TỔNG HỢP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ 2014

A.HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1. Giải hệ phương trình
8x3 − y 3 = 63 (1)
y 2 + 2x2 + 2y − x = 9 (2)
Hướng dẫn : Lấy (1) + 6.(2) ⇒ (2x − 1)3 = (y + 2)3 . Đs : (2; 1); (−1/2; 4).
Câu 2. Giải hệ phương trình
9y 3 (3x3 − 1) = −125 (1)
45x2 y + 75x = 6y 2 (2)
5
Hướng dẫn : Chia (1) cho y 3 , (2) cho y 2 , đặt u = 3x; v = . Đs : (2/3; 5); (1/3; 5/2).
y
Câu 3. Giải hệ phương trình
√
y 3 + 3y 2 + y − 22x + 21 = (2x + 1) 2x − 1 (1)
2x2 − 11x + 9 = 2y (2)
√
√
Hướng dẫn : Lấy (1) − 2.(2) ⇒ (y + 1)3 + 2(y + 1) = ( 2x − 1)3 + 2 2x − 1. Đs : (1; 0); (5; 2).
Câu 4. Giải hệ phương trình
x4 − 4x2 + y 2 − 6y + 9 = 0 (1)
x2 y + x2 + 2y − 22 = 0 (2)
√
√
Hướng dẫn : Đặt a = x2 −2; b = y−3, suy ra (a; b) = {(2; 0); (0; 2)}. Đs : (2; 3); (−2; 3); ( 2; 5); (− 2; 5).
Câu 5. Giải hệ phương trình
x3 − 6x2 y + 9xy 2 − 4y 3 = 0 (1)
√
√

x − y + x + y = 2 (2)
√
√
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x − y)2 (x − 4y) = 0. Đs : (2; 2); (32 − 8 15; 8 − 2 15).
Câu 6. Giải hệ phương trình
2 x2 + 3y − y 2 + 8x − 1 = 0 (1)
x(x + 8) + y(y + 3) − 13 = 0 (2)
Hướng dẫn : Đặt a =

x2 + 3y; b =

y 2 + 8x, ⇒ (a; b) = (2; 3). Đs : (1; 1); (−5; −7).

Câu 7. Giải hệ phương trình


 9(x2 + y 2 ) + 2xy +

4
= 13 (1)
(x − y)2

1
= 3 (2)
x−y
1
Hướng dẫn : Đặt a = x + y; b = x − y +
⇒ (a; b) = {(1; 2); (5/3; 4/5)}. Đs : (1; 1).
x−y


 2x +


TAILIEUEA.COM
www.VNMATH.com

Câu 8. Giải hệ phương trình

(x√− y)(x2 + xy + y 2 + 3) = 3(x2 + y 2 ) + 2 (1)
√
4 x + 2 + 16 − 3y = x2 + 8 (2)
√
√
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x − 1)3 = (y + 1)3 ⇔ y = x − 2; (2) ⇔ 4 x + 2 + 22 − 3x = x2 + 8 ⇔
Liên hợp hai lần nhé !. Đs : (2; 0); (−1; −3).
Câu 9. Giải hệ phương trình

√
2−2 2−x
(1)
2x − 1 − 1 2
=
x
 log x = −y + 2 (2)
2
√
√
Hướng dẫn : Rút (2) thay vào (1) : 2x − 1 − 1 = 1 − 2 − x ⇔ Bình phương !. Đs : (1; 2); 17/9; 2 −
17
log2 .

9

 √

y−1

Câu 10. Giải hệ phương trình
(1)
x + 3 = 2 (3y
√ − x)(y + 1) √
√
√
x 2y − 1 + x + 12 = 12 6 − 2y + 4 − x

(2)

√
√
√
√
Hướng dẫn : (1) ⇔
y + 1 − 3y − x (3 y + 1 + 3y − x) = 0. Thay vào (2), dùng tính đơn điệu,
suy ra duy nhất nghiệm. Đs : (4; 5/2).
Câu 11. Giải hệ phương trình
ln(x + 1) + ln(y + 1) = ln(x − 2y + 1) (1)
x2 − 12xy + 20y 2 = 0 (2)
Hướng dẫn : (2) là phương trình đẳng cấp thuần nhất, chia y 2 . Đs : (0; 0).
Câu 12. Giải hệ phương trình
xy 2 + 4y 2 + 8√
= x(x + 2) (1)

x + y + 3 = 3 2y − 1 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (x + 4)(y 2 − x + 2) = 0. Khi x = y 2 + 2, thay vào (2)
y 2 + y + 5 = (y 2 − y + 1) + (2y − 1) + 5 > (2y − 1) + 5
√
. Đs : (−4; 10 + 3 10).

2 5(2y − 1)

3 2y − 1 ⇔ Vô lý

Câu 13. Giải hệ phương trình



2x + y
3x + 1
+
= 2 (1)
4x + 2y + 2
x−1

12x + 4y = 5(x − 1)(2x + y + 1) (2)
Hướng dẫn :(2) ⇔

1
5
1
+
= , đặt a =
2x + y + 1 x − 1

4

2x + y
;b =
4x + 2y + 2

3x + 1
. Đs : (5; −10).
x−1

Câu 14. Giải hệ phương trình
x4 + y 2 − 8x2 − 6y = 1 (1)
x2 y + 2x2 + y = 38 (2)
√
√
Hướng dẫn :Đặt a = x2 − 4; b = y − 3. Đs : ( 3; 8); (− 3; 8); (3; 2); (−3; 2).


Câu 15. Giải hệ phương trình
x3 − x2 y = x2 − x + y + 1 (1)√
x3 − 9y 2 + 6(x − 3y) − 15 = 3 3 6x2 + 2 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (x − y)(x2 + 1) = x2 + 1, thay vào (2)
√
3
(x − 1)3 + 3(x − 1) = (6x2 + 2) + 3 6x2 + 2 ⇔ . . . ⇔ x3 − 9x2 + 3x − 3 = 0 ⇔ (x + 1)3 = 2(x − 1)3
. Đs :

√
3
2+1

2
√
.
;√
3
3
2−1 2−1

Câu 16. Giải hệ phương trình

√
(4x2 + 1)x + (y −√
1) 1 − 2y = 0 (1)
4x2 + y 2 + 4y + 2 3 − 4x = 3 (2)
√
√
Hướng dẫn :(1) ⇔ (2x)3 + 2x = ( 1 − 2y)3 + 1 − 2y, thay vào (1) ⇔ (2x − 1).f (x) = 0. Đs : (1/2; 0).

Câu 17. Giải hệ phương trình


√
 1 + xy + xy = x (1)
1
1
√
√
 √ + y y = √ + 3 y (2)
x x
x


1
√
Hướng dẫn :Chia (1) cho x, đặt a = √ ; b = y. Đs : (1; 0).
x
Câu 18. Giải hệ phương trình
x2 y 2 + 4x2 y − 3xy 2 + x2 + y 2 = 12xy + 3x − 4y + 1 (1)
3x2 − 2y 2 = 9x + 8y + 3 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ √
(x2 − 3x + 1)(y√2 + 4y + 1) = 2; (2) ⇔ 3(x2 − 3x) − 2(y 2 + 4y) = 3. Đặt a = x2 − 3x; b =
3 − 13
3 + 13
y 2 + 4y. Đs : (
; 0); (
; 0); ....
2
2
Câu 19. Giải hệ phương trình
10x − xy − y = 2 (1)
30x2 − xy 2 − 2xy − x − y = 1 (2)
Hướng dẫn :(1) chia x; (2) chia x2 . Đặt a =

1
; b = y + 1. Đs : (1; 4); (1/5; 0); (1/2; 2); (1/3; 1).
x

Câu 20. Giải hệ phương trình
2 2
x4 + x√
y − y 2 = y 3 + x2 y + x2 (1)

2y 3 − 5 − 2x2 − 1 = 0 (2)

Hướng√dẫn :(1) √
⇔ (x2 − y − 1)(x2 + y 2 ). Thay x2 = y + 1 vào (2), xét hàm, suy ra nghiệm duy nhất.
Đs : ( 2; 1); (− 2; 1).
Câu 21. Giải hệ phương trình

√
(4y − 1)( x2 + 1) = 2x2 + 2y + 1 (1)
x4 + x2 y + y 2 = 1 (2)
√
Hướng dẫn :Xem (1) là một phương trình bậc 2 theo x2 + 1. Đs : (0; 1).


TAILIEUEA.COM
www.VNMATH.com

Câu 22. Giải hệ phương trình

√
√
√x + 2 + √y − 2 = 4 (1)
x + 7 + y + 3 = 6 (2)
√
√
√
√
Hướng dẫn :(1) + (2); (1) − (2), đặt a = x + 7 + x + 2; b = y + 3 + y − 2. Đs : (2; 6).

Câu 23. Giải hệ phương trình

2x2 (4x + 1) + 2y 2 (2y + 1) = y + 32 (1)
1
x2 + y 2 − x + y =
(2)
2
Hướng dẫn :(2) ⇔

x−

1
2

2

+ y+

2

1
2

1
1
= 1, đặt a = x − ; b = y + . Thay vào (1)
2
2

(1) ⇔ (4a2 + 11a + 15)(a − 1) + 2b2 (b − 1) = 0 (3)
Dựa vào điều kiện suy ra V T (3)


0 ⇒ a = 1; b = 0. Đs : (3/2; 1/2).

Câu 24. Tìm m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất


 x + 3 = 2 (3y − x)(y + 1) (1)
√
x+5
3y − 2 −
.m = xy − 2y − 2 (2)


2
√
√
√
√
Hướng dẫn :(1) ⇔ 3(y + 1) − (3y − x) = 2 3y − x. y + 1 ⇔ . . . ⇔ y + 1 − 3y − x = 0. Thay vào
(2)
2m
√
(y − 2) √
− (2y + 1) = 0
3y − 2 + y + 2
√
Đs : (−∞; 7 6/9); 10.
Câu 25. Giải hệ phương trình

√


√
x2 + 21 = y − 1 + y 2 (1)
√
y 2 + 21 = x − 1 + x2 (2)
√
√
√
Hướng dẫn :Lấy (1) − (2) ⇔ x2 + 21 + x − 1 + x2 = y 2 + 21 + y − 1 + y 2 , xét hàm, suy ra x = y.
Đs : x = 2.

Câu 26. Giải hệ phương trình

√
x + y + x − y = 4 (1)
x2 + y 2 = 128 (2)
√

Hướng dẫn :Bình phương hai lần (1), rút được y 2 = 16x − 64, thay vào (2). Đs : (8; 8); (8; −8).
Câu 27. Giải hệ phương trình
xy + x − 1 = 3y (1)
x2 y − x = 2y 2 (2)
√
√
1
x
Hướng dẫn :(1) chia cho y, (2) chia cho y 2 . đặt a = x− ; b = . Đs : (1± 2; 1± 2); (2; 1); (−1; −1/2).
y
y
Câu 28. Giải hệ phương trình
x2 + xy + x + 3 = 0 (1)

(x + 1)2 + 3(y + 1) + 2 xy −
Hướng dẫn :(1) ⇔ xy = −x2 − x − 3, thay vào (2) ⇔ 3.

x2

x2 y + 2y = 0 (2)
y
−2
+2

x2

y
− 1 = 0. Đs : (−1; 3).
+2


Câu 29. Giải hệ phương trình
2y 3 − 2x3 = 3 (1)
y = 4x3 − x + 3 (2)
1
1
Hướng dẫn :Thay (1) vào (2), suy ra y+x = 2x3 +2y 3 ⇔ (x+y)(x2 −xy+y 2 − ) = 0. Từ x2 −xy+y 2 =
2
2
2 2
2
2
3
3

3
3
3
suy ra y
;x
. Đánh giá :|y − x |
|x | + |y |
2( 2/3) < 3/2 ⇒ vô nghiệm. Đs :
3
3
(− 3 3/4; 3 3/4).
Câu 30. Giải hệ phương trình
x + y + x2 − y 2 = 12 (1)
y x2 − y 2 = 12 (2)
Hướng dẫn :Đặt a =

x2 − y 2 ; b = x + y ⇒ (a; b) = {(4; 8); (3; 9)}. Đs : (5; 3); (5; 4).

Câu 31. Giải hệ phương trình
√
√
√
xy + x − y = −x + 2y (1)
3 log3 (x + 2y + 6) = 2 log2 (x + y + 2) + 1 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔

√
√
x − y = 0, thay vào (2) ⇔ 3 log3 (x + 2) = 2 log2 (x + 1). Đs : (7; 7).


Câu 32. Giải hệ phương trình
2
(x
+ xy + y 2 + 3) = 3(x2 + y 2 ) + 2 (1)
√ − y)(x √
x − 2 + 2 − y = x2 − 6x + 11 (2)

Hướng dẫn :(1) ⇔ (x − 1)3 = (y + 1)3 . Đs : (3; 1).
Câu 33. Giải hệ phương trình

√
x + x2 − 2x + 5 = 3y + y 2 + 4 (1)
x2 − y 2 − 3x + 3y + 1 = 0 (2)

Hướng dẫn :Lấy (1) + (2) ⇔ (x − 1)2 +

(x − 1)2 + 4 = y 2 +

y 2 + 4. Đs : (3/2; 1/2); (3/4; 1/4).

Câu 34. Giải hệ phương trình
log2 x = 2y+2 (1)
√
4 x + 1 + xy 4 + y 2 = 0 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (xy 2 − 4)(4x + xy 2 + 4) = 0 ⇔ x =

4
, thay vào (1), xét hàm, suy ra nghiệm duy
y2


nhất. Đs : (4; −1).
Câu 35. Giải hệ phương trình
√
√
(53
−
5x)
10 − x + √
(5y − 48) 9 − y (1)
√
2x − y + 6 + x2 = −2x + y + 11 + 2x + 66 (2)
√
√
Hướng dẫn :(1) ⇔ (5(10 − x) + 3) 10 − x = (5(9 − y) + 3) 9 − y, xét hàm, suy ra y = x − 1. Đs :
(9; 8).
Câu 36. Giải hệ phương trình

√

√
x − 2 − y − 1 = 27 − x3 (1)
(x − 2)4 + 1 = y (2)
√
√
Hướng dẫn :(2) ⇔ y − 1 = (x − 2)2 ,thay vào (1) ⇔ x − 2 + x3 − x2 + 4x − 31 = 0, xét hàm VT,
chứng minh đồng biến, suy ra nghiệm duy nhất. Đs : (3; 2).


TAILIEUEA.COM
www.VNMATH.com


Câu 37. Giải hệ phương trình

27x3 y 3 + 7y 3 = 8 (1)
9x2 y + y 2 = 6x (2)
Hướng dẫn :Nhân (2) với 7y, rồi trừ vế theo vế với (1). Đs : (− 3 7/19; − 3 19/7); ....
Câu 38. Giải hệ phương trình
3
7x
+ y 3 + 3xy(x
− y) − 12x2 + 6x = 1 (1)
√
√
3
4x + y + 1 + 3x + 2y = 4 (2)

Hướng dẫn :(1) ⇔ (2x − 1)3 = (x − y)3 , thay vào (2), đặt a =
Đs : (2; −1).
Câu 39. Giải hệ phương trình

√
3

3x + 2; b =

√

x + 2 ⇒ a = 2; b = 2.

√

(3x + y)(x + 3y) xy = 14 (1)
(x + y)(x2 + y 2 + 14xy) = 36 (2)

√
Hướng dẫn :Đặt a = x + y; b = xy, suy ra hệ đẳng cấp theo a, b.
√
√
√
√
3−2 2 3+2 2 3+2 2 3−2 2
;
); (
;
).
Đs : (
2
2
2
2
Câu 40. Giải hệ phương trình

√
12x + 3y − 4 xy = 16 (1)
√
√
4x + 5 + y + 5 = 6 (2)

Hướng dẫn :Đặt a = 4x + y; b = 4xy,rút thế, suy ra a = 8; b = 16. Đs : (1; 4).
Câu 41. Giải hệ phương trình
5x2 − 3y = x − 3xy (1)

x3 − x2 = y 2 − 3y 3 (2)
Hướng dẫn :Hệ đẳng cấp !. Đs : (0; 0); (1/2; 1/2); (−1; 1).
Câu 42. Giải hệ phương trình




x2 + 3y

 √
3
x+6+
Hướng dẫn :(1) ⇔

x2 − 1
+3
y
√
3

x2 − 1
= 1 + 4y (1)
y
x + y − x2 = y (2)

x2 − 1
− 4 = 0 ⇔ . . . ⇔ y = x2 − 1. Thay vào (2)
y

x+6+


√

x − 1 = x2 − 1 ⇔ . . . ⇔ (x − 2).f (x) = 0

. Đs : (2; 3).
Câu 43. Giải hệ phương trình
√
2y +
4 1 + 2x2 y −
1
=
3x
+
2
1
−
2x
1 − x2 (1)
√
2x3 y − x2 = x4 + x2 − 2x3 y 4y 2 + 1 (2)
1
1 1
1
Hướng dẫn :(2) ⇔ 2y + 2y 4y 2 + 1 = +
+ 1. Xét hàm, suy ra 2y = , thay vào (1), đặt
2
x
x x
x

√
√
a = x + 1; b = 1 − x. Đs : (−3/5; −5/6); (0; t) t ∈ R .


Câu 44. Giải hệ phương trình
5x3 + 7y 3 + 2xy = 38 (1)
4x3 − 3y 3 − 7xy = −4 (2)
√ √
Hướng dẫn :(1) ⇔ x3 = xy + 2; (2) ⇔ y 3 = 4 − xy. Nhân vế theo vế, suy ra : xy = 2. Đs : ( 3 4; 3 2).
Câu 45. Giải hệ phương trình
x2 − y(x + y) + 1 = 0 (1)
(x2 + 1)(x + y − 2) + y = 0 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ x2 + 1 = y(x + y). Thay vào (2) ⇔ (x + y − 1)2 = 0. Đs : (0; 1); (−1; 2).
Câu 46. Giải hệ phương trình
x2 + 2y + 3 + 2y − 3 = 0 (1)
2(2y 3 + x3 ) + 3y(x + 1)2 + 6x(x + 1) + 2 = 0 (2)
Hướng dẫn :(2) ⇔ 2

x+1
y

3

+3

x+1
y

2


+ 4 = 0 ⇔ . . . ⇔ x = −2y − 1. Đs : (−14/9; 5/18).

Câu 47. Giải hệ phương trình
x2 − 5y + 3 + 6 y 2 − 7x + 4 = 0 (1)
y(y − x + 2) = 3x + 3 (2)
Hướng dẫn :Xem (2) là phương trình bậc hai theo y, suy ra : y = −3; y = x + 1. Đs : (1; 2); (4; 5).
Câu 48. Giải hệ phương trình
x2 + 1 + y(x + y) = 4y (1)
(x + y − 2)(x2 + 1) = y (2)
Hướng dẫn :Chia (1); (2) cho y, rồi đặt a =

x2 + 1
; b = x + y. Đs : (1; 2); (−2; 5).
y

Câu 49. Giải hệ phương trình


√
y
2 x
 1
√ + =
+ 2 (1)
y √
x x
√

y x2 + 1 = 2x + 3x2 + 3 (2)

√ √
√
Hướng dẫn :(1) ⇔ y = 2x; y = − x, thay vào (2), xét hàm. Đs : ( 3; 2 3).

Câu 50. Giải hệ phương trình
x(3x
√ − 7y +√1) = −2y(y − 1) (1)
x + 2y + 4x + y = 5 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ y = 3x + 1; y = x = 2y. Đs : (2; 1); (17/25; 76; 25).
Câu 51. Giải hệ phương trình
3
x
y 3 − 3y 2 + 2 (1)
√ − 3x = √
x − 1 + y − 2 = 2 (2)

Hướng dẫn :(1) ⇔ x3 − 3x = (y − 1)3 − 3(y − 1). Xét hàm, suy ra x = y − 1. Đs : (2; 3).
Câu 52. Giải hệ phương trình
√
√
2
1 + 2x
√+ y + 1 = 4(2x +2 y) + 6x + 3y (1)
(x + 1) 2x2 − x + 4 + 8x + 4xy = 4 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (4x + 2y − 1).f (x) = 0 ⇔ 4x + 2y = 1, thay vào (2). Xét hàm, suy ra đồng biến. Đs
: (1/2; −1/2).


Câu 53. Giải hệ phương trình


TAILIEUEA.COM
www.VNMATH.com

√
√
2y 3 + 2x √
1 − x = 3 1 − x − y (1)
2x2 + 2xy 1 + x = y + 1 (2)
√
Hướng dẫn :Xét hàm phương trình (1), suy ra y = 1 − x. Thay vào (2)
√
√
(2) ⇔ 1 − x = 2x2 − 1 + 2x 1 − x2 ; đặt x = cos t
√
Đs : cos(3π/10); 2. sin(3π/20).

Câu 54. Giải hệ phương trình

Hướng dẫn :(2) ⇔ 3y =

√
( x + 1 − 1)3y (1)
y + log3 x = 1 (2)

√
√
3
, thay vào (1) : x + 1 = 1 + 4 − x. Đs : (3; 0).
x


Câu 55. Giải hệ phương trình
2

2

y +4x−2
3x+3y−2
=
35y−3x + 2.3(y+1) (1)
√ + 6.3
√
1 + 2 x + y − 1 = 3 3 3y − 2x (2)

√
√
2
4x−2
Hướng dẫn
−32y )(27y−x +6.3y ) = 0 ⇔ y = 2x−1, thay vào (2) : 1+2 3x − 2 = 3. 3 4x − 3,
√ :(1) ⇔ (3 √
đặt a = 3x − 2; b = 3 4x − 3. Đs : (1; 1); (11/4; 9/2).
Câu 56. Giải hệ phương trình
2x(x2 + 3) − y(y 2 + 3) = 3xy(x − y) (1)
(x2 − 2)2 = 4(2 − y) (2)
√
√
3
3
3;
−2+2

3); (−1−
Hướng
dẫn
:(1)
⇔
x
+3x
=
(y
−x)
+3(y
−x),
xét
hàm,
suy
ra
y
=
2x.
Đs
:
(−1+
√
√
3; −2 − 2 3).
Câu 57. Giải hệ phương trình
y 3 + 5y√− 2xy(y − 1) = 4x2 + 10x (1)
x2 − 6 2x + 5 + 18 = y (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ (2x − y)(2x + y 2 + 5) = 0, suy ra y = 2x, thay vào (2)
√

√
x2 + 18 = 2x + 6 2x + 5 ⇔ (x − 2)2 + ( 2x + 5 − 3)2 = 0
. Đs : (2; 4).
Câu 58. Giải hệ phương trình
2
2+
2x2 + 2xy + 5y 2 = 3(x + y) (1)
√ 5x + 2xy + 2y√
3
2x + y + 1 + 2 7x + 12y + 8 = 2xy + y + 5 (2)

Hướng dẫn :(Đề THPT Chu Văn An - Lần 2) . Đánh giá (1), suy ra x = y, thay vào (2) ⇔ (x2 −x).f (x) =
0. Đs : (0; 0); (1; 1).
Câu 59. Giải hệ phương trình
(x + y)(x + 4y 2 + y) + 3y 4 = 0 (1)
x + 2y 2 + 1 − y 2 + y + 1 = 0 (2)
√
√
√
√
1
−
13
1
+
13
); (−2; −1); (−4− 13;
).
Hướng dẫn :(1) ⇔ (x+y+y 2 )(x+y+3y 2 ) = 0. Đs : (−4+ 13;
2

2


Câu 60. Giải hệ phương trình

√
x − 1(1
√ − 2y) − y + 2 = 0 (1)
y(y + x − 1) + x − 4 = 0 (2)

√
Hướng dẫn :Đặt a √
= x − 1,√suy ra hệ theo a; y, suy ra 2(a − y)2 + 3(a − y) = 0.
19 − 3 13 3 + 13
Đs : (2; 1); (
;
).
8
4
Câu 61. Giải hệ phương trình
1
= y + 3 (1)
x+y
1

 x2 + y 2 +
= xy + 2 (2)
(x + y)2



 2x +

Hướng dẫn :Đặt a = x − y; b = x +

1
, suy ra hệ theo a; b, suy ra (a; b) = (1; 2); (2; 1). Đs :
x+y

(1; 0); (3/2; 1/2).
Câu 62. Giải hệ phương trình


3x − y

 x+ 2
= 3 (1)
x + y2
x + 3y

 y−
= 0 (2)
x2 + y 2
3y + 1
Hướng dẫn :(1).y + (2).x ⇔ 2xy − 1 = 3y ⇔ x =
, thay vào (2) ⇔ 4y 4 − 3y 2 − 1 = 0. Đs :
2y
(2; 1); (1; −1).

Câu 63. Giải hệ phương trình
√

3x2 − 2x − 5 + 2x x2 + 1 = 2(y + 1)
x2 + 2y 2 = 2x − 4y + 3 (2)

y 2 + 2y + 2 (1)

√
Hướng dẫn :(1) − (2) ⇔ x2 + x x2 + 1 = (y + 1)2 + (y + 1) (y + 1)2 + 1, xét hàm, suy ra x = y + 1.
Đs : (−1; −2); (5/3; 2/3).
Câu 64. Giải hệ phương trình

√

√
x − 1 + y − 1 = 1 (1)
2x2 − 3xy + y 2 = y − 2x (2)

Hướng dẫn :(2) ⇔ y 2 − (3x + 1)y + 2x2 + 2x = 0 ⇔ y = x + 1; y = 2x. Đs : (1; 2).
Câu 65. Giải hệ phương trình
y√2 − (x2 +√2)y + 2x2 = 0 (1)
√
x + 4 + x − 4 − 2 y − 16 = 2x − 12 (2)
Hướng dẫn :(1) ⇔ y = 2; y = x2 . Đs : (5; 25).
Câu 66. Giải hệ phương trình
2

2

2

4 + 9.3x −2y = (4

+ 9x −2y ).72y−x +2 (1)
√
4x + 4 = 4x + 4 2y − 2x + 4 (2)
4 + 3t+2
4 + 32t
Hướng dẫn :Đặt t = x − 2y, (1) ⇔
=
⇔ t + 2 = 2t. Đs : 1; −1/2.
7t+2
72t
2


TAILIEUEA.COM
www.VNMATH.com

Câu 67. Giải hệ phương trình

2
2
4x
√ + 4xy + y2 + 2x + y − 2 = 0 (1)
8 1 − 2x + y − 9 = 0 (2)

Hướng dẫn :(1) ⇔ (2x + y − 1)(2x + y + 2) = 0. Đs : (0; 1); (1/2; −3).
Câu 68. Giải hệ phương trình

√
x2 + 1 = √ y − 1 + 2x (1)
y 2 + 1 = x − 1 + 2y (2)


Hướng dẫn :(1) − (2) ⇔ x = y. Đs : (1; 1); (2; 2).
Câu 69. Giải hệ phương trình


x

+
 √ 2
x −1
x

+
 √ 2
x +1

y
y2 + 1
y
y2 − 1

= 2014 (1)
= 2014 (2)

Hướng dẫn : Lấy(1) − (2) ⇔ x = y. Đs : (∞; −1); (1; +∞).
Câu 70. Giải hệ phương trình
x2 − 2y + 2 + y = 2x (1)
x + 2x2 = (x2 + 3x − y)y (2)
3


Hướng dẫn : (2) ⇔ (x − y)(x2 + 2x − y) = 0. Đs : (1; 1).
B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1. Giải bất phương trình

√

x + 2 + x2 − x − 2

Hướng dẫn : Liên hợp hai căn, suy ra (x − 2).f (x)
Câu 2. Giải bất phương trình
Hướng dẫn : Đặt y =

√

√

0. Chứng minh f (x) > 0. Đs : 2/3

√
x3 + (3x2 − 4x − 4) x + 1

x + 1, chia hai vế cho y 3 , suy ra x

Câu 3. Giải bất phương trình

3x − 2 (1).

√

x+


0 (1).
y. Đs : −1

x

(1 +

x

2.

√
5)/2.

3+x
< 1 (1).
3−x

Hướng dẫn : Câu này cho điểm nhé !. Đs : (3; 9).
Câu 4. Giải bất phương trình
2
8
2 1 − + 2x −
x (1).
x
x
√
√
√

√
Hướng dẫn : (1) ⇔ 4 x − 2 + 2 x
2x2 + 4x ⇔ ( x2 − 2x − 2)2

0. Đs : [−2; 0); 1 +

√

5.

Câu 5. Giải bất phương trình

Hướng dẫn : (1) ⇔

√
2+x

√
1
log2 (2 + x) + log1/2 (4 − 4 18 − x) 0 (1).
2
√
√
4 − 4 18 − x, đặt t = 4 18 − x, suy ra 2 t

4 . Đs : −2 < x

2.



Câu 6. Giải bất phương trình

√
3 2x2 − x x2 + 3 < 2(1 − x4 ) (1).

√
Hướng dẫn : Đặt t = x x2 + 3. Đs : −
Câu 7. Giải bất phương trình

Hướng dẫn : Chia hai vế cho
Câu 8. Giải bất phương trình

√
√

√
−3 + 10
< x < 1.
2

√
2x − 3 + 2 x + 2

x + 2. Đs :

3
2

x


√
4
3 2x2 + x − 6 (1).
5.

√
6x2
√
x − 1 + 1 (1).
>
2x
+
( 2x + 1 + 1)2

√
√
Hướng dẫn : (1) ⇔ x − 3 2x + 1 + 4 > x − 1 ⇔
√
10 + 4 5.

√
3
2x + 1 −
2

2

>

√


1
x−1+
2

2

. Đs : x >

Câu 9. Giải bất phương trình
√
5 − 4x
2x x + √
x
Hướng dẫn :Đặt t =

√

x+

10
− 2 (1).
x

x2 − 2x + 10 . Đs : x > 0.

Câu 10. Giải bất phương trình
2
Hướng dẫn :(1) ⇔ 2
√

√
Đs : − 3 x
3.

x2 + x + 1
+ x2 − 4
x+4

x2 + x + 1
−1
x+4

2

+x −3

Câu 11. Giải bất phương trình
1−

√

√

2
x2

+1

(1).


√
2 − x2 + 1
√
⇔ . . . ⇔ (x2 − 3).f (x)
2
x +1

0.

1 − 4x2
< 3 (1).
x

Hướng dẫn :Liên hợp ! . Đs : [−1/2; 0); (0; 1/2].
Câu 12. Giải bất phương trình

√
3 − 2 x2 + 3x + 2
√
> 1 (1).
1 − 2 x2 − x + 1

√
√
Hướng dẫn : 1 − 2 x2 − x + 1 < 0; (1) ⇔ . . . ⇔ x2 − x + 1 < 2x. Đs : x >

√

13 − 1
.

6

Câu 13. Giải bất phương trình
4(x + 1)2 < (2x + 10)(1 −

√

3 + 2x)2 (1).

√
(2x + 10)4(x + 1)2
√
Hướng dẫn : Liên hợp vế phải, (1) ⇔ 4(x + 1) <
⇔
(1
+
3 + 2x)2 < 2x + 10 .
(1 + 3 + 2x)2
Đs : [−3/2; 1); (1; 3).
2


TAILIEUEA.COM
www.VNMATH.com

Câu 14. Giải bất phương trình

√

x+1+

√
Hướng dẫn : Tự làm nhé. Đs : [2 − 2 2; 5].

√
5−x

2 − x (1).

Câu 15. Giải bất phương trình
√
√
√
( x + 3 + x + 1)( x2 + 4x + 3 − 1)
√
√
Hướng dẫn : (1) ⇔ ( x + 1 − 1)( x + 3 + 1) 0. Đs : x 0.

2 (1).

Câu 16. Giải bất phương trình
√
√
4 x + 1 + 2 2x + 3 (x − 1)(x2 − 2) (1).
√
√
Hướng dẫn : (1) ⇔ 4( x + 1−2)+2( 2x + 3−3) x3 −x2 −2x−12 ⇔ (x−3).f (x). Đs : x = −1; x

3.

Câu 17. Giải bất phương trình

√

x2 − 3x + 2 −

√

2x2 − 3x + 1

x − 1 (1).

Hướng dẫn : Tự làm nhé ! . Đs : (−∞; 1/2); 1.
C. PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1. Giải phương trình

√
x − 2 + 4 − x = 2x2 − 5x − 1 (1).
√
√
Hướng dẫn : (1) ⇔ ( x − 2 − 1) + ( 4 − x − 1) = 2x2 − 5x − 3 ⇔ (x − 3).f (x) = 0, chứng minh
f (x) = 0 vô nghiệm . Đs : x = 3.
√

Câu 2. Giải phương trình

Hướng dẫn : Đặt t =

√
−12 + 8x − x2 + 1 = √
√


x−2+

√

2
√
.
x−2+ 6−x

6 − x. Đs : (2; 6).

Câu 3. Giải phương trình
log3 (x2 + x + 1) − log3 x = 2x − x2 .
Hướng dẫn : (1) ⇔ log3 (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = log3 (3x) + 3x. Đs : x = 1.
Câu 3. Giải phương trình

√

Hướng dẫn : Chia (1) cho x, đặt t =
Câu 4. Giải phương trình

1
+ 3 (1).
x
√
√
3
1
3 + 37 3 − 37
2 + + 2 . Đs :

;
.
x x
14
14

2x2 + 3x + 1 = −4x +

√
√
2 x2 − 7x + 10 = x + x2 − 12x + 20 (1).

√
√
√
15
+
5
5
Hướng dẫn : (1) ⇔ 2( x2 − 7x + 10 − (x + 1)) = x2 − 12x + 20 − (x + 2). Đs : x = 1; x =
.
2
Câu 5. Giải phương trình
√
√
x3 + 1 √
+ x + 1 = x2 − x + 1 + x + 3 (1).
x+3
Hướng dẫn : Bình phương !. Đs : V n.



Câu 6. Giải phương trình
x+1+
Hướng dẫn : Nhân hai vế (1) cho

√

√

x2

√
27 2 2 √
x x (1).
+ 2x =
8

2, suy ra 1 +

27 2
x+2
=
x . Xét tính đơn điệu hàm số, suy ra
x
4

nghiệm duy nhất . Đs : 2/3.
Câu 7. Giải phương trình

√

3

3x − 5 = 8x3 − 36x2 + 53x − 25 (1).
√
√
3
3
3
Hướng dẫn : (1) ⇔ 3 3x − 5 = (2x − 3)√
− x + 2,
√đặt 2y − 3 = 3x − 5 ⇒ (2y − 3) = 3x − 5. Có được
5+ 3 5− 3
;
.
hệ theo x, y, suy ra x = y . Đs : 2;
4
4
Câu 8. Giải phương trình

√
√
6x − 4
2x + 4 − 2 2 − x = √
(1).
x2 + 4

Hướng dẫn : Đoán nghiệm - liên hợp ! . Đs : 2; 2/3.
Câu 9. Giải phương trình

√

4(2x2 + 1) + 3(x2 − 2x) 2x − 1 = 2(x3 + 5x) (1).
√
√
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x − 2)(3x 2x − 1 − 2(x2 − 2x + 1)) = (x − 2) 2(2x − 1) + 3x 2x − 1 − 2x2 = 0
√
√
. Đs : 2; 4 + 2 3; 4 − 2 3.

Câu 10. Giải phương trình
√
√
√
√
3x2 − 7x + 3 − x2 − 2 = 3x2 − 5x − 1 − x2 − 3x + 4 (1).
√
√
√
√
Hướng dẫn : (1) ⇔ ( 3x2 − 7x + 3 − 3x2 − 5x − 1) + ( x2 − 3x + 4 − x2 − 2) = 0 . Đs : x = 2.
Câu 11. Giải phương trình
x−
Hướng dẫn : (1) ⇔

x−

1 √ 2
+ x − x = 2 (1).
x

√

√
1
− 1 +( x2 − x−1) = 0, liên hợp, suy ra x2 −x−1 = 0 . Đs : (1± 5)/2.
x

Câu 12. Giải phương trình
1
1
3 (x + 1) +
log √
log81 (x − 3)2012 = 5 log243 (4x − 8) (1).
3
3
503
√
Hướng dẫn : Tự làm nhé ! . Đs : 5; −1 + 2 3.
Câu 13. Giải phương trình

√

√

12 − 8x = (1 − 2x)2 (1).
√
√
2
Hướng
4, (1) ⇔ 2( 2 − t + 2 + t) = t2
√ dẫn : Đặt t = 1 − 2x ⇒ t
4 + 2 4 − t2 4, suy ra t = ±2 . Đs : −1/2; 3/2.

Câu 14. Giải phương trình

Hướng dẫn : (1) ⇔

√

4 + 8x +

√
4x2 + x + 6 = 4x − 2 + 7 x + 1 (1).
√
2
2x − 1
2x − 1
2− 7
√
+ 5 = 2. √
+ 7. Đs :
.
2
x+1
x+1

√
√
4, mà ( 2 − t + 2 + t)2 =


TAILIEUEA.COM
www.VNMATH.com


Câu 15. Giải phương trình
log4 x +

Hướng dẫn : (1) ⇔

3
x

+ 1 = log8 (x2 + 7)3 + log1/2 (x + 1) (1).

3
x2 + 7
x+ =
⇔ . . . ⇔ (x2 − 4x + 3).f (x) = 0. Đs : 3; 1.
x
2(x + 1)

Câu 16. Giải phương trình
√
√
5 x x2 + 6 + (x + 1) x2 + 2x + 7 = 13(2x + 1) (1).
Hướng dẫn : Đặt a =

√

x2 + 6; b =

√


x2 + 2x + 7 ⇒ 2x + 1 = b2 − a2 ; x =

b 2 − a2 − 1
. Thay vào (1):
2

(a − b) 5(a + b)2 − 26(a + b) + 5 = 0
Đs : x = −1/2.
Câu 17. Giải phương trình

√
x(4x2 + 1) + (x − 3) 5 − 2x = 0 (1).
√
√
Hướng dẫn√ : (1) ⇔ 2x(4x2 + 1) = [(5 − 2x) + 1] 5 − 2x, xét hàm, suy ra 2x = 5 − 2x . Đs :
−1 + 21
x=
.
4

Câu 18. Giải phương trình

√
2x(x − 2) = 3 x3 + 1 (1).

2
Hướng dẫn : (1)√⇔ −2(x+1)+2(x
−x+1) = 3
√
5 + 37 5 − 37

. Đs : x =
;
.
2
2

(x + 1)(x2 − x + 1), đặt a =

√

x2 − x + 1; b =

√
x+1

Câu 19. Giải phương trình

√
3
3x2 − 5 x3 + 1 + 8x + 5 = 0 (1).
√
√
Hướng dẫn : (1) ⇔ (x + 1)3 + 5(x + 1) = x3 + 1 + 5 3 x3 + 1, đặt a = x + 1; b = 3 x3 + 1 . Đs : 0; −1.

Câu 20. Giải phương trình
√

2x + 1 +

√

√
√
4
2x − 1 = x − 1 + x2 − 2x + 3 (1).

√
√
√
Hướng dẫn : Đặt a = 4 2x − 1, (1) ⇔ a + a4 + 2 = x − 1 +
√
√
√
4
2x − 1 = x − 1. Đs : 2 + 2.
(Còn Nữa !)

√
( x − 1)4 + 2, xét hàm, suy ra