PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI
BÀI 11
§3. Phương trình vi phân cấp hai (TT)
4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi
c) Phương trình Euler x 2 y   axy   by  0, a, b  
Cách giải.
 Đặt x  et  t  ln x
dy dy dt 1 dy
dy
 y 

.

 xy  
dx dt dx x dt
dt
d
d  1 dy 
1 dy 1 d  dy  dt
 y  
y 
 . 
 .  2
.
dx
dx  x dt 
x dt x dt  dt  dx

1 dy
1 d 2y
1  d 2 y dy 
d 2 y dy
2


 2
 2 2  2 2 
x
y



dt 
x dt x dt
x  dt
dt 2 dt

dy
dy
d 2y
dy



a

by


0

(
a

1)
 by  0 là phương trình
2
2
dt
dt
dt
dt
dt
vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi
Ví dụ 1. Giải phương trình vi phân
 Thay vào có

d 2y

a) x 2 y   2 xy   6y  0 (1)
b) x 2 y   9 xy   21y  0
d) x 2 y   2 xy   2y  x  2 x 3  0

c) x 2 y   xy   y  x
e) y  

y y
2
 2 

x x
x

Giải a)
 x  et  t  ln x

1 dy
dy
d 2y dy
1  d 2 y dy 
2
 y  .
, y   2  2 
, x y   2 
  xy  
x dt
dt
dt 
dt
x  dt
dt
 Thay vào ta có

d 2y
dt 2

dy
dy
d 2y dy


2
 6y  0 

 6y  0
dt
dt
dt 2 dt

(2)

 Phương trình đặc trưng r 2  r  6  0  r  2, r  3
 (2) có nghiệm tổng quát y  c1e2t  c2e 3t
 (1) có nghiệm tổng quát y  c1e2ln x  c2e 3ln x  c1x 2 

c2
x3

Ví dụ 2. a) Giải phương trình vi phân x 2 y   2 xy   2y  3 x 2, x  0 bằng cách đặt

x  et
( y  C1x 2  C2  3 x 2 ln x )
71


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

b) 1) x 2y   xy   y  x, x  0




( C1 cosln x  C2 sinln x 

x
)
2


 3

 3
 2
( 4 x  C1 cos 
ln x   C2 sin 
ln x    x )
 4

 4
 3

§4. Hệ phương trình vi phân

2) 4 x 2 y   2 xy   y  2x, x  0

 Đặt vấn đề
 Các quy luật của tự nhiên không diễn ra đơn lẻ mà gồm nhiều quá trình đan xen
nhau
 Hệ phương trình vi phân tuyến tính giải quyết nhiều bài toán nêu trên, chẳng hạn
như :
1/ Ví dụ 1. Xét hệ hai khối lượng và hai lò xo như trong
Hình 1, với một lực tác động từ bên ngoài f (t ) bên phải

khối lượng m2 . Ta kí hiệu x(t ) là hàm vị trí (sang phải) của
khối lượng m1 từ trạng thái cân bằng (khi hệ bất động và
cân bằng với f (t )  0 ) và y (t ) là vị trí của khối lượng m2 từ
trạng thái tĩnh của nó.
m x "  k1x  k2 ( y  x )
 Có mô hình toán là  1
m2 y "  k2 ( y  x )  f (t )
2/ Ví dụ 2. Xét hai thùng nước muối được nối với nhau
như trong Hình 2. Thùng 1 chứa x(t) pounds muối trong
100 gallon của nước biển và thùng 2 chứa y (t ) pounds
muối trong 200 gallon (gal = 4,54 lit ở Anh và = 3,78 lít ở
Mỹ) nước biển. Nước biển trong mỗi thùng được giữ
nguyên bởi các vòi bơm và nước biển thùng này sang
thùng khác với tốc độ chỉ ra trên Hình 2. Thêm nữa nước
nguyên chất chảy vào thùng 1 với tốc độ 20gal/phút và
nước muối trong thùng 2 chảy ra với tốc độ 20gal/phút
3
1

 x   10 x  20 y
 Có mô hình toán là 
y   3 x  3 y

10
20
3/ Ví dụ 3. Xét mạch điện như trong Hình 3, ở đó
I1 (t) kí hiệu của dòng điện chạy qua cảm biến L và
I2 (t) kí hiệu của dòng điện chạy qua điện trở R2 .
Dòng điện chạy qua điện trở R1 là I  I1  I2 theo
hướng đã chỉ.

 dI1
 dt  25I1  25I2  50
 Có mô hình toán là 
2 dI1  3 dI2  5I  0
2
 dt
dt
72

Hình 1. Hệ khối lượng và
lò xo trong Ví dụ 1

Hình 2. Hai thùng nước
biển trong Ví dụ 2

Hình 3. Mạng điện
trong Ví dụ 3


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



1. Đại cương
 Định nghĩa. Hệ phương trình vi phân chuẩn tắc cấp một có dạng

 y1  f1( x, y1, y 2, , y n )
 
 y 2  f2 ( x, y1, y 2, , y n )



 y n  fn ( x, y1, y 2, , y n )
 Định lí 1. Giả sử các hàm fi ( x, y1, y 2, , y n )
fi
( x, y1, y 2, , y n ) liên tục trên D   n 1 .
y j

(1)

và các đạo hàm riêng

Cho ( x0 , y10 , y 20 , , y n0 )  D , khi đó U ( x0 ) để (1) có nghiệm duy nhất thoả mãn
các điều kiện y i ( x0 )  y i0 , i  1, n
Định nghĩa. Ta bảo ( y1, , y n ) , ở đó y i  i ( x, c1, c2, , cn ) là nghiệm tổng quát
của hệ (1) 
 thoả mãn hệ (1)  c1, c2, , cn
  ( x0 , y10 , y 20 , , y n0 ) thoả mãn định lí 1   ci  ci0 sao cho các hàm số

y i   i ( x, c10, c20 , , cn0 ) thoả mãn điều kiện y i

x  x0

 y i0 , i  1, n

Nghiệm riêng của (1) nhận được từ nghiệm tổng quát khi cho ci , i  1, n các giá trị xác
định
2. Cách giải
 






 Phương trình vi phân cấp n : y n  f ( x, y , y , , y n 1 ) luôn đưa về hệ phương
trình vi phân chuẩn tắc cấp 1: Đặt y  y1, có
 y1  y 2
 
y2  y3


y  y
n
 n 1
 y n  f ( x, y1, y 2, , y n )
Ngược lại, hệ PTVP chuẩn tắc luôn đưa về phương trình cấp cao bằng cách khử
những hàm số chưa biết từ các phương trình của hệ, được gọi là phương pháp khử

y2
 y  
 y   5 y  4z
y   y  z
y   z
z
Ví dụ 1. a) 
b) 
c) 
d) 
 z  4y  5z
 z  y  z  x
 z  y

 z  y

2
 y   z  y  C1 cos x  C2 sin x
e) 
(
)
 z   y  z  C2 cos x  C1 sin x
73


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



x

 y  e (C1 cos x  C2 sin x )
 y   y  5z

f) 
(
)
1 x

z


y


3
z


z

e
(
C

2
C
)cos
x

(
C

2
C
)sin
x
 2



1
1
2
5


2 x
 y   3 y  z  y  (C1  C2  C1x )e
g) 
(
)
2 x
 z  y  z
z

(
C
x

C
)
e

1
2
Giải a)
 Từ phương trình thứ nhất  y   5 y   4z
 Thay z  4 y  5z vào phương trình 1 có y   5 y   16 y  20z
1
 Từ phương trình 1  z  ( y   5 y ) , thay vào ta có y   10 y   9  0
4
x
 Nghiệm tổng quát y  c1e  c2e9 x
 y   c1e x  9c2e9 x , thay vào phương trình đầu có z  c1e x  c2e9 x
2C1

1
c) +) zz  2z2
+) z  
+) y 
C1x  C2
(C1x  C2 )2
3. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng số
 dy1
 dx  a11y1  a12 y 2    a1n y n

 dy 2  a y  a y    a y
21 1
22 2
2n n
a) Định nghĩa  dx
(1)


 dy n  a y  a y    a y
n1 1
n2 2
nn n
 dx
ở đó aij  

 dy1
 dx  a11y1  a12 y 2
b) Cách giải. Để đơn giản ta xét hệ 
(2)
dy

2

 a21y1  a22 y 2
 dx
a 
a12
 Giải phương trình đặc trưng 11
(3)
0
a21
a22  
 Nếu (3) có 2 nghiệm thực phân biệt 1, 2  (2) có nghiệm tổng quát là ( y1, y 2 ) ở đó
y1  c1y11  c2 y12 ;

y 2  c1y 21  c2 y 22

ở đó y11  p11e1x , y 21  p21e1x , y12  p12e2 x , y 22  p22e2 x , ( p1k , p2k ) là vectơ
riêng ứng với giá trị riêng k , k  1, 2

 y   y  2z
Ví dụ 1. Giải các hệ sau a) 
 z  4 y  3z

 y   y  5z
b) 
 z  2y  z
74

y   y  z
c) 

 z  y  3z


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



Giải a) Cách 1. Phương pháp khử:
 y   y   2z với z  4 y  3z và
 y   4 y   5 y  0  y  C e  x  C e5 x
1


1
2
z  (y  y ) 

1
x
5x
2
 z  2 ( y   y )
 z  C1e  2C2e
Cách 2. Phương pháp toán tử
L x  L2 y  f1(t )
Hệ  1
, ở đó Li là các toán tử tuyến tính
L
x


L
y

f
(
t
)
 3
4
2
L1 L2
f (t ) L2
L1 L2
L f (t )
x 1
;
y 1 1
L3 L4
f2 (t ) L4
L3 L4
L3 f2 (t )

(D  1)y  2z  0
d
 
,D
dx
 4 y  (3  D )z  0
D  1 2
 Ta có

 (D  1)(3  D)  8  D 2  4D  5
4
3D

  y   4 y   5y  0
 Hệ  
  z  4z  5z  0
 Phương trình đặc trưng k 2  4k  5  0  k1  1, k2  5
 Ta có y  c1e  x  c2e5 x ;
z  c3e  x  c4e5 x
 Thay y , z vào phương trình 1 ta có

0   y   y  2z  c1e  x  c2.5e5 x  c1e  x  c2e5 x  2(c3e  x  c4e5 x )
 (2c1  2c3 )e x  ( 4c 2  2c 4 )e 5 x ,  x
2c  2c3  0
c  c1
  1
  3
 4c2  2c4  0
c4  2c2
 Nghiệm tổng quát ( y , z ) , ở đó y  c1e  x  c2e5 x ; z  c1e  x  2c2e5 x
Cách 3. 

1 

2

4

3


 0   2  4  5  0  1  5, 2  1

(1  5)p11  2 p21  0
 1  5 : 
 4 p11  2 p21  0
4
p

(3

5)
p

0
 11
21
Chọn p11  1, p21  2
1   1  p12  2 p22  0
 2  1: 
 2 p12  2 p22  0




4
p

3



1
p

0
 12
22
Chọn p12  1, p22  1
 Hệ nghiệm cơ bản là y1  e5 x ; z1  2e5 x ; y 2  e  x ; z2  e  x
 Nghiệm tổng quát:  y ; z  , ở đó y  c1e5 x  c2e  x ; z  2c1e5 x  c2e  x
75


PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo



Ví dụ 2
 dx
1

t
5t
 dt  2 x  y  x  C1et  C2e5t
 x  C1e  C2e
3
a) 
(
hoặc 
)

t
5t
dy

 y  C e t  C e 5t
 3 x  4y  y  C1e  3C2e

1
2
 dt
 dx
 x  et (C1 cos3t  C2 sin3t )
 y  et (C1 cos3t  C2 sin3t )
 dt  x  3y
b) 
(
hoặc 
)
t
t
 dy  3 x  y
 y  e (C1 sin3t  C2 cos3t )
 x  e (C1 sin3t  C2 cos3t )
 dt
Chú ý. Phương pháp toán tử giải được hệ phương trình tuyến tính không thuần
nhất với hệ số hằng số

HAVE A GOOD UNDERSTANDING!

76