ÔN LUYỆN TRƯỚC KỲ THI
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA
Môn: TOÁN

BÀI 05

Bài 05: Tương giao của hàm phân thức bậc nhất

Bài tập tự luyện
x1
C  
2x  1
Tìm tham số m để đồ thị hàm số (C) cắt đường thẳng  : y  2m  x tại hai điểm phân biệt A, B

Bài toán 1: Cho hàm số: y 

sao cho độ dài đoạn thẳng AB  2.
Bài giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C  và    :

x 1
1
 2m  x  x    2x 2  4mx  2m  1  0 *
2x  1
2




 '  0


1
Để   C  A; B  * có 2 nghiệm phân biệt khác    1 2
1
2
2.    4m.  2m  1  0
2
2
  

    

 

4m 2  4m  2  0


1  3  1  3

 3
 m   ;
;  



2   2
 0


2


 

Khi đó,     C   A; B A x1;2m  x1  ; B x 2 ;2m  x 2 
Yêu cầu bài toán: AB  2 

x

2

 x1

  x
2

1

 x2



2



 2  2 x1  x 2  2  x1  x 2  1

x1  x 2  2m

Theo định lý Vi-et, ta có: 


x1.x 2 


2m  1
2





Ta có:



x1  x 2  1  x1  x 2



2

3

 1  x1  x 2
1
2

2

 


 4x 1 .x 2  1  2m

2

2m  1
 4.
 1  4m 2  4m  3  0 
2


3
m 
2

m   1

2

Kết luận: Vậy m   ;   để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt A, B sao
2

cho độ dài đoạn thẳng AB  2.


2x  2
C  
x1
Tìm tham số m để đồ thị hàm số (C) cắt đường thẳng d : y  2x  m tại hai điểm phân biệt A, B

Bài toán 2: Cho hàm số: y 


sao cho độ dài đoạn thẳng AB  5.
Đáp án: m  10; m  2

2x
C  
x1
Tìm tham số m để đường thẳng d : y  mx  m  2 cắt đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm phân biệt

Bài toán 3: Cho hàm số: y 

A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất.

Bài giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C  và d  :
2x
 mx  m  2 x  1  mx 2  2mx  m  2  0 *
x 1







 

Để d   C   A; B  * có 2 nghiệm phân biệt khác 1
m  0


  '  0

m.12  2m.1  m  2  0


m  0

2m  0  m  0
2  0


 

Khi đó, d   C   A; B A x1; mx1  m  2  ; B x 2 ; mx 2  m  2 



x 1  x 2  2
Theo định lý Vi-et, ta có: 
m 2
x 1 .x 2 

m

Ta có: AB 






m 2  1 x1  x 2



2







m 2  1  x 1  x 2




2

 4x 1 .x 2  






8 m2  1
m

8.2m

 16  4
m

Kết luận: Vậy ABMIN  4  m  1 .
2x  1
C  
x1
Tìm m để đường thẳng d : y  m  3x cắt (C) tại A, B, sao cho trọng tâm tam giác OAB nằm

Bài toán 4: Cho hàm số: y 

trên đường thẳng  : x  y  2  0.
Bài giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C  và d  :
2x  1
 m  3x x  1  3x 2  m  1 x  m  1  0 *
x 1












 


Để d   C   A; B  * có 2 nghiệm phân biệt khác 1
  0

 2

3.1  m  1 .1  m  1  0














2

 m  1  12 m  1  0
 m 2  10m  11  0 

3

0




 

Khi đó, d   C   A; B A x1; m  3x1  ; B x 2 ; m  3x 2 

m  11

m  1





x1  x 2

xA  xB  0
xG 
xG 

3
3
Gọi G là trọng tâm tam giác OAB . Khi đó, ta có: 

2
m
 3 x1  x 2
y

y


0
B
y  A
y 
G
G

3

3






m 1
x 1  x 2 
3  G  m  1 ; m  1 
Theo định lí Vi-et, ta có: 
3 
 9
x .x  m  1
 1 2
3

G  

m 1 m 1


 2  0  m  7 ( Thỏa mãn điều kiện )
9
3

 

Kết luận: Vậy m  7 để d   C   A; B thỏa mãn trọng tâm tam giác OAB nằm trên đường
thẳng  : x  y  2  0.
2x  1
C  
1 x
Tìm tham số m để đường thẳng d : y  m  2x cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt có

Bài toán 5: Cho hàm số: y 

7
2

hoành độ x1 , x2 sao cho x1 x2  4.( x1  x2 )  
Bài giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C  và d  :
2x  1
 m  2x x  1  2x 2  m  4 x  m  1  0 *
1x












 

Để d   C   A; B  * có 2 nghiệm phân biệt khác 1

  0
 2

2.1  m  4 .1  m  1  0










 m4

1  0





2





8 m 1  0



 m 2  8  0 m 




m4
x 1  x 2 
2

Theo định lí Vi-et, ta có: x .x  m  1
 1 2
2
7
2

Ta có: x1 x2  4.( x1  x2 )  
Kết luận: Vậy m  

m1

7
22
 2 m  4   m  
2
2
3

   



7
22
để d  C  A; B có hoành độ x1 , x2 sao cho x1 x2  4.( x1  x2 )  
2
3


x3
C  
x1
Tìm m để đường thẳng d : y  x  2m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương.

Bài toán 6: Cho hàm số: y 

Bài giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C  và d  :
x 3
 x  2m x  1  x 2  2mx  2m  3  0 *
x 1








Để d  cắt C  tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình *  phải có 2 nghiệm
 m  1

 '  0
m  2m  3  0
 m  3


 3

 m  0  m   1; 
phân biệt dương  x 1  x 2  0  2m  0
 2
x .x  0
 2m  3  0

3
 1 2

m 
2



2

 3
 2

Kết luận: Vậy m   1;  để d  cắt C  tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương.
x2
C  
x1
1
Tìm m để đường thẳng  : y   x  m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía so
2

Bài toán 7: Cho hàm số: y 

với trục tung.
Bài giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C  và    :
x 2
1
  x  m x  1  x 2  3  2m x  2m  4  0 *
x 1
2












Để    cắt C  tại 2 điểm phân biệt nằm về hai phía so với trục tung thì phương trình *  phải
có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
  0

2
  1  3  2m 1  2m  4  0 
x .x  0
 1 2

  

 

4m 2  4m  7  0

 m  2; 
m  2












 3  2m 2  4 2m  4  0

2  0
2m  4  0




Kết luận: Vậy m   2;   để    cắt C  tại 2 điểm phân biệt nằm về hai phía so với trục tung.
2x  1
C  
x1
Tìm m để đường thẳng  : y  2x  m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt nằm về hai nhánh

Bài toán 8: Cho hàm số: y 
khác nhau của đồ thị (C ).

Bài giải:


Xét phương trình hoành độ giao điểm của C  và    :
2x  1
 2x  m x  1  2x 2  m  4 x  m  1  0 *
x 1












Để    cắt C  tại 2 điểm phân biệt nằm về hai nhánh khác nhau của đồ thị C  thì phương trình

* phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1 và thỏa mãn: x
Nghĩa là: x  1x  1  0  x .x  x  x   1  0
1

2

1

2

1

1

 1  x2

2

  0

2

Vậy ta có hệ điều kiện sau: 2. 1  m  4 .1  m  1  0
x .x  x  x  1  0
1
2
 1 2

2
  0
 m  4  8 m 1  0

2


2. 1  m  4 .1  m  1  0  3  0
x .x  x  x  1  0
m  1 m  4
1
2


1  0
 1 2
 2
2

 


 

















m 2  24  0

( Luôn Đúng )
 3
  0
 2

Kết luận: Vậy với mọi tham số m thì    cắt C  tại hai điểm phân biệt nằm về hai nhánh khác
nhau của đồ thị (C ).
Bài toán 9: Tìm tham số m để đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị hàm số (C ) : y 
điểm phân biệt A, B sao cho OAB vuông tại O với O là gốc tọa độ.
Bài giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C  và d  :
2x  1
 x  m x  1  x 2  m  1 x  m  1  0 *

x 1











 

Để d   C   A; B  * có 2 nghiệm phân biệt khác 1

   
   

 m 1 2  4 m 1  0



2
1  m  1 .1  m  1  0



2


m  6m  5  0


1  0


 

Khi đó, d   C   A; B A x1; x1  m  ; B x 2 ; x 2  m 

m  5

m 1





x1  x 2  1  m

Theo định lí Vi-et, ta có: x1.x 2  m  1

Yêu cầu bài toán: OAB vuông tại O  OA  OB  OAOB
.
0
Ta có: OA  x1; x1  m  ;OB  x 2 ; x 2  m 












OAOB
.
 0  x1.x 2  x1  m x 2  m  0  2x1x 2  m x1  x 2  m 2  0









 2 m  1  m 1  m  m2  0  m 

2
3

2x  1
tại 2
x1


Kết luận: Vậy m 


2
để d cắt C
3

 

 

tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho OAB vuông tại O với O

là gốc tọa độ.
Bài toán 10: Cho hàm số: y 

2x  1
C  
x1

Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d : y  mx  1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
sao cho diện tích tam giác ABC bằng

3
, biết C(1; 1).
2

Bài giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của C  và d  :
2x  1
 mx  1 x  1  mx 2  m  3 x  0 *
x 1












 

Để d   C   A; B  * có 2 nghiệm phân biệt khác 1

m  0


0



m  0


m3








2

0

m





\ 0; 3

x  0

m  3

;m  2 
m  3  A 0; 1 ; B 
x 
 m


m

Nhận xét: mx 2  m  3  x  0  

S ABC 







   .AC  23  m  3  3  m  6 TM


1
.d B; AC
2

m  0 L


Kết luận: Vậy m  6 để d  cắt C  tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác
ABC

bằng

3
, biết C(1; 1).
2