ỨNG DỤNG của NGUYÊN lý DIRICHLET TRONG bài TOÁN CHỨNG MINH bất ĐẲNG THỨC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (90.9 KB, 4 trang )
ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG BÀI TOÁN
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Vũ Sỹ Dũng-THPT Nguyễn Trung Ngạn -Hưng Yên
Nguyên lý Dirichlet:
"Nếu nhốt nhiều hơn n con thỏ vào n truồng thì ít nhất một truồng nhiều hơn 1 con
thỏ."
Từ nguyên lý Drichlet suy ra mệnh đề : "Cho 3 số thực bất kỳ ,bao giờ ta cũng lấy ra
được 2 số sao cho tích của chúng không âm ".
Vận dụng vào bài toán chứng minh bất đẳng thức:
Giả sử cần chứng minh bđt f(a,b,c,.....) ≥ 0
Bước 1: Thử để tìm được a=b=c=...=k thì bất đẳng thức xảy ra dấu bằng.
Bước 2: Áp dụng mệnh đề trên : Trong các số a-k,b-k,c-k,...có một cặp có tích không
âm .Giả sử (a-k)(b-k) ≥ 0.
Bước 3: Khai thác (a-k)(b-k) ≥ 0 để chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh.
Ví dụ 1: Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh rằng :
a 2 + b 2 + c 2 + 2abc + 1 ≥ 2(ab + bc + ca )
Bài giải: Bất đẳng thức xảy ra dáu bằng khi a=b=c=1.
Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số (a-1),(b-1),(c-1) có một cặp tích không âm.
Gỉa sử ( a − 1) ( b − 1) ≥ 0 ⇔ 2c(a − 1)(b − 1) ≥ 0 ⇔ 2abc ≥ 2bc + 2ac − 2c
Do đó ta chỉ cần chứng minh a 2 + b 2 + c 2 − 2c + 1 ≥ 2ab ⇔ (a − b) 2 + (c − 1) 2 ≥ 0 .
Bất đẳng thức trên luôn đúng .Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2:Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh rằng :
a 2 + b 2 + c 2 + 2abc + 3 ≥ (a + 1)(b + 1)(c + 1)
Bài giải: Bất đẳng thức xảy ra dấu bằng khi a=b=c=1.
Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số (a-1),(b-1),(c-1) có một cặp tích không âm.
Gỉa sử ( a − 1) ( b − 1) ≥ 0 ⇔ 2c(a − 1)(b − 1) ≥ 0 ⇔ 2abc ≥ 2bc + 2ac − 2c suy ra
2
a + b 2 + c 2 + 2abc + 1 ≥ 2(ab + bc + ca ) (Ví dụ 1)
BĐT đã cho tương đương với 2(a 2 + b 2 + c 2 ) + 2abc + 4 ≥ 2(ab + bc + ca) + 2(a + b + c)
Do đó ta chỉ cần chứng minh a 2 + b 2 + c 2 + 3 ≥ 2(a + b + c) ⇔ (a − 1) 2 + (b − 1) 2 + (c − 1) 2 ≥ 0 .
Bất đẳng thức trên luôn đúng .Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Cho các số thực dương a,b,c.Chứng minh rằng :
1
1
1
1
1
(a + − 1)(b + − 1) + (b + − 1)(c + − 1) + (c + − 1) ≥ 3
b
c
c
a
a
Bài giải: Bất đẳng thức xảy ra dáu bằng khi a=b=c=1.
1
1
1
, y = b + , z = c + BĐT đã cho được viết laị thành
b
c
a
( x − 1) ( y − 1) + ( y − 1)( z − 1) + ( z − 1)( x − 1) ≥ 3
⇔ 2( x + y + z ) ≤ xy + yz + zx
Đặt x = a +
Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số (x-2),(y-2),(z-2) có một cặp tích không âm.
Gỉa sử ( x − 2 ) ( y − 2 ) ≥ 0 ⇔ xy + 4 ≥ 2x + 2 y ⇔ 2( x + y + z ) ≤ 2z + xy + 4 (1)
Mặt khác ta lại có
xyz = abc +
1
+ x + y + z ≥ 2 + x + y + z ≥ 2 + 2 xy + z
abc
Suy ra z ( xy − 1) ≥ 2( xy + 1) ⇒ z ( xy − 1) ≥ 2 ⇒ 2z + 4 ≤ 2z xy ≤ yz + zx (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra ⇔ 2( x + y + z ) ≤ xy + yz + zx
Vậy ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=2 hay
a=b=c=1.
Ví dụ 4:Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn xyz=1 Chứng minh rằng :
x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z ≥ 2( xy + yz + zx)
Bài giải: Bất đẳng thức xảy ra dấu bằng khi x=y=z=1.
Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số (x-1),(y-1),(z-1) có một cặp tích không âm.
Gỉa sử ( x − 1) ( y − 1) ≥ 0 ⇒ xy − x − y + 1 ≥ 0 ⇒ xyz ≥ xy + yz − z (*)
Mặt khác ta có x + y + z ≥ 3 3 xyz = 3 (theo BĐT Cauchy )
Do đó BĐT đã cho được chứng minh nếu ta chứng minh được:
x 2 + y 2 + z 2 + 3 ≥ 2( xy + yz + zx)
Ta có x 2 + y 2 + z 2 + 3 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xyz + 1 ≥ x 2 + y 2 + z 2 + 2( xy + yz − z ) + 1 do (*)
⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 3 ≥ ( x 2 + y 2 ) + ( z 2 + 1) + 2( xz+yz)-2z
⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 3 ≥ 2 xy + 2z + 2( xz + yz ) − 2z=2(xy+yz+zx) (đpcm).
Ví dụ 5:Cho các số thực dương x,y,z Chứng minh rằng :
( x 2 + 2)( y 2 + 2)( z 2 + 2) ≥ 9( xy + yz + zx)
Bài giải: Bất đẳng thức xảy ra dấu bằng khi x=y=z=1.
Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số (xy-1),(yz-1),(zx-1) có một cặp tích không
âm.
2
Gỉa sử ( x − 1) ( xy − 1) ( yz − 1) ≥ 0 ⇒ xy z + 1 ≥ xy + yz (*)
Kết hợp BĐT cauchy ta có x 2 y 2 z 2 + y 2 + 2 ≥ 2( xy 2 z + 1) ≥ 2( xy + yz )
BĐT đã cho được viết lại :
x 2 y 2 z 2 + 2( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) + 4( x 2 + y 2 + z 2 ) + 8 ≥ 9( xy + yz + zx)
Ta có x 2 y 2 z 2 + y 2 + 2 ≥ 2( xy + yz ) (1)
3( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 3( xy + yz + zx) (2)
Lại áp dụng BĐT Cauchy có x 2 y 2 + 1 ≥ 2 xy làm tương tự đối với y 2 z 2 + 1 và z 2 x 2 + 1
Ta suy ra 2( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) + 6 ≥ 4( xy + yz + zx) (3)
Ta cũng có : x 2 + z 2 ≥ 2xz
(4)
Cộng vế với vế các BĐT (1),(2),(3),(4) ta có được đpcm.
Ví dụ 6: Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=1 .Chứng minh rằng :
a
b
c
9
+ 2
+ 2
≤
a + 1 b + 1 c + 1 10
2
1
3
1
1
1
Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số a − , b − , c − có một cặp tích không âm.
3
3
3
1
1
Gỉa sử a − ÷ b − ÷ ≥ 0
3
3
Bài giải: Bất đẳng thức xảy ra dáu bằng khi a = b = c = .
1
1
1
1 1
1
+ (a + b − ) 2 − 2(a − )(b − ) ≤ + (a + b − ) 2
9
3
3
3 9
3
1
1
1 2
hay a 2 + b 2 ≤ + (a + b − )2 = + ( − c) 2
9
3
9 3
⇒
BĐT đã cho tương đương với
c
1
a
1
b
1
≤ ( − 2 )+( − 2 )−
c +1 2 a +1
2 b + 1 10
2
2
(a − 1) (b − 1)
1
2c
⇔ 2
+ 2
≥ + 2
a +1
b +1 5 c +1
2
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
(a − 1) 2 (b − 1) 2 (a + b − c) 2
(c + 1) 2
9(c + 1) 2
+
≥
≥
=
a2 + 1
b 2 + 1 a 2 + b 2 + 2 1 + ( 2 − c) 2 + 2 9c 2 − 23c + 12
9 3
Do đó ta chỉ cần chứng minh
9(c + 1) 2
c 2 + 10c + 1
≥
9c 2 − 23c + 12
5(c 2 + 1)
Bằng cách quy đồng và phân tích nhân tử ,ta có BĐT đã cho tương đương với
(3c − 1) 2 (2c 2 + 2c + 1) ≥ 0 .BĐT này hiển nhiên đúng vậy ta có đpcm.
Ví dụ 7: Cho các số thực dương a,b,c .Chứng minh rằng :
(2a + b + c) 2
(2b + c + a ) 2
(2c + a + b) 2
+
+
≤8
2a 2 + (b + c ) 2 2b 2 + (c + a) 2 2c 2 + ( a + b) 2
Bài giải:
Do BĐT đã cho là thuần nhất,không mất tính tổng quát giả sử a+b+c =1
1
3
Bất đẳng thức xảy ra dáu bằng khi a = b = c = .
1
3
1
3
Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số a − , b − , c −
1
có một cặp tích không âm.
3
1
1
Gỉa sử a − ÷ b − ÷ ≥ 0
3
3
1
1
1
1 1
1
⇒ + (a + b − ) 2 − 2(a − )(b − ) ≤ + (a + b − ) 2
9
3
3
3 9
3
1
1
1 2
hay a 2 + b 2 ≤ + (a + b − )2 = + ( − c) 2
9
3
9 3
BĐT đã cho tương đương với
(a + 1) 2
(b + 1) 2
(c + 1) 2
+
+
≤8
3a 2 − 2a + 1 3b2 − 2b + 1 3c 2 − 2c + 1
(a + 1) 2
(b + 1) 2
(c + 1) 2
⇔ (3 − 2
) + (3 − 2
) + (2 − 2
)≥0
3a − 2a + 1
3b − 2b + 1
3c − 2c + 1
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
2(2a − 1) 2
2(2b − 1) 2
8( a + b − 1) 2
(c + 1) 2
+
≥
≥
≥
3a 2 − 2a + 1 3b 2 − 3b + 1 3(a 2 + b 2 ) − 2(a + b) + 2 1 + ( 2 − c) 2 + 2
9 3
2
2
8c
24c
≥
= 2
1 2
+ ( − c) 2 − 2(1 − c) + 2 9c − 6c + 5
3 3
Do đó ta chỉ cần chứng minh
24c 2
5c 2 − 6c + 1
+
≥0
9c 2 − 6c + 5 3c 2 − 2c + 1
Bằng cách quy đồng và phân tích nhân tử ,ta có BĐT đã cho tương đương với
(3c − 1) 2 (13c 2 − 62c + 5) ≥ 0 .BĐT này hiển nhiên đúng vậy ta có đpcm.
Bài tập:
1)Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 + abc = 4.
Chứng minh rằng ab + bc + ca ≤ abc + 2
2)Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh rằng:
1
1
1
1
+ 2
+ 2
≤
5a − 4a + 11 5b − 4b + 11 5c − 4c + 11 4
2
3)Cho các số thực a,b,c.Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 + a 2b 2c 2 + 2 ≥ 2(ab + bc + ca )
