ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————–

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO

HÀM RIÊNG CỦA BIẾN ĐỔI CHÍNH TẮC
TUYẾN TÍNH OF (a,b,c,d) CHO TRƯỜNG HỢP |a + d|

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2016

2


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————–

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO

HÀM RIÊNG CỦA BIẾN ĐỔI CHÍNH TẮC
TUYẾN TÍNH OF (a,b,c,d) CHO TRƯỜNG HỢP |a + d|

Chuyên ngành: Giải tích
Mã số:

60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS.NGUYỄN MINH TUẤN

Hà Nội - 2016

2


LỜI MỞ ĐẦU
Toán học không chỉ sở hữu chân lý mà còn ẩn chứa bên trong đó vẻ đẹp tối
thượng, một vẻ đẹp lạnh lùng và mộc mạc, giống như một bức điêu khắc, thuần
khiết tinh diệu và có khả năng đạt đến sự hoàn hảo chặt chẽ mà chỉ có thứ nghệ
thuật vĩ đại nhất mới có thể thể hiện. Và, phép biến đổi chính tắc tuyến tính
LCT cũng là một trong những bức điêu khắc như thế của toán học giải tích.

Được giới thiệu lần đầu vào năm 1970, phép biến đổi chính tắc tuyến tính
LCT là biến đổi tích phân với các tham số {a, b, c, d}. Phép biến đổi chính tắc

tuyến tính LCT tổng quát hơn phép biến đổi Fourier (F T ) và Fourier phân
(F RF T ). Biến đổi LCT không chỉ là đối tượng nghiên cứu của nhiều lĩnh vực
toán học lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực khoa học tự nhiên
như vật lý, cơ học, quang học. . .
Mục đích của luận văn là tìm hiểu khái niệm LCT , các trường hợp riêng của
LCT , xây dựng các hàm riêng của LCT trong trường hợp |a + d| ≤ 2 và từ đó,

giải thích bài toán tạo ảnh trong quang học.
Nội dung luận văn gồm ba chương:
Chương 1: Trình bày định nghĩa về phép biến đổi chính tắc LCT , các trường
hợp biến đổi đặc biệt của phép biến đổi này, hàm riêng của biến đổi Fourier phân

thứ và một số kết quả đã xây dựng được về các hàm riêng của LCT .
Chương 2: Phần đầu trình bày hàm riêng của LCT trong trường hợp
|a + d| < 2. Phần hai, trình bày hàm riêng của LCT trong trường hợp |a + d| = 2.

Trong trường hợp này ta trình bày hàm riêng của LCT khi a + d = 2 và b = 0;
a + d = −2 và b = 0; {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1}; a + d = 2 và b = 0; a + d = −2 và
b = 0.

Chương 3: Trình bày quan hệ của LCT với hệ quang học và giải thích bài
toán tạo ảnh .

1


Các kết quả chính của luận văn dựa trên bài báo "Eigenfuntions of linear
canonical transform" của tác giả Soo-Chang Pie và Jian-Jiun Ding.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian thực hiện luận văn không nhiều,
kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót.
Em mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và
bạn đọc.

Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Học viên

Nguyễn Thị Phương Thảo

2



LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của
PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn, Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà
Nội. Thầy đã dành nhiều thời gian giúp đỡ, giải đáp các thắc mắc của em trong
suốt quá trình làm luận văn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy.
Qua đây, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã dạy
bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập. Bên cạnh đó còn có sự giúp đỡ
nhiệt tình của các thầy cô phòng Sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ
em hoàn thành các thủ tục bảo vệ, các thầy cô và các bạn trong seminar Toán
Giải Tích đã có những góp ý hữu ích để em hoàn thành luận văn tốt nhất.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn
bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập
và thực hiện luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Học viên

Nguyễn Thị Phương Thảo


Mục lục

1

2

Phép biến đổi chính tắc tuyến tính (LCT )

6


1.1

Định nghĩa LCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Một số trường hợp đặc biệt của LCT . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Biến đổi Fourier (F T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Biến đổi Fourier phân thứ (F RF T ) . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.3

Biến đổi Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9


1.2.4

Phép toán co giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3

Hàm riêng của biến đổi Fourier phân thứ . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4

Tổng hợp hàm riêng của LCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Hàm riêng của LCT cho trường hợp |a + d|

2

14

2.1

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2

Hàm riêng của LCT cho trường hợp |a + d| < 2 . . . . . . . . . . . 16

2.3

Hàm riêng của LCT cho trường hợp |a + d| = 2 . . . . . . . . . . . 20
2.3.1


Trường hợp a + d = 2 và b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.2

Trường hợp a + d = −2 và b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.3

Hàm riêng của LCT khi {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1} . . . . . . 22

2.3.4

Trường hợp a + d = 2 và b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.5

Trường hợp a + d = −2 và b = 0

. . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Ứng dụng của LCT trong bài toán tạo ảnh
3.1

33

Quan hệ giữa biến đổi LCT và hệ quang học . . . . . . . . . . . . 33
4



3.2

Giải thích bài toán tạo ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Tài liệu tham khảo

40

5


Chương 1
Phép biến đổi chính tắc tuyến tính
(LCT )
Được giới thiệu lần đầu vào năm 1970, phép biến đổi chính tắc tuyến tính
(LCT ) là phép biến đổi tích phân với bốn tham số {a, b, c, d}. Trong một số tài
liệu, phép biến đổi LCT còn được gọi là phép biến đổi Fourier afin (AFT), biến
đổi Fourier tổng quát, công thức Collins, biến đổi ABCD. Phép biến đổi LCT
có nhiều ứng dụng như phân tích hệ rada, phân tích hệ môi trường Grin, thiết
kế máy lọc, . . .
Với mỗi giá trị của tham số {a, b, c, d} ta đều có một trường hợp đặc biệt của
LCT tương ứng. Ví dụ, khi {a, b, c, d} = {1, b, 0, 1} thì LCT trở thành biến đổi

Fresnel là hàm tuần hoàn (hàm tuần hoàn này gọi là hiệu ứng Talbot); hay với
{a, b, c, d} = {1/d, 0, 0, 1} thì LCT là phép co giãn, có hàm riêng là hàm Frac.

Trong chương này, ta sẽ tìm hiểu rõ hơn về các hàm riêng của LCT ứng với mỗi
giá trị của tham số {a, b, c, d}.
Ta dùng ký hiệu OF (a,b,c,d) hoặc OF(a,b,c,d)


6


1.1

Định nghĩa LCT

Biến đổi chính tắc tuyến tính(LCT ) được định nghĩa như sau:
Khi b = 0
(a,b,c,d)
OF
(f (t))

∞

1 (i/2)(d/b)u2
e
.
i2πb

=

2

e−i(u/b)t e(i/2)(a/b)t f (t)dt

(1.1)

−∞


Khi b = 0
(a,b,c,d)

OF

√
(f (t)) =

2

d.e(i/2)cdu f (d.u)

(1.2)

với
ad − bc = 1.

Tính chất:

(a ,b1 ,c1 ,d1 )

OF 1

(a ,b2 ,c2 ,d2 )

OF 2

(a ,b3 ,c3 ,d3 )


(f (t)) = OF 3

(f (t))

(1.3)

trong đó:






=

a3 b 3



c3 d 3

a2 b 2

 



.




c2 d 2

a1 b 1
c1 d 1

Do tính chất của LCT được mô tả bằng ma trận 2 × 2 nên các tham số {a, b, c, d}
của LCT là ma trận 2 × 2


a b




.

c d

7


1.2
1.2.1

Một số trường hợp đặc biệt của LCT
Biến đổi Fourier (F T )

Khi {a, b, c, d} = {0, 1, −1, 0}, biến đổi LCT trở thành F T
√


(0,1,−1,0)

i.OF

∞

1
2π

(f (t)) = FT(f (t)) =

e−i.u.t .f (u).du

(1.4)

−∞

Thật vậy:
(0,1,−1,0)
OF
(f (t))

=

(0,1,−1,0)
OF
(f (t))

√


(0,1,−1,0)
(f (t))
i.OF

2

e−i.u.t .e(i/2)(0/−1)t .f (u)du
−∞
∞

1
i2π

=

e−i.u.t .g(t)dt
−∞

= FT(f (t))
1
2π

=

1.2.2

∞

1 (i/2)(0/1)u2

e
i2π

∞

e−i.u.t .f (u)dt
−∞

Biến đổi Fourier phân thứ (F RF T )

Khi {a, b, c, d} = {cos α, sin α, − sin α, cos α} thì LCT trở thành F RF T được
định nghĩa như sau

(cos α,sin α,− sin α,cos α)

OF

(f (t)) =

2
1
e(i/2)(cos α/ sin α).u
2π sin α

∞

2

e−i(u/ sin α).t e(i/2)(cos α/ sin α)t f (t)dt,


×
−∞

OFα (f (t)) =

1 − i cot α (i/2) cot α.u2
e
2π
∞

2

e−i. csc α.ut e(i/2) cot αt f (t)dt. (1.5)

×
−∞

Biến đổi Fourier phân thứ (FRFT) là biến đổi tổng quát của biến đổi Fourier
(FT). Biến đổi Fourier phân thứ thỏa mãn tính chất cộng tính
OFα OFβ (f (t)) = OFα+β (f (t)).
8


Biến đổi Fourier phân thứ với hiệu số pha không đổi
OFα (f (t)) =

1.2.3

√
(cos α,sin α,− sin α,cos α)

eiα .OF
(f (t)).

(1.6)

Biến đổi Fresnel

Biến đổi Fresnel là phép toán biểu diễn việc truyền ánh sáng đơn sắc qua
môi trường trong suốt. Biến đổi Fresnel được định nghĩa như sau
z
OFresnel
(f (x, y))

∞

ei2πz/λ
.
=
iλz

∞

ei(π/λz)((u−x)
−∞

2

+(v−y)2 )

f (x, y)dxdy


(1.7)

−∞

f (x, y) là hàm phân bố của nguồn ánh sáng đơn sắc, λ là bước sóng và z là

khoảng cách. (1.7) có thể viết lại như sự tổ hợp của hai biến đổi Fresnel
z
z
(f (x, y)) = OFresnel(y)
OFz resnel(x) (f (x, y)) .
OFresnel

(1.8)

Khi {a, b, c, d} = {1, zλ/2π, 0, 1} LCT trở thành biến đổi Fresnel 1−D:
(1,zλ/2π,0,1)

OF

1 (i/2)(2π/zλ)u2
e
izλ

=
= √

z
OFresnel(t)

(g(t)) =

1
iλz

∞
−∞

∞

ei(π/λz) .eu

.

eiπz/λ
√
.
iλz

2

e−i(2πu/zλ)t .e(iπ/zλ)t g(t).dt

−∞
∞

2

−2ut+t2


g(t).dt

2

ei(π/λz).(u−t) g(t).dt.

(1.9)

−∞

Ta tìm được biến đổi Fresnel 1−D là trường hợp đặc biệt của LCT khi {a, b, c, d} =
{1, b, 0, 1} với hiệu số pha không đổi

(1,zλ/2π,0,1)

z
OFresnel(t)
(f (x)) = eiπz/λ .OF

Hệ thức liên hệ giữa tham số b và khoảng cách z là
b=

zλ
.
2π

9

(f (x)).


(1.10)


1.2.4

Phép toán co giãn

Phép toán co giãn là trường hợp đặc biệt của LCT khi {a, b, c, d} = {σ −1 , 0, 0, σ}:
(σ −1 ,0,0,σ)

OF

(g(t)) =
=

√
√

2

σ.e(i/2).0.σ.u g(σ.u)
σ.g(σ.u)
(σ −1 ,0,0,σ)

σ
(g(t)) =
OSc

(1.11)


sgn(σ).OF

(g(t)).

Vì vậy, biến đổi FT, biến đổi FRFT, biến đổi Fresnel và phép toán co giãn
là trường hợp đặc biệt của LCT.

1.3

Hàm riêng của biến đổi Fourier phân thứ

Biến đổi Fourier phân thứ F RF T có hàm riêng
φm (t) =

1

.e−t
√
2m m! π

2

/2

.Hm (t)

m ∈ [0, 1, 2, 3, ...]

(1.12)


ở đây Hm (t) là hàm Hermite cấp m:
Hm (t) = (−1)m .et

2

dm −t2
e
dtm

(1.13)

và giá trị riêng tương ứng của φm (t) là exp(−imα)
OFα (φm (t)) = e−i.m.α .φm (t).

Hàm riêng của FRFT có tính chất trực giao
∞

φm (t).φn (t)dt = δm,n .
−∞

Khi α/2π không là số hữu tỷ, (1.12) là hàm riêng của F RF T , và là hàm riêng
nhỏ nhất trong trường hợp này. Khi α/2π là số hữu tỷ F RF T có các hàm riêng
khác hàm (1.12). Ví dụ, khi α = 0 (trong trường hợp này FRFT trở thành phép
toán đồng nhất) tất cả các hàm sẽ là hàm riêng của F RF T , khi α = π (trong
trường hợp này F RF T trở thành phép toán nghịch đảo) cả hàm chẵn và hàm
10


lẻ là hàm riêng của F RF T và khi α = ±π/2 (trong trường hợp này FRFT trở
thành FT nghịch đảo) các hàm sau là hàm riêng của F RF T

∞

1)

√
δ x − p 2π ;

p=−∞

π
x
2

2) sin
3)
4)

x
√
2π
x
√
2π

∞

√
δ x − (+0.5)p 2π ;

p=−∞


−1/2

;
−1/2

sgn(x);
π
.x .
2

5) sech

Trong nhiều tài liệu (như [21] và [22]) trong trường hợp khi α =

2πN
M

trong đó

N, M là số nguyên thì FRFT cũng có hàm riêng khác (1.12).
Hàm riêng của FRFT (hàm riêng của FRFT được gọi là hàm Fourier phân
thứ) có nhiều ứng dụng trong phân tích hệ quang học và sự lan truyền sóng, đặc
biệt cho phân tích hiện tượng tự tạo ảnh [17] và hiện tượng cộng hưởng [23].
Ta cũng chỉ ra rằng F RF T là LCT với tham số {cos α, sin α, − sin α, cos α} được
nhân lên hệ số (eiα )1/2 [10]. LCT với tham số {cos α, sin α, − sin α, cos α} cũng có
hàm riêng như (1.12) nhưng giá trị riêng là (e−iα )1/2 . exp(−imα):
(cos α,sin α,− sin α,cos α)

OF


1.4

(φm (t)) = (e−iα )1/2 e−i.m.α .φm (t).

Tổng hợp hàm riêng của LCT

Trong [12] hàm riêng của biến đổi chính tắc tuyến tính (LCT) với tham số
{a, b, c, d}
φm (t) =

1

√ exp
σ.2m m! π

−

(1 + iτ )t2
t
.H
m
2σ 2
σ

m = 0, 1, 2, 3...

11

(1.14)



trong đó Hm (t) là hàm Hermite, và giá trị riêng tương ứng là
λm = exp(−iαm + εα )

(1.15)

εα là hằng số phụ thuộc vào α và giá trị của σ, τ, α lần lượt là
σ2 =
τ =

2b
4 − (a + d)2
a−d
4 − (a + d)2

,
,

a+d
.
2

α = cos−1

Tham số ban đầu có thể biểu diễn bởi {a, b, c, d} biểu diễn bởi {σ, τ, α}
a = cos α + τ sin α,
c = −(τ 2 + 1).

sin α

,
σ2

b = σ 2 sin α

d = cos α − τ sin α.

Vì vậy, hàm riêng của LCT tương tự như hàm riêng của F RF T nhưng khác phép
co giãn và phép nhân. Ba tham số {σ, τ, α} tương ứng với ba biến tự do của LCT
(LCT có bốn tham số {a, b, c, d} và một ràng buộc ad − bc = 1, bậc tự do bằng
3). Tham số σ, τ xác định hàm riêng và tham số α xác định giá trị riêng. Tuy
nhiên, hàm riêng của LCT trong công thức (1.14) và (1.15) là chưa đầy đủ trong
trường hợp |a + d| < 2. Trong chương tiếp theo, ta sẽ đi xây dựng hàm riêng cho
phép biến đổi LCT trong trường hợp này.

12


Hình 1.1: 7 trường hợp để thảo luận hàm riêng của LCT.

13


Chương 2
Hàm riêng của LCT cho trường hợp
|a + d|
2.1

2


Tính chất

Trước khi tìm hiểu các hàm riêng của LCT , ta xét hai tính chất quan trọng
sau. Hai tính chất này là cơ sở để tìm ra các hàm riêng của LCT .
Tính chất 2.1.1. Giả sử
ad − bc = a1 d1 − b1 c1 = a2 d2 − b2 c2 = 1

và










−1



 = 








a b

a1 b 1

c d

a2 b 2

c1 d1



a1 b 1

c2 d2



c1 d1





a1 b 1
a b
d
−b1
  2 2  1


= 
c1 d1
c2 d2
−c1 a1

khi đó
a + d = a2 + d2 .

Chứng minh. Thật vậy,












a1 b 1
c1 d1

a2 b 2
c2 d2

14

d1


−c1

−b1




a1

(2.1)




−a1 a2 b1 − c2 b21



+ a21 b2

a1 a2 d1 + b1 c2 d1 − c1 a1 b2 − c1 b1 d2
+ a1 a2 d 2
.
=
2
2
a1 c1 d1 + c2 d1 − c1 b2 − c1 d1 d2
−a2 b1 c1 − b1 c2 d1 + a1 b2 c1 + a1 d1 d2


Khi đó,
a + d = a1 a2 d 1 + b 1 c 2 d 1 − c 1 a1 b 2 − c 1 b 1 d 2
− a2 b1 c1 − b1 c2 d1 + a1 b2 c1 + a1 d1 d2
= a1 a2 d1 + a1 d1 d2 − b1 c1 a2 − b1 c1 d2
= a1 d1 (a2 + d2 ) − b1 c1 (a2 + d2 )
= (a2 + d2 )(a1 d1 − b1 c1 )
= a2 + d 2

Tính chất 2.1.2. Giả sử {a, b, c, d},

{a1 , b1 , c1 , d1 } và {a2 , b2 , c2 , d2 } thỏa mãn

công thức (2.1) và
ad − bc = a1 d1 − b1 c1 = a2 d2 − b2 c2 = 1
LCT với tham số {a, b, c, d} có thể được tách rời như sau:
(a,b,c,d)

OF

(a ,b1 ,c1 ,d1 )

(f (t)) = OF 1

(a ,b2 ,c2 ,d2 )

. OF 2

(d ,−b1 ,−c1 ,a1 )

OF 1


(f (t))

.

(2.2)

Nếu ta biết e(t) là hàm riêng của LCT với tham số {a2 , b2 , c2 , d2 } và giá trị riêng
tương ứng là
(a ,b2 ,c2 ,d2 )

OF 2
(a ,b1 ,c1 ,d1 )

OF 1

(e(t)) = λ.e(t)

(e(t)) sẽ là hàm riêng của LCT với tham số {a, b, c, d}, và giá trị riêng

tương ứng cũng là λ:
(a,b,c,d)

OF

(a ,b1 ,c1 ,d1 )

OF 1

(e(t))


(a ,b1 ,c1 ,d1 )

= OF 1

(a ,b1 ,c1 ,d1 )

= λ.OF 1
15

(a ,b2 ,c2 ,d2 )

OF 2

(e(t)).

(e(t))


Qua hai tính chất trên ta thấy, thay vì xây dựng hàm riêng của LCT cho
với bộ tham số {a, b, c, d} bất kỳ, ta chỉ cần xây dựng hàm riêng với bộ tham số
{a2 , b2 , c2 , d2 }. Trong đó, các tham số {a2 , b2 , c2 , d2 } được chọn sao cho hàm riêng

của LCT tương ứng dễ xây dựng. Do vậy, để tìm hàm riêng của LCT trong các
trường hợp được xét trong luận văn, ta sẽ dựa trên hai tính chất quan trọng
này.

2.2

Hàm riêng của LCT cho trường hợp |a + d| < 2


Do −2 ≤ 2 cos α ≤ 2, từ tính chất (2.1), ta có thể chỉ ra rằng khi |a + d| < 2,
các tham số {a, b, c, d} có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau



a b





 = 

c d

a1 b1




c1 d 1


= 

a1 b 1





c1 d 1

cosα

sinα

−sinα cosα
cosα

sinα

−sinα cosα



−1





a1 b 1
c1 d1



d1

−b1




−c1


(2.3)


a1

ở đó
ad − bc = a1 d1 − b1 c1 = a2 d2 − b2 c2 = 1

Ta có a + d = cos α + cos α, do vậy, α = cos−1

a+d
2

Khi |a + d| < 2, LCT có thể được phân tích

(a,b,c,d)

OF

(a ,b1 ,c1 ,d1 )

(g(t)) = OF 1

(cosα,sinα,−sinα,cosα)


× OF

(d ,−b1 ,−c1 ,a1 )

OF 1

(g(t))

(2.4)

Nghĩa là, phép phân tích này là sự kết hợp của F RF T và LCT với tham số
{a1 , b1 , c1 , d1 } và {d1 , −b1 , −c1 , a1 }. Sau đó, từ tính chất (2.2), ta chỉ ra rằng LCT

sẽ có hàm riêng viết dưới dạng tập hợp là {OF(a1 ,b1 ,c1 ,d1 ) (φm (t)), m = 0, 1, 2, . . .}

16


với φm (t) là hàm riêng của FRFT định nghĩa như sau

φm (t) =

1

.e−t
√
2m m! π

2


/2

m ∈ [0, 1, 2, 3, ...],

.Hm (t)

ở đây Hm (t) là hàm Hermite cấp m
2

Hm (t) = (−1)m .et

dm −t2
e
,
dtm

và giá trị riêng tương ứng của φm (t) là exp(−imα)
OFα (φm (t)) = e−i.m.α .φm (t).

Có một số lựa chọn cho tham số {a1 , b1 , c1 , d1 }. Chẳng hạn:






=

a1 b 1




c1 d1



σ

0

−τ σ −1

σ −1

(2.5)

.

Hơn nữa, LCT với các tham số này là tổng hợp của biến đổi của phép toán co
giãn và phép nhân. Từ định nghĩa của LCT trong trường hợp b = 0, ta có
(a ,b1 ,c1 ,d1 )

OF 1

(g(t)) = σ −1/2 .e−(i/2).(τ /σ

2

).t2


.g(σ −1 .t).

Từ đó, hàm riêng của LCT trường hợp |a + d| < 2 là
(σ,τ )

φm

(a ,b1 ,c1 ,d1 )

(t) = OF 1

(φm (t))
2

= σ −1/2 .e(i/2).τ.t .φm
= σ −1/2 .e−(i/2).(τ /σ

=

2

t
σ

).t2

.

(2.6)

1

(−t
√ .e
m
2 m! π

2

/2)σ 2

.Hm

−(iτ + 1)t2
t
.Hm
2
2σ
σ

1

√ . exp
σ2m m! π

t
σ

(2.7)


trong đó Hm (t) là hàm Hermite có giá trị riêng tương ứng giống giá trị riêng của
LCT với tham số {cosα, sinα, −sinα, cosα}
λm = (e−iα )1/2 exp(−iαm)

với
17

α = cos−1

a+d
2

(2.8)


Thế (2.5) vào (2.3) ta được






 = 

a b



σ


0

−τ σ −1

c d



σ −1

cos α

sin α



− sin α cos α



σ −1

0








−τ σ −1



σ



cos α + τ sin α
σ 2 . sin α

sin α
2
−(τ + 1) 2 cos α − τ sin α
σ

(2.9)

= 

Khi đó, các giá trị cụ thể của {σ, τ, α} là

σ2 =

|b|
=
sin α

α = cos−1 (


2|b|
4 − (a + d)2

,

τ=
sgn(b)
2

a+d
) = sin−1
2

sgn(b).(a − d)
4 − (a + d)2
4 − (a + d)2 .

(2.10)

Phương trình (2.7), (2.8), và (2.10) là hàm riêng và giá trị riêng của LCT trong
trường hợp |a + d| < 2. Ta nhận thấy, giống như trường hợp F RF T , hàm riêng
của LCT khi |a + d| < 2 có tính chất trực giao
∞

(σ,τ )

φm

(σ,τ )


(t).φn

(t)dt = δm,n

−∞
)
Đến đây, câu hỏi đặt ra, trong trường hợp |a + d| < 2, ngoài hàm riêng φ(σ,τ
như
m

đã trình bày ở trên, liệu còn hàm riêng nào khác và các hàm riêng này có quan
hệ với nhau như thế nào. Sau đây, ta sẽ thảo luận vấn đề này:
Từ tính chất (2.1), (2.2) ta có a + d = a2 + d2 và hàm riêng của LCT với tham số
{a2 , b2 , c2 , d2 } như ta đã chỉ ra là {cos α, sin α, − sin α, cos α} với α = cos−1

a+d
.
2

Vì vậy, để tìm hàm riêng khác của LCT cho trường hợp |a + d| < 2, ta phải tìm
các giá trị của {a1 , b1 , c1 , d1 } khác (2.5) nhưng thỏa mãn (2.3). Bởi vì giá trị khác
của {a1 , b1 , c1 , d1 }với a1 d1 − b1 c1 = 1 có thể phân tích thành ma trận 2 × 2, với
{σ, τ } xác định như (2.10), như sau








 = 

a1 b 1
c1 d1



σ

0

−τ σ −1

σ −1

18









a3 b 3
c3 d 3

(2.11)



trong đó a3 d3 − b3 c3 = 1. Khi đó, ta tìm ra
a3 = cos β, b3 = sin β, c3 = − sin β, d3 = cos β.

với β là số thực bất kỳ. Do vậy



a1 b 1



σ

 = 

0

−τ σ −1

c1 d 1

σ −1



cos β

sin β




− sin β cos β


.

Từ tính chất (2.2), và giá trị của tham số {a1 , b1 , c1 , d1 } đã chỉ ra, thì hàm riêng
của LCT là hàm riêng φm (t) của F RF T
(a ,b1 ,c1 ,d1 )

OF 1

(σ,0,−τ σ −1 ,σ −1 )

(φm (t)) = OF

(σ,0,−τ σ −1 ,σ −1 )

= OF
(a ,b1 ,c1 ,d1 )

OF 1

(φm (t)) =

(cosβ,sinβ,−sinβ,cosβ)

. OF


φm (t)

. (e−iα )1/2 e−imβ φm (t) .

(2.12)

√
2
σ.(e−iα )1/2 e(i/2)τ.t −imβ .φm (σ.t)

√
=
σ.(e−iα )1/2 .exp

(1 + iτ )t2
t
−
imβ
.H
−
(2.13)
m
2σ 2
σ

Thực tế, nếu bỏ qua sự khác nhau của hằng số pha, thì (2.13) và (2.7) là như
nhau. Do vậy, không có hàm riêng mới nào được tìm thấy. Trong hầu hết các
trường hợp, (2.7) là hàm riêng duy nhất của LCT trong trường hợp |a + d| < 2,
nhưng trong trường hợp


α = cos−1

a+d
2

α
2π

là số thực

= 2π

N
,
M

với M,N là số nguyên

(2.14)

Ta có thể tìm ra hàm riêng khác của LCT , khi (2.14) thỏa mãn
∞
(σ,τ )

ck .φs+N k (t)
k=1

1

−iα )−( 2 ) . exp(−iα.s)

với φσ,τ
m (t) thỏa mãn (2.7). Và giá trị riêng tương ứng là (e

19


2.3

Hàm riêng của LCT cho trường hợp |a + d| = 2

Đối với trường hợp |a + d| = 2, ta xét các trường hợp sau
1. a + d = 2 và b = 0
2. a + d = −2 và b = 0
3. {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1}
4. a + d = 2 và b = 0
5. a + d = −2 và b = 0
Trước tiên ta xét trường hợp |a + d| = ±2 và b = 0, đây là trường hợp đơn giản
nhất. Sau đó, ta sử dụng kết quả này và tính chất (2.1) để suy ra hàm riêng
cho trường hợp {a, b, c, d} = {1, b, 0, 1} và {−1, b, 0, −1}. Trong trường hợp này
LCT trở thành biến đổi Fresnel và biến đổi Fresnel kết hợp với phép toán nghịch

đảo.Ta biết hàm hầu tuần hoàn cũng là hàm riêng của biến đổi Fresnel trừ hàm
tuần hoàn. Ta sử dụng biến đổi Fresnel và biến đổi Fresnel kết hợp với phép
toán nghịch đảo để xét hàm riêng của LCT cho trường hợp |a + d| = 2.

2.3.1

Trường hợp a + d = 2 và b = 0

Từ ad − bc = 1, trong trường hợp a + d = 2 và b = 0, tham số {a, b, c, d} của

LCT có dạng



a b







=

c d

1 0


.

c 1

Trong trường hợp này LCT trở thành phép nhân
(1,0,c,1)

OF

2


(f (t)) = ei.c.u

/2

.f (u).

Hàm riêng của phép toán nhân có dạng
√
ϕ(t) =

∞

E −1

An .δ(t − tn ),
n=−∞

20


ở đây

∞

|An |2 .

E=
n=−∞

Nếu sn thỏa mãn điều kiện

2

2

2

2

· · · = e(i/2)c.s−1 = e(i/2)c.s0 = e(i/2)c.s1 = e(i/2)c.s2 = · · · ,

thì
(1,0,c,1)

OF

2

(ϕ(t)) = ei.c.s0 /2 .ϕ(u).

Do đó, ta kết luận hàm riêng của LCT trong trường hợp a + d = 2 và b = 0 có
dạng
φc,h
B (t)

√
=

∞

E −1 .


4nπ
+h
|c|

An .δ t −
n=0

∞

Bm .δ t +

+
m=0

0

h<

4π
,
|c|

4mπ
+h
|c|

, (2.15)

An , Bm tùy ý

∞

|An |2 + |Bn |2 ,

E=
n=0

với giá trị riêng tương ứng là
ich
.
2

λc,h = exp

2.3.2

(2.16)

Trường hợp a + d = −2 và b = 0

Trong trường hợp này ta có tham số {a, b, c, d} có dạng sau

 

a b



=


−1

0

c

−1

c d

.

Khi đó, công thức của LCT trong trường hợp này trở thành
(1,0,c,1)

OF

(f (t)) = (−1)1/2 .e−i.c.u
21

2

/2

.f (−u).


Đây là sự tổ hợp của phép nhân và phép nghịch đảo. Hàm riêng trong trường
hợp này là đối xứng hoặc phản đối xứng
φc,h

C (t)

√
=

∞

E −1 .

An . δ t −

4nπ|c|−1 + h

n=0

+δ t+

4nπ|c|−1 + h

, (2.17)

−δ t+

4nπ|c|−1 + h

, (2.18)

hoặc
φc,h
C (t)


√
=

∞

E −1 .

An . δ t −

4nπ|c|−1 + h

n=0

ở đây 0

h<

4π
c ,

An tùy ý
∞

|An |2 ,

E=2
n=0

với giá trị riêng tương ứng cho công thức (2.17) và (2.18) lần lượt là

λc,h = (−1)1/2 exp
λc,h = −(−1)1/2 exp

2.3.3

ich
,
2
ich
.
2

(2.19)

Hàm riêng của LCT khi {a, b, c, d} = {±1, b, 0, ±1}

Ta biết rằng với tham số {a, b, c, d} là biến đổi 1-D Fresnel [xem công thức
(1.7) và (1.8)]. Biến đổi Fresnel mô tả ánh sáng đơn sắc qua môi trường trong
suốt. Từ lý thuyết của hiệu ứng Talbot [16], [17], nếu giả thiết ánh sáng đầu vào
là hàm tuần hoàn f (x, 0). Khi đó, f (x, 0) = f (x + q, 0) sau khi qua môi trường
trong suốt cường độ ánh sáng ở khoảng cách N.z tương tự cường độ ánh sáng
lúc ban đầu
|f (x, N.z)| = |f (x, 0)|,
z=

2q 2
khoảng cách Talbot, N là số nguyên.
λ

22



Như vậy, kết hợp công thức (1.7) và (1.8) ta có thể kết luận e(t) tuần hoàn với
2

chu kỳ của q . Khi đó, hàm riêng của LCT với tham số {1, Nπq , 0, 1}, N là số
nguyên, có dạng
(1,Sq 2 /π,0,1)

OF

(e(t)) = τ.e(t) nếu e(t) = e(t + q).

(2.20)

Xét ma trận

A=



1

b

0

1

.


Đa thức đặc trưng của A
det(A − λE2 ) =

1−λ

b

0

1−λ

= (λ − 1)2 .

Đa thức có đủ nghiệm thực λ1 = λ2 = 1. Khi đó, phương trình trên có thể viết
lại như sau
(1,b,0,1)

OF

(e(t)) = e(t),

nếu e(t) = e t +

|b|π
N

(N là số nguyên).

(2.21)


Kết quả trên tìm được từ hiệu ứng Talbot, và có thể được tổng quát như sau:
2

N
Giả sử g(t) = g(t + q) và g0 (v) là LCT của g(t) với tham số {1, qπM
, 0.1}, chu
N
kỳ ánh sáng đơn sắc qua khoảng cách zT M
, trong đó zT là khoảng cách Talbot,

khi đó [26]
(1,(q 2 N/πM ),0,1)

g0 (v) = OF
1
=
M

M −1

n=0

(g(t))

pq
g v−
.
M


M −1
2

ei(2π/M )(pn−N n ) .

(2.22)

n=0

Trong đó g0 (v) là tổ hợp tuyến tính của g(v −

pq
M ).

Đây được gọi là hiệu ứng

Talbot phân thứ (fractional Talbot effect) [26]-[28]. Hiệu ứng Talbot điểm là
trường hợp đặc biệt khi M = N = 1.
23