công thức tính nhanh toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (269.8 KB, 4 trang )
Lớp VipA – Luyện thi trắc nghiệm Toán – 2017 – Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long
( Bộ 30 công thức tính nhanh trắc nghiệm Toán -2017 đặc sắc)
CÔNG THỨC TÌM NHANH TỌA ĐỘ HÌNH CHIẾU VÀ TỌA ĐỔ ĐIỂM ĐỐI
XỨNG CỦA MỘT ĐIỂM QUA MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẰNG
Gv : Th.s Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long
Khóa ôn luyện trắc nghiệm toán 2017 – Vip A – VipS – Vip SS trên
/>8 Dạng bài có thể áp dụng:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Tìm tọa độ hình chiếu của 1 điểm trên mặt phẳng.
Tìm tọa độ điểm đối xứng với 1 điểm cho trước qua mặt phẳng.
Tìm phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng cho trước qua mặt phẳng.
Tìm tọa độ điểm tiếp xúc của mặt phẳng và mặt cầu.
Tìm tọa độ tâm đường tròn là giao tuyến của mặt cầu và mặt phẳng.
Tìm tọa độ hình chiếu của điểm trên đường thằng.
Tìm tọa độ tiếp điểm của đường thẳng và mặt cầu.
Tìm điểm thuộc mặt phẳng sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất.
Bài toán :
Cho điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và mặt phẳng (P) : Ax By Cz D 0 Gọi H là hình chiếu
vuông góc của M trên (P) và M’ là điểm đối xứng với M qua (P). Tìm tọa độ của H và M’
Bài giải tổng quát
Cách 1 : - Tìm H
Ta viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và vuông góc với (P)
Khi đó (d) nhận vecto pháp tuyến của (P) n( A; B; C ) làm vecto chỉ phương.
x x0 At
Suy ra phương trình (d) : y y0 Bt.( t R )
z z Ct
0
x x0 At
y y0 Bt.
và tọa độ hình chiếu H của M trên (P) sẽ là nghiệm hệ
( t R)
z z0 Ct
Ax By Cz D 0
giải hệ tìm được tọa độ H.
- Tìm M’ .
M’ là điểm đối xứng với M qua mặt phẳng (P) khi và chỉ khi H là trung điểm của MM’. từ đó ta
có
xM ' 2 xH xM
Tọa độ M’ yM ' 2 y H yM
z 2z z
H
M
M'
Cách 2 : Sử dụng công thức tính nhanh.
x H x0 Ak .
x M ' x0 2 Ak .
Tọa độ điểm H yH y0 Bk . Tọa độ điểm M’ yM ' y0 2 Bk . Trong đó
z z Ck .
z z 2Ck .
H 0
M' 0
1
Lớp VipA – Luyện thi trắc nghiệm Toán – 2017 – Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long
k
(Ax 0 By0 Cz0 D )
A2 B 2 C 2
Chứng minh:
- Dựa vào cách 1 ta có tọa độ hình chiếu H của M trên (P) sẽ là nghiệm
x x0 Ak
y y0 Bk .
hệ
thay (1),(2),(3) vào (4)
( k R)
z z0 Ck
Ax By Cz D 0
ta được
x x0 Ak (1)
(Ax 0 By0 Cz0 D)
P( M )
y y0 Bk .(2)
k
2
2
2
2
A B C
z z0 Ck (3)
nP
A(x0 Ak ) B( y0 Bk ) C ( z0 Ck ) D 0(4)
x H x0 Ak .
Vậy Tọa độ điểm H yH y0 Bk . với k xác định như trên.
z z Ck .
H 0
- Do M’ đối xứng với M qua (P) nên H là trung điểm của MM’ , dựa vào t/c trung
điểm
xM ' 2 xH xM
yM ' 2 y H yM => tọa độ điểm M’
z 2z z
H
M
M'
x M ' x0 2 Ak .
yM ' y0 2 Bk . ( đpcm)
z z 2Ck .
M' 0
ÁP DỤNG – LUYỆN TẬP PHẦN I
Bài tập 1:
a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm M 0 (1; 1; 2) trên mặt phẳng (P):
2 x y 2 z 12 0 .
b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng M 0 (2; 3;1) qua mặt phẳng ( P) : x 3 y z 2 0
Giải :
19
29
xH 1 2. 9 9
2.1 (1) 2.2 12
19
19 10
29 10 20
a. Ta có k
. Vậy H y H 1
H ( ; ; )
2
2
2
9 9
9 9
9
2 (1) 2
9
19
20
zH 2 2 9 9
2
Lớp VipA – Luyện thi trắc nghiệm Toán – 2017 – Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long
2 3.(3) 1 2 6
Vậy tọa độ M’
12 32 (1)2 11
6 34
xM ' 2 2.1. 11 11
6 3
34 3
1
M '( ; ; )
yM ' 3 2.3.
11 11
11 11 11
6
1
z M ' 1 2.(1). 11 11
Bài tập 2 : Cho điểm A(1;2;3) B ( 1;0;1) và mặt phẳng (P) : x – y + z + 1 = 0 .
a. Viết phương trình đường thẳng AB.
b. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên (P).
c. Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng AB qua (P).
d. Tìm M trên (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Bài tập 3 : Cho mặt phẳng : 3 x y 2 z 1 0 và điểm M 1,1, 1 .
b. Ta có k
a. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng .
b. Tìm tọa độ M ' đối xứng với M qua mặt phẳng
Bài tập 4:
Lập phương trình hình chiếu của đường thẳng d :
x 2 y 2 z 1
lên mặt
3
4
1
phẳng có phương trình: x 2 y 3z 4 0 .
Bài tập 5 : Cho hai đường thẳng
2 x z 1 0
x 2 y 0
d1 :
3x z 12 0
và mặt phẳng
; d2 :
y
z
2
0
P : x y z 1 0 . Xác định tọa độ giao điểm của các hình chiếu vuông góc của hai đường
thẳng trên lên mặt phẳng P .
Bài tập 6 : Cho hai đường thẳng
d :
x 7 y 3 z 9
. Lập
1
2
1
x 2 y 2 z 1
và mặt phẳng
3
4
1
P : 3 x 2 y z 15 0 .
:
x 3 y 1 z
7
2
3
và
phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua .
Bài tập 7 : Cho đường thẳng d :
Xác định hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng P .
Bài tập 8 : Trong không gian oxyz cho đường thẳng d :
x 2 y 1 z 1
và mặt phẳng
2
3
5
(P) 2 x y z 8 0
a. Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của d trên (P)
b. Tìm phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua (P).
Bài tập 9 : Cho mặt phẳng (P) : 4 x 3 y 12 z 1 0 và mặt cầu (S) :
x2 y2 z2 2 x 4 y 6z 2 0
a. Chứng minh (P) cắt S theo giao tuyến là 1 đường tròn. Tìm tâm và bán kinh của đường tròn
đó.
3
Lớp VipA – Luyện thi trắc nghiệm Toán – 2017 – Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long
b. Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ tiếp
điểm của (Q) và (S).
Bài tập 10 : Cho A (1;2;3) , B( 1;3;4) và mặt phẳng (P) 2 x 3 y z 8 0 . Tìm tọa độ điểm M trên
(P) sao cho tổng MA + MB là nhỏ nhất.
4
