De thi va dap an HSG mon Toan lop 12 TP Ha Noi 20122013
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (143.13 KB, 5 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ – LỚP 12
HÀ NỘI
Năm học 2012 – 2013
Mơn thi: Tốn
Ngày thi 15 – 10 – 2012
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm 01 trang)
---------------------------------Bài I (2 điểm)
Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 2m − 3. Tìm các giá trị của m để hàm số có ba cực
trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành một tam giác có bán kính
đường trịn ngoại tiếp bằng 1.
Bài II (5 điểm)
1) Giải phương trình: 5 x − 1 + 3 9 − x = 2 x 2 + 3x − 1.
x3 ( 3 y − 2 ) = −8
2) Giải hệ phương trình:
3
x ( y + 2 ) = −6.
Bài III (4 điểm)
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = x 2 + 3x + 9 + x 2 − 3x + 9.
2) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b + ab = 3. Chứng minh rằng:
4a
4b
+
+ 2ab − 7 − 3ab ≥ 4.
b +1 a +1
Bài IV (5 điểm)
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N là hai
điểm lần lượt nằm trên các đoạn thẳng AB và AD ( M , N không trùng A ) sao cho
AB
AD
+2
= 4.
AM
AN
1) Chứng minh rằng khi M , N thay đổi, đường thẳng MN luôn đi qua một
điểm cố định.
2) Gọi V và V ' lần lượt là thể tích của các khối chóp S . ABCD và S .MBCDN .
2 V' 3
Chứng minh rằng: ≤ ≤ .
3 V 4
Bài V (4 điểm)
u1 = 2
Cho dãy số ( un ) xác định bởi:
un2
un+1 = 2u − 1 , n ≥ 1, n ∈ ¥ .
n
1) Chứng minh rằng dãy số ( un ) giảm và bị chặn.
2) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số ( un ) .
------------------ HẾT -----------------Họ tên thí sinh: ……………………......... Phịng thi: ………… Số báo danh: …….
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ – LỚP 12
HÀ NỘI
Năm học 2012 – 2013
Hướng dẫn chấm thi môn Toán
--------------------------
Bài I (2 điểm)
Hướng dẫn chấm
Điểm
Tập xác định: ¡ .
3
2
Ta có y ' = 4 x − 4mx = 4 x ( x − m ) .
Hàm số có ba cực trị ⇔ m > 0. Khi đó các điểm cực trị của hàm số
(
)
2
là: A − m ; −m + 2m − 3 , B ( 0;2m − 3) , C
(
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ I ( 0; a ) .
(
)
m ; − m 2 + 2m − 3 .
)
− m 2 + −m 2 + 2m − 3 − a 2 = 1 ( 1)
(
)
Ta có IA = IB = 1 ⇔
( 2m − 3 − a ) 2 = 1
( 2)
Từ ( 2 ) suy ra a = 2m − 4 hoặc a = 2m − 2.
0,5
0,5
0,5
Trường hợp 1: Thay a = 2m − 4 vào ( 1) ta được:
m = 1
m − 2m + 1 = 0 ⇔
.
m = −1 + 5
2
Trường hợp 2: Thay a = 2m − 2 vào ( 1) ta được: m3 + 2m + 1 = 0.
Phương trình này vơ nghiệm.
3
Vậy m = 1, m =
0,5
−1 + 5
là các giá trị cần tìm.
2
Bài II (5 điểm)
Câu 1
(3 điểm)
5 x − 1 + 3 9 − x = 2 x 2 + 3x − 1.
1
Điều kiện: x ≥ .
5
Phương trình ⇔
⇔
5x − 5
+
5x − 1 + 2
(
) (
5x − 1 − 2 +
0,5
3
1− x
3
x = 1
5
⇔
−
5x − 1 + 2
( 9 − x)
2
+2 9− x +4
3
)
9 − x − 2 = 2 x2 + 3x − 5
= ( x − 1) ( 2 x + 5 )
1
3
( 9 − x)
2
+ 23 9 − x + 4
− ( 2 x + 5 ) = 0 ( 1)
1,0
0,5
5
− ( 2 x + 5 ) < 0 và
5x − 1 + 2
Ta có
Câu 2
(2 điểm)
1
3
( 9 − x)
2
+2 9− x +4
3
> 0 khi
1,0
1
x ≥ . Do đó phương trình ( 1) vơ nghiệm.
5
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.
Trường hợp 1: x = 0 ⇒ Hệ vô nghiệm.
0,5
Trường hợp 2: x ≠ 0 ⇒ Chia cả hai vế của hai phương trình của hệ
đã cho lần lượt cho x 3 và x ta được:
3
2
3 y − 2 = − ÷
3
x ⇒ y3 + 3 y = − 2 + 3 − 2 .
÷
÷
x
x
y3 + 2 = 3 − 2
÷
x
3
2
Xét hàm số f ( t ) = t + 3t ⇒ f ' ( t ) = 3t + 3 > 0, ∀t ∈ ¡ .
0,5
2
2
Mặt khác f ( y ) = f − ÷⇒ y = − .
x
x
x = −2 ⇒ y = 1
6
3
3
2
.
Ta có x − − 2 ÷ = −8 ⇔ x + 3x − 4 = 0 ⇔
x
x = 1 ⇒ y = −2
0,5
0,5
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( −2;1) và ( 1; −2 ) .
2
Chú ý: Học sinh có thể đặt t = − để đưa về hệ đối xứng loại 2.
x
Bài III (4 điểm)
Câu 1
(2 điểm)
2
2
2
2
3 3 3
3 3 3
Ta có y = x + ÷ +
÷ + x− ÷ +
÷.
2 2
2 2
r
3 3 3 r
3 3 3 r r
Đặt a = x + ;
÷, b = − x + ;
÷⇒ a + b = 3;3 3 .
2
2
2
2
r r
r r r r
Dễ thấy y = a + b . Sử dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b ta có:
(
(
y≥ 3 + 3 3
Câu 2
(2 điểm)
)
2
= 6.
r
r
Dấu bằng xảy ra khi a và b cùng hướng ⇔ x = 0.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 6 khi x = 0.
Đặt t = a + b.
2
2
t
a+b
Ta có 3 = a + b + ab ≤ a + b +
÷ = t + ⇔ t ≥ 2.
4
2
2
)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Đặt A =
4a
4b
+
+ 2ab − 7 − 3ab .
b +1 a +1
Ta có:
A=4
a 2 + a + b2 + b
+ 2ab − 7 − 3ab
ab + a + b + 1
1,0
= ( a 2 + b 2 + 2ab ) + ( a + b ) − 7 − 3 ( 3 − ( a + b ) )
= t 2 + t − 3t − 2.
Xét hàm số f ( t ) = t 2 + t − 3t − 2 với t ≥ 2.
3
> 0, ∀t ≥ 2 ⇒ f ( t ) ≥ f ( 2 ) = 4.
2 3t − 2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.
Bài IV (5 điểm)
uuur
uuur
uuur uuuur
Câu 1
Đặt AB = x AM , x ≥ 1 và AD = y AN , y ≥ 1.
(2 điểm)
1
1
Khi đó x + 2 y = 4 ⇔ x + y = 1.
4
2
uur 1 uuur 1 uuur
Gọi I là điểm thỏa mãn AI = AB + AD ⇒ I cố định.
4
2
uur 1 uuuur 1 uuur
uuu
r
uuu
r
uuur uuuur
Mặt khác AB = x AM và AD = y AN nên AI = x AM + y AN
4
2
Ta có f ' ( t ) = 2t + 1 −
Câu 2
(3 điểm)
1
1
mà x + y = 1. Do đó M , N , I thẳng hàng.
4
2
V'
V
1 V
= 1 − SAMN = 1 − . SAMN .
Ta có
V
VS . ABCD
2 VSABD
VSAMN AM AN 1
2
=
.
=
=
Ta có
với 1 ≤ x ≤ 2.
VSABD
AB AD xy x ( 4 − x )
2
Xét hàm số f ( x ) =
trên đoạn [ 1;2 ] .
x( 4 − x)
Ta có f ' ( x ) =
Từ đó
4 ( x − 2)
x2 ( 4 − x )
2
≤ 0, ∀x ∈ [ 1;2] .
1
V
2
= f ( 2 ) ≤ f ( x ) = SAMN ≤ f ( 1) = .
2
VSABD
3
2 V' 3
Vậy ta có ≤ ≤ .
3 V 4
Bài V (4 điểm)
0,5
0,5
0,5
1,0
1,0
1,0
0,5
0,5
Câu 1
(2 điểm)
• Ta chứng minh un > 1, ∀n ≥ 1 bằng quy nạp.
* Với n = 1, ta có u1 = 2 > 1. Do đó mệnh đề đúng khi n = 1.
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1, tức là uk > 1. Ta sẽ chứng
minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh
( u − 1) > 0 vì u > 1.
uk +1 > 1. Thật vậy, ta có uk +1 − 1 = k
k
2uk − 1
• Ta có :
u ( u − 1)
un2
−u 2 + un
un+1 − un =
− un = n
=− n n
< 0, ∀n ≥ 1.
2un − 1
2un − 1
2un − 1
2
0,5
0,5
1,0
Từ đó suy ra dãy ( un ) giảm và bị chặn.
Câu 2
(2 điểm)
( un − 1) .
un2
⇔ un+1 − 1 =
Ta có un+1 =
2un − 1
2 ( un − 1) + 1
2
Đặt vn = un − 1 ta có vn+1 =
0,5
2
n
v
1
2 1
⇔
= + 2.
2vn + 1
vn+1 vn vn
1
2
ta có xn+1 = 2 xn + xn2 ⇔ xn+1 + 1 = ( xn + 1) .
vn
Đặt yn = xn + 1 ta có yn+1 = yn2 .
Đặt xn =
0,5
1
1
n −1
y1 = x1 + 1 = v + 1 = u − 1 + 1 = 2
⇒ yn = 22 , n ≥ 1, n ∈ ¥ .
1
1
Ta có
y = y 2 = y 22 = ... = y 2n −1
n −1
n −2
1
n
0,5
n −1
1
1
yn
22
+1 =
⇒ un = 2n −1 .
Từ đó un = vn + 1 = + 1 =
xn
yn − 1
yn − 1
2 −1
Chú ý:
- Học sinh làm theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Giám khảo khơng được làm trịn tổng điểm.
0,5
