BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ VĂN THANH

PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG BOLTZMANN VÀ
MỘT SỐ HIỆU ỨNG ĐỘNG TRONG VẬT LIỆU
BÁN DẪN
Chuyên ngành: Vật lý chất rắn
Mã số: 604407

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN THÁI HOA

HÀ NỘI, 2010


Lời cảm ơn
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Thái Hoa, người
đã tận tình chỉ dạy, cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng, trực tiếp để
tôi hoàn thành bài luận văn này. Thầy cũng là người đã giúp tôi ngày càng
tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc
cùng thầy.
Tôi xin cảm ơn các thầy, các cô ở phòng Sau Đại Học, Khoa Vật Lý
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi
những kiến thức quí báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu
khoa học.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy các cô ở Tổ Vật Lý, Ban
Giám Hiệu Trường THPT Phương Sơn, các thầy các cô ở Tổ Vật Lý, Ban
Giám Hiệu Trường THPT Hiệp Hòa Số 3 đã luôn tạo mọi điều kiện tốt nhất

cho tôi hoàn thành khóa học tại Trường ĐHSP Hà Nội 2.
Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân
trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho
tôi trong suốt quá trình học tập và công tác của mình.

Hà Nội, tháng 10 năm 2010

Lê Văn Thanh


Lời cam đoan
Tên tôi là : Lê Văn Thanh, học viên cao học khóa 2008 – 2010.
Tôi xin cam đoan đề tài: “ Phương trình động Boltzmann và một số hiệu
ứng trong vật liệu bán dẫn”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi.
Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các
tác giả khác.

Hà Nội, tháng 10 năm 2010
Tác giả

Lê Văn Thanh


Mở đầu 
1. Lý do chọn đề tài
 

Trong  hàng  ngũ  đông  đảo  các  ngành  vật  lý  chất  rắn,  ngành  vật  lý 

bán dẫn chiếm một vị trí rất quan trọng, đã được quan tâm, nghiên cứu trong 

suốt nửa thế kỷ qua. Đến nay, ngành vật lý bán dẫn đã đạt được nhiều thành 
tựu  to  lớn.  Với  những  thành  tựu  đó,  chất  bán  dẫn  được  ứng  dụng  rộng  rãi 
trong hầu hết các ngành công nghiệp mũi nhọn như công nghiệp điện tử, du 
hành vũ trụ, các ngành khoa học kỹ thuật và các ngành công nghiệp khác. 
 

Thành công của cách mạng khoa học kỹ thuật cùng với việc sử dụng 

rộng rãi các vật liệu bán dẫn dã cho ra đời nhiều loại  thiết bị mới, hiện đại 
phục  vụ  cho  nhu  cầu  sinh  hoạt,  nghiên  cứu  khoa  học,  sản  xuất,  kinh 
doanh...như máy tính xách tay, điện thoại di động, máy thu hình.... 
 

Theo yêu cầu khoa học công nghệ, ngành vật lý bán dẫn đang đứng 

trước thách thức cần tạo ra các những linh kiện bán dẫn nhỏ gọn với những 
tính  năng  ưu  việt  nhất.  Trước  tình  hình  đó,  vấn  đề  tìm  hiểu,  giải  thích  các 
hiệu  ứng  của  vật  liệu  bán  dẫn  trở  lên  quan  trọng  và  cấp  thiết  hơn.  Qua  đó, 
chúng ta có thể xây dựng các mô hình thực thi ứng dụng các hiệu ứng trong 
vật liệu bán dẫn vào trong các mạch, vi mạch điện tử theo yêu cầu sử dụng. 
 

Nếu  tinh thể  bán dẫn không đặt  trong trường  ngoài (điện trường, từ 

trường, gradien nhiệt độ...) thì hệ các electron dẫn trong tinh thể chỉ chịu tác 
dụng của trường lực tinh thể gây bởi các iôn dương nút mạng. Khi đó, hệ các 
electron  dẫn  ở  trạng  thái  cân  bằng  và  tuân  theo  qui  luật  phân  bố  Fecmi  – 
Dirac, hay phân bố Boltzmann. Nếu tinh thể bán dẫn được đặt trong trường 
ngoài, hệ các electron dẫn sẽ ở trạng thái không cân bằng (trạng thái động). Ở 
trạng thái  này,  hệ các electron dẫn tuân theo  hàm  phân bố không cân bằng. 

Khi  đó,  trong  chất  bán  dẫn  sẽ  xảy  ra  các  hiện  tượng  liên  quan  đến  chuyển 
động  của  các  electron  dẫn,  gọi  chung  là  hiên  tượng  truyền  hay  hiện  tượng 
động[1], [2], [6], [11], [12]. 


 

Các hiện tượng động tuân theo phương trình động.  Khi  giải phương 

trình động ta tìm được hàm phân bố không cân bằng, giải thích được các hiệu 
ứng trong chất bán dẫn và tìm ra biểu thức định lượng cho các đại lượng đặc 
trưng cho các hiệu ứng[1], [2], [6], [11], [13], [22], [26]. 
 
2. Mục đích nghiên cứu
 

Thiết lập phương trình động cho các hiện tượng động 

 

Tìm ra phương pháp giải  

 

Giải phương trình động trong một vài trường hợp cụ thể 

 

Nghiên cứu hệ hai chiều trong từ trường 


 
3. Những vấn đề chính được nghiên cứu
 

Thiết lập phương trình động Boltzmann 

 

Phương pháp giải gần đúng thời gian hồi phục 

 

Giải phương trình động Boltzmann trong trường hợp tinh thể đặt trong 

điện trường và từ trường, trường âm điện từ 
 

Nghiên cứu hiệu ứng Hall, hiệu ứng âm điện từ 

 

Nghiên  cứu  quang  dẫn  của  Polaron  trong  điện  trường  mạnh  có  sự  kích 

thích của áng sang đơn sắc. 
4. Đối tượng nghiên cứu
 

Vật liệu bán dẫn có cấu trúc đơn tinh thể lý tưởng 

5. Phương pháp nghiên cứu

 

Phân tích hiện tượng, đề xuất bài toán 

 

Phương pháp số 

 


Nội dung của luận văn
Chương 1. Phương trình động Boltzmann
1.1. Phương trình động Boltzmann 
1.2. Trạng thái cân bằng 
1.3. Phương pháp gần đúng thời gian hồi phục giải phương trình 
 động Boltzmann 
Chương 2. Hiệu ứng Hall 
2.1. Hiệu ứng Hall 
2.2. Nghiên cứu thực nghiệm hiệu ứng Hall 
2.3. Giải phương trình động Boltzmann khi có tác động đồng thời của 
 điện trường và từ trường lên tinh thể bán dẫn 
2.4. Các hệ số nhiệt động K11, K12 
2.5. Các đại lượng đặc trưng của hiệu ứng Hall 
2.6. Hiệu ứng Hall trong bán dẫn suy biến 
2.7. Hiệu ứng Hall trong bán dẫn không suy biến 
2.8. Hiệu úng Hall trong bán dẫn có tính hỗn độn điện tử và lỗ trống 
Chương 3. Hiệu ứng âm điện từ trong bán dẫn 
3.1. Hiệu ứng âm điện từ 
3.2. Các phương trình cơ bản của hiệu ứng âm điện từ 

3.3. Biểu thức của trường âm điện từ 
Chương 4. Quang dẫn của Polaron trong điện trường mạnh
4.1. Phương trình động học của polaron trong điện trường mạnh  
4.2. Polaron liên kết yếu 
4.3. Polaron liên kết mạnh 


Nội dung 
Chương 1. Phương trình động Boltzmann
1.1.

Phương trình động Boltzmann
Trong tinh thể lý tưởng[1], [12], Ở trạng thái cân bằng nhiệt động, hàm sóng 


của electron   k (r )  không thay đổi theo thời gian. Tính chất của điện tử xác 
định bởi phân bố lượng tử Fecmi - Dirăc : 
 
f 0 (r ,k ) 

1
   
EF
exp{
}-1
k BT

 

 


 

 

 

 

(1.1) 

 

 

 

(1.2) 

Hay hàm phân bố cổ điển Maxoen- Boltzmann : 
 
E
F
f (r ,k )  exp{
}.exp{
}   
k BT
k BT

 


 

Khi  có  trường  ngoài  tác  dụng[1],  [2],  [6],  [12],  [15],  khí  điện  tử  sẽ  ở 
trạng thái không cân bằng. Khi đó trong tinh thể sẽ xảy ra các hiện tượng  liên 
quan đến chuyển động của các hạt dẫn như: hiện tượng dẫn điện, dẫn nhiệt, các 
hiện tượng nhiệt điện, hiện tượng từ Ganvanic…gọi chung là hiện tượng truyền 
hay hiện tượng động. Các hiện tượng động là các quá trình không thuận nghịch, 
nó tuân theo phương trình động. Ở gần đúng bậc thấp, tương ứng với tác động 
bên ngoài là nhỏ và chỉ xét đến những hiệu ứng tuyến tính, phương trình động 
gọi là phương trình động Boltzmann. 
Biểu thị hàm mật độ hạt tải điện trong trạng thái đặc trưng bởi vectơ sóng 
 


k  tại điểm  r  là  f (r ,k )  còn  gọi  là  hàm  phân bố.  Hàm phân  bố có thể thay  đổi 

 

theo thời gian, nên trong trường hợp tổng quát có thể ký hiệu là  f (r ,k , t ) . Hàm 
phân bố tuân theo phương trình động Boltzmann. 
Trong phần tử thể tích pha của một đơn vị thể tích tinh thể ta có: 
dG  d rd

p

  3d rd

k


       

 

 

 

(1.3) 


Với   d r   dxdydz là phần tử thể tích trong không gian thường 

d p  3d k   là phần tử thể tích trong không gian xung lượng 
Số ô cơ sở pha trong dG là :

dG
, mà trong đó, mỗi ô cơ sở pha có thể tồn 
(2 )3

tại hai electron với spin ngược dấu. Do đó, trong phần tử dG chứa  2

dG
 
(2 )3

 

trạng thái lượng tử. Với  f (r , k , t )  là xác suất tìm điện tử ở trạng thái này, thì 
số điện tử trong thể tích pha dG  bằng : 

 
d n  f ( r , k , t ).2

 
d k
dG
 f (r ,k , t )
d  r   
3
(2  )
4 3

 

 

(1.4) 

Xét  hệ  điện  tử  ở  trong  không  gian  thông  thường  (không  gian  hình 
học). Để đơn giản, chúng ta đặt trường lực bên ngoài tác dụng vào hệ điện tử 
chuyển động dọc theo hướng dương trục Ox với vận tốc  vx . Trong phần tử 
thể tích  d r , số điện tử đi qua mặt bên trái trong thời gian dt với vận tốc vx 
bằng : 

d k
f ( k , x , y , z , t ) .v x
.d yd z d t  
4 3

 


 

 

 

(1.5) 


d k
f ( k , x  d x , y , z , t ).v x
.d yd z d t    
4 3

 

 

 

(1.6) 

số điện tử đi qua mặt bên phải là: 

Như vậy, trong thời gian dt số điện tử trong  d r  thay đổi một lượng : 


d k
[ f ( k , x , y , z , t )  f ( k , x  dx , y , z , t )].v x .

.dyd zdt
4 3
    
f d k
.dxdyd zdt
 vx
 x 4 3

(1.7) 

Trong trường hợp tổng quát, chuyển động của điện tử với vận tốc v(vx, vy,


vz)  thì  sự  thay  đổi  điện  tử  với  vectơ  sóng  k   đã  cho  trong  phần  tử  d r trong 
khoảng thời gian dt bằng: 


[ v x

f
f
f d k
d
 vy
 vz
].
.d  r .dt   ( v  r f ). k3 .d  r .dt  
3
x
y

 z 4
4

(1.8) 

Sự  thay  đổi  số  lượng  hạt  dẫn  này  gây  ra  bởi  sự  khuếch  tán  dọc  theo  gradien 
nhiệt độ, hoặc do sự không đồng đều của nồng độ hạt dẫn. 
Tương tự như ở trên chúng ta nhận được sự thay đổi số lượng điện tử trong yếu 
tố thể tích  d k , trong khoảng thời gian dt bằng : 


kx f k y f kz f d k
d
dk
[


]. 3 .d r .dt  ( k f ). k3 .d r .dt
dt
4
t x t y t z 4
(1.9) 
d k
1
  ( F .k f ). 3 .d r .dt

4
Ở đây :  




dk 1 d p 1 

 F (r , t )  
dt  dt 

 

 

 

 

 

(1.10) 

Sự thay đổi số lượng điện tử ở đây là do tác dụng của trường ngoài. Tác dụng 


của trường ngoài đặc trưng bởi lực  F (r , t )  
Hàm phân bố còn thay đổi theo thời gian do tán xạ của điện tử trên các hạt khác 
 

 

làm  biến  đổi  trạng  thái  của  điện  tử  từ  trạng  thái  ( r , k )  sang  trạng  thái  ( r ', k ' ). 
Với: 
 

d

f (r ,k , t ). k3  là  số điện tử ở trạng thái  k  
4

 
d '

{1  f ( r , k ', t )}. k3  là số chỗ trống ở trạng thái  k '  
4
Trong  quá  trình  va  chạm  (Tán  xạ)  vị  trí  của  điện  tử  hầu  như  không  thay  đổi 
đáng kể, nên xác suất chuyển mức trong một đơn vị thời gian không phụ thuộc 



vào  r và  r ' . Gọi W(k,k’) là xác suất chuyển điện tử từ trạng thái k sang trạng 
thái  k’  trống  hoàn  toàn  .  Như  vậy,  trong  thời  gian  dt,  điện  tử chuyển  từ trạng 
thái k sang trạng thái k’ do tán  xạ  làm số lượng điện tử trong dG  giảm đi một 
lượng : 


 f ( r , k , t )W ( k , k ')[1  f ( r , k ', t )].

d k d k '
.
.d  r .dt      
4  3 4 3

(1.11) 


Quá trình chuyển từ trạng thái k sang trạng thái k’ trong thời gian dt xảy ra do 
tán xạ với xác suất W(k’,k) làm số lượng điện tử trong dG tăng lên một lượng : 

f (r, k ', t )W (k ', k )[1  f (r, k , t )].

d k ' d k
.
.d r .dt  
4 3 4 3

 

 

 (1.12) 

Như vậy, quá trình tán xạ trên các nút khuyết, nguyên tử ion tạp chất, dao động 
nhiệt của mạng tinh thể đã làm cho số hạt tải trong yếu tố thể tích dG thay đổi 
một lượng :    
{ f '(k ')W(k, k ')[1 f (k)]  f (k)W(k ', k)[1 f (k ')]}

dk dk'
dr dt   
4 3 4 3

(1.13) 

Số điện tử trong thể tích dG thay đổi một lượng :   

dk

d '
dr dt  { f (k ')W(k ', k)[1 f (k)]  f (k)W(k, k ')[1 f (k ')]} k3  
3
4
4
VB

 

(1.14)  

Sự thay đổi toàn phần của số điện tử do chuyển động khuếch tán, do tác dụng 
của trường ngoài, và do tán xạ làm thay đổi số điện tử trong yếu tố thể tích dG 
của không gian pha. Trong khoảng thời gian từ t đến t+dt sự thay đổi số lượng 
điện tử trong yếu tố thể tích dG là: 

f ( r , k , t  dt )

d k
d
f d k
d r  f ( r , k , t ) k3 d r 
d r dt  
3
4
4
t 4 3

 


(1.15) 

   

(1.16) 

 

(1.17) 

Do đó 

  

f d k
1
d r dt  (v. r f )  ( F . k f ) 
3
t 4

 (  { f (k ')W ( k ', k )[1  f ( k )]  f (k )W (k , k ')[1  f ( k ')]}
VB

     =>   

d k ' d k
d r dt
4 3 4 3

f

1
 (vr f )  ( F . k f ) 
t

d '
(  { f (k ')W (k ', k )[1  f (k )]  f ( k )W ( k , k ')[1  f ( k ')]} k3
4
VB

 


f
1
d '
 (v r f )  ( F . k f )   W ( k , k ')[ f (k ')  f (k )] k3    

4
t
VB

 

(1.18) 

Vì xác suất chuyển trạng thái giữa hai trạng thái k và k’ là W(k,k’) và W(k’,k) là 
như nhau :  W(k,k’) = W(k’,k)   

 


 

 

 

 

(1.19) 

Phương trình (1.18) gọi là phương trình động Boltzmann. Đây là phương 
trình  vi  tích  phân. Giải  phương trình  này ta  tìm  được  nghiệm  là  hàm phân  bố 
f(r,k,t). Hàm f(r,k,t) biến đổi theo thời gian theo ba thành phần :  
Do khuếch tán hạt tải (diffusion): 
 f 
   (v r f )    
 t diff

 

 

 

 

 

 


(1.20) 

 

 

 

 

 

 

(1.21) 

Do tác dụng của trường ngoài : 
1
 f 
  ( F .k f )  
 

 t  field

Do tán xạ trên các nút khuyết, ion tạp, nguyên tử tạp, dao động mạng : 
d 'k
 f 
   



W
k
k
f
k

f
k
(
,
')[
(
')
(
)]
 

4 3
 t  scatt
VB

  

 

 

 

(1.22) 


Ta  xét  quá  trình  dừng  (không  nhất  thiết  là  cân  bằng)  tại  điểm  r  bất  kỳ 

trong tinh thể, với giá trị k bất kỳ. Hàm f(r,k,t) không phụ thuộc tường minh vào 
thời gian : 

f
 0 . Ta suy ra : 
t

 f 
 f 
 f 
 
0 
   
 t diff  t  field  t scatt
1


 

 

Hay :  (v. r f )  ( F . k f )   W ( k , k ')[ f (k ')  f (k )]
VB

 

 


 

(1.23), 

d 'k
 
4 3

 

 

(1.24) 

Biểu thức này cho thấy, ở trạng thái dừng, sự biến đổi hàm phân bố do chuyển 
động khuếch tán của hạt tải và sự biến đổi  hàm phân bố do tác dụng của trường 
lực bên ngoài cân bằng với sự biến đổi hàm phân bố do tán xạ của hạt tải trên 
các sai lệch mạng (ion tạp, nguyên tử tạp, dao dộng mạng) 


 
1.2.

Trạng thái cân bằng:
Khi có cân  bằng  nhiệt động,  hàm phân  bố hạt tải có dạng  hàm phân  bố 

cân  bằng  (phân  bố  Fecmi-  Dirăc  với  hệ  suy  biến,  phân  bố  Boltzmann  với  hệ 
không  suy  biến).  Chuyển  động  của  điện  tử  trong  tinh  thể  gây  nên  bởi  năng 
lượng  nhiệt.  Đối  với  trường  hợp  cân  bằng  thì  chuyển  động  của  điện  tử  do 

khuếch tán cân bằng với chuyển động của điện tử  do trường ngoai f  tác dụng. 
Vì vậy: 

 W (k , k ')[ f 0 (k ')  f0 (k )]

VB

   

 f 0 ( k ')  f 0 ( k )  

 

d 'k
 0   
4 3

 

 

 

 

 

(1.25) 

 


 

 

 

 

(1.26) 

 

 

 

 

 

(1.27) 

  Ta viết biêu thức tường minh : 
 

1
1
  


E  F1
E ' F2
exp{
}+1 exp{
}+1
k BT
k BT

Suy ra : E – F1 = E’ – F2   

 

Trong  điều kiện cân bằng nhiệt động,  năng lượng toàn phần của điện tử 
không thay đổi : E = E’ ta suy ra : F1 = F2     

 

 

 

(1.28) 

Như  vậy,  ở  trạng  thái  cân  bằng  nhiệt  động trong tất  cả  các  phần  của  hệ,  giữa 
chúng có thể xảy ra mức chuyển điện tử, vị trí mức Fecmi là như nhau. 
 
1.3.

Phương pháp gần đúng thời gian hồi phục :
Xét trường hợp hệ điện tử nằm ở trạng thái kích thích tại thời điểm t = 0 


ta ngắt trường kích thích, hệ sẽ dần trở về vị trí cân bằng, quá trình trở về trạng 
thái cân bằng gọi là quá trình hồi phục. Phương trình mô tả quá trình hồi phục. 
  

f  f 
     
t  t scatt

 

 

 

 

 

 

 

(1.29) 


Ở thời điểm  ngắt trường ngoài hệ nằm ở trạng thái không cân bằng, sau 
khi  ngắt trường  ngoài  những quá trình va chạm và tán  xạ  làm hạt trở về trạng 
thái cân bằng mới. 
Để đơn giản ta giả thiết đối với diễn biến quá trình hồi phục là tốc độ thiết lập 

sự cân bằng tỷ lệ với độ lệch [f(k)-f0(k) ] từ sự cân bằng 
f  f 
f  f0
 
 

 (k )
t  t  scatt

 

 

 

 

 

 

(1.30) 

 Với    f0  là hàm phân bố ở trạng thái cân bằng 
f    là hàm phân bố ở trạng thái không cân bằng  
1
là hệ số tỷ lệ phụ thuộc vào vectơ sóng k ; có ý nghĩa nghịch đảo thời 
 (k )

gian hồi phục xung lượng. 

Giải phương trình 1.30 ta được 
t

f  f 0  ( f  f 0 ) t  o .e

 (k )

 

 

 

 

 

 

(1.31) 

Từ biểu thức (1.31) ta ngận thấy, sau khi ngắt trường ngoài, hiệu số (f-f0) giảm 
đi theo qui luật hàm số mũ đối với hằng số thời gian   (k ) ,   (k )  được gọi là thời 
gian hồi phục xung lượng (thời gian hồi phục). 
Ta viết hàm phân bố không cân bằng dưới dạng: 
f (k )  f0 (k )  f1 (k )    

 

 


 

 

 

 

(1.32) 

Ở đây,  f1 (k )  là bổ chính của hàm phân bố cân bằng xuất hiện nhờ tác dụng của 
trường bên ngoài tới hệ. Chúng ta biểu diễn  f1 (k ) dưới dạng 
f1 (k ) 

f 0
k  (E)  
E

 

 

 

 

 

 


 

(1.33) 

Với   ( E )  là hàm vectơ chưa biết. Để tìm f1(k) ta cần phải tìm   ( E ) . 
Giả thiết rằng thời gian để hệ chuyển từ trạng thái không cân bằng về trạng thái 
cân bằng không phụ thuộc vào trường bên ngoài. Phương trình động Boltzmann 
có dạng sau: 


(v. r f )  ( F . k f )  

f  f0
 
 (k )

 

 

 

 

 

(1.34) 

 


 

(1.35) 

 

 

(1.36) 

 

 

( 1.37) 

Vì hàm f0(k) là hàm phân bố ở trạng thái cân bằng nên: 

 W (k , k ')[ f 0 (k ')  f0 (k )]

VB

d 'k
 0   
4 3

 

 


Do vậy từ 1.30 ta có: 
1
f (k )
 f 
 

W ( k , k ')[ f1 ( k ')  f1 ( k )].d 'k   1
 
3 
 (k )
 t  scatt 4 VB

Từ đây ta tính được  
1
1
f (k ')  f1 (k )
  3  W ( k , k ') 1
d 'k
 (k )
4 VB
f1 (k )
f 0
k '  ( E ')
1
E
'

].d k
 3  W ( k , k ')[1 

f 0
4 VB
k  (E)
E

   

 

Xét quá trình tán xạ của điện tử trên các sai lệch mạng là các tán xạ đàn 
hồi (tán xạ mà động năng của hệ được bảo toàn). Điều này có nghĩa là trong quá 
trình va chạm vận tốc của điện tử không thay đổi về độ lớn mà chi thay đổi về 
phương, chiều. Tức là : 
k '  k  ;  v  v ' . Suy ra : E’ = E

(1.38) 

nếu vùng năng lượng có dạng hình cầu. 
Khi tính đến (1.38) ta có: 
   

1
1
k '  ( E ')
 3  W ( k , k ')[1 
].d 'k  
 ( k ) 4 VB
k  (E)

 


Các vectơ k, k’ có thể mô tả bởi hình vẽ sau:  

 

 

 

(1.39) 



k ' 

k 






 

Hình 1.1 sự biến đổi vectơ sóng điện tử khi tán xạ 







Hình chiếu của  k , k  lên    
k  k  
k '  k 'cos  kcos  

với    là góc lệch của điện tử khỏi phương ban đầu do tán xạ 
Thành thử : 
  

  

k'
1
1
 3  W(k,k')[1-  ]d k'  
 ( k ) 4 VB
k

1

4 3 VB

W(k,k')[1-cos ]d k'      

 

 

 


 

(1.40 ) 

Xét trường  hợp  đặc  biệt khi  hạt tải tán  xạ  với  góc   = 1800. Khi đó k’ 
cùng giá trị với k nhưng trái dấu. Do đó: 
f1 (k ') 

f0
k '  ( E ')  là hàm lẻ 
E '

W(k,k’) = W(k’,k) là hàm chẵn 
   

 W(k , k ') f (k ')d
1

VB

'
k

f 0
W( k , k ') k '  ( E )d k'  0           

E
VB

 


 

(1.41) 

 

(1.42) 

 Tích phân tán xạ 
1
f (k )
 f 
 3  W(k , k ') f1 ( k ')d k'   1
 
 
 (k )
 t  scatt 4 VB

 

 


 Ta rút ra thời gian hồi phục đối với quá trình tán xạ dẫn đến sự phân bố vận tốc 
cá biệt :  

 1 
1
'


  3  W(k,k').d k  
  (k )  scatt 4 VB
  

 

 

 

 

(1.43 ) 

Như  vậy, khi  giải bài  toán  khảo sát  các quá trình  truyền  (tức  là  tìm các 

đại lượng đặc trưng cho hiệu ứng động) ta cần phải tìm hàm phân bố không cân 
bằng f(k). Bài toán sẽ được giải quyết khi tính được thời gian hồi phục   (k ) .Đại 
lượng này tìm được nếu ta biết được cơ chế tán xạ của hạt dẫn lên các sai lệch 
mạng (biết góc    ). 
 Trường  hợp tán xạ trên các iôn tạp chất[2], [6], [11], [13] : 
   

 2 02 m *2 v 3
 0 m * v 2
4

 i (k ) 


2 N i Z 2 e ln [1+(

2 N i1/ 3 Ze 2

 

 

 

 

(1.44) 

 

 

 

 

(1.45) 

 

 

 


 

(1.46) 

 

 

(1.47) 

 

 

(1.48) 

)]

Trong đó :  

 m *

1

1 2 E
 2 2   
 k

 


 

m* gọi là khối lượng hiệu dụng của điện tử 
Ni  là nồng độ iôn tạp chất 
  

 2E 
v  

 m *

1/ 2

   

 

 

là vận tốc của điện tử 
Thành thử : 
  

 i (k ) 

2  2  02 ( m * ) 1/ 2

 N i Z 2 e 4 ln [1+ (

 i ( k )   0 . E 3/ 2    


 

 0 E
N i1/ 3 Z e 2
 

E 3/2  
)]
 

 


Với :    



0

2  2  02 ( m * )1/ 2

0 

 0 E

 N i Z 2 e 4 ln [1+(

N i1/3 Ze 2


)]

 

 

 

 

(1.49) 

 

  

(1.50) 

 hầu như không phụ thuộc vào năng lượng. 

 Tán xạ trên nguyên tử tạp trung hoà[6], [11]: 

e(m*)2 1
 a (k ) 
.
 
20e 3 N a

 


 

 

 

Với Na là nồng độ nguyên tử tạp chất. 
Theo công thức này, thời gian hồi phục khi hạt tải tán xạ trên nguyên tử tạp 
trung hoà không phụ thuộc vào nhiệt độ, cũng không phụ thuộc vào năng lượng 
của hạt tải. Song  giá trị của  nó chỉ đáng  kể ở nhiệt độ rất  thấp khi mật độ các 
nguyên tử tạp bị iôn  hoá nhỏ  hơn mật độ các nguyên tử tạp trung  hoà. Khi đó 
vai  trò tán xạ trên nguyên tử tạp  trung hoà mới đáng kể so  với tán  xạ trên iôn 
tạp chất. Điều đó chỉ xảy ra ở nhiệt độ rất thấp. 
 Tán xạ trên dao động mạng[6]:  
Hạt tải có thể tán xạ trên các phonon, trao đổi với phonon năng lượng cũng như 
xung lượng của chúng. Tương tác điện tử phonon thể hiện qua việc sinh (phát) 
hoặc  hủy (hấp thụ) phonon làm điện tử biến đổi từ trạng thái k sang trạng thái 
k’. Khi một điện tử tương tác cho năng lượng làm sinh  ra một phonon có năng 
lượng q . Ngược lại, khi một điện tử tương tác nhận năng lượng và làm mất 
một phonon có năng lượng  q .  
Trong quá trình va chạm hệ luôn thoả mãn định luật bảo toàn năng lượng 
và xung lượng :  
Hấp thụ phonon 

E '(k ')  E (k )  q  


 k’ = k + q    

 


 

 

 

 

 

 

(1.50)     

 

 

 

 

 

 

(1.51) 

phát xạ phonon 


E '(k ')  E (k )  q  
 k’ = k - q    

 

Nếu  điện  tử  tán  xạ  trên  phonon  âm  dọc  thì  thời  gian  hồi  phục  xác  định  theo 
công thức : 
1





   

             

1
4

3



W ( k , k ')[ 



W  ( k , k ')


VB

1
4

W ( k , k ')[1 -

VB

1
4



3

3

VB

q
k

q
k

k '
k


] d  k'  

]d  k'  

d k' 

1
4

3



W  ( k , k ')

VB

q
k

d k'  

(1.52) 

số  hạng  thứ  nhất  được  coi  là  huỷ  phonon,  số  hạng  thứ  hai  được  coi  là  sinh 
phonon. 
Xác suất chuyển của điện tử trong trường hợp huỷ phonon và chuyển từ 
trạng thái k sang trạng thái k’. 

    W ( k , k ') 


4 C 2 q 2
N q  ( E ' E    q )  
9 Nq

 

 

(1.53) 

4 C 2 q 2
( N q  1) ( E ' E    q )    
9 Nq

 

(1.54) 

Trong trường hợp sinh phonon : 

    W ( k , k ') 

Những tính toán gần đúng đưa đến kết quả là thời gian hồi phục   L ( k )  do tán 
xạ trên phonon âm có dạng :  

 L (k )   0 E 3/2    

 


 

 

 

Trong đó   0 hầu như không phụ thuộc vào năng lượng. 

 

 

(1.55) 


Trong chất bán dẫn có thể có  nhiều  loại  tâm tán  xạ. Tuy nhiên các chất 
bán dẫn thường dùng để chế tạo các linh kiện bán dẫn  hiện  nay thường là đơn 
tinh thể. Do tính hoàn hảo của tinh thể, chủ yếu chỉ có hai loại tâm tán xạ :  đó 
là tán xạ trên các iôn tạp chất và các phonon dao động mạng tinh thể. Đây là hai 
dạng tán xạ quan trọng nhất của chất bán dẫn. 
Tán  xạ  trên  iôn  tạp  chất  đưa  đến  biểu  thức  của  thời  gian  hồi  phục  phụ 
thuộc vào năng lượng :  

 i ( k )   0 .E 3/ 2  

 

 

 


 

 

 

 

(1.47) 

Nghĩa  là   i (k )   phụ  thuộc  vào  T3/2,  hay   i (k )   tăng  theo  nhiệt  độ.  Ngược  lại, 
trong trường hợp tán xạ trên các phonon dao động mạng dẫn đến biểu thức của 
thời gian hồi phục giảm theo nhiệt độ vì nó phụ thuộc vào năng lượng theo biểu 
thức :  

 L (k )   0 E 3/2    

 

 

 

 

 

 


Nghĩa là   L ( k )  phụ thuộc vào T-3/2, hay   L (k )  giảm theo nhiệt độ 

(1.55) 


Chương 2. Hiệu ứng Hall
Hiệu  ứng  Ganvanic - từ  là  hiệu ứng  liên  quan đến chuyển động  của  hạt 
dẫn  dưới  tác  dụng  đồng  thời  của  điện  trường  và  từ  trường.  Xác  định  bởi  lực 
Lorentz 



 
F  e  e[ v  B ]    

 

 

 

 

 

(2.1) 

Trong đó :   e là điện tích hạt dẫn 
 


 

 

 



  là cường độ điện trường của điện trường đặt vào mẫu 

B  là cảm ứng từ  của từ trường đạt vào mẫu 

Chúng ta giả thiết (cho các trường hợp nghiên cứu ở đây) mặt đẳng năng là mặt 
cầu  để cho  khối  lượng hiệu  dụng  là  vô  hướng,  cực  trị  năng  lượng  nằm  ở tâm 
vùng  Brilouin  (k = 0),  nghĩa  là  trong  vùng  dẫn chỉ  có  một  cực tiểu tuyệt đối, 
trong vùng hoá trị có một cực đại. Đồng thời ta chỉ nghiên cứu từ trường yếu để 
có thể bỏ qua các hiệu ứng phi tuyến tính. 
Hiệu  ứng  Hall  là  một  hiệu  ứng  nổi bật  và  quan trọng  nhất của các  hiệu 
ứng Ganvanic - từ. Như chúng ta đã biết một điện tích chuyển động trong điện - 
từ trường sẽ chịu tác dụng của lực Lorentz. 




F  e  e[ r  B ]  mr    

 

 


 

 

( 2.2) 

Nếu điện tích chuyển động trong chân không chúng ta có thể giải phương 
trình  (2.2)  để  tìm  quĩ  đạo  của  điện  tử.  Trong  tinh  thể  tình  hình  sẽ  khác  đi, 
chuyển động của điện tử  sẽ phức tạp hơn nhiều, vì ngoài chuyển động dưới tác 
dụng  của  trường  ngoài,  hạt  dẫn  còn  tham  ra  chuyển  động  nhiệt  và  va  chạm 
thường xuyên  với các  tâm  tán  xạ trong  mạng  tinh  thể.  Chuyển động  nhiệt của 
hạt dẫn được đặc trưng bởi thời gian chuyển động tự do trung bình   , đối với 
chuyển động dưới tác dụng của từ trường thì đó là một chuyển động quay, chu 


kỳ của một vòng quay trong từ trường   là  TC  2 / C , trong đó  C  là tần số 
*
Cycloton :  C  eB / m  

Trong tinh thể, điện tử tham gia đồng thời hai chuyển động nói trên, nếu 

2 m*
TC  2 / C 
    ( TC  
eB

)  thì trong  khoảng thời  gian chuyển động 

tự do  điện  tử  kịp  thực  hiện  một  số  vòng  quay,  trong trường  hợp  đó  ta  nói  từ 
trường mạnh. Nếu ngược lại T C   thì quĩ đạo của điện tử trong tinh thể sẽ là 

từng khúc quĩ đạo tròn ghép lại, trong trường hợp này ta nói từ trường yếu. Tiêu 
chuẩn cho từ trường yếu có thể viết là  .B

1 , trong đó   .là độ linh động của 

hạt dẫn. 

2.1. Nghiên cứu thực nghiệm hiệu ứng Hall :  
Ta nghiên cứu hiệu ứng Hall trên một mẫu bán dẫn đơn tinh thể hình hộp 
có kích thước theo các cạnh :  
Theo trục ox :  a 
Theo trục oy :  b 
Theo trục oz :  c 



B

z 

y 


B

 

UH 

V 


x 
K 
A 

Hình 2.1. Sơ đồ thực nghiệm hiệu ứng Hall 
 
Khi cho dòng điện chạy qua mẫu bán dẫn nói trên theo chiều trục ox, từ 
trường đặt vao mẫu theo chiều trục 0z ta sẽ thu được một điện trường theo trục 
oy (nếu mạch hở)  hoặc dòng điện (nếu phương này được nối thành mạch kín). 
Sơ đồ biểu diễn nguyên lý hiệu ứng Hall được biểu diễn như hình vẽ 2.1 
Thực nghiệm cho thấy :  
y 

        R 

 
VH
 R B  J     
b

y
BJ



        Hay   R 

VH
1

 
I
b B.(
)
c.b

VH .c
  
I .B

 

 

 

 

 

 

 

(2.4) 

 

 


 

 

 

 

(2.5) 

 

 

 

 

 

 

(2.6) 

R gọi là hằng số Hall đo bằng m3/C ; VH là hiệu điện thế Hall đo bằng vôn, B đo 
bằng Tesla. 
Chúng ta có thể giải thích hiệu ứng Hall như sau : 
Khi  không  có  từ  trường,  hạt  dẫn  về  trung  bình  chuyển  động  theo  điện  trường 
(theo  chiều  trục  x)  nên  theo  trục  y  có  điện  trường  bằng  không.  Khi  ta  đặt  từ 



trường theo chiều trục z. Từ trường tác dụng lên các hạt dẫn chuyển động làm 
các hạt dẫn chuyển động lệch theo trục y, dẫn đến một mặt giới hạn theo trục y 
thừa  điện  tích  của  hạt  dẫn,  mặt  kia  thiếu  loại  điện  tích  đó,  làm  phát  sinh  một 
điện trường theo trục y là   y . Khi xuất hiện   y , do tác dụng của   y cân bằng 
với tác dụng của từ trường mà hạt dẫn lại chuyển động song song với trục x. 
Điện trường trong mẫu là điện trường tổng hợp của   x  và   y  không còn song 
song với trục x mà nghiêng với trục x một góc   . Góc    gọi là góc Hall. 
Điều  kiện  để  hạt  dẫn  chuyển  động  song  song  với  trục  x  (khi  xuất  hiện   y ổn 
định) 

 
e y  e vd  B   0    


 

      y   vd  B     

 

 

 

 

 

 


(2.7) 

 

 

 

 

 

 

(2.8) 


vd  là vận tốc của hạt dẫn (vận tốc cuốn), e là điện tích của hạt dẫn. 


  
 
 
 
 
 
 
 
vd   d  x     



 

    y   d  x  B    

 

 

(2.9) 

 

 

 

 

 

(2.10) 

 

 

 


 

 

(2.4) 

 

 

 

 

 

(2.11) 

Mặt khác : 

  

 
VH
 
 R B  J     
b

 
 

 y  R  B  J    R  x  B    

  

R  d  

y 

Hay  R 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.12) 

d


1
   
 d 
 ned ne

 

 

 

 

 

 

(2.13) 

Với :  n : nồng độ hạt dẫn 
 d  độ linh động hạt dẫn 

  

  ne d  điện dẫn xuất 


Do vậy, xác định được R từ thí nghiệm ta có thể xác định được nồng độ 
hạt dẫn, loại hạt dẫn, theo công thức (2.13). Ngoài ra ta còn tính được góc Hall.  
  


tan  

y
  R B    d B     
x

 

 

 

 

 

(2.14) 

2.2. Giải phương trình động Boltzmann khi có tác động đồng thời của điện
trường và từ trường vào tinh thể bán dẫn.
 Phương trình động Boltzmann trong trạng thái dừng viết trong gần đúng 
thời gian hồi phục :  


f (k )
v r f  k k f   1
 
 (k )


 

 

 

 

 

(2.15) 

Xét tinh thể đồng nhất để có :   r f  0  




Do vậy, phương trình động Boltzmann khi có tác dụng đồng thời của   và  B  
viết cho điện tử trong tinh thể đồng nhất viết trong gần đúng thời gian hồi phục 
:  

f (k )
e   
k k f     v  B   k f   1
 

 (k )






 

 

 

(2.16) 

 

 

 

(2.17) 

Ta đi tìm hàm phân bố f = f0 + f1 như sau :  
    

e     
f (k )
  v  B    k f 0   k f1    1  

 (k )






hiển nhiên rằng :  
   
    

f 0 E f 0 

v   
E k E
  
v  B  v  0  
 
 



k f0 

 

 

 

 

 

(2.18) 


 

 

 

 

 

(2.19) 

 

 

 

 

 

(2.20) 

từ (2.18) và (2.19) ta có 
  

e  
v  B   k f0  0  




 


giả thiết rằng hàm f1 đủ nhỏ để :  



e
  k f 0   k f1 


   



e
 k f 0    


 

 

 

(2.21) 

 


 

 

(2.22) 

    
 
 v


 

 

 

(2.23) 

 

 

 

 

 


(2.24) 

 

 

 

 

(2.25) 

 

 

 

 

(2.26) 

 

 

(2.27) 

thay vào (2.17) ta được :  
   



e
e  
f (k )
 k f 0  v  B   k f1   1
  
 (k )



Ta tìm f1 dưới dạng (1.33) :  

f 0  
f1 ( k ) 
k  (E)  
E

  

khi đó ta nhận được :  

  

 f
 k f1   k  0
 E

 f 
  0  (E )  k

E

 

k  (E ) 

    f 0

 E   E

Chú ý đến các công thức : 
  
  
v  B     B    v




  
  
v  B  v  0


Thay (2.23) vào (2.22) ta được : 
f1  e

f o   1    
f 0  
k  
   B     v  

E 
E




Từ phương trình này ta tìm được    


 

e     1     
     B      
m* 




k
Với m là khối lượng hiệu dụng của hạt dẫn  :  m    
v
*

Đặt    

*

 e 
 e 
A  *   ;           * B     

m
m