Gioi han ham so
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (110.01 KB, 4 trang )
Giới hạn hàm số
Giới hạn hàm số
I. Các định nghĩa về giới hạn:
1. Giới hạn hàm số:
l ( ) , : ( )
x a
im f x A 0 0 x a f x A
= > > < <
hoặc
{ }
l ( ) ( )
n
x a
im f x A x a f x A
=
2. Giới hạn bên trái:
l ( ) , : ( ; ) ( )
x a
im f x A 0 0 x a a f x A
= > > <
3. Giới hạn bên phải:
l ( ) , : ( ; ) ( )
x a
im f x A 0 0 x a a f x A
+
= > > + <
4. Giới hạn ở vô cực:
l ( ) , : ( )
x
im f x A 0 M 0 x M f x A
= > > > <
l ( ) , : ( )
x
im f x A 0 M 0 x M f x A
+
= > > > <
l ( ) , : ( )
x
im f x A 0 M 0 x M f x A
= > > < <
5. Giới hạn là vô cực (không tồn tại giới hạn):
l ( ) , : ( )
x a
im f x M 0 0 x a f x M
= > > < >
6. Quan hệ giữa giới hạn phải, giới hạn trái với giới hạn hàm số:
l ( ) l ( ) l ( )
x a
x a x a
im f x A im f x im f x A
+
= = =
II. Các định lí về giới hạn:
Giả sử
l ( )
x a
im f x A
=
và
l ( )
x a
im g x B
=
, khi đó:
1.
[ ]
l . ( ) ( ) .l ( ) .l ( )
x a x a x a
im k f x g x k im f x k im g x kA kB
= =
2.
[ ]
l ( ). ( ) l ( ).l ( ) .
x a x a x a
im f x g x im f x im g x A B
= =
3.
( )
l ( )
( )
l
( ) l ( )
x a
x a
x a
im f x
f x A
im B 0
g x im g x B
= =
4. Nguyên lý giới hạn kẹp:
Nếu
( ) ( ) ( )f x h x g x
mà
l ( ) l ( )
x a x a
im f x im g x A
= =
thì
l ( )
x a
im h x A
=
5. Các giới hạn đặc biệt (học sinh phải học thuộc vì các giới hạn này rất hay dùng) :
( )
sin
lim lim
ln( )
lim lim lim
1
x
x o x o
x
x
x o x o x o
x
1 1 x e
x
1 e 1 1 x
1 e 1 1
x x x
= + =
+
+ = = =
ữ
6. Chú ý: có 4 dạng vô định:
; ; ; .
0
0
0
-Biên soạn: Nguyễn Cao Cờng-
1
Giới hạn hàm số
Dạng 1: Giới hạn xác định
Phơng pháp: Chú ý một số giới hạn cơ bản đã biết:
+ Nếu C là hằng số thì
l
o
x x
im C C
=
+
l
n
x
1
im 0
x
=
+ Nếu f(x) là hàm số sơ cấp và x
o
TXĐ thì
l ( ) ( )
o
o
x x
im f x f x
=
.
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
( )
( )
sin
)l )l
) l ) l
2
3 2
4 3 2
x 2 x 1
x
2
x x
2
6
2005
x 1 x 1
2 x 4 x 9 x 3
a im x 5 x 3x 2 b im
x 3
3x 5 x 4
c im 3x 8 d im 2 x x 1
x 2
+
+
+
+
+ + +
Dạng 2: Khử dạng vô định
0
0
Loại 1:
o
o
P(x):đa thức,P(x
với
Q(x):đa thức,Q(x
)
( )
lim
( ) )
o
x x
0
P x
I
Q x 0
=
=
=
Ph ơng pháp:
( ) ( )
( ) ( )
( )
lim lim lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
o o o
o 1
1 1
x x x x x x
o 1 1 1
x x P x
P x P x
P x
I
Q x x x Q x Q x Q x
= = = =
Bài 2. Tìm các giới hạn:
( ) ( )
( ) ( )
)l ) l
)l )l
3 2 3
2 2
1
x 3
x
2
3 2
4 3 2
4 3 2
3 2
x 1 x 1
x 4 x 4 x 3 8 x 1
a im b im
x 3x 6 x 5 x 1
2 x 4 2 1 x 4 2 2 x 2
2 x 5 x 3x x 1
c im d im
3x 8 x 6 x 1
x 2 2 1 x 2 2 2 x 2
+
+
+ + +
+ +
+
+ + +
Loại 2:
o o
f(x )=g(x
với
f(x),g(x) chứa căn thức đồng bậc
)
( )
lim
( )
o
x x
0
f x
I
g x
=
=
Ph ơng pháp: Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân liên hợp ở tử và mẫu nhằm trục các nhân tử
( )
o
x x
ra khỏi căn thức.
Bài 3. Tìm các giới hạn sau:
) lim ) lim
) lim ) lim
2
2
x 0 x 2
3
2
2
x 1 x 0
1 x 1 x 7 3
a b
x
x 4
x 7 1 1 x 1
c d
1 x
x 5 2
+ +
+ +
+
+
Loại 3:
o o
f(x )=g(x
với
f(x) chứa căn thức kh"ng đồng bậc
)
( )
lim
( )
o
x x
0
f x
I
g x
=
=
Ph ơng pháp:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
lim lim
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
lim lim lim ...
( ) ( ) ( )
o o
o o o
m n m n
o o
x x x x
o
m n m n
x x x x x x
u x v x
u x v x
f x
I c
g x g x
g x 0
u x c v x c u x c v x c
g x g x g x
= = =
=
= = =
-Biên soạn: Nguyễn Cao Cờng-
2
Giới hạn hàm số
Bài 4. Tìm các giới hạn sau:
) lim ) lim ) lim
3 3 3
2 2
x 1 x 0 x 0
x 7 x 3 2 x 1 8 x 1 2 x 1 3x
a b c
x
x 3 x 2 x
+ + + + +
+
Dạng 3: Khử dạng vô định
Ph ơng pháp: Xét
P(x):đa thức
với hoặc các hàm đại số
Q(x):đa thức
( )
lim
( )
o
x x
P x
I
Q x
=
hoặc các hàm đại số. Gọi
bậc P(x)=p, Q(x)=q và m=Min(p,q), khi đó chia cả tử và mẫu cho
m
x
ta có kết luận sau:
+ Nếu pq thì tồn tại giới hạn.
+ Nếu p>q thì không tồn tại giới hạn.
ài 5.Tìm các giới hạn sau:
( )
( )
) lim ) lim ) lim
( ) ( ) ... ( ) ( )
) lim
2
3 2 5 3 2
4 3 2 5 4 2 2
x x x
100 100 100 100
100 10 10
x
2 x 1 3 x x 2
2 x 3 x 4 x 1 6 x 7 x 4 x 3 3x
a b c
2 x 1
x 5 x 2 x x 3 8 x 5 x 2 x 1 4 x
x 1 x 2 x 99 x 100
d
x 10 x 100
+ +
+ + +
+
+ + +
+ + + + + + + +
+ +
Dạng 4: Khử dạng vô định
Ph ơng pháp: Biến đổi đa về dạng
Bài 6. Tìm các giới hạn sau:
( )
) lim ) lim ( )( )
) lim ( )( )( ) ( )( )( )( )
) lim ,
x x
3
4
x
m n
x 1
a x x x b x a x b x
c x 5 x 6 x 7 x 1 x 2 x 3 x 4
m n
d m n Z
1 x 1 x
+ +
+
+
+ + +
+ + + + + + +
Dạng 5: Khử dạng vô định
.0
Ph ơng pháp: Biến đổi đa về dạng
Bài 7. Tìm các giới hạn sau:
) lim . ) lim
) lim .
2
2 3 3
3
x x
2 2
x
a x x 1 x b x x 1 x 1
c x x 2 x x 2 x x
+ +
+
+ +
+ + +
-Biên soạn: Nguyễn Cao Cờng-
3
Giới hạn hàm số
Dạng 6: Khử dạng vô định hàm lợng giác
Ph ơng pháp. Sử dụng các kết quả giới hạn cơ bản sau:
sin
.lim ;lim
sin
sin sin sin
.lim lim . .lim
sin sin sin
.lim lim . lim .lim
sin sin sin
sin
.lim lim . .
.lim
x o x o
x o x o x o
x o x o x o x o
x o x o
x o
x x
1 1 1
x x
ax ax ax
2 a a a
x ax ax
ax ax bx ax bx b
3
bx ax bx ax bx a
tgax a ax
4 a
x cosx ax
tg
5
= =
= = =
= = =
= =
sin sin
lim . ;lim limcos ...
sin
x o x o x o
tgax
ax ax a ax ax a
ax
bx
tgbx
tgbx bx b tgbx bx b
bx
= = = = =
Bài 8. Tìm các giới hạn sau:
cos sin cos sin
) lim ) lim ) lim
sin cos
sin sin sin sin cos
) lim ) lim
sin
cos
cos .cos ...cos
) lim ) lim
sin( )
2 3
x 0 x 0 x 0
x 0
x
3
2
x 0 x 0
1 ax 1 ax ax tgax ax
a b c
1 bx bx
x x
x x 3 x
d e
x x
cosx
1 x 2 x nx
2
f g
tgx
x
+
ữ
-Biên soạn: Nguyễn Cao Cờng-
4
