CHƯƠNG 4:
SỰ TƯƠNG GIAO
•
•

4.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU
4.4. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC MẶT


4.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH
CHIẾU

4.3.1. PHÉP THAY MẶT PHẲNG HÌNH
CHIẾU:
•
•
•

-

a) Thay mặt phẳng hình chiếu bằng:
Giả sử ta có mặt phẳng hình chiếu P1, P2 (H. 4-17).
Thay mặt phẳng hình chiếu bằng là lấy mặt phẳng P2’ mới
vuông góc với P1 thay mặt phẳng P2. Kết quả của việc thay
mặt phẳng hình chiếu như vậy là ta có một đồ thức mới
mà trục hình chiếu là
x’ = P1 ∩P2’ và hướng đường dóng mới là hướng vuông góc
với x’. Từ hình 4-17 ta thấy rằng đối với một điểm A bất
kỳ, khi thay mặt phẳng hình chiếu bằng vị trí tương đối
của điểm A đối với P1 không có gì thay đổi, do đó:
Hình chiếu đứng A1 của A không thay đổi.

Độ xa của điểm A trong hệ thống hình chiếu mới bằng độ
xa của điểm A trong hệ thống hình chiếu cũ, tức là:
A2’AX = A2AX = AA1
Từ những nhận xét trên việc thay mặt phẳng hình chiếu
bằng cho điểm A bất kỳ được thực hiện bằng cách dễ dàng
(H. 4-18).
Biết cách lập đồ thức mới của một điểm khi thay mặt
phẳng hình chiếu bằng, ta suy ra cách thành lập đồ thức
mới đối với một đường thẳng hay đối với một mặt phẳng.


Ta xét một vài thí dụ:
• Thí dụ 1: Cho đoạn thẳng AB
(A1B1, A2B2). Thay mặt phẳng hình
chiếu bằng sao cho trong hệ thống
mới mặt phẳng hình chiếu mới AB
là đường bằng. (H. 4-19).
• Giải: Điều kiện ắt có và đủ để AB
là đường bằng A1B1 là phải song
song với trục hình chiếu. Do đó
chọn x’ // A1B1. Hình chiếu bằng
mới của đoạn thẳng là A2’B2’
(A2’Ax = A2Ax; B2’BX = B2BX). Dễ
dàng nhận thấy độ dài của A2’B2’
chính là độ dài của đoạn thẳng AB
và góc giữa A2’B2’ với x’ cũng là
góc giữa AB với mặt phẳng hình
chiếu đứng P1.



• Thí dụ 2: Cho mặt phẳng ABC. Thay
mặt phẳng hình chiếu bằng sao cho trong
mặt phẳng hình chiếu mới ABC là mặt
phẳng hình chiếu bằng (H. 4-20).
• Giải: Mặt phẳng P2’ phải chọn vừa
vuông góc với ABC vừa vuông góc với
P1 nên nó vuông góc với một đường mặt
của mặt phẳng ABC. Do đó trục hình
chiếu mới x’ phải vuông góc với hình
chiếu đứng của đường mặt của ABC.
Suy ra các bước vẽ:
• Vẽ một đường mặt bất kỳ của ABC, ví
dụ đường mặt AE.
• Vẽ x’⊥ A1E1.
• Hình chiếu bằng mới của ABC là
A2’B2’C2’. Ba điểm này thẳng hàng vì
trong hệ thống mặt phẳng hình chiếu
mới ABC là mặt phẳng chiếu bằng.
• Góc của A2’B2’C2’ với x’ chính là góc
nghiêng của ABC đối với P1.


• b) Thay mặt phẳng hình chiếu đứng:
• Tương tự như trên, khi thay mặt phẳng
hình chiếu đứng ta có (H.4-21):
- Hình chiếu bằng A2 của A không thay
đổi.
- Độ cao của điểm A trong hệ thống hình
chiếu mới bằng độ cao của điểm A
trong hệ thống hình chiếu cũ, tức là:

A1’Ax = A1Ax = AA2
• Từ đó, việc thay mặt phẳng hình chiếu
đứng cho điểm A bất kỳ được thực hiện
một cách dễ dàng (H. 4-22), và ta suy
ra cách thay mặt phẳng hình chiếu đứng
cho một đường thẳng hay một mặt
phẳng.


• Một vài thí dụ áp dụng:
• Thí dụ 1: Thay mặt phẳng
hình chiếu đứng để đường
bằng AB trở thành đường
thẳng chiếu đứng (H.4-23).
• Giải: Để đường bằng AB trở
thành đường thẳng chiếu đứng
phải chọn x’ vuông góc A2B2.
Hình chiếu đứng mới của AB
trùng thành một điểm, cách x’
một đoạn bằng độ cao của
đường bằng trong hệ thống
cũ.


• Thí dụ 2: Thay mặt phẳng
hình chiếu đứng để mặt phẳng
chiếu bằng ABC trở thành
mặt phẳng mặt (H.4-24).
• Giải: ABC trở thành mặt
phẳng mặt khi và chỉ khi

A2B2C2 song song với trục hình
chiếu.
• Do đó ta chọn x’ // A2B2C2. Vì
trong hệ thống mới mặt phẳng
ABC là mặt phẳng mặt nên
tam giác A1B1C1 bằng tam giác
ABC.


c) Thay liên tiếp các mặt phẳng hình chiếu:
• Như đã xét ở trên, bằng cách mặt phẳng hình chiếu
ta có thể đưa bài toán đang xét về dạng đặc biệt để
cách giải trở nên đơn giản hơn nhiều. Bằng cách
thay liên tiếp các mặt phẳng hình chiếu ta có thể đưa
đường thẳng thường trở thành đường thẳng chiếu
hoặc mặt phẳng thường thành mặt phẳng song song
với mặt phẳng hình chiếu. Điều này sẽ trợ giúp rất
nhiều trong việc giải các bài toán phức tạp, nhất là
các bài toán về lượng trong mặt phẳng.


• 4.3.2 PHÉP QUAY HÌNH
PHẲNG QUANH ĐƯỜNG
BẰNG HAY ĐƯỜNG MẶT
CỦA NÓ:
•

Dưới đây trình bày một phương pháp khác đưa mặt phẳng về vị
trí song song với mặt phẳng hình chiếu: phương pháp quay hình
phẳng quanh đường bằng hay đường mặt của nó.

• Trước hết ta nhắc lại khái niệm quay một điểm quanh một
đường thẳng:
• Quay một điểm M quanh đường thẳng d một góc có hướng là
thực hiện phép biến đổi sao cho:
1. ảnh M’ của M cùng với M nằm trong một mặt phẳng P vuông
góc với d.
2. Khoảng cách của M và M’ đến d bằng nhau: OM = OM’ (O là
giao điểm của P với d).
3. Góc MOM’ =
• Đường thẳng d α
gọi là trục quay. Khoảng cách OM từ M đến d
gọi là bán kính quay của điểm M (H.4-25).
• Quay một hình quanh đường thẳng d một góc là quay mọi điểm
của quanh d theo cùng một góc. Để quay một đường thẳng hay
một mặt phẳng quanh đường thẳng d một góc là quay hai điểm
của đường thẳng hay ba điểm của mặt phẳng quanh d theo cùng
một góc. Từ đó để quay một hình phẳng quanh đường bằng hay
đường mặt của nó ta chỉ cần quay một điểm của mặt phẳng ấy.


• Ta xét một vài thí dụ:
• Thí dụ 1: Cho mặt phẳng ABC có AB là
đường bằng. Hãy quay mặt phẳng ABC
quanh AB để Abc trở thành song song với
mặt phẳng hình chiếu bằng.
• Giải: Ta chỉ cần quay C quanh AB về vị trí
C’ sao cho ABC’ song song với P2. Để xác
định C’ ta dựa vào các điều kiện 1 và 2 của
phép quay một điểm quanh đường thẳng.
- Điểm C và điểm C’ nằm trong mặt phẳng

vuông góc với AB (điều kiện 1). Vì AB là
đường bằng nên mặt phẳng ấy là mặt phẳng
chiếu bằng. Do đó:
C2C2’ A2B2.
⊥
• Gọi O2 = C2C2’ ∩A2B2. O2 chính là hình
chiếu bằng của điểm O (O là giao điểm của
AB với mặt phẳng chiếu bằng chứa CC’).
• OC’ = OC (điều kiện 2). Từ điều kiện này
ta dễ dàng xác định được C2’ khi biết độ dài
của OC (H. 4-26).


•
•

Thí dụ 2: Vẽ trong mặt phẳng P (V1P, V2P)
một tam giác đều ABC. Cạnh AB của tam giác
cho trước (H. 4-27).
Giải: Để xác định đỉnh C ta gập mặt phẳng P,
chẳng hạn, vào mặt phẳng P2. Việc gập được
thực hiện bằng cách quay một điểm N bất kỳ
của P (trên đồ thức ta lấy N∈ V1P) quanh V2P
đến N’∈ P2. Cách xác định N’ thấy rõ trên hình
vẽ
(N’N2 ⊥V2P; O2N’ = O2N2*). Vết đứng V1P của
mặt phẳng gập thành
≡
V1’P PxN’. Điểm N’ còn có thể xác định với
chú ý rằng PxN1 = PxN’. Hình gập của AB là

A’B’, vẽ được bằng cách gắn nó lên đường
thẳng
∈ IK.
∈
∈
≡
Vì I V1P nên I’ V1P’; K V2P nên K K’.
Với A’B’ làm cạnh, ta dựng được tam giác
đều A’B’C’. A’B’C’ chính là hình gập của
tam giác ABC cần vẽ. Sau đó theo≡ C’≡xác định
C2 ∈
và C1. Chú ý∈
là C’B’ cắt V2P ở E’ E E2
nên C2 E2B2 và C1 E1B1.


4.4 SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA CÁC
MẶT
4.4.1. GIAO CỦA MẶT PHẲNG VỚI MẶT:
a) Giao của mặt phẳng với đa diện:
• Giao của mặt phẳng với đa diện thường là một hay nhiều đa
giác có cạnh là các giao tuyến của các mặt bên của đa diện
với mặt phẳng và có các đỉnh là các giao điểm của các cạnh
của đa diện với mặt phẳng.
• Để xác định giao của mặt phẳng với đa diện, ta có thể:
- Xác định các đỉnh của giao bằng cách tìm các giao điểm của
các cạnh của đa diện với mặt phẳng đã cho.
- Xác định các cạnh của giao bằng cách tìm các giao tuyến
của các mặt bên của đa diện với các mặt phẳng đã cho.



•
•
•
•
•

Thí dụ: Vẽ giao của mặt phẳng P với
mặt chóp cho trên hình vẽ 4-28.
Giải: Ta chỉ cần vẽ giao tuyến của các
mặt bên của đa diện với mặt phẳng đã
cho.
Thí dụ ta vẽ giao tuyến của mặt SAC
với mặt đã cho.
Để vẽ giao tuyến của mặt SAC với mặt
phẳng P, ta tìm giao điểm K của đường
thẳng SA với mặt phẳng P.
Theo hình vẽ ta có ngay giao điểm M
của cạnh AC với mặt phẳng cắt (vì biết
vết bằng AC của mặt phẳng SAC và
biết vết bằng của mặt phẳng cắt). MK
như vậy chính là giao tuyến của mặt
phẳng SAC với mặt phẳng cắt, từ đó ta
dễ dàng vẽ được đoạn KI là giao tuyến
của mặt bên SAC với mặt phẳng cắt.
Tương tự ta vẽ được đoạn IH là giao
tuyến của mặt bên SCB với mặt phẳng
đã cho và giao phải tìm là tam giác
KIH .



• b) Giao của mặt phẳng với mặt
cong:
• Nói chung giao của một mặt
phẳng với một mặt cong là một
đường cong phẳng và nếu mặt
cong là mặt đại số bậc n thì giao
của mặt phẳng với mặt đó là
một đường cong đại số bậc n.
• Muốn vẽ các điểm của giao một
mặt phẳng với một mặt cong
người ta thường làm như sau:
Vẽ một mặt phẳng phụ trợ cắt
mặt phẳng đã cho theo đường
thẳng g và cắt mặt cong theo
một đường l. Giao của g với l sẽ
thuộc giao phải tìm (H.4-29).
Dùng một số mặt phẳng phụ trợ
ta sẽ được một số điểm cần thiết
để vẽ giao phải tìm.


1. Giao của mặt phẳng với mặt cầu:
• Giao của mặt phẳng với mặt cầu là một
đường tròn.Hình chiếu của đường tròn này
trên các mặt phẳng hình chiếu sẽ là các elíp.
Các yếu tố xác định elíp được xác định theo
vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
• Thí dụ: Vẽ giao của mặt phẳng chiếu đứng
K với mặt cầu (H. 4-30).

• Giải: Giao phải tìm là đường tròn có tâm I
với I1 ≡ C1 ≡D1. Vì mặt phẳng cắt là mặt
phẳng chiếu đứng nên hình chiếu đứng của
giao là đoạn thẳng A1B1 thuộc hình chiếu
đứng K1 của mặt phẳng cắt. Biết hình chiếu
đứng của giao ta dễ dàng suy ra hình chiếu
bằng là một elíp có trục dài là C2D2 = A1B1
(với C1 ≡ D1 là điểm giữa của A1B1) và trục
ngắn là A2B2. Các giao điểm của đường tròn
vĩ tuyến chính với mặt phẳng cắt cho ta các
điểm ranh giới thấy khuất E, G của giao
trên hình chiếu bằng.


•
•
•
•
•

2. Giao của mặt phẳng với mặt nón:
Giao của mặt phẳng mặt nón có đáy là đường tròn sẽ là:
Một đường tròn , nếu mặt phẳng đã cho song song với mặt
phẳng đáy nón.
Một đường elíp, nếu mọi điểm của giao đều là những điểm
hữu hạn, tức là mặt phẳng đã cho phải cắt tất cả các đường
sinh của nón.
• Một parabôn nếu giao có một và chỉ một ở vô tận, tức là
mặt phẳng đã cho song song với một và chỉ một đường sinh
của nón.

• Một hypecbôn nếu giao có hai điểm ở vô tận, tức là mặt
phẳng đã cho song song với hai đường sinh của nón.
• Hai đường sinh khác nhau nếu mặt phẳng đi qua đỉnh của
nón và cắt đáy nón ở hai điểm.


• Thí dụ: Vẽ giao của mặt phẳng
chiếu đứng K với mặt nón tròn
xoay đỉnh S (H. 4-31).
• Giải: Theo hình đã cho ta dễ nhận
thấy rằng mặt phẳng chiếu đứng
K cắt tất cả các đường sinh của
nón. Vậy giao phảI tìm là một
đường elíp. Hình chiếu đứng của
elíp này là một đoạn thẳng thuộc
K1. Hình chiếu bằng của elíp được
vẽ bằng cách tìm một số điểm của
giao tuyến thuộc các đường sinh
và các đường tròn thuộc mặt nón.


• 3. Giao của mặt phẳng với mặt trụ:
• Giao của mặt phẳng với mặt trụ đáy tròn sẽ là:
• Một đường tròn nếu mặt phẳng đã cho song song
với đáy trụ.
• Một elíp nếu mặt phẳng đã cho không song song với
đáy trụ.
• Hai đường thẳng khác nhau nếu mặt phẳng cắt song
song với đường sinh của trụ và cắt đáy trụ tại hai
điểm khác nhau.



• Thí dụ: Vẽ giao tuyến của mặt
phẳng K cho bằng vết với mặt trụ
có đường chuẩn tròn cho như
hình 4-32.
• Giải: Để tìm các giao điểm của
các đường sinh của trụ với mặt
phẳng cắt K ta thay mặt phẳng
hình chiếu đứng để mặt phẳng K
đã cho trở thành mặt phẳng chiếu
đứng. Từ hình chiếu đứng mới
V1'K ta biết ngay dạng của giao.
Theo hình vẽ ta dễ dàng thấy
rằng mặt phẳng K cắt trụ theo
một elíp. Hình chiếu đứng mới
của elíp này là đoạn thẳng A1'B1'
thuộc V1'K.Có hình chiếu đứng
mới ta suy ra hình chiếu bằng và
hình chiếu đứng của elíp cần tìm.
Ta cũng thấy rằng B, A là các
điểm cao nhất, thấp nhất của
giao.


4. Giao của mặt phẳng với mặt tròn xoay:
Giao của mặt phẳng với mặt tròn xoay sẽ là:
- Một đường kinh tuyến nếu mặt phẳng cắt đi qua
trục.
- Một đường vĩ tuyến nếu mặt phẳng cắt vuông góc

với trục.
- Một elíp nếu mặt phẳng cắt xiên góc với trục.


• Thí dụ: Vẽ giao của mặt
phẳng P với mặt elípxôít
tròn xoay cho như ở hình
4-33.
• Giải: Vì mặt phẳng cắt
không vuông góc với trục
của mặt tròn xoay nên
giao là một đường elíp.
• Ta tìm các điểm của
đường elíp giao bằng
cách tìm giao điểm của
các vĩ tuyến và các kinh
tuyến của mặt tròn xoay
với mặt phẳng đã cho.


4.4.2 GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT:
a) Giao của đường thẳng với đa diện:
Muốn tìm giao của một đường thẳng với một đa
diện, người ta thường dùng phương pháp mặt phẳng
phụ trợ. Nội dung phương pháp đó như sau:
- Qua đường thẳng đã cho dựng một mặt phẳng gọi là
mặt phẳng phụ trợ.
- Tìm giao của mặt phẳng phụ trợ với đa diện đã cho.
Giao này gọi là giao phụ.
- Tìm tập hợp các giao điểm của đường thẳng đã cho

với giao phụ. Tập hợp đó chính là giao phải tìm.


• Thí dụ: Vẽ giao của đường
thẳng l với tứ diện ABCD
(H. 4-34).
• Giải: Ta thực hiên như sau:
• Dựng qua l mặt phẳng chiếu
đứng K.
• Vẽ giao của K với tứ diện,
được giao phụ g là tứ giác
MNPQ.
• Vẽ giao của g với đường
thẳng đã cho. Theo hình vẽ
giao phải tìm là hai điểm K,
H.
• Theo hình vẽ , trên hình chiếu
đứng điểm H thấy, điểm K
khuất. Trên hình chiếu bằng
các điểm K, H đều thấy.


b) Giao của đường thẳng với mặt cong:
• Muốn tìm giao của một đường thẳng l với một mặt
cong người ta thường dùng phương pháp mặt phẳng
phụ trợ. Nội dung phương pháp đó như sau :
- Qua đường thẳng đã cho l dựng một mặt phẳng phụ
trợ K.
- Vẽ giao g của K với mặt đã cho, giao g được gọi là
giao phụ.

- Tìm các giao điểm của g với l, tập hợp các giao
điểm này chính là giao phải tìm.


•
•

•

•

1. Giao của đường thẳng với mặt cầu:
Ta đã biết mọi mặt phẳng đều cắt mặt cầu theo một
đường tròn. Vấn đề là chọn mặt phẳng phụ trợ thế
nào để việc vẽ giao của đường thẳng với đường tròn
phụ được đơn giản.Người ta thường chọn mặt
phẳng phụ trợ là mặt phẳng chiếu hay mặt phẳng đi
qua tâm mặt cầu.
Trên hình 4-35, để tìm giao của l với mặt cầu ta
chọn mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng chiếu đứng K
chứa l. Hình chiếu đứng K1 trùng với l1. Để tìm các
giao điểm của l với đường tròn phụ v ta dùng
phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu bằng. Mặt
phẳng hình chiếu bằng mới được chọn trùng với
mặt phẳng phụ trợ. Dựa vào các hình chiếu bằng
mới của l và đường tròn v, ta dễ dàng vẽ được các
giao điểm H, K của l với v. Các giao điểm đó là các
giao phải tìm.
Trên hình chiếu bằng điểm H thấy, điểm K khuất.
Trên hình chiếu đứng điểm H thấy, điểm K khuất.