CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT
1. Một số khái niệm
Thí nghiệm (phép thử) ngẫu nhiên là thí nghiệm có nhiều kết quả mà ta không thể đoán trước
kết quả nào sẽ xảy ra. Tập hợp tất cả các kết quả có thể có của thí nghiệm được gọi là không gian
mẫu và được kí hiệu là  . Mỗi tập con A   được gọi là một biến cố.
Một họ các biến cố A được gọi là  - đại số nếu:
(i)

A chứa không gian mẫu, tức là,   A .

(ii)

A kín đối với phép lấy phần bù, tức là A  A thì A c  A , ở đó A c   \ A .

(iii)

A kín đối với phép lấy hợp đếm được, tức là nếu


A n  A , n  1, 2, thì  A n  A
n 1

Chú ý. Cho  A n  là dãy các tập con của  . Ký hiệu








lim sup A n    A k , lim inf A n    A k
n

n 1 k  n

n

n 1 k  n

Khi  là không gian metric E, thì ta ký hiệu B(E) là   đại số sinh từ các tập mở, và gọi

B(E) là   đại số Borel của E.
Ta hiểu độ đo trên   đại số A là ánh xạ  : A  [0, ) sao cho tồn tại A  A với

  A    và nếu A n  A, n  1, 2, là dãy các tập rời nhau từng cặp thì




   An      An 
 n 1  n 1

Xác suất P là độ đo chuẩn hóa, tức là P     1 . Trong trường hợp đó, bộ ba  , A , P  được
gọi là không gian xác suất.
Xác suất có điều kiện được định nghĩa theo công thức
P  A B 

P  A  B
, P  B  0
P  B


Biến ngẫu nhiên là ánh xạ X :    sao cho

 X  x     X    x  A,

x  

Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X được xác định theo công thức

F  x   P  X  x  , x  
Hàm số này có các tính chất (cần và đủ) sau:
(i)

không giảm,
1


(ii)
(iii)

liên tục bên phải,
lim F  x   0, lim F  x   1 .

x 

x 

Biến ngẫu nhiên X được gọi là rời rạc nếu tập tất cả các giá trị của nó là hữu hạn hay đếm
được. Ký hiệu  x1 , x 2 , là tập các giá trị của x.
Ta đặt p n  P  X  x n  ,  n  1, 2, và gọi  p n  là dãy phân phối xác suất của X.

Biến ngẫu nhiên X được gọi là liên tục nếu hàm phân phối xác suất của nó có đạo hàm. Trong
trường hợp này ta gọi f  x   F  x  , x   là hàm mật độ.
2. Kỳ vọng và phương sai


Trường hợp rời rạc
Kỳ vọng của X là số thực xác định theo công thức

EX   x n p n   x n P  X  x n 
n

n

nếu chuỗi hội tụ tuyệt đối.
Kì vọng có điều kiện của X khi biến cố B đã cho là số thực xác định theo công thức
E  X B   x n P  X  x n B
n

Phương sai của X là số thực không âm xác định theo công thức
2


2
DX  E  X  EX   EX 2   EX    p n x 2n    p n x n 
 n

n

2


Phương sai có điều kiện của X khi biến cố B đã cho là số thực xác định theo công thức







D  X B   E  X  E  X B  B  E  X 2 B   E  X B 





2



2

Trường hợp liên tục

Kỳ vọng của X l à số thực xác định theo công thức


EX 

 xf (x)dx




Phương sai của X là số thực không âm xác định theo công thức

DX  E  X  EX   EX   EX 
2



2

 

  x f (x)dx    xf (x)dx 

 



2

2

2

Định nghĩa tổng quát của kì vọng có điều kiện đối với  - đại số

Giả sử  , A , P  là không gian xác suất và F là  - đại số con của A.
Kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên X  0 đối với F là biến ngẫu nhiên suy rộng không
âm
2







E X F :    0,  
sao cho





(i) E X F là F- đo được,
(ii) với mọi A F

 XdP   E  X F dP

A

A

Phương sai có điều kiện được định nghĩa theo công thức










D X F  E  X  E X F





2

F 


Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện:



 



1. Nếu X là F- đo được thì E X F  X . Đặc biệt, nếu C là hằng số thì E C F  C .



 



2. Nếu X  Y thì E X F  E Y F . Đặc biệt ta có bất đẳng thức








E XF E X F














3. Nếu a, b   thì E  aX  bY  F  aE X F  bE Y F .





4. E  E X F   EX .








5. Nếu   X  và F độc lập thì E X F  EX . Đặc biệt nếu X, Y độc lập thì
E  X Y   EX .

6. Nếu F1  F2 thì
E  E  X F2  F1   E  E  X F1  F2   E  X F1  .

7. Nếu Y là F- đo được thì









E XY F  YE X F .
3. Một số phân phối quan trọng
a. Phân phối nhị thức B(n, p)
X ~ B(n, p)  p  X  k   C kn .p k 1  p 

n k

, k  0, , n


X là số lần biến cố A xuất hiện trong dãy n phép thử chỉ có hai biến cố A, A c xuất hiện.
b. Phân phối Poisson P   
X là số lần biến cố A xuất hiện trong 1 khoảng thời gian t cố định thì X có phân phối Poisson
tham số  , tức
3


Px  k 

 k .e 
, k  0,1,
k!
 k .e 
, với   np .
k!

X ~ B  n, p   lim P  X  k  
n 

X ~ P     EX  , DX   .
c. Phân phối mũ Exp   

.e x khi x  0
X ~ Exp     f X  x   
0
khi x < 0
EX 

1

1
, DX  2



d. Phân phối chuẩn N  a,  2 
Nếu X ~ N  a,  2  thì:
+ Hàm mật độ: f X  x  
+ Z



1
2

2

.e

 x  a 2
2 2

, x .

Xa
~ N  0,1


+ EX  a, DX   2
Khi a = 0,   1 thì X có phân phối chuẩn tắc N(0, 1) với hàm mật độ

2

1  x2
.e
2

fX  x  
4. Một số bất đẳng thức cần nhớ


Bất đẳng thức Holder

1 1
Nếu X  L r , Y  Ls , trong đó r, s là các số sao cho 1  r  ,   1 thì
r s







E XY F   E X




r

F




1r



s

 . E Y F




1/s





Bất đẳng thức Minkowski

Nếu X, Y  L r ,1  r thì



E XY




r

 

F E X F
r



1r



E Y

r

F



1r

Bất đẳng thức Jensen

Nếu g :    là hàm lồi, tức là

g  ax  by   ag(x)  bg  y  , 0  a, b  1, x, y  
4



thì

    E g  X  F  .

g E XF

CHƯƠNG 2. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN
Cho không gian xác suất (,F , P) .
+ X :[0, )     được gọi là một quá trình ngẫu nhiên nếu t  0 thì X t là F- đo được.
+ Dãy  - đại số con Fn  của F được gọi là một lọc nếu Fn  Fm , n  m .
+  X t  được gọi là tương thích với lọc Ft nếu X t là Ft - đo được với mọi t  0 .
+ Cố định w   thì
X  w  :  0, T   
t  Xt w 

được gọi là quĩ đạo của thông tin.

+ X được gọi là quá trình ngẫu nhiên liên tục nếu
P  w : t  X t  w  liên tuc   1 .

+ X được gọi là liên tục phải (trái) nếu với hầu chắc chắn (h.c.c) mọi w   thì t  X t  w  liên
tục phải (trái).
+ X được gọi là có giới hạn phải (trái) nếu với h.c.c mọi w   thì

 lim X t  w  , t 0  0
tt0

lim X  w  , t  0 .
tt0


t

0

+ Với mọi A  2 thì ta đặt

P* (A) : inf P  B  : B F , B  A
A được gọi là tập không (null set) nếu P* (A)  0
+ Lọc (Ft ) t 0 được gọi là thỏa mãn điều kiện thông thường nếu
(i) Ft liên tục phải:

 Fs  Ft .

s t

(ii) Ft chứa tất cả các tập không với mọi t.
+ X, Y là hai quá trình ngẫu nhiên.
X và Y được gọi là bất khả phân biệt nếu

P  w : t : X t (w)  Yt (w)   1 .
X được gọi là bản sao của Y nếu

P  w : X t (w)  Yt (w)   1, t  0 .

5


Nhận xét. Nếu X và Y là bất khả phân biệt thì X là bản sao của Y. Chiều ngược lại chưa chắc
đúng.


CHƯƠNG 3. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP
Câu 1. Định nghĩa chuyển động Brown. Chứng minh một quá trình ngẫu nhiên là một quá trình
Brown.
Trả lời
a. Định nghĩa. Cho không gian xác suất (,F , P) . Quá trình ngẫu nhiên B :[0, )    
được gọi là chuyển động Brown (quá trình Wiener) nếu
(i) B0  0 h.c.c,
(ii) t  s : Bt  Bs ~ N  0, t  s  (có số gia dương)
(iii) Với mọi t thì Bt là Ft - đo được,
(iv) t  s : Bt  Bs độc lập với Fs (có số gia độc lập)
(v) Bt có quĩ đạo liên tục h.c.c.
b. Ví dụ chứng minh một quá trình ngẫu nhiên là chuyển động Brown
Cho B là chuyển động Brown và a  0 . Khi đó
X  a.Bt a 2

cũng là chuyển động Brown.
Thật vậy,
(i) X 0  B0  0 .





(ii) t  s : X t  X s  a Bt a 2  Bs a 2 , nhưng do B là chuyển động Brown nên

B

t a2




 t s 
 Bs a 2 ~ N  0, 2 
 a 

Do đó

X t  X s ~ N  0, t  s  .
(iii) Gọi Fs là lọc tự nhiên sinh bởi quá trình ngẫu nhiên B. Đặt

Gs  Fs a

2

Khi đó X t  a.Bt a 2 ~ Ft a 2  G t - đo được.
(iv) t  s :





X t  X s  a Bt a 2  Bs a 2 độc lập với Fs a 2  Gs , tức là X có số gia độc lập.

6


(v) Cố định w   thì t  X t  w   a.Bt a 2 liên tục.
Câu 2. Định nghĩa Martingale liên tục. Chứng minh một quá trình cho trước là martingale.
Trả lời

a. Định nghĩa. Giả sử Ft  là một lọc, không nhất thiết phải thỏa mãn điều kiện thông thường.
Quá trình ngẫu nhiên  M t  t 0 được gọi là một martingale thời gian liên tục ứng với lọc Ft  và
độ đo xác suất P nếu:
1. E  M t    với mọi t;
2. M t là Ft - đo được với mọi t;
3. E  M t Fs   M s h.c.c với mọi t  s .
Nếu điều kiện thứ ba được thay bởi E  M t Fs   M s h.c.c với mọi t  s thì  M t  được gọi là
martingale dưới.  M t  được gọi là martingale trên nếu  M t  là martingale dưới (hoặc thay bởi
E  M t Fs   M s ).

b. Các ví dụ về chứng minh một quá trình cho trước là martingale
Ví dụ 1. Giả sử X là một biến ngẫu nhiên khả tích, Ft  là một lọc. Đặt X t  E  X Ft  . Khi đó

 Xt 

là một martingale và được gọi là martingale chính quy.

Ví dụ 2. Giả sử  Wt  là chuyển động Brown. Khi đó các quá trình sau đều là martigale:
1. M t  Wt .
2. M t  Wt2  t .
3. M t  e

a.Wt 

a2t
2

.

T


4. M t  Wt3  3 Ws ds .
0

Giải
2. Với t > s ta có



 E   W  W  F   2E   W  W  .W F   E  W F 

E  Wt Fs   E  Wt  Ws  Ws  Fs
2

2

t

s

s

t

s

s

s


2
s

s

2
 E  Wt  Ws    2Ws .E  Wt  Ws Fs   Ws2 (do Wt  Ws độc lập với Fs )


2
  t  s   0  Ws2 (do Wt  Ws ~ N  0, t  s   E  Wt  Ws    t  s )



7


Do đó
E  Wt Fs   t  s  Ws2  E  Wt  t Fs   Ws2  s h.c.c

3. Với t > s ta có

 a.Wt  a t   a t
2
E  M t Fs   E  e
Fs   e 2 .E eaWt Fs



2


e
e
e
e



a2t
2



.E e

2

a (Wt  Ws )  aWs

2



a t
2



a2t
2




a2t
2



Fs   e



.eaWs .E ea (Wt  Ws ) Fs



a2t
2




.E ea (Wt  Ws ) .eaWs Fs





.eaWs .Eea (Wt  Ws ) (do Wt  Ws độc lập với Fs )
.e


aWs

.e

a 2 (t s)
2

e

aWs 

a2
.s
2

 Ms .

4. Với t > s ta có
t
s
t




E  M t  M s Fs   E  Wt3  Ws3  3 Wu du   Wu du Fs   E  Wt3  Ws3  3 Wu du Fs 
0
0
s






t

3
 E  Wt  Ws  Ws   Ws3 Fs  3E   Wu du Fs 
s














t

 E  Wt  Ws  Fs  3E  Wt  Ws  .Ws Fs  3E   Wt  Ws  .Ws2 Fs   3 E  Wu Fs du
3

2


s

t

 E  Wt  Ws   3Ws .E  Wt  Ws   3W E  Wt  Ws   3 Ws .du
3

2

2
s

s

 0  3Ws .  t  s   3Ws2 .0  3Ws .  t  s   0 ,
ở đó E  Wt  Ws   0 . Thật vậy, ta đặt X  Wt  Ws thì X ~ N  0, t  s  và
3



x2




2
1
2 t s
EX   x .f X  x  .dx   x .

.e   .dx  0 (do hàm số dưới dấu tích phân là hàm lẻ)
2  t  s 


3

3

3

Do đó
E  M t  M s Fs   0  E  M t Fs   M s

Ví dụ 3. Cho  Wt  là chuyển động Brown. Chứng minh rằng

X t  e t 2 .cos Wt
là martingale.
Chú ý. Sử dụng công thức vi phân Itô và tính chất sau :

8


“Giả sử f  t  là quá trình ngẫu nhiên tương thích với lọc Ft  và
t

M t   f (s).dBs , 0  t  T .
0

t 2


ếu
N E   f (s)ds    thì  M t ,Ft 0 t T là martingale.
0

t

Nếu P   f 2 (s)ds     1 thì  M t ,Ft 0 t T là martingale địa phương ”.
0

Giải
Ta có: dWt  0.dt  1.dWt  a  0, b  1 .
Xét hàm F  x, t   e t 2 .cos x thì

F 1 t 2
F
2F
t 2
 e .cos x;
 e .s inx;
 e t 2 .cos x
2
t 2
x
x
Khi đó
1
1

dX t   e t 2 .cos Wt  e t 2 .cos Wt  .dt  e t 2 .sin Wt .dWt  e t 2 .sin Wt .dWt
2

2

t

 X t  1   es 2 .sin Ws .dWs .
0

Ta có

t

1

2
E    es 2 .sin Ws  .ds   E   es .ds   e  1  
0

0

t

là martingale.
   es 2 .sin Ws .dWs 
0
0 t 1

Gọi Fs    Wu , 0  u  s  thì với t  s  0 :

 t


E  X t Fs   E 1   e u 2 .sin Wu .dWu Fs 
 0

s
t

 1  E   e u 2 .sin Wu .dWu Fs   1   e u 2 .sin Wu .dWu  X s .
0
0


Vậy  X t ,Ft 0 t 1 là martingale.
Câu 3. Phát biểu khai triển Doob – Meyer. Chứng minh tính duy nhất của khai triển.
Trả lời
Trước tiên ta đề cập đến một số định nghĩa và mệnh đề sau.
Định nghĩa. Quá trình ngẫu nhiên  A t  t 0 được gọi là
9


+ tăng nếu A 0  0 và ánh xạ t  A t là liên tục phải và tăng h.c.c.
+ khả tích nếu E  A t    với mọi t  0 .
+ tự nhiên nếu với mọi martingale bị chặn  m t  t 0 , ta có

t

t

E   ms dA s   E   ms  .dA s  , t  0 ,
0


0

trong đó tích phân trong dấu kì vọng được hiểu th eo nghĩa Lebesgue -Stieltjes và ms   lim m t .
t s

Mệnh đề. Giả sử  A t  t 0 là quá trình tăng và khả tích. Khi đó  A t  t 0 là tự nhiên nếu với mọi
martingale bị chặn  m t  t 0 đẳng thức

t

E  m t A t   E   ms  .dA s 
0

được nghiệm đúng với mọi t  0 .

t

(Tức là cần phải chứng minh E  m t A t   E   ms dA s  .
0

a. Định nghĩa. Kí hiệu ST là tập các thời điểm dừng bị chặn bởi T  0 . Martingale dưới  X t  t 0
được gọi là thuộc lớp (DL) nếu họ các biến ngẫu nhiên

X  :   ST 

là khả tích đều với mọi

T 0.

b. Định lí (Khai triển Doob - Meyer). Giả sử  X t  t 0 là martingale dưới thuộc lớp (DL). Khi

đó  X t  có biểu diễn duy nhất dạng

Xt  Mt  At ,
trong đó  A t  t 0 là quá trình tăng, khả tích và tự nhiên và  M t  t 0 là martingale.
Chứng minh
Ta chỉ chứng minh tính duy nhất của khai triển.
Giả sử X có hai khai triển thỏa mãn điều kiện của định lí
X t  M t  A t  M t  A t

Với mọi martingale bị chặn  m t  t 0 , ta có:

 

E m t A t  A t







t

 E   ms  d A s  A s 
0

n 1

 lim E  m kt n
n 


k 0

A

(k 1)t n

 A(k 1)t n    A kt n  Akt n 

10




n 1

 lim E  m kt n
n 

k 0

  M

(k 1)t n

 M (k 1)t n    Mkt n  M kt n 

 

n 1






 lim E  m kt n E M(k 1)t n  M (k 1)t n Fkt n   Mkt n  M kt n 
n 

k 0



Áp dụng tính chất martingale của M và M ta được





E M(k 1)t n  M (k 1)t n Fkt n   Mkt n  M kt n 
nên

 

E m t A t  A t

  0

Với mỗi biến ngẫu nhiên bị chặn  bất kì, m t  E   Ft  là martingale bị chặn. Do đó:






0  E E   Ft  A t  A t

  E   A  A   .
t

t

Vậy nên với mỗi t  0, A t  At h.c.c. Do A là liên tục phải nên A t  At với mọi t  0 h.c.c và

M t  Mt với mọi t  0 h.c.c.
Câu 4. Định nghĩa martingale địa phương. Chứng minh rằng một martingale địa phương bị chặn
là một martingale.
Trả lời
a. Định nghĩa. Quá trình ngẫu nhiên  M t  t 0 được gọi là một martingale địa phương nếu tồn tại
một dãy các thời điểm dừng

 n n 0

tăng tới  h.c.c sao cho với mọi n  0 , quá trình ngẫu

nhiên M nt  M t n là martingale.
Martingale địa phương  M t  t 0 được gọi là martingale bình phương khả tích địa phương nếu



E M nt


2

   với mọi n  1 , mọi t  0 .

b. Chứng minh: Một martingale địa phương bị chặn là một martingale.
Câu 5. Trình bày cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên đối với quá trình ngẫu nhiên đơn giản.
Chứng minh tính chất đẳng cự.
Trả lời
a. Xây dựng vi phân ngẫu nhiên . Kí hiệu L 0 là tập tất cả các quá trình ngẫu nhiên đơn giản f t
có dạng
n 1

f t  w    f j  w  .1(t j ,t j1 ]  t  ,
j1

11


trong đó 0  t 0    t n và f j là biến ngẫu nhiên Ft j - đo được.
2,c
Giả sử ta cố định một quá trình ngẫu nhiên M M . Với f  L 0 , ta xác định tích phân Itô

như sau
n 1



I  f    f s dM s   f j M t j1  M t j
j1




b. Tính chất đẳng cự
Định lí. Với mọi f  L 0 , ta có:



E   f s dM s   0


và

E 




 fsdMs

   E   f d M 
2

2
s

s

Chứng minh
Đẳng thức thứ nhất suy ra từ


E



 

 n 1
 n 1
f
.dM
E
f
M
M


j
t j1
t j    E f j M t j1  M t j
 s s  
j1
 j1





n 1




 

  E f j.E M t j1  M t j Ft j
j1



  0

Để chứng minh đẳng thức thứ hai ta chú ý rằng:

  f .dM    f  M
2

s

s

n 1
j1

2
j

t j1

 Mtj




2



2

0 j k  n 1





f jf k M t j1  M t j M t k 1  M t k

 I1  I 2 .
Ta có:

 n 1
E  I1   E   f j2 M t j1  M t j
 j1







2


 n 1  2
   E  f j M t j1  M t j
 j1 

n 1

  E  f j2 E  M t j1  M t j


j1





2


Ft j  


Ta thấy:





E  M t  M s  Fs  E  M 2t  2M t .M s  M s2 Fs 
2


 E  M 2t Fs   2M s .E  M t Fs   M s2
12

 
2





 E M



 E M t Fs  M s2  M s  2M s2  M s2
t



 M s Fs .

Do đó:



n 1

E  I1    E f j M
j1


t j1

 M

tj

  E  f .d M
2
s

s

Mặt khác:

E  I2   2



0 j k  n 1

 

 

E f jf k M t j1  M t j .E M t k 1  M t k Ft k

 

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Câu 6. Phát biểu công thức vi phân Itô cho semimartingale liên tục và chứng minh cho trường

hợp 1 chiều.
Trả lời
Định nghĩa. Quá trình ngẫu nhiên d- chiều  X t  t 0 được gọi là semi-martingale liên tục nếu

X t  X0  M t  A ,
trong đó M1 , , M d là các martingale địa phương liên tục và A1 , , A d là các quá trình liên tục
có biến phân hữu hạn.
a. Định lí (Công thức vi phân Itô) . Giả sử X là semi-martingale liên tục d - chiều và
F  C 2   d  . Khi đó
d

d

d

F  X t   F  X 0      i F  X s  dM si    i F  X s  dA si 
i 1 0

i 1

d

1 d
  ij2 F  Xs  d M i , M j
2 i, j1 0

s

(1)


b. Chứng minh
Ta chứng minh cho trường hợp d  1 .
Đặt

0
n  
inf t : M t  n or Var  A t  n or

M t  n

if X 0  n
if X 0  n

với Var  A  t là biến phân toàn phần của A trên đoạn  0, t  . Rõ ràng n   h.c.c. Ta chỉ cần
chứng minh (1) với t được thay bởi t  n , sau đó cho n   . Vì vậy, ta có thể giả sử rằng

X 0 , M t , Var  A  t và M

t

là các quá trình bị chặn bởi một hằng số K và F  C02   d  . Ở đây

C02   d  là tập các hàm khả vi đến cấp hai và có giá trị compact trong  d .

Đặt t i  it n với i  0,1, Khi đó áp dụng công thức khai triển Taylor,

13


n


    

F  X t   F  X 0    F X ti  F X ti1
i 1



n

  F X ti1
i 1





X ti  X ti1 



1 n
 F  i  X ti  X ti1
2 i 1



 I1n  I 2n
với i nằm giữa X ti1 và X ti .
Khi n   :

n



I1n   F X ti1
i 1

 M

ti





n

 M ti1   F X ti1
i 1

 A

ti

t

t

0


0



 A ti1   F  X s  dM s   F  X s  dA s

(2)

Mặt khác :



n



2I n2   F  i  M ti  M ti1
i 1

I I I
n
21

n
22

2




n

 2 F  i  M ti  M ti1
i 1

 A





n

 A ti1   F  i  A ti  A ti1

ti

i 1

n
23

Do A t liên tục và có biến phân hữu hạn và M là liên tục nên:










n




I n23   F   sup A t j  A t j1  A ti  A ti1  F   sup A t j  A t j1  .  A t  A 0   0
1 j n

1 j n

i 1





I n22  F   sup M t j  M t j1   A t  A 0   0 h.c.c
1 j n


Đặt



k




Vkn   M ti  M ti1 , k  1, , n
i 1

2

Khi đó:



E  Vnn 

2

   E M
n

i 1

n

ti

 M ti1





  E M ti  M ti1
i 1


n

4



4







2



2



1i  j n



E

 M


 4K 2 .E  Vnn   2K.  E M ti  M ti1
1i  n



  4K 2  2K  .E  Vnn 



 . M
2


E  E  M t j  M t j1
 
1i  j n

2

 4K 2  E M ti  M ti1
i 1



E  M t j  M t j1

1i  j n




2

  4K 2  2K  . E  Vnn 

2



Do đó:
14

2

tj



2

 M

ti

 M ti1



2






Ft  .  M t  M t
j1

t j1



. M

i

ti

 M ti1

i 1




2

2








2




E  Vnn 

2

   4K  2K 
2

2

Đặt



n

I3n   F X ti1
i 1

 M

ti






n

 M ti1 , I 4n   F X ti1
2

i 1

 M

 M

ti

t i1



2

Ta có:

E  I

n
3


 I n21



2





 E  max F  i   F X ti1
 1i n

2





 .E V n 2  0
  n


(3)

và
t

I n4   F  X s  d M


h.c.c

s

(4)

0

Mặt khác:



E I3n  I n4

2

  E   F X
n

i 1

2
t i1

   M

ti

 M ti1


 n
 F  .E   M ti  M ti1
 i 1



  M
2

  M
4

ti

ti

 M

  
2

 M

t i1

   0
2

t i1


Kết hợp khẳng định trên với (3) và (4) ta được:
t

I   F  X s  d M
n
21

s

0

Lại kết hợp với (2) ta được điều phải chứng minh (1).

Chú ý. Với d = 1 và

Xt  Xu  Mt  At
2,c
với A là biến phân bị chặn,  M t  t 0  Mloc
và F  C 2 . Khi đó:
t

t

u

u

F  X t   F  X u    F  X s dM s   F  X s  dA s 


t

1
F  X s  d M
2 u

s

Câu 7. Giả sử M là martingale bình phương khả tích. Chứng m inh rằng biến phân bậc hai của M
trùng với quá trình Meyer của nó.
Trả lời
a. Một số định nghĩa:
+ Với các quá trình ngẫu nhiên  X t 0 t T . Biến phân bậc hai của X được xác định như sau
n

 X t  lim
 Xt
n 
i 1

15

i

 X ti1


+ Giả sử  M t  t 0 là martingale bình phương khả tích và có quĩ đạo liên tục phải. Khi đó tồn tại
duy nhất một quá trình tăng, tự nhiên, A t sao cho M 2t  A t là martingale. Ta kí hiệu A t  M
và gọi M là đặc trưng hay quá trình Meyer của martingale  M t  .

b. Chứng minh biến phân bậc hai của M trùng với quá trình Meyer của nó.
2,c
Giả sử M  M loc
. Giả sử  t in 

là dãy thỏa mãn 0  t 0n  t1n    t nn  t và

0i  n

max  t nj  t nj1   0 khi n   .
1 j n

Khi đó



n

lim  M t n  M t n
n 

j1

j1

j

M
2


t

.

Chứng minh
Đặt X t  M t  M t n , t  t nj .
j1

Áp dụng công thức vi phân Itô với d = 1 cho F  x   x 2 ta được:



M t  M tn

j1



 
2

 M tn  M tn



2

 M t  M tn

j1


j1

j1

 2 M





s



t

2 M s  M nt j1 dM s 

t nj1

d

M

s

t nj1




t





t



 M nt j1 dM s  M t  M

t nj1

t nj1

Do đó


n

j1

M tn  M tn
j

j1




 tj
    2 M s  M t n dM s  M
j1
j1  t n
 j1
n

2

n





t nj1






t nj

t

n

0


j1 t n
j1

t

n

0

j1

 2  M s dM s  2

 M

t nj

M

t nj1

dM s  M t  M



 2  M s dM s  2 M t n M t n  M t n
j1

j1


j

 M

0

t

n 

 M t,
n

vì theo định nghĩa tích phân ngẫu nhiên,



 M tn M tn  M tn
j1

j1

j

j1



t


  M s dM s .
0

Vậy  M t  M t .
Câu 8. Phát biểu và chứng minh công thức đặc trưng Levy cho chuyển động Brown.
Trả lời
Gọi * là chuyển vị của vectơ hay ma trận  và  jk  I( j k ) là kí hiệu delta Kronecker.
16

t


2,c
Định lí (Đặc trưng Levy). Giả sử X t   X1t , , X dt  thỏa mãn X j  M loc
, X 0  0 và

*

X j, Xk

t

  jk t, j, k  1, , d

Khi đó  X t  là chuyển động Brown d - chiều.
Chứng minh
Giả sử    d . Áp dụng công thức Itô cho hàm F     ei x ta có với mọi t  s  0 ,
*


e i X t  e i  X s  F  X t   F  X s 
*

*

t

t

s

s

  F  X u  .dM u   F  X u  .dA u 
t

  F  X u  dX u 
s
t

  i*ei X u dX u 
*

s

t

1
F  X u  d M
2 s


u

t

1
F  X u  d X
2 s

u

t

*
1
2
 .ei Xu du .

2s

Lấy kì vọng điều kiện hai vế với Fs , ta được:

t
 1 t 2 *

*
*
*
E ei X t Fs  ei Xs  E   i*ei Xu dX u Fs   E    ei Xu Fs 
s

 2 s








t





*
1
2
 E ei Xu Fs du

2s

Chia hai vế cho ei Xs ta được:
*





E ei (X t  Xs ) Fs  1  




*

t





*
1
2
 E ei (X u  Xs ) Fs du

2s



Đặt m u  E ei (Xu  Xs ) Fs với u  s thì ms  1 và:
*

t

mt  1 

Do ms  1 nên m t  e

1

2
 m u .du

2s

1 2
  .t
dm t
dm t
1 2
1 2
   .m t 
   .dt  m t  c.e 2
dt
2
mt
2

1 2
  . t  s 
2

, tức là





E ei (X t  Xs ) Fs  e
*


1 2
  . t  s 
2

Theo tính chất của hàm đặc trưng thì X t  X s độc lập với Fs và X t  X s có phân phối chuẩn

N  0,  t  s  Id  . Vậy nên X t là chuyển động Brown d - chiều.
17


Câu 9. Phát biểu và chứng minh công thức tính biểu diễn martingale địa phương bình phương
khả tíc h bởi tích phân ngẫu nhiên ứng với chuyển động Brown.
Trả lời
Định nghĩa.
+ Martingale  M t  t 0 được gọi là martingale bình phương khả tích, kí hiệu M  M 2 , nếu
E  M 2t   , t  0

Nếu M liên tục, ta kí hiệu M  M 2,c .
+ Giả sử L là họ tất cả các ánh xạ đo được

X :     , B      F    , B     ,
sao cho với mọi t  0 , X t :    là Ft - đo được và với mỗi w   , ánh xạ t  X t  w  là liên
tục trái. Đặt

P    X 1  B  : B  B    , X  L  ,
trong đó

X 1  B    t, w       : X t  w   B .
Có thể hiểu P là  - đại số bé nhất trên     , B      F  sao cho với mọi X  L , ánh xạ


X :     , P    , B     là đo được.
Quá trình ngẫu nhiên X   X t  w   là khả báo nếu ánh xạ X :     , P    , B     là đo
được.
a. Định lí. Giả sử M i  M 2,c , i  1, , d . Giả sử  ij :      , i, j  1, d là các quá trình
khả báo thỏa mãn
t

Mi , M j

t

d

    ik  s   jk  s  ds
0 k 1

Nếu det    s    0 h.c.c với mọi s thì tồn tại chuyển động Brown d - chiều  Bt  sao cho
t

d

M     ik  s  dBsk
i
t

k 1 0

Chứng minh
Với mỗi N > 0 đặt


N s   1


 

max  1 (s)  N

1 i , j d

trong đó  là ma tr ận nghịch đảo của .
1

Đặt

18

ij

,


t

     1 
d

i,N
t


B
i,N

Khi đó B

k 1 0

ik

 s . N  s .dM sk ,

i  1,2,,d .

M 2,c và
t

t

     1 
d

Bi,N ,B j,N

k,l 1 0

 s .  1  jl  s . N  s .  km  s . lm  s .ds
ik
d

m 1


t

d

   im  jm  N  s  .ds
m 1 0
t

 ij   N  s .ds .
0

Áp dụng bất đẳng thức Doob, ta có:
T


 Bi,N
E  sup Bi,N
t
t
 0 t  T



i,N

Suy ra B

  4E  s   s 2 .ds 
N,N

0.

N 
N  


0

 là dãy Cauchy nên B

hội tụ trong M

i,N

2,c

i

tới B nào đó, theo nghĩa

2
E  sup Bi,N  Bi   0 khi N  0 và
 0 t  T


Bi ,B j  ijt .
t




 là chuyển động Brown d- chiều.

Theo định lí đặc trưng Levy, Bt  Bt ,,Bt
1

d

Mà
d

t

t

    s .dB
k 1 0

k,N
s

ik

   N  s  .dM is
0

Cho N   thì  N  s   1 nên
d

t


M     ik  s  dBsk .
i
t

k 1 0

Câu 10. Phát biểu và chứng minh định lí duy nhất nghiệm của phương trình vi phân.
Trả lời
Định nghĩa (Nghiệm mạnh). Quá trình ngẫu nhiên X   X t  t 0 xác định trên không gian xác
suất  ,F , P  được gọi là nghiệm mạnh của phương trình vi phân ngẫu nhiên

dX t  a  t, X t  dt    t, X t  dWt ,
với điều kiện ban đầu  nếu

19

(*)


1. X tương thích với lọc Ft  t 0 ;
2. P  X 0     1 ;
3. với mọi 1  i  d, 1  j  r , ta có:

t

P   a  x, X s   ij2  s, X s  ds     1
0







4. biểu diễn dưới dạng tích phân của (*) là:
t

t

0

0

X t  X 0   a  s, X s  ds     s, X s  dWs , 0  t  

hoặc tương đương là
t

r

0

j1

X t i   X 0i    a i  s, X s  ds   ij  s, X s  dWs j , 0  t  ,1  i  d ,
nghiệm đúng hầu chắc chắn.
a. Định lí. (Xét trường hợ p d = r =1)
Giả sử hai điều kiện sau được thỏa mãn
A1 (Điều kiện đo được). a và  là đo được từ  0, T      .
A2 (Điều kiện Lipschitz). Tồn tại hằng số K > 0 sao cho
a  t, x   a  t, y     t, x     t, y   K x  y , với mọi t   0, T  , x, y  


thì phương trình vi phân ngẫu nhiên

dX t  a  t, X t  dt    t, X t  dWt ,

(*)

với điều kiện ban đầu  có tính duy nhất nghiệm
b. Chứng minh
Giả sử  X t  t0,T 

là hai nghiệm của phương trình (*) với quĩ đạo liên tục hầu chắc

chắn, tức là:
t

t

0

0

X t     a  s, X s  .ds     s, X s  .dWs
t





t






    a s, X
X
t
 s .ds    s, Xs .dWs
0

0

Với mỗi N > 0, xét

  w   N, u   0, t 
1 nếu X u  w   X
u
It N   w   
0
hợp
khác
 trong các trường
Ta có It N  là Ft - đo được và It N   It N  Is N  với mọi t  s  0 . Đặt Zt

20

N






 , ta có
 It N  X t  X
t


Khi đó
 N

Zt

 N

 It



t
t
 N  


  .dW 

X t  X t  I t   a  s, X s   a s, X s .ds     s, X s    s, X
s
s





0
0












t
t
  ds  I N    s, X    s, X
  .dW 
 It N    Is N  a  s, X s   a s, X
s
s
s
s
s






0
0










Áp dụng điều kiện Lipschitz A2, ta có với mọi s   0, t  thì









N
  2KN
   I N     s, X    s, X
   K.I N X  X
Is  a  s, X s   a s, X
s

s
s
s
s
s
s





(**)

Do đó áp dụng tính chất đẳng cự của tích phân Itô ta được



N

E Zt

2



2
2
 t

 t


N
N




 2E   Is a  s, X s   a s, X s ds   2E   Is   s, X s    s, X s dWs 
0

0








t N

 2T.E   Is  a  s, X s   a s, X
s
0








t











2





t N


.ds   2E   Is    s, X s    s, X
s


0






t



2



N
 2 .ds
 2 .ds  2E I N  K 2 X  X
 2T.E  Is  K 2 . X s  X
s
s
s
s
0

0

t






 2K  T  1  E IsN  X s  X

s
2

0
t



 2K 2  T  1  E Zs N 
0

2

  .ds
2

.ds

Do đó



E Zt N 

2



t






 L  E Zs N  ds, t   0, T  ,
0

2

với L  2  T  1 K 2 . Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta được:



E Zt

N

2

  E  I

N
t

 X  X 
t

t

2


  0  I N  X  I N  X
 h.c.c, t   0, T  , N

t
t
t
t


 là liên tục nên nó bị chặn h.c.c, do đó xác suất:
Do quĩ đạo của X và X





  N   0 khi N   ,
P It N   1, t   0, T   P  sup X t  N   P  sup X
 0 t  T

 0 t  T


tức là It N   1 h.c.c.






  1 . Suy ra:
 h.c.c, hay P X  X
Do đó với mỗi t cố định, ta có: X t  X
t
t
t





 , t     0, T   1
P Xt  X
t
21



 .ds 







 thì
Thật vậy, đặt A t  w   : X t  X
t


X

t



 , t     0, T  
X
t



t  0,T 

At

Ta có





P   \  At   P    \ At  


 t0,T

t  0,T 





  P  \ At   0
t  0,T 





 P   \  At   0  P   At   1 .


t


0,T





t  0,T 



Để kết thúc chứng minh ta sẽ chứng minh

X

t


 



 , t   0, T   X  X
 , t     0, T  .
X
t
t
t

Thế thì:



 



 , t   0, T   P X  X
 , t     0, T   1 ,
P Xt  X
t
t
t
 h.c.c với mọi t   0, T  .
tức là X t  X
t
Thật vậy , giả sử










 , t   0, T  và B  X  X
 , t     0, T  .
A  Xt  X
t
t
t
Rõ ràng A  B .

  w  , t     0, T  .
Mặt khác với mọi w  B thì X t  w   X
t
Xét t   0, T  bất kì, tồn tại

t n n 1    0, T  sao cho

lim t n  t .
n 

 là các quá trình ngẫu nhiên liên tục và X  w   X
  w  . Cho n   ta được
Do X t , X

t
tn
tn
  w   w  A  B  A . Vậy A = B. Định lí được chứng minh.
Xt  w   X
t

CHƯƠNG 4. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
Bài 1. Tính vi phân Itô của
a. X t  Wt3 .
b. X t  t.Wt .
c. X t  e Wt  t .
2

Giải

22


Chú ý. Trường hợp d = 1:

dX t  a(t).dt  (t).dWt

Yt  F  t,X t  với F  C 2

 F

F
 2F
F

1 2
dYt   (t,X t )  a(t).
(t,X t )   (t). 2 (t,X t )  .dt  (t).
(t,X t ).dWt
X t
X t
X t
2
 t

Ta thấy trong cả ba trường hợp a, b, c thì dWt  0.dt  1.dWt  a(t)  0, (t)  1 .
a. Xét F(t, x)  x 3 thì

F
2F
F
 3x 2 , 2  6x,
 0 nên
x
x
t
dWt3  3Wt dt  3Wt2 .dWt

b. Tương tự trên với hàm F(t, x)  t.x ta được:

d  t.Wt   Wt .dt  t.dWt
c. Tương tự với hàm F(t, x)  e x




2

t

ta được:



d e Wt  t  2.Wt2 .e Wt  t .dt  2Wt .e Wt  t .dWt
2

2

2

Bài 2.

dX t  X t .dt  2.X t .dWt

a. Cho X t thỏa mãn

Tính vi phân Itô của Yt  ln  X t  . Từ đó tìm X t .
b. Câu hỏi tương tự phần a, với dX t  X t .dt  dWt và Yt  e  t .X t .
Giải
a. Tương tự bài 1, ta được:

dYt  dt  2dWt
Do đó:
t


t

t

0

0

0

Yt  Y0   dYs    ds  2  dWs   t  2Wt
 ln(X t )  ln(X 0 )  2Wt  t  X t  X 0 .e 2Wt  t .

b. Tương tự phần a, ta có:
dYt  e  t .dWt
t

t

0

0

 Yt  Y0   dYs   e  s .dWs
t


 e .X t  X 0   e .dWs  X t  e  X 0   e  s .dWs 
0
0



t

t

s

t

23


Bài 3. Giải các phương trình vi phân sau:
a. dX t  2X t .dt  t.X t .dWt , X 0  1 .
b. dX t  3X t .dt  dWt , X 0  1 .
Giải
a. Nhận xét. Từ dX t  2X t .dt  t.X t .dWt 

dX t
 2dt  t.dWt (dạng giống bài 2a) nên xét hàm
Xt

Yt  ln  X t  . Từ đó tính được:

t2 
dYt   2   dt  t.dWt
2

Tương tự bà i 2, suy ra

t

Xt  e

1 3

 2t  t   s.dWs
6 

0



b. Chọn hàm Yt  e 3t .X t thì
dYt  e 3t .dWt

Do đó
t


e .X t  X 0   e .dWs  X t  e  X 0   e 3s .dWs 
0
0


t

3t

3s


3t

Bài 4 (Bài thi điều kiện môn GTNN). Giả sử Wt là chuyển động Brown một chiều. Sử dụng
công thức vi phân Itô tìm ngiệm của phương trình sau:
a. dYt  2Yt dYt  3dWt , Y0  1 .
b. dX t  2X t dt  3X t .dWt , X 0  2 . Tính kì vọng và phương sai của X t
Gợi ý
a. Xét hàm Z t  e 2t .Yt .
b. Xét hàm Yt  ln  X t  .
Để tính kì vọng và phương sai của X t ta sử dụng một số tính chất sau:
(i) Wt là chuyển động Brown nên Wt  Ws ~ N  0, t  s  .
(ii) DX t  EX   EX 
2

2

 

  x f (x)dx    xf (x)dx  .

 



2

2

Bài 5. Cho

s

X   t.dWt
0

24


Tính hàm đặc trưng của X. Từ đó xác định phân phối của biến ngẫu nhiên X.
Giải









Để tính hàm đặc trưng của X, tức là tính E eiuXs ta sẽ tính d eiuXs .
s

Từ X   t.dWt suy ra dX s  s.dWs  a(s)  0, (s)  s .
0

Bằng cách xét hàm F  s, x   eiux , ta tính được:






1
d eiuXs   s 2 u 2 eiuXs .ds  ius.eiuXs .dWs
2
s

 eiuXs  1  

s

1 2 2 iuX t
t .u .e .dt   iut.eiuX t .dWt
2 0
0

(*)

Ta có:

1

1
 u2
2
E   iut.eiuX t .dt   E   u 2 .t 2 .dt  

0

0
 3

s

s

Do đó   iut.eiuX t .dWt  là martingale nên E   iut.eiuX t .dWt   0 .
0

0

Lấ y kì vọng hai vế của (*) ta được:
s
s

1 
1
E eiuXs  1   E   t 2 .u 2 .eiuX t .dt     t 2 .u 2 .E eiuX t .dt
2 0
20













Đặt f (t)  E eiuX t thì
s

f (s)  1  


1 2 2
t .u .f  t  .dt
2 0

df
1
df
1
  s 2 .u 2 .f  s  
  s 2 .u 2 .ds
ds
2
f
2
t

1
1
 ln f  t   ln f  0     s 2 .u 2 .ds   .t 3 .u 2
20
6
 f (t)  e




u 2 t3
6

.

Do đó:



E e

iuX t

e



u 2 t3
6

 E e

iuX

e

25

u2

6

 X ~ N  0,3 .

