BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LƯU THỊ HOA

TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH
ĐỘNG LỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, NĂM 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LƯU THỊ HOA

TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH
ĐỘNG LỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. ĐỖ ĐỨC THUẬN

Hà Nội - 2016


MỤC

LỤC
Trang

Lời cảm ơn

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Định nghĩa và ví dụ về thang thời gian

. . . . . . . . . . .

5

1.2

Tính khả vi, tính khả tích và tính hồi quy . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Tính khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


8

1.2.2

Tính khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3

Tính hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3

Hàm mũ và phương trình động lực tuyến tính trên thang
thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4

1.3.1

Hàm mũ trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2

Phương trình động lực tuyến tính . . . . . . . . . . 17

Tính ổn định mũ của phương trình động lực thường trên
thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1

Khái niệm về ổn định mũ . . . . . . . . . . . . . . . 19


1.4.2

Tính ổn định mũ của phương trình động lực tuyến
tính hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Chương 2. Tính ổn định của phương trình động lực ẩn trên
thang thời gian

25

2.1

Khái niệm và một số đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2

Tính ổn định dưới nhiễu Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3

Bán kính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
i


Kết luận

41

Tài liệu tham khảo


42

ii


Lời cảm ơn
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy TS. Đỗ Đức Thuận,
người đã nhiệt tình hướng dẫn và chỉ bảo trong suốt quá trình tôi làm luận
văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới ban giám hiệu và các thầy cô Khoa Toán
Tin của Đại học Sư phạm Hà Nội, cùng gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện,
giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2016
Học viên
Lưu Thị Hoa


Mở đầu
1. Lịch sử bài toán
Lý thuyết về thang thời gian (time scale), lần đầu tiên được trình bày
bởi Stefan Hilger trong luận án tiến sĩ của ông vào năm 1988 (với sự hướng
dẫn của Bernd Aulbach) nhằm thống nhất giải tích liên tục và rời rạc. Việc
nghiên cứu lý thuyết về thang thời gian đã dẫn đến một số áp dụng quan
trọng, chẳng hạn trong nghiên cứu về mô hình mật độ của côn trùng, về
hệ thần kinh, về quá trình biến đổi nhiệt, về cơ học lượng tử và về mô
hình bệnh dịch...
2. Lý do chọn đề tài
Việc phát triển lý thuyết về "phương trình động lực" trên thang thời
gian, dẫn đến các kết quả tổng quát và khi đó có thể áp dụng cho các

thang thời gian hỗn hợp của các trường hợp liên tục và rời rạc. Ta có thể
lấy thang thời gian là một tập số thực, kết quả thu được sẽ tương tự với
kết quả trong phương trình vi phân thường. Nếu lấy thang thời gian là
tập các số nguyên, kết quả thu được sẽ tương tự với kết quả trong phương
trình sai phân. Tuy nhiên, các thang thời gian có cấu trúc phong phú nên
kết quả thu được là tổng quát và rộng hơn kết quả trên tập các số thực và
trên tập các số nguyên. Do vậy, đặc trưng cơ bản của các thang thời gian
đó là thống nhất và mở rộng.
Trong những năm gần đây, các phương trình vi phân đại số được quan
tâm một cách rộng rãi cả về phương diện lý thuyết lẫn thực tế. Nó xuất
hiện trong nhiều bài toán thực tế, chẳng hạn như trong mạch điện, các
phản ứng hóa học, hệ thống giao thông, thiết kế robot,... Cùng với lý
thuyết về phương trình vi phân đại số, có một sự quan tâm khác đến các
2


phương trình sai phân đại số vì sự xuất hiện của chúng trong nhiều lĩnh
vực thực tế, như mô hình động lực Leontiev, mô hình tăng trưởng dân
số Leslie, các bài toán điều khiển tối ưu suy biến... Ngoài ra, các phương
trình sai phân đại số xuất hiện một cách tự nhiên khi sử dụng kỹ thuật
rời rạc hóa để giải các phương trình vi phân đại số từng phần,... Vấn đề
này đã được sự quan tâm lớn của các nhà nghiên cứu. Sử dụng các khái
niệm của giải tích trên thang thời gian, các phương trình vi phân và sai
phân đại số có thể viết chung dưới dạng các phương trình động lực ẩn trên
thang thời gian. Do vậy, một cách tự nhiên, câu hỏi được đặt ra là: Liệu
các kết quả đã biết đối với phương trình vi phân đại số hay sai phân đại
số có thể được mở rộng và thống nhất lần lượt cho các phương trình động
lực ẩn hay không? Đây chính là vấn đề mà luận văn nghiên cứu.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng lý thuyết ổn định của phương trình vi phân thường.

- Đánh giá nhiễu thông qua bất đẳng thức chuẩn các ma trận.
- Sử dụng công cụ giải tích trên thang thời gian.
- Sử dụng hệ quả của định lý Hahn - Banach để xây dựng nhiễu.
4. Cấu trúc luận văn
Trong khuôn khổ luận văn, chúng tôi tập trung nghiên cứu về tính ổn
định vững của phương trình động lực ẩn trên thang thời gian. Nội dung
của luận văn là tổng hợp các nghiên cứu được trình bày dựa trên bài báo
[5] và một phần bài báo [4].
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn bao gồm 2 chương:

• Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản nhất về thang thời gian
cũng như một số kết quả về tính ổn định của phương trình động lực
thường trên thang thời gian.

• Chương 2 nghiên cứu tính ổn định của phương trình động lực ẩn trên
thang thời gian. Phần đầu của chương sẽ đi xét tính ổn định của các
phương trình động lực ẩn. Phần sau được dành để nói về tính ổn định
3


vững và bán kính ổn định của các phương trình động lực ẩn tuyến
tính với hệ số là hằng số.
Mặc dù bản thân tôi đã cố gắng trong quá trình nghiên cứu và hoàn
thành luận văn, nhưng do thời gian và khả năng còn nhiều hạn chế nên
luận văn không tránh khỏi những thiếu sót và chưa hoàn thiện. Tôi xin
tiếp thu mọi ý kiến nhận xét và trao đổi của các nhà toán học, độc giả và
những người quan tâm đến vấn đề này.

4



Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các khái niệm cơ bản nhất về thang thời gian;
-đạo hàm và

-tích phân của hàm xác định trên thang thời gian được

giới thiệu. Bên cạnh đó cũng đưa ra khái niệm hàm mũ suy rộng trên
thang thời gian, các tính chất của hàm mũ trên thang thời gian được liệt
kê. Nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần nhất được thiết lập
bằng cách sử dụng công thức biến thiên hằng số suy rộng. Định lý tồn tại
và duy nhất nghiệm cũng được trình bày và hàm mũ ma trận trên thang
thời gian cũng được giới thiệu. Trong phần cuối của chương đưa ra khái
niệm về ổn định mũ của phương trình động lực thường trên thang thời
gian.
Những định nghĩa và định lý dưới đây xem như một giới thiệu tổng quan
về thang thời gian, người đọc quan tâm chi tiết hơn có thể xem trong [3,
6, 7].

1.1

Định nghĩa và ví dụ về thang thời gian

Định nghĩa 1.1.1 Thang thời gian là một tập hợp con đóng tùy ý khác
rỗng của tập các số thực R, ký hiệu T. Ta giả sử xuyên suốt rằng thang
thời T có một tôpô mà nó được cảm sinh từ tôpô trên tập các số thực R
với tôpô tiêu chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2 Cho T là một thang thời gian, với mỗi t ∈ T, ta định
5



nghĩa toán tử nhảy tiến (forward jump) và toán tử nhảy lùi (backward
jump) như sau:
1. Toán tử nhảy tiến: σ : T −→ T, σ(t) := inf {s ∈ T : s > t},
2. Toán từ nhảy lùi: ρ : T −→ T, ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t}.
Ta quy ước: Nếu t = maxT thì σ(t) = t; nếu t = minT thì ρ(t) = t.
Định nghĩa 1.1.3 Điểm t ∈ T gọi là điểm cô lập phải (right-scattered)
nếu σ(t) > t, trù mật phải (right-dense) nếu t < supT và σ(t) = t, cô lập
trái (left-scattered) nếu ρ(t) < t, trù mật trái (left-dense) nếu t > inf T và

ρ(t) = t. Điểm vừa cô lập phải vừa cô lập trái gọi là điểm cô lập (isolated),
điểm vừa trù mật phải vừa trù mật trái gọi là điểm trù mật (dense).
Định nghĩa 1.1.4 Hàm số µ : T −→ R+ xác định bởi µ(t) := σ(t)−t, t ∈
T gọi là hàm hạt (graininess) của thang thời gian T.
Ký hiệu (a, b)T = {t ∈ T : a < t < b}. Để đơn giản, ngoại trừ những
trường hợp cần nhấn mạnh, từ đây trở đi ta viết (a, b); (a, b]; [a, b); [a, b]
thay cho (a, b)T (a, b]T ; [a, b)T ; [a, b]T .
Nếu thang thời gian T có phần tử lớn nhất M là điểm cô lập trái thì
ta đặt Tk = T\{M }; Tk = T trong các trường hợp còn lại. Chẳng hạn,

[a, b]k = [a, b] nếu b là trù mật trái và [a, b]k = [a, b) = [a, ρ(b)] nếu b là
cô lập trái.
Định lý 1.1.5 Với t0 ∈ T. Giả sử {S(t) : t ∈ [t0 , ∞)} là một họ các
khẳng định thỏa mãn:
1. Khẳng định S(t0 ) là đúng,
2. Nếu t ∈ [t0 , ∞) là điểm cô lập phải và S(t) là đúng thì S(σ(t)) cũng
đúng,
3. Nếu t ∈ [t0 , ∞) là điểm trù mật phải và S(t) là đúng thì tồn tại một
lân cận U của t sao cho S(s) là đúng với mọi s ∈ U ∩ (t, ∞),

6


4. Nếu t ∈ (t0 , ∞) là điểm trù mật trái và S(s) là đúng với mọi s ∈ [t0 , t)
thì S(t) là đúng.
Khi đó, S(t) là đúng với mọi t ∈ [t0 , ∞).
Ví dụ 1.1.6 Khi T = R thì σ(t) = t = ρ(t) và µ(t) ≡ 0; T = Z thì

σ(t) = t + 1, ρ(t) = t − 1 và µ(t) ≡ 1.
Ví dụ 1.1.7 Cho h > 0 là một số cố định, xác định thang thời gian hZ
như sau:

hZ = {hn : n ∈ Z} = {..., −3h, −2h, −h, 0, h, 2h, 3h, ...}
Ta có σ(t) = t + h, ρ(t) = t − h, µ(t) ≡ h.
Ví dụ 1.1.8 Cho a, b > 0 là các số thực cố định. Xác định thang thời
gian bởi Pa,b bởi
∞

Pa,b =

[k(a + b), k(a + b) + a].
k=0

Ta tính được

t
nếu t ∈
σ(t) =
t + b nếu t ∈


t
nếu t ∈
ρ(t) =
t − b nếu t ∈

∞
k=0 [k(a

+ b), k(a + b) + a),

∞
k=0 {k(a

+ b) + a}

∞
k=0 (k(a

+ b), k(a + b) + a],

∞
k=0 {k(a

+ b)}

và

0 nếu t ∈
µ(t) =
b nếu t ∈


∞
k=0 [k(a

+ b), k(a + b) + a),

∞
k=0 {k(a

+ b) + a}

Ví dụ 1.1.9 Cho q > 1 là một số cố định, xác định thang thời gian q Z
như sau:

q Z = {q n : n ∈ Z} = {..., q −3 , q −2 , q −1 , 1, q, q 2 , q 3 , ...}.
7


t
và µ(t) = (q − 1)t. Cũng có thể định nghĩa một
q
thang thời gian tương tự

Ta có σ(t) = qt, ρ(t) =

q Z := q Z ∪ {0}.
Chú ý rằng, mỗi điểm khác 0 của q Z đều là điểm cô lập trong khi 0 là điểm
trù mật phải.
Ví dụ 1.1.10 Cho n ∈ N0 , các số điều hòa Hn được xác định như sau:
n


H0 = 0, Hn =
k=1

1
.
k

Khi đó,
H = {Hn : n ∈ N0 }
là một thang thời gian. Ta có
n+1

σ(Hn ) =
k=1

ρ(Hn ) =




n−1
k=1

1
k

và

µ(Hn ) =


1.2.1

nếu n ≥ 2,
nếu n ∈ {0, 1}


0

1.2

1
,
k

1
.
n+1

Tính khả vi, tính khả tích và tính hồi quy
Tính khả vi

Định nghĩa 1.2.1 Xét hàm số f : T −→ R. ∆- đạo hàm (còn gọi là đạo
hàm Hilger) của f tại t ∈ Tk là một số (nếu nó tồn tại), ký hiệu f ∆ (t),
nếu với mọi

> 0 cho trước tồn tại lân cận U của t sao cho
|[f (σ(t)) − f (s)] − f ∆ (t)[σ(t) − s]|≤ |σ(t) − s|,
8



với mọi s ∈ U .
Hàm f được gọi là ∆- khả vi (nói ngắn gọn là khả vi) trên Tk nếu f ∆ (t)
tồn tại với mọi t ∈ Tk .
Định lý 1.2.2 Xét hàm số f : T −→ R và t ∈ Tk . Khi đó ta có:
1. Nếu f khả vi tại t thì f liên tục tại t.
2. Nếu f liên tục tại t và t là điểm cô lập phải thì f là khả vi tại t và

f ∆ (t) =

f (σ(t)) − f (t)
.
µ(t)

3. Nếu t là điểm trù mật phải thì f là khả vi tại t khi và chỉ khi giới hạn
f (t) − f (s)
f (t) − f (s)
lim
tồn tại (hữu hạn) và khi đó f ∆ (t) = lim
.
s→t
s→t
t−s
t−s
4. Nếu f khả vi tại t thì f (σ(t)) = f (t) + µ(t)f ∆ (t).
Nhận xét 1.2.3 Ta xét hai trường hợp T = R và T = Z.
1. Nếu T = R thì f : R −→ R là ∆- khả vi tại t ∈ Tk = T khi và chỉ
f (t) − f (s)
khi giới hạn lim
tồn tại, tức là f khả vi (theo nghĩa thông

s→t
t−s
thường) tại t. Trường hợp này ta có

f (t) − f (s)
.
s→t
t−s

f ∆ (t) = f (t) = lim

2. Nếu T = Z thì mọi hàm f xác định trên Z đều là ∆- khả vi tại t ∈
Tk = T và f ∆ (t) = ∆f (t) = f (t + 1) − f (t), ở đây ∆ là toán tử sai
phân tiến thông thường.
Định lý 1.2.4 Cho f và g : T −→ R là các hàm khả vi tại t ∈ Tk . Khi
đó:
1. Hàm tổng f + g : T −→ R khả vi tại t và (f + g)∆ (t) = f ∆ (t) + g ∆ (t).
2. Với hằng số α tùy ý, hàm αf : T −→ R khả vi tại t và (αf )∆ (t) =

αf ∆ (t).
9


3. Hàm tích f g : T −→ R khả vi tại t và

(f g)∆ (t) = f ∆ (t)g(t) + f (σ(t))g ∆ (t) = f (t)g ∆ (t) + f ∆ (t)g(σ(t))
1
4. Nếu f (t)f (σ(t)) = 0 thì khả vi và
f


1
f

∆

f
f
5. Nếu g(t)g(σ(t)) = 0 thì khả vi tại t và
g
g
1.2.2

f ∆ (t)
(t) = −
.
f (t)f (σ(t))
∆

f ∆ (t)g(t) − f (t)g ∆ (t)
(t) =
.
g(t)g(σ(t))

Tính khả tích

Về vấn đề xây dựng định nghĩa và các tính chất của tích phân Riemann;
khái niệm độ đo Lebesgue và tích phân Lebesgue trên thang thời gian cũng
như mối quan hệ giữa hai loại tích phân này được trình bày đầy đủ trong
[3]. Đồng thời những kết quả rất sâu sắc cho ta quan hệ giữa độ đo Lebesgue
trên thang thời gian và độ đo Lebesgue trên R, giữa tích phân trên thang

thời gian và tích phân thông thường (trên R) có thể tìm thấy trong [1].
Tuy nhiên, sau đây ta chỉ đưa ra một số định nghĩa và tính chất cơ bản
nhất về tích phân trên thang thời gian.
Định nghĩa 1.2.5
1) Một hàm f : T −→ R gọi là chính quy (regulated) nếu tồn tại giới hạn
bên phải (hữu hạn) tại tất cả các điểm trù mật phải trong T và tồn tại
giới hạn bên trái (hữu hạn) tại tất cả các điểm trù mật trái trong T.
2) Một hàm f : T −→ R gọi là rd-liên tục (right-dense continuous) nếu nó
liên tục tại các điểm trù mật phải và giới hạn bên trái là tồn tại (hữu hạn)
tại các điểm trù mật trái trong T.
3) Một m × n-ma trận A(.) xác định trên thang thời gian T gọi là rd-liên
tục nếu mỗi phần tử của A(.) là rd-liên tục.
4) Cho X là một không gian Banach, ánh xạ

f :Tk × X → X
(t, x) → f (t, x)
10


gọi là rd-liên tục nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(a) f liên tục tại mỗi điểm (t, x) với t trù mật phải hay t = maxT.
(b) Các giới hạn f (t− , x) :=

lim

f (s, y) và lim f (t, y) tồn tại tại

(s,y)→(t,x),s
y→x

mỗi điểm (t, x) với t là trù mật trái.
Sau đây ta kí hiệu:

Crd (T, R) = {f : T −→ R : f là rd-liên tục}
1
Crd
(T, R) = {f : T −→ R : f là khả vi và f ∆ là rd-liên tục}

Định lý 1.2.6 Xét hàm f : T −→ R, ta có:
1. Nếu f liên tục thì f rd-liên tục.
2. Nếu f rd-liên tục thì f chính quy.
3. Toán tử nhảy tiến σ là rd-liên tục.
4. Nếu f chính quy (rd-liên tục) thì f σ := f ◦ σ cũng là chính quy (rd-liên
tục).
5. Cho f liên tục. Nếu g : T −→ R là chính quy (rd-liên tục) thì f g cũng
chính quy (rd-liên tục).
Định nghĩa 1.2.7 Một hàm liên tục f : T −→ R là tiền khả vi (predifferentiable) với miền khả vi D nếu các điều kiện sau đồng thời được
thỏa mãn:
a) D ⊂ Tk
b) Tk \D là không quá đếm được và không chứa điểm cô lập phải nào của
T,
c) f khả vi tại mỗi t ∈ D.
Định lý 1.2.8 (Định lý giá trị trung bình) Cho f và g là các hàm
nhận giá trị thực, xác định trên T và là tiền khả vi với miền khả vi D. Khi
đó, nếu

|f ∆ (t)| ≤ g ∆ (t), với mọi t ∈ D
11

thì

|f (s) − f (r)| ≤ g(s) − g(r) với mọi r, s ∈ T, r ≤ s.
Định lý 1.2.9 Cho f là một hàm chính quy. Khi đó tồn tại một hàm tiền
khả vi F với miền khả vi D sao cho F ∆ (t) = f (t), với mọi t ∈ D.
Định nghĩa 1.2.10
1. Ta gọi hàm F trong Định lý 1.2.9 là một tiền nguyên hàm (preantiderivative) của hàm chính quy f .
2. Tích phân bất định của một hàm chính quy f là
ˆ
f (t)∆t := F (t) + C,
ở đây C là một hằng số tùy ý và F là một tiền nguyên hàm của hàm f .
3. Tích phân xác định của một hàm chính quy f là
ˆ s
f (t)∆t := F (s) − F (r); r, s ∈ T,
r

với F là một tiền nguyên hàm của f .
4. Một hàm F : T −→ R gọi là nguyên hàm (antiderivative) của f : T −→
R nếu F ∆ (t) = f (t), với mọi t ∈ Tk .
Định nghĩa 1.2.11 Cho a ∈ T, sup T = ∞ và f là rd-liên tục trên [a, ∞).
Tích phân suy rộng của hàm f trên [a, ∞) được định nghĩa như sau:
ˆ ∞
ˆ b
f (t)∆t := lim
f (t)∆t.
b→∞

a

a

Ví dụ 1.2.12 Ta xét một số trường hợp đặc biệt:
1. Khi T = R thì

ˆ

ˆ

b

f (t)∆t =
a

f (t)dt,
a

ở đây f là hàm liên tục.
12

b


2. Khi T = Z thì

b−1

f (t),
nếu a < b,



ˆ b
 t=a
f (t)∆t = 0
nếu a = b,

a


− a−1 f (t), nếu a > b,
t=b
với f là một hàm tùy ý f : Z −→ R.
3. Khi T = hZ thì

b

h −1

nếu a < b,
a f (kh)h


ˆ b
 k= h
f (t)∆t = 0
nếu a = b,

a

a



− h −1b f (kh)h nếu a > b,
k=
h

với f là một hàm tùy ý f : hZ −→ R.
Định lý 1.2.13 Cho V : T × Rm −→ R và g : T −→ Rm là khả vi liên
tục. Khi đó, V (., g(.)) : T −→ R là ∆-khả vi và ta có
ˆ 1
V ∆ (t, g(t) = Vt∆ (t, g(t)) +
Vx (σ(t), g(t) + hµ(t)g ∆ (t)), g ∆ (t) dh
0
ˆ 1
∆
Vx (t, g(t) + hµ(t)g ∆ (t)), g ∆ (t) dh,
= Vt (t, g(σ(t))) +
0

(1.1)
ở đây Vx là đạo hàm (theo biến thứ hai của hàm V = V (t, x)) và ., . là
tích vô hướng theo nghĩa thông thường.

1.2.3

Tính hồi quy

Cho K là trường số thực hay phức.
Định nghĩa 1.2.14 Hàm p : T −→ K được gọi là hồi quy (regressive)
nếu 1 + µ(t)p(t) = 0 với mọi t ∈ Tk .

Định lý 1.2.15 Tập R = R(T, K) gồm tất cả các hàm hồi quy trên T
cùng với phép toán ⊕ được xác định bởi (p ⊕ q)(t) := p(t) + q(t) +
13


µ(t)p(t)q(t) lập thành một nhóm Abel. Phần tử nghịch đảo của phần tử q
−q(t)
của nhóm này được ký hiệu là ( q)(t) :=
.
1 + µ(t)q(t)
Ta gọi R = R(T, K) là nhóm hồi quy.
Chú ý rằng, ta hiểu (p

(p

q)(t) =

q)(t) chính là (p ⊕

q)(t). Vì thế

p(t) − q(t)
, với mọi p, q ∈ R
1 + µ(t)q(t)

Hệ quả 1.2.16 Tập các phần tử hồi quy dương của R(T, R), được xác
định bởi

R+ = R+ (T, R) = {p ∈ R(T, R) : 1 + µ(t)p(t) > 0, với mọi t ∈ Tk },
là một nhóm con của R(T, R).

Nhận xét rằng, nếu p, q ∈ R thì

p, q, p ⊕ q, p

q ∈ R.

Định nghĩa 1.2.17 Hàm p : T −→ K được gọi là hồi quy đều (uniformly
regressive) nếu tồn tại một hằng số dương δ sao cho

|1 + µ(t)p(t)| ≥ δ, với mọi t ∈ Tk .
Định nghĩa 1.2.18 Một m × m-ma trận A(.) xác định trên thang thời
gian T gọi là hồi quy nếu

I + µ(t)A(t) là khả nghịch với mọi t ∈ Tk
với I = Im là ma trận đơn vị của Km×m . Lớp tất cả các ma trận như thế
được ký hiệu bởi R(T, Km×m ).
Bổ đề 1.2.19 Một m × m-ma trận A(.) là hồi quy khi và chỉ khi các giá
trị riêng λi (t) của A(t) là hồi quy với mọi 1 ≤ i ≤ m.

14


Định nghĩa 1.2.20 Với các m × m-ma trận A(.), B(.) là hồi quy, ta xác
định các toán tử sau đây:

(A ⊕ B)(t) = A(t) + B(t) + µ(t)A(t)B(t),
A(t) = −[I + µ(t)A(t)]−1 A(t) = −A(t)[I + µ(t)A(t)]−1 ,
và

(A

B)(t) = (A ⊕ ( B))(t),

với mọi t ∈ Tk .
Định lý 1.2.21 (R(T, Rm×m ), ⊕) là một nhóm.
Từ định lý này ta thấy rằng, nếu A, B ∈ R(T, Km×m ) thì A ⊕ B ∈

R(T, Rm×m ).

1.3
1.3.1

Hàm mũ và phương trình động lực tuyến tính
trên thang thời gian
Hàm mũ trên thang thời gian

Ta sẽ áp dụng phép biến đổi trụ, được định nghĩa ở phía dưới để định
nghĩa hàm mũ suy rộng trên thang thời gian.
Định nghĩa 1.3.1 Với h > 0, ta định nghĩa tập các số phức Hilger Ch và
dải Zh như sau:

1
Ch := {z ∈ C : z = − },
h
π
π
Zh := {z ∈ C : − < T (z) ≤ },
h
h
và với h = 0 ta đặt C0 := C, Z0 := C.

Định nghĩa 1.3.2 Với mỗi h ≥ 0, ta định nghĩa phép biến đổi trụ ξh :
Ch −→ Zh bởi



 ln(1 + hz)
h
ξh (z) =

z

nếu h > 0,
nếu h = 0,

ở đây Ln là nhánh chính của logarithm phức với miền giá trị là [−iπ, iπ].
15


Chú ý rằng, phép biến đổi trụ nghịch đảo ξh−1 : Zh −→ Ch , được xác định
bởi

ξh−1



 exp(zh) − 1
h
=

z

nếu h > 0,
nếu h = 0.

Định nghĩa 1.3.3 Nếu p(.) là rd-liên tục và hồi quy thì ta định nghĩa
hàm mũ bởi

ˆ

t

ξµ(s) (p(s))∆s , với t, t0 ∈ T,

ep (t, t0 ) = exp

(1.2)

t0

trong đó ξh (z) là phép biến đổi trụ được định nghĩa ở trên.
Bổ đề 1.3.4 Nếu p(.) là rd-liên tục và hồi quy thì ta có tính chất nửa
nhóm

ep (t, r)ep (r, s) = ep (t, s), với mọi r, s, t ∈ T.
Định lý 1.3.5 Nếu p(.) là rd-liên tục và hồi quy thì với mỗi t0 ∈ Tk cố
định, ep (., t0 ) là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu

x∆ = p(t)x, x(t0 ) = 1

(1.3)

trên T.
Định lý 1.3.6 Nếu p(.) là rd-liên tục và hồi quy thì phương trình (1.3) có
nghiệm duy nhất bởi ep (., t0 ).
Định lý 1.3.7 Với p(.), q(.) ∈ Cd R(T, C) và s, t tùy ý thuộc T ta có:
1. ep (t, t) = 1, e0 (t, s) = 1.
2. ep (σ(t), s) = (1 + µ(t)p(t))ep (t, s).
3. ep (t, s)eq (t, s) = ep⊕q (t, s).
4.

ep (t, s)
= ep q (t, s).
eq (t, s)
16


5. ep (t, s) =

1
= e p (s, t).
ep (s, t)

6. Nếu p(.), q(.) ∈ R+ và p ≤ q thì ep (t, t0 ) ≤ eq (t, t0 ) với mọi t ≥ t0 .
7. Nếu p(.) ∈ R+ thì ep (t, t0 ) > 0 với mọi t ∈ T.
8. Nếu tồn tại τ ∈ T sao cho 1+µ(τ )p(τ ) < 0 thì ep (τ, t0 )ep (σ(τ ), t0 ) < 0.
Ví dụ 1.3.8 Ta xét hai trường hợp đặc biệt của hàm mũ:
1. Khi T = R thì ep (t, s) = e

´t
s

p(τ )dτ

, và nếu p là hàm hằng thì ep (t, s) =

ep(t−s) .
2. Khi T = hZ với h > 0 thì ep (t, s) =
hằng thì ep (t, s) = (1 + hp)

1.3.2

t−s
h

t−1
τ =s (1

+ hp(τ )), và nếu p là hàm

.

Phương trình động lực tuyến tính

Định lý 1.3.9 Cho A(.) là hàm m × m-ma trận rd-liên tục. Khi đó, với
mỗi t ∈ Tk , bài toán giá trị ban đầu

x∆ = A(t)x, x(t0 ) = x0

(1.4)

có nghiệm duy nhất x(.) xác định trên t ≥ t0 . Ngoài ra, nếu A(.) là hồi
quy thì nghiệm này xác định trên t ∈ Tk .
Nghiệm của phương trình ma trận tương ứng:

X ∆ = A(t)X, X(t0 ) = I,
gọi là toán tử Cauchy (còn gọi là hàm mũ ma trận hay ma trận chuyển)
của phương trình (1.4) và được ký hiệu ΦA (t, t0 ). Chú ý rằng, ΦA (t, t0 )
luôn tồn tại với mọi t ≥ t0 , thậm chí A(.) không là ma trận hồi quy. Nếu
giả sử thêm rằng A(.) là hồi quy thì toán tử Cauchy ΦA (t, t0 ) xác định với
mọi t, t0 ∈ Tk .

17


Nếu A(t) giao hoán với tích phân của nó

´t
t0

A(s)∆s (đặc biệt, khi A

là ma trận hằng thì điều này đương nhiên được thỏa mãn), thì ta ký hiệu

eA (t, t0 ) thay vì ΦA (t, t0 ).
Ta thấy rằng, nghiệm x(.) của phương trình (1.4) có thể biểu diễn thông
qua toán tử Cauchy là x(.) = ΦA (., t0 )x0 .
Bổ đề 1.3.10 Nếu A(.), B(.) là hàm m×m - ma trận rd-liên tục xác định
trên T. Khi đó,
1. ΦA (t, τ ) = ΦA (t, s)ΦA (s, τ ), với mọi τ ≤ s ≤ t (tính chất nửa nhóm).
2. ΦA (σ(t), s) = (I + µ(t)A(t))ΦA (t, s).

3. Nếu ΦA (t, s) giao hoán bới B(t) thì ΦA (t, s)ΦB (t, s) = ΦA⊕B (t, s), với
mọi t ≥ s.
4. Nếu T = R và A là ma trận hằng thì ΦA (t, s) = eA (t, s) = eA(t−s) .
5. Nếu T = hZ với h > 0 và A là ma trận hằng thì ΦA (t, s) = eA (t, s) =

(I + hA)

t−s
h

.

Định lý 1.3.11 (Công thức biến thiên hằng số) Cho A : Tk −→ Rm×m
và f : Tk × Rm×m −→ Rm là rd-liên tục. Nếu x(t), t ≥ t0 là nghiệm của
phương trình động lực

x∆ = A(t)x + f (t, x), x(t0 ) = x0 ,
thì ta có thể biểu diễn

ˆ

(1.5)

t

ΦA (t, σ(s))f (s, x(s))∆s, t ≥ t0 .

x(t) = ΦA (t, t0 )x0 +

(1.6)

t0

1.4

Tính ổn định mũ của phương trình động lực
thường trên thang thời gian

Ta xét phương trình động lực thường trên thang thời gian T

x∆ = f (t, x)
18

(1.7)


ở đây f : T × Rm −→ Rm là rd-liên tục và f (t, 0) = 0.
Về sự tồn tại, duy nhất và thác triển nghiệm của phương trình (1.7) ta
có thể tham khảo trong [3].
Với mỗi τ ∈ T cố định, ta ký hiệu Tτ = {t ∈ T : t ≥ τ }. Giả sử với mỗi

t0 ∈ Tτ , x0 ∈ Rm , phương trình (1.7) có nghiệm duy nhất x(t) = x(t; t0 , x0 )
xác định trên t ≥ t0 và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 .

1.4.1

Khái niệm về ổn định mũ

Sau đây ta phát biểu hai định nghĩa về ổn định mũ mà các tác giả
thường sử dụng. Định nghĩa thứ nhất dựa vào hàm mũ trên thang thời

gian, định nghĩa kia dựa trên hàm mũ thông thường. Trong [2] đã chỉ ra
hai định nghĩa ổn định mũ này là tương đương.
Định nghĩa 1.4.1 Nghiệm x ≡ 0 của phương trình động lực (1.7) được
gọi là ổn định mũ nếu tồn tại một hằng số dương α với −α ∈ R+ sao cho
với mỗi t0 ∈ Tτ , tồn tại N = N (t0 ) ≥ 1 để nghiệm của (1.7) với điều kiện
ban đầu x(t0 ) = x0 thỏa mãn x(t; t0 , x0 ) ≤ N x0 e−α (t, t0 ), với mọi

t ≥ t 0 , t ∈ Tτ .
Định nghĩa 1.4.2 Nghiệm x ≡ 0 của phương trình động lực (1.7) được
gọi là ổn định mũ nếu tồn tại một hằng số dương α sao cho với mỗi

t0 ∈ Tτ , tồn tại N = N (t0 ) ≥ 1 để nghiệm của (1.7) với điều kiện ban đầu
x(t0 ) = x0 thỏa mãn x(t; t0 , x0 ) ≤ N x0 e−α(t−t0 ) , với mọi t ≥ t0 , t ∈ Tτ .
Nếu hằng số N có thể chọn không phụ thuộc vào t0 ∈ Tτ thì nghiệm

x ≡ 0 của (1.7) gọi là ổn định mũ đều.
Chú ý rằng, khi sử dụng Định nghĩa 1.4.1, điều kiện −α ∈ R+ tương
đương với µ(t) ≤

1
α.

Điều này nói rằng ta đang làm việc trên các thang

thời gian có hàm hạt bị chặn.
Định lý 1.4.3 Trên các thang thời gian có hàm hạt bị chặn, Định nghĩa
1.4.1 và định nghĩa 1.4.2 là tương đương.
19

Chứng minh. Nếu −α ∈ R+ , t ≥ t0 thì
ˆ t
ln|1 − αu|
e−α (t, t0 ) = exp{
lim
∆s}.
y
t0 u µ(s)
Ta có,


ln|1 − αu| −α
= ln(1 − αµ(s))
lim

u µ(s)
u

µ(s)

nếu µ(s) = 0,
nếu µ(s) > 0.

Vì thế,

ln|1 − αu|
≤ −α, với mọi s ∈ T.
µ(s)
u

lim
u

Cho nên, e−α (t, t0 ) ≤ e−α (t, t0 ) với mọi α > 0, −α ∈ R+ và t ≥ t0 .
Do đó, tính ổn định theo định nghĩa 1.4.1 kéo theo tính ổn định theo
định nghĩa 1.4.2.
Đảo lại, với α > 0 ta đặt

e−αs − 1
α
¯ (t) = lim
s µ(t)
s


−α
nếu µ(t) = 0,
−αs
= e
−1


nếu µ(t) > 0.
µ(t)
Hiển nhiên ta có α
¯ (.) ∈ R+ và eα¯ (t) (t, t0 ) = e−α(t−t0 ) .
Đặt M := supt∈Tt0 µ(t). Nếu M = 0(µ(t) ≡ 0) thì α
¯ (t) ≡ −α.
−αu
e

−1
Khi M > 0, ta xét hàm số y =
với 0 < u ≤ M. Dễ dàng kiểm
u
e−αM − 1
tra được y là một hàm tăng. Vì thế α
¯ (t) ≤
, với mọi t ∈ Tt0 .
M
Vì vậy, eα¯ (.) (t, t0 ) = e−α(t,t0 ) ≤ eβ (t, t0 ), với mọi t ≥ t0 (chú ý rằng,

−β > 0 và β ∈ R+ ). Do đó Định nghĩa 1.4.2 kéo theo Định nghĩa 1.4.1.
Ta có điều phải chứng minh.
Bên cạnh hai định nghĩa đã được trình bày ở trên, ta còn có thể tìm
thấy các định nghĩa khác về ổn định mũ, tuy nhiên trong luận văn này
chúng tôi sẽ sử dụng Định nghĩa 1.4.1 để xét tính ổn định mũ.
20


Sau đây ta có điều kiện cần và đủ để các phương trình tuyến tính thuần
nhất là ổn định mũ.
Định lý 1.4.4 Cho A(.) ∈ Crd R(Tkτ , Rm×m ), xét phương trình động lực
tuyến tính

x∆ = A(t)x

(1.8)

1. Phương trình (1.8) là ổn định mũ khi và chỉ khi tồn tại hằng số α > 0
với −α ∈ R+ sao cho với mỗi t0 ∈ Tτ , tồn tại N = N (t0 ) ≥ 1, bất

đẳng thức ΦA (t, t0 ) ≤ N e−α (t, t0 ) đúng với mọi t ≥ t0 , t ∈ Tτ .
2. Phương trình (1.8) là ổn định mũ đều khi và chỉ khi tồn tại các hằng
số α > 0, N ≥ 1 với −α ∈ R+ sao cho bất đẳng thức ΦA (t, t0 ) ≤

N e−α (t, t0 ) đúng với mọi t ≥ t0 , t, t0 ∈ Tτ
Trong cả luận văn, khi nói đến chuẩn của vector trong Rm hiểu là ta
đang xét chuẩn Euclid; và chuẩn của ma trận là chuẩn cảm sinh từ chuẩn
vector.

1.4.2

Tính ổn định mũ của phương trình động lực tuyến tính
hệ số hằng

Bây giờ ta xét điều kiện ổn định mũ của phương trình autonom tuyến
tính trên thang thời gian T

x∆ = Ax,

(1.9)

ở đây A ∈ Km×m (K = R hay K = C). Ta ký hiệu tập các giá trị riêng của
ma trận A là σ(A).
Các kết quả sau đây đã sử dụng hàm mũ thông thường để định nghĩa
khái niệm ổn định mũ, nhưng do hai định nghĩa về ổn định mũ được trình
bày ở trên là tương đương nên các kết quả này vẫn đúng nếu ta sử dụng
hàm mũ trên thang thời gian.
Với mỗi t0 ∈ T cố định, ta định nghĩa các tập
ˆ T
1

ln|1 + sλ|
lim
∆t < 0
SC (T) := λ ∈ C : lim sup
T →∞
T − t0 t0 s µ(t)
s
21