariski.
- Là tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên Toán và yêu thích môn
Toán.

8.

Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo,... nội dung đề tài gồm 2
chương sau:
2



Chương 1: Một số kiến thức cơ sở.
1. Nhóm, Vành, Trường
1.1 Nhóm
1.2 Vành
1.3 Trường
2. Iđêan, Vành thương
2.1 Iđêan
2.2 Iđêan sinh bởi một tập hợp
2.3 Các phép toán trên iđêan
2.4 Vành thương
2.5 Iđêan nguyên tố và iđêan tối đại
2.6 Vành đa thức
3. Tôpô
4. Một số định lý liên quan
Chương 2: Tập đại số và Tôpô Zariski
2.1 Không gian afin
2.2 Tập đại số và iđêan
2.3 Iđêan căn và Nullstellensatz

3


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.

Nhóm, Vành, Trường


1.1.

Nhóm

Định nghĩa 1.1. Cho X là một tập hợp. Mỗi ánh xạ: X × X −→ X
(x; y) −→ x.y
gọi là một luật hợp thành (hay một phép toán hai ngôi) trên X; còn
x.y là tích hợp thành của x và y.
Một nhóm là một cặp (X, ·) trong đó tập hợp X = ∅ và "·" là một
luật hợp thành trên X thỏa mãn ba điều kiện sau:
(i) Phép toán có tính chất kết hợp, tức là:
∀x; y; z ∈ X,
(ii) ∃e ∈ X,
(iii) ∀x ∈ X,

(x · y) · z = x · (y · z)

∀x ∈ X: x · e = e · x = x
∃x ∈ X: x · x = x · x = e.

Trong đó: e gọi là phần tử đơn vị của (X, ·);
x gọi là phần tử nghịch đảo của x trong (X, ·) và kí hiệu x−1 .
Luật hợp thành của một nhóm thường kí hiệu bởi các dấu "·", "+".
• Khi sử dụng ký hiệu "+" ta nói rằng nhóm được viết theo lối cộng.
Khi đó:
+) Kết quả phép cộng a với b được gọi là tổng của a với b và kí
hiệu là a + b ;
+) Phần tử đơn vị được gọi là phần tử không và ký hiệu là 0;
+) Phần tử đối của a kí hiệu là −a;
4



+) Tổng của n phần tử a (n ∈ N) được gọi là bội n của a và kí
hiệu là n · a. Đặc biệt: 0 · a = a · 0 = 0; 1 · a = a · 1 = a.
• Khi sử dụng ký hiệu " · " ta nói rằng nhóm được viết theo lối nhân.
Khi đó:
+) Kết quả phép nhân a với b được gọi là tích của a với b và kí
hiệu là a · b
+) Phần tử trung hòa được gọi là phần tử đơn vị và kí hiệu là e
hoặc 1;
+) Phần tử nghịch đảo của a kí hiệu là a−1 ;
+) Tích của n phần tử a (n ∈ N) được kí hiệu là an . Đặc biệt:
a0 = 1, a1 = a.
Nhóm (X, ·) được gọi nhóm giao hoán (hay nhóm abel) nếu
x · y = y · x ∀x; y ∈ X.
Chú ý 1.1. Luật hợp thành trong một nhóm tùy ý thường kí hiệu theo lối
nhân.
Luật hợp thành trong một nhóm abel thường kí hiệu theo lối cộng.
Nếu luật hợp thành "·" đã rõ và không sợ nhầm lẫn gì người ta cũng
nói X là một nhóm.
Nếu tập X có vô hạn phần tử, ta nói rằng X là nhóm vô hạn.
Nếu tập X có hữu hạn phần tử, ta nói rằng X là nhóm hữu hạn.
Ví dụ 1.1. a) Nhóm cộng các số nguyên Z, nhóm cộng các số hữu tỉ Q,
nhóm cộng các số thực R.
b) Nhóm nhân các số hữu tỷ khác không Q∗ , nhóm nhân các số thực khác
không R∗ .
Mệnh đề 1.1. Giả sử (X, ·) là một nhóm. Khi đó:
5



(i) Phần tử đơn vị của X là duy nhất.
(ii) Phần tử nghịch đảo của X là duy nhất.
Hệ quả 1.1. (Luật giản ước)
Giả sử X là một nhóm, khi đó:
(i) ∀a; x; y ∈ X, ax = ay suy ra x = y và xa = ya suy ra x = y. Ta
cũng nói trong nhóm X luật giản ước bên trái và bên phải được thực hiện.
(ii) Các phương trình: ax = b và ya = b có nghiệm duy nhất.
Định lý 1.1. Giả sử X = ∅ được trang bị một phép nhân có tính chất kết
hợp, khi đó X là một nhóm nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏa
mãn:
(i) ∃e ∈ X sao cho ea = a, ∀a ∈ X (e được gọi là đơn vị trái của X).
(ii) ∀x ∈ X, ∃x ∈ X sao cho xx = e (x gọi là nghịch đảo trái của X).
Hệ quả 1.2. Giả sử X = ∅ được trang bị một phép nhân có tính chất kết
hợp, khi đó X là một nhóm nếu và chỉ nếu ∀a; b ∈ X các phương trình
ax = b và ya = b đều có nghiệm trong X.
Định nghĩa 1.2. ( Nhóm con chuẩn tắc)
Nhóm con A của nhóm X được gọi là nhóm con chuẩn tắc nếu
xA = Ax,

∀x ∈ X

và kí hiệu là A X.
1.2.

Vành

Định nghĩa 1.3. Một vành là một tập hợp X = ∅ cùng với hai phép toán
hai ngôi, gồm
"+" : X × X −→ X,


(x, y) −→ x + y,

"·" : X × X −→ X,

(x, y) −→ x · y,

6


thỏa mãn ba điều kiện sau đây:
(i) (X, +) là một nhóm abel;
(ii) (X, ·) có tính chất kết hợp;
∀x, y, z ∈ X.

(xy)z = x(yz),

(iii) Phép nhân phân phối về hai phía đối với phép cộng, nghĩa là
x(y + z) = xy + xz;

(x + y)z = xz + yz,

∀x, y, z ∈ X.

Vành X được gọi là giao hoán nếu phép nhân trong X có tính chất
giao hoán:
∀x, y ∈ X

xy = yx,

Vành X được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, tức là

có phần tử 1 ∈ X sao cho:
1x = x1 = x,

∀x ∈ X

Ví dụ 1.2. a) Z, Q, R, C là các vành với "+" và "·" thông thường.
b) Vành Zm các lớp thặng dư theo môđun m là một vành giao hoán.
√
√
c) Q( 2) = a + b 2; a, b ∈ Z là một vành giao hoán có đơn vị.
Tính chất 1.1. 1) Trong một vành, phần tử không và phần tử đối của mỗi
phần tử là duy nhất.
2) Trong vành X phần tử đơn vị nếu có là duy nhất.
3)

∀x, y, z ∈ X :
x(y − z) = xy − xz,

(y − z)x = yx − zx

4) Giả sử X là một vành, ∀x ∈ X, ta có:
x·0=0·x=0
5) Tập hợp chỉ gồm phần tử không với phép cộng và phép nhân cho bởi:
0·0=0

0 + 0 = 0;
7


là một vành. Nó gọi là vành không.

Nếu X không phải vành không và có đơn vị thì 0 = 1.
6) Trong vành X, ∀x, y ∈ X, ta có:
(−x)y = −(xy) = x(−y),

(−x)(−y) = xy

Định nghĩa 1.4. (Ước của không)
Phần tử 0 = a ∈ X được gọi là một ước bên trái (bên phải) của không
nếu tồn tại 0 = b ∈ X, sao cho ab = 0(ba = 0). Nếu a vừa là ước bên trái
vừa là ước bên phải của không thì a được gọi là ước của không.
Ví dụ 1.3. Trong vành tích Z × Z, các phần tử a = (1, 0) và b = (0, 1) là
khác không, nhưng tích a.b = (0, 0).
Định nghĩa 1.5. ( Miền nguyên)
Miền nguyên là một vành có nhiều hơn một phần tử, giao hoán, có
đơn vị, không có ước của không.
Ví dụ 1.4. Vành số nguyên Z, vành hữu tỷ Q đều là những miền nguyên.
1.3.

Trường

Định nghĩa 1.6. Một trường là một miền nguyên trong đó mọi phần tử
khác 0 đều khả nghịch.
Ví dụ 1.5. Tập các số hữu tỷ Q, tập các số thực R, tập các số phức C với
phép cộng và nhân thông thường là một trường.
Định nghĩa 1.7. Cho X là một trường. Tập con A của X được gọi là
trường con của X nếu A ổn định với hai phép toán trong X và A cùng với
hai phép toán cảm sinh tạo thành một trường.
Ví dụ 1.6. Q là trường con của trường số thực R.
8



Định nghĩa 1.8. Trường X được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức
f (x) ∈ X [x] , degf (x) ≥ 1, đều có thể phân tích thành tích các đa thức
bậc nhất
f (x) = c(x − α1 )(x − α2 )...(x − αn )
Trường đóng đại số còn được gọi là đầy đủ đại số.
Nhận xét 1.1. Dễ dàng thấy rằng định nghĩa trên tương đương với một
trong các điều khẳng định sau đây:
a) Trường X đóng đại số khi và chỉ khi các đa thức bậc nhất là tất cả
các đa thức bất khả quy trong X [x] .
b) Trường X đóng đại số khi và chỉ khi f (x) ∈ X [x] , degf (x) = n ≥ 1,
có đủ n nghiệm trong X.
c) Trường X đóng đại số khi và chỉ khi f (x) ∈ X [x] , degf (x) = n ≥ 1,
có ít nhất một nghiệm trong X.
Tính chất 1.2. Mọi trường đóng đại số có vô hạn phần tử.
Chứng minh. Giả sử X là trường hữu hạn, X = a1 , a2 , ..., an .
Khi đó, đa thức
(x − a1 )...(x − an ) + 1 ∈ X [x]
có bậc ≥ 2 và không có nghiệm trong X.
Do đó, X không là đóng đại số.
Vậy trường đóng đại số có vô hạn phần tử.
Định lý 1.2. Trường số phức C là trường đóng đại số.
Định lý 1.3. Mỗi trường X đều tồn tại mở rộng đóng đại số.

9


2.
2.1.


Iđêan, Vành thương
Iđêan

Định nghĩa 2.1. Cho X là một vành. Vành con A của X được gọi là iđêan
trái (iđêan phải) nếu mọi x ∈ X, a ∈ A đều có xa ∈ A(ax ∈ A). Vành con
X gọi là iđêan nếu nó vừa là iđêan phải, vừa là iđêan trái.
Nếu X là vành giao hoán thì iđêan trái, iđêan phải của X đều là iđêan.
Ví dụ 2.1. a. Mỗi vành X đều có hai iđêan đó là {0} và X.
Iđêan {0} gọi là iđêan tầm thường, X gọi là iđêan đơn vị, các iđêan
khác X gọi là iđêan thực sự.
b. nZ = {nx : x ∈ Z} là một iđêan của vành Z.
Z là một vành con của Q, nhưng Z không là iđêan của vành Q.
2.2.

Iđêan sinh bởi một tập

Định lý 2.1. Giao của một họ bất kì khác rỗng những iđêan của một vành
X là một iđêan của X
Chứng minh. Cho họ (Iα )α∈
hóa bởi tập

là một họ những iđêan của vành X chỉ số

= ∅. Đặt
I=

Iα
α∈

Vì 0 ∈ Iα , ∀α ∈


, nên 0 ∈ I.

Giả sử a, b ∈ I, khi đó a, b ∈ Iα , ∀α ∈

suy ra a − b ∈ Iα , ∀α ∈

vậy a − b ∈ I.
Giả sử a ∈ I và x ∈ X. Khi đó, a ∈ Iα , ∀α ∈
ax ∈ Iα ,

xa ∈ Iα

với

, suy ra

∀α ∈

Vậy ax ∈ I và xa ∈ I, nghĩa là I là iđêan của X.
10

,


Định nghĩa 2.2. Cho S là một tập con của vành X. Giao của họ tất cả
các iđêan trái (phải, hai phía) của X chứa S là một iđêan trái (phải, hai
phía) nhỏ nhất chứa tập S. Iđêan trái (phải, hai phía) được gọi là iđêan
trái (phải, hai phía) sinh bởi tập S, kí hiệu S .
Nếu S là một tập hữu hạn thì iđêan sinh bởi S được gọi là iđêan hữu

hạn sinh. Iđêan sinh bởi một phần tử {a} gọi là iđêan sinh bởi phần tử a,
kí hiệu là a Nếu tồn tại phần tử a sao cho iđêan của I = a thì iđêan I
được gọi là iđêan chính. Đặc biệt, khi S = ∅ thì iđêan sinh bởi tập rỗng là
0.
Chú ý 2.1. Iđêan sinh bởi S là giao của tất cả các iđêan chứa S. Cụ thể:
n

ak sk : ai ∈ X; si ∈ S; i = 1, n

S =
k=1

Định lý 2.2. Giả sử X là một vành giao hoán có đơn vị và a1 , ..., an là n
phần tử thuộc X. Bộ phận I của X gồm các phần tử có dạng:
x1 a1 + ... + xn an với x1 , ..., xn ∈ X
là iđêan của X sinh bởi tập hợp {a1 , ..., an }.
Chứng minh. Thật vậy
Giả sử a = x1 a1 + ... + xn an ,

b = y1 a1 + ... + yn an là hai phần tử tùy

ý thuộc I và x là một phần tử tùy ý thuộc X. Ta có:
+) a − b = (x1 a1 + ... + xn an ) − (y1 a1 + ... + yn an )
= (x1 a1 − y1 a1 ) + ... + (xn an − yn an )
= (x1 − y1 )a1 + ... + (xn − yn )an ∈ I;
+)

xa = x(x1 a1 + ... + xn an ) = xx1 a1 + ... + xxn an ∈ I.
ax = (x1 a1 + ... + xn an )x = x1 a1 x + ... + xn an x ∈ I.
⇒ xa = ax ∈ I.


Vậy I là một iđêan của X; ai ⊂ I vì ai = 0a1 +...+1ai +...+0an , i = 1, n
11


Cuối cùng mọi iđêan chứa a1 , ..., an thì cũng chứa x1 a1 , ..., xn an với
x1 , ..., xn ∈ X và do đó chứa x1 a1 + ... + xn an .
Vậy I là giao của tất cả các iđêan chứa {a1 , ..., an }, tức là iđêan sinh
bởi tập hợp {a1 , ..., an }.
2.3.

Các phép toán trên iđêan

Định lý 2.3. Cho I1 , I2 là hai iđêan của vành X. Khi đó
I1 + I2 = {a1 + a2 |a1 ∈ I1 , a2 ∈ I2 } .
là một iđêan của X.
Chứng minh. Đặt I = I1 + I2 .
Khi đó có 0 = 0 + 0 ∈ I.
Giả sử a = a1 + a2 ∈ I, b = b1 + b2 ∈ I1 ; a1 , b1 ∈ I1 , a2 , b2 ∈ I2 . Thế thì
a − b = (a1 − b1 ) + (a2 − b2 ) ∈ I.
Giả sử a = a1 + a2 ∈ I, x ∈ X ta có:
xa = x(a1 + a2 ) = xa1 + xa2 ∈ I1 + I2
ax = (a1 + a2 )x = a1 x + a2 x ∈ I1 + I2
Vậy I = I1 + I2 là một iđêan của X.
Định nghĩa 2.3. Iđêan I1 + I2 được gọi là tổng của hai iđêan I1 , I2 .
Định lý 2.4. Cho I, J là hai iđêan của vành X. Khi đó
n

ai bi : ai ∈ I; bj ∈ J, i = 1, n, n ≥ 1


IJ =
i=1

là một iđêan của X và được gọi là tích của hai iđêan I, J.

12


Chứng minh. Trước hết ta có 0 = 0 · 0 ∈ IJ. Giả sử
n

n

a=

ai bi ,

b=

i=1

aj bj
j=1

là những phần tử thuộc IJ. Khi đó tổng
n

a+b=

n


ai b i +
i=1

aj b j
j=1

cũng là một phần tử thuộc IJ.
m

ai bi ∈ IJ, x ∈ X ta có

Bây giờ với a =
i=1

m

xa = x

m

(xai )bi ∈ IJ,

ai bi =
i=1

i=1

m


ax = (

m

ai (bi x) ∈ IJ.

ai bi )x =
i=1

i=1

Vậy IJ là một iđêan của X.
2.4.

Vành Thương

Định nghĩa 2.4. Cho X là một vành và I là một iđêan của nó. Vì phép
cộng giao hoán nên I là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm (X, +). Từ đó
ta có nhóm thương X/I với phép toán cộng.
(x + I) + (y + I) = (x + y) + I
Rõ ràng (X/I, +) là một nhóm Abel. Trên X/I ta đặt:
(x + I) · (y + I) = xy + I
Nếu x + I = x + I,

y + I = y + I thì x − x = a ∈ I,

y − y = b ∈ I.

Vì I là iđêan nên
x y − xy = (a + x)(b + y) − xy = xb + ay + ab ∈ I.


13


Từ đó:
x y + I = xy + I
Vậy cách đặt trên cho ta một phép toán nhân trên X/I.
Dễ dàng kiểm tra (X/I, +, ·) là một vành.
Vành này được gọi là vành thương của X theo iđêan I.
Hai phép toán trong vành thương X/I thường được kí hiệu bởi
x+y =x+y
x · y = xy
Nhận xét 2.1. Nếu X là vành giao hoán thì vành thương X/I cũng là vành
giao hoán. Nếu vành X có đơn vị e thì X/I là vành có đơn vị e = e + I.
Ví dụ 2.2. Đối với iđêan mZ của vành số nguyên Z ta có
Zm = Z/mZ = {a = a + mZ : a ∈ Z}
là vành thương của vành Z theo iđêan mZ với phép cộng và nhân cho bởi:
a + b = a + b,

ab = ab

với mọi a, b ∈ Zm .
Hơn nữa, ta có thể chứng minh vành thương Zm là một trường khi và
chỉ khi m là nguyên tố. Còn nếu m là một hợp số,
m = pq,

1 < p, q < m

thì Zm có các ước của không là p, q.
2.5.


Iđêan nguyên tố và Iđêan tối đại

Định nghĩa 2.5. Cho X là một vành giao hoán có đơn vị khác không.
a) Iđêan I của X gọi là iđêan tối đại trong X nếu I = X và nếu với
14


bất kỳ iđêan B của X sao cho I ⊂ B ⊂ X thì B = X hoặc B = I.
b) Iđêan K của X gọi là iđêan nguyên tố nếu K = X và nếu tích
ab ∈ K thì a ∈ K hoặc b ∈ K.
Ví dụ 2.3. a) 0 là iđêan nguyên tố của vành số nguyên Z nhưng không là
iđêan tối đại của Z.
b) Nếu X là một trường thì 0 vừa là iđêan nguyên tố, vừa là iđêan tối
đại của X
Định lý 2.5. Cho vành giao hoán có đơn vị X và I là một iđêan của nó.
Khi đó:
a) I là iđêan tối đại trong vành X khi và chỉ khi vành thương X/I là
trường.
b) K là iđêan nguyên tố trong vành X khi và chỉ khi vành thương
X/K là một miền nguyên.
Chứng minh. a) Iđêan I là tối đại trong X khi và chỉ khi vành thương X/I
là trường.
(⇒) Giả sử I là một iđêan tối đại, ta chứng minh X/I là trường.
Thật vậy, I là một iđêan tối đại của X thì I = X, do đó X/I có nhiều
hơn một phần tử. Vì X là một vành giao hoán có đơn vị nên X/I cũng là
một vành giao hoán có đơn vị.
Giả sử (a + I) là một phần tử khác không hay a + I = I. Vậy a ∈
/ I.
Xét iđêan I của X mà M = I + aX. Khi đó I


M vì a ∈ M , I là tối đại

nên M = X.
Suy ra e ∈ M . Do đó, e = i1 + aa1 ,

a1 ∈ X và i1 ∈ I

hay e + I = i1 + aa1 + I = aa1 + I = (a + I)(a1 + I).
Suy ra a1 + I là nghịch đảo của a + I.
Do đó, X/I là một trường.
(⇐) Giả sử vành thương X/I là một trường, ta chứng minh iđêan I là tối
15


đại trong X.
Thật vậy, X/I là một trường, khi đó X/I có nhiều hơn một phần tử,
do đó X = I.
Gọi M là iđêan của X mà I

M

Như vậy có một phần tử a ∈ M −I. Ta xét a+I ∈ X/I vì a ∈
/ I nên a+I khả
nghịch, nghĩa là có một phần tử a0 +I sao cho (a0 +I)(a+I) = a0 a+I = e+I
hay e = a0 a + i. Vì a ∈ M và i ∈ I nên e ∈ M . Do đó M = X.
Vậy I là iđêan tối đại của X.
b) Iđêan K là nguyên tố trong X khi và chỉ khi vành thương X/K là một
miền nguyên.
(⇒) Giả sử Iđêan K là nguyên tố trong X, ta chứng minh vành thương

X/K là một miền nguyên.
Thật vậy, K là iđêan nguyên tố của vành X,
Xét X/K = {a + K \ a ∈ X} là vành thương của X theo iđêan K.
Vì K nguyên tố nên K = X. Do đó, X/K có nhều hơn một phần tử.
Đơn vị của X/K là e + K với e là đơn vị của X. Do X là vành giao hoán
nên X/K cũng là vành giao hoán.
Giả sử a + K và b + K là hai phần tử tùy ý của X/K;
Nếu (a + K)(b + K) = 0 + K = K thì ab + K = K hay ab ∈ K. Vì
K nguyên tố nên a ∈ K hoặc b ∈ K suy ra a + K = K = 0 + K hoặc
b + K = K = 0 + K.
Vậy X/K không có ước của không. Do đó, X/K là một miền nguyên.
(⇐) Giả sử X/K là một miền nguyên, ta chứng minh K là Iđêan nguyên
tố.
Thật vậy, X/K là một miền nguyên.
Khi đó, X/K có nhiều hơn một phần tử, do đó X = K, gọi a, b là các phần
tử thuộc X sao cho ab ∈ K. Ta có:

16


ab + K = (a + K)(b + K) = K = 0 + K.
Vì X/K không có ước của không suy ra
a + K = K hoặc b + K = K hay a ∈ K hoặc b ∈ K.
Vậy K là iđêan nguyên tố.

3.
3.1.

Các vành đặc biệt
Vành chính


Định nghĩa 3.1. Một miền nguyên X gọi là một vành chính nếu mọi
iđêan của X đều là iđêan chính. Một miền nguyên chính gọi là một miền
iđêan chính.
Ví dụ 3.1. Mọi iđêan của vành Z đều có dạng mZ = m , do đó đều là
iđêan chính.Vậy Z là vành chính.
Mệnh đề 3.1. k [x] là một miền iđêan chính.
Chứng minh. Ta thấy k [x] rõ ràng là một miền nguyên, ta chỉ cần chứng
minh nó là miền iđêan chính.
Cho I là một iđêan của k [x] và cho f là đa thức đơn bậc nhỏ nhất
trong I.
Ta thấy f là duy nhất, nghĩa là nếu g là đa thức đơn khác trong I sao
cho, deg(g) = deg (f ) thì f = g.
Đặt h = f − g , khi h ∈ I và deg(h) ⇒ g = f.
Ta có: I = f . Từ f ∈ I, ta có f ⊆ I.
Để thiết lập bao hàm ngược ta cố định g ∈ I.
Bởi thuật toán phân chia, ∃q, r ∈ k [x] thỏa mãn r là đa thức đơn và
g = qf + r , với r = 0 hoặc deg(r) < deg(f ). Từ I là iđêan, r = g − qf ∈ I.
17


Bởi bậc của f nhỏ nhất, ta có deg(r) < deg(f ), suy ra r = 0.
⇒ g = qf và g ∈ f .
Từ g ∈ I là tùy ý, ta có I ⊆ f , và do đó I = f
3.2.

.

Vành Noetherian

Định nghĩa 3.2. Ta nói rằng một vành X là Noetherian nếu mọi iđêan
của X đều hữu hạn sinh.
Mệnh đề 3.2. Cho X là một vành. Khi đó, các điều kiện sau là tương
đương:
<i> X là Noetherian
<ii> X thỏa mãn điều kiện dãy tăng các iđêan, nghĩa là nếu:
I0 ⊆ I1 ⊆ ... ⊆ In ⊆ ...
là một dãy các iđêan của X thì ∃k ∈ N sao cho:
Ik = Ik+1 = ... = Ik+n = ...
Chứng minh. (i) ⇒ (ii) Giả sử X là Noetherian và cho
I0 ⊆ I1 ⊆ ... ⊆ In ⊆ ...
là một dãy các iđêan của X. Cho
I=

Ik .
k∈N

Thông thường, hợp của iđêan không phải là một iđêan, nhưng hợp
của một dãy lồng nhau các iđêan là một iđêan.
Do đó, I là một iđêan. Từ X là Noetherian, I là hữu hạn sinh,
∃a1 , ..., am ∈ I sao cho, I = a1 , ..., am .
Suy ra, ∀k ∈ N sao cho a1 , ..., am ∈ Ik và ta có:
I = Ik = Ik+1 = ... = Ik+n = ...
18


(ii) ⇒ (i) Giả sử X thỏa mãn điều kiện mọi dãy tăng các iđêan đều dừng,
nhưng X không là Noetherian, và cho I là một iđêan của X và không là
hữu hạn sinh.

Chọn a0 ∈ I, và cho I0 = a0 .
Vì I không là hữu hạn sinh nên I0 = I.
Chọn a1 ∈ I\I0 và cho I1 = a0 , a1 .
Vì I không là hữu hạn sinh nên I0

I1 = I.

Cứ tiếp tục lí luận bằng phương pháp quy nạp, ta được một dãy tăng
các iđêan
I0

I1

...

In

... không dừng. (Mâu thuẫn)

Định lý 3.1. Mỗi trường là một vành Noetherian.
Chứng minh. Thật vậy,
Giả sử X là một trường, A X.
Khi đó, nếu A = a thì ∃a ∈ A, a = 0.
Do X là một trường nên ∃a−1 ∈ A :

1 = a.a−1 ∈ A

Suy ra A ≡ X = 1 .
3.3.

Vành đa thức

Định nghĩa 3.3. Vành X gọi là vành đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong
X, hay gọi tắt là vành đa thức của ẩn x trên X và ký hiệu là X [x]. Các
phần tử của vành đó gọi là đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong X.
Trong một đa thức
f (x) = a0 x0 + a1 x1 + ... + an xn
trong đó: ai , i = 0, 1, 2, ..., n, gọi là các hệ tử của đa thức.
ai xi gọi là các hạng tử của đa thức, đặc biệt a0 x0 = a0 gọi là hạng
tử tự do.
19


Định nghĩa 3.4. Bậc của đa thức khác 0
f (x) = a0 x0 + a1 x1 + ...an−1 xn−1 + ... + an xn
với an = 0, n ≥ 0, là n. Hệ tử an gọi là hệ tử cao nhất của f (x).
Như vậy, ta chỉ định nghĩa bậc của một đa thức khác 0. Đối với đa
thức 0 ta bảo nó không có bậc.
Định lý 3.2. Giả sử f (x) và g(x) là hai đa thức khác 0.
(i) Nếu deg f (x) = deg g(x), thì ta có:
f (x) + g(x) = 0 và bậc (f (x) + g(x)) = max(degf (x), degg(x)).
Nếu degf (x) = deg g(x), và nếu f (x) + g(x) = 0 , thì ta có
deg(f (x) + g(x)) ≤ max(degf (x), degg(x))
(ii) Nếu f (x)g(x) = 0, thì ta có:
deg(f (x)g(x)) ≤ degf (x) + degg(x)
Định lý 3.3. Nếu X là một miền nguyên f (x) và g(x) là hai đa thức khác
0 của vành X [x] thì f (x)g(x) = 0 và
deg(f (x)g(x)) = degf (x) + degg(x)
Chứng minh. Giả sử f (x) và g(x) ∈ X [x] là hai đa thức khác 0
f (x) = a0 + a1 x1 + ... + am xm

g(x) = b0 + b1 x1 + ... + bn xn

(am = 0)
(bn = 0)

Theo quy tắc nhân đa thức ta có
f (x)g(x) = a0 b0 + (a1 + b1 )x1 + ... + (a0 bk + ... + ak b0 )xk + ... + am bn xm+n ,
vì am , bn = 0, nên am bn = 0 (X không có ước của không),
Do đó, f (x)g(x) = 0 và deg(f (x)g(x)) = m + n = degf (x) + degg(x).

20


Định lý 3.4. (Phép chia với dư)
Giả sử X là một trường, f (x) và g(x) = 0 là hai đa thức của vành
X [x]. Thế thì bao giờ cũng có hai đa thức duy nhất q(x) và r(x) ∈ X [x]
sao cho f (x) = g(x)q(x) + r(x), với degr(x) < degg(x) nếu r(x) = 0.
Chứng minh. Trước hết ta hãy chứng minh tính duy nhất.
Giả sử f (x) = g(x)q (x) + r (x), với degr (x) < degg(x) nếu r (x) = 0.
Ta suy ra: 0 = g(x)(q(x) − q (x)) + r(x) − r (x)
Thay r(x) − r (x) = g(x)(q (x) − q(x)). Vì g(x) = 0 và A [x] là một miền
nguyên, nên ta suy ra
q(x) − q (x) = 0 ⇔ r(x) − r (x) = 0.
Giả sử r(x) = r (x),
Khi đó, deg(r(x) − r (x)) = deg(g(x)(q(x) − q (x))) = degg(x) +
deg(q(x) − q (x)).
Mặt khác, theo giả thiết, ta có:
deg(r(x) − r (x)) ≤ max(degr(x), degr (x))
< degg(x) ≤ degg(x) + deg(q(x) − q (x))
Mâu thuẫn.

Định nghĩa 3.5. (Nghiệm của một đa thức)
Giả sử c là một phần tử tùy ý của vành X, f (x) = a0 +a1 x1 +...+an xn
là một đa thức tùy ý của vành X [x]; phần tử
f (x) = a0 + a1 c + ... + an cn ∈ X
có được bằng cách thay x bởi c gọi là giá trị của f (x) tại c.
Nếu f (c) = 0 thì c được gọi là nghiệm của f (x). Tìm nghiệm của f (x)
trong X gọi là giải phương trình đại số bậc n
an xn + ... + a1 x + a0
trong X, với x là ẩn.
21


4.

Tôpô

Định nghĩa 4.1. Giả sử X là tập hợp khác rỗng. Ta gọi một họ τ các tập
con của X là một tôpô trên X nếu thỏa mãn ba điều kiện sau:
<i> ∅ ∈ τ, X ∈ τ
<ii> Nếu G1 , G2 ∈ τ thì G1 ∩ G2 ∈ τ .
<iii> Nếu {Gi }i∈I ⊂ τ thì

Gi ∈ τ .
i∈I

Khi đó cặp (X, τ ) được gọi là một không gian tôpô.
Ví dụ 4.1. a) Cho X là tập tùy ý khác rỗng. Khi đó τ = {∅; X} là một
tôpô trên X. Tôpô này là tôpô yếu nhất trên X, được gọi là tôpô thô.
b) Cho X là tập tùy ý khác rỗng. Gọi τ là tập tất cả các tập con G
của X sao cho G = ∅ hoặc G = X hoặc X\G là một tập hữu hạn. Khi đó

τ là một tôpô trên X.
Thật vậy, ta chỉ cần kiểm tra các tiên đề ii), iii) trong định nghĩa tôpô
trên X:
+) Giả sử G1 , G2 ∈ τ .
Nếu G1 = ∅ hoặc G2 = ∅ thì rõ ràng G1 ∩ G2 ∈ τ .
Nếu G1 = ∅, G2 = ∅ thì X\G1 và X\G2 là các tập hữu hạn,
Do đó G1 ∩ G2 ∈ τ .
+) Giả sử {Gi }i∈I ⊂ τ .
Nếu Gi = ∅ với mọi i ∈ I thì

Gi = ∅ ∈ τ , còn nếu có ít nhất một tập
i∈I

Gi0 = ∅ thì X\Gi0 là tập hữu hạn,
Do đó X\

Gi =
i∈I

Gi ∈ τ .

(X\Gi ) là tập hữu hạn, suy ra
i∈I

i∈I

Định nghĩa 4.2. (Lân cận và tôpô cho bởi hệ lân cận)
Cho không gian tôpô (X, τ ), x ∈ X. Ta gọi tập hợp V ⊂ X là một lân
cận của điểm x nếu tồn tại một tập hợp G ∈ τ sao cho x ∈ G ⊂ V . Tập
tất cả các lân cận của điểm x được kí hiệu là νx .

22