ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

LÝ THUYẾT VÀ PHÂN DẠNG BÀI TẬP
ĐẠI SỐ 10

CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP
CHƯƠNG II. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
CHƯƠNG III. PT. HPT
CHƯƠNG IV. BĐT. BPT
CHƯƠNG V. THỐNG KÊ
CHƯƠNG VI. LƯỢNG GIÁC

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Tập hợp:
 Tập hợp là một khái niệm toán học, thường đặt tên bởi các chữ cái in hoa. Ví dụ
tập hợp A là tập hợp các chữ cái a, b, c. Để chỉ a là một phần tử của A, ta kí hiệu:
a  A đọc là a thuộc A.
Để chỉ e không chứa trong tập A, ta kí hiệu: e  A đọc là e không thuộc A hay

e không là phần tử của A.
 Các phần tử của một tập hợp thường được viết trong hai dấu ngoặc nhọn "{" và
"}", cách nhau bởi dấu ";" (nếu có phần tử là số) hoặc dấu ",".
 Có hai cách viết một tập hợp:
 Liệt kê các phần tử của tập hợp:
Ví dụ: Tập hợp B là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 5 được viết: B = {0, 1, 2, 3, 4}.
 Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó.
Ví dụ: Tập hợp B là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 5 được viết: B={x  Nx < 4},
trong đó N là tập số tự nhiên.
A
 Tập hợp còn được minh họa bằng một vòng kín (gọi là giản
c
b
đồ Ven)
a
 Một tập hợp có thể có một phần tử, có hiều phần tử, có vô số phần tử, cũng có
thể không có phần tử nào.
Ví dụ: C = {x}
D = {1; 2; 3; ...; 100}
E = {2; 4; 6; 8; ...}
Tập hơp không có phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu .
2. Tập hợp con:
Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập
B
A
A gọi là tập hợp con của tập hợp B.
Ví dụ: Tập hợp A = {2; 4; 6; 8} là con của tập hợp B = {1; 2;
3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
3. Các tập hợp số thường sử dụng:
N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}

N* = {1; 2; 3; 4; ...}
Z: tập hợp số nguyên.
Q: Tập hợp số hữu tỷ.
R: Tập hợp số thực.
9

7

5

3

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

4

1

2

10

6

8

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10


www.TOANTUYENSINH.com

§1. MỆNH ĐỀ
I- MỆNH ĐỀ. MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN:
1. Mệnh đề:
 Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.
 Một câu khẳng định đúng là một mệnh đề đúng.
Một câu khẳng định sai là một mệnh đề sai.
 Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
* Chú ý: Người ta thường dùng các chữ cái in hoa P, Q, ... để kí hiệu cho một mệnh
đề nào đó. Ví dụ: Cho mệnh đề P:"4 là một số chẵn".
2. Mệnh đề chứa biến:
Xét câu: "n chia hết cho 3", đây chưa phải là một mệnh đề vì ta không khẳng
đònh được tính đúng sai của nó.
 Khi n = 4 ta được "4 chia hết cho 3" là một mệnh đề sai.
 Khi n = 15 ta được "15 chia hết cho 3" là một mệnh đề đúng.
Ta gọi P(n): "n chia hết cho 3" là một mệnh đề chứa biến.
II- PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ:
Cho mệnh đề P. Mệnh đề "không phải P" được gọi là mệnh đề phủ định của P và
kí hiệu P . Ta có: P đúng khi P sai, P sai khi P đúng.
III- MỆNH ĐỀ KÉO THEO:
Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề " Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo,
kí hiệu P  Q
Mệnh đề P  Q được phát biểu là " P kéo theo Q" hay "Từ P suy ra Q" hay " Vì
P nên Q".
Mệnh đề P  Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.
Các đònh lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P  Q . Khi đó ta
nói:
P là giả thiết, Q là kết luận của đònh lí;

P là điều kiện đủ để có Q;
Q là điều kiện cần để có P.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

IV- MỆNH ĐỀ ĐẢO - HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG:
Mệnh đề Q  P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P  Q .
Nếu cả hai mệnh đề P  Q và Q  P đều đúng ta nói P và Q là hai mệnh đề
tương đương. Khi đó ta kí hiệu P  Q (đọc P tương đương Q hoặc P là điều kiện cần
và đủ để có Q hoặc P khi và chỉ khi Q).
Mệnh đề P  Q đúng khi cả P và Q cùng đúng hoặc cùng sai và sai trong các
trường hợp còn lại.
V- KÍ HIỆU  VÀ  :(được sử dụng trong các mệnh đề chứa biến)
1. Mệnh đề chứa kí hiệu , :
 Kí hiệu:  (đọc là "với mọi").
 Kí hiệu:  (đọc là "có một" (tồn tại một) hay "có ít nhất một" (tồn tại ít nhất một)).
 Mệnh đề:
 "Với mọi x thuộc X sao cho P(x)" kí hiệu là " x  X : P( x) "(*)
(*) đúng nếu với bất kì x0  X ta có P(x0) là mệnh đề đúng.
(*) sai nếu có một x0  X sao cho P(x0) là mệnh đề sai.
 "Tồn tại x thuộc X sao cho P(x)" kí hiệu là " x  X : P( x) "(**)
(**) đúng nếu có ít nhất một x0  X ta có P(x0) là mệnh đề đúng.
(**) sai nếu với bất kì x0  X sao cho P(x0) là mệnh đề sai.
2. Phủ đònh của mệnh đề chứa các kí hiệu , :

 Phủ đònh của mệnh đề" x  X : P( x) " là mệnh đề " x  X : P( x) "
 Phủ đònh của mệnh đề" x  X : P( x) " là mệnh đề " x  X : P( x) "

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

1. Mệnh đề
 Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.
 Một mệnh đề khơng thể vừa đúng, vừa sai.
2. Mệnh đề phủ định
Cho mệnh đề P.
 Mệnh đề "Khơng phải P" đgl mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P .
 Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

3. Mệnh đề kéo theo
Cho hai mệnh đề P và Q.
 Mệnh đề "Nếu P thì Q" đgl mệnh đề kéo theo và kí hiệu là
 Mệnh đề P  Q chỉ sai khi P đúng và Q sai.
Chú ý: Các định lí toán học thường có dạng P  Q.
Khi đó:
– P là giả thiết, Q là kết luận;
– P là điều kiện đủ để có Q;
– Q là điều kiện cần để có P.


P  Q.

4. Mệnh đề đảo
Cho mệnh đề kéo theo PQ. Mệnh đề QP đgl mệnh đề đảo của mệnh đề PQ.
5. Mệnh đề tương đương
Cho hai mệnh đề P và Q.
 Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" đgl mệnh đề tương đương và kí hiệu là P  Q.
 Mệnh đề P  Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh để P  Q và Q  P đều
đúng.
Chú ý: Nếu mệnh đề P  Q là một định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để
có Q.
6. Mệnh đề chứa biến
Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X
nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.
7. Kí hiệu  và 
 "x  X, P(x)"
 "x  X, P(x)"
 Mệnh đề phủ định của mệnh đề "x  X, P(x)" là "x  X, P(x) ".
 Mệnh đề phủ định của mệnh đề "x  X, P(x)" là "x  X, P(x) ".
8. Phép chứng minh phản chứng
Giả sử ta cần chứng minh định lí: A  B.
Cách 1: Ta giả thiết A đúng. Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết
chứng minh B đúng.
Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai. Do
A không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là B phải đúng.
9. Bổ sung
Cho hai mệnh đề P và Q.
 Mệnh đề "P và Q" đgl giao của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P  Q.
 Mệnh đề "P hoặc Q" đgl hợp của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P  Q.

P Q  P Q ,
P Q  P Q .
 Phủ định của giao, hợp hai mệnh đề:

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

§2. TẬP HỢP
I- KHÁI NIỆM TẬP HP:
1. Tập hợp và phần tử:
 Tập hợp (còn gọi là tập) là khái niệm cơ bản của Toán học.
 Để chỉ a là phần tử của tập A, ta viết a  A (đọc a thuộc A).
 Để chỉ b không là một phần tử của tập A, ta viết b  A (b không thuộc A).
2. Cách xác đònh tập hợp:
 Liệt kê các phần tử của nó (viết các phần tử của nó trong hai dấu móc{...}).
 Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.
 Người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình
phẳng được bao quanh bởi một đường kín gọi là
biểu đồ Ven.

B

3. Tập hợp rỗng:
 Tập hợp rỗng, kí hiệu là , là tập hợp không chứa phần tử nào.

 Nếu A không phải là tập rỗng thì A chứa ít nhất một phần tử:
A    x : x  A .
II- TẬP HP CON:
Nếu mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập B thì ta nói A là tập hợp con
của B và viết A  B (đọc là A chứa trong B). A  B ta cũng viết B  A (đọc B chứa
A hay B bao hàm A). Như vậy:
A  B  x : x  A  x  B )
A không phải là một tập con của B ta viết A  B .
Ta có:
A  B  x : x  A và x  B
A

B

AB

B
A

AB
Tính chất:
a) A  A với mọi tập hợp A.
b) Nếu A  B và B  C thì A  C.
c)   A với mọi tập hợp A.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

C
B
A


SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

III- TẬP HP BẰNG NHAU:
Khi A  B và B  A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết A = B.
Như vậy: A = B  (x : x  A  x  B) .

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

1. Tập hợp
 Tập hợp là một khái niệm cơ bản của tốn học, khơng định nghĩa.
 Cách xác định tập hợp:
+ Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc { … }.
+ Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp.
 Tập rỗng: là tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu .
2. Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau
 A  B   x  A  x  B 
+ A  A, A
+   A , A
+ A  B, B  C  A  C
 A  B   A  B và B  A 

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ



ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

§3. CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP
I- GIAO CỦA HAI TẬP HP:
Tập C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của A và B.
Kí hiệu: C = AB.
 A  B = {x  x A và x  B}.
x  A
x  B

 x A B  

A

B

II- HP CỦA HAI TẬP HP:
Tập C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B. Kí
hiệu: C = AB.
 A  B = {x  x A hoặc x  B}.
x  A
x  B

 x A B  

A


B

III- HIỆU VÀ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HP:
Tập C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gọi là hiệu của A và B. Kí
hiệu: C = A\B.
 A\ B = {x  x  A và x  B}
x  A
x  B

 x A\ B  

A

B

* Đặc biệt:
Khi B  A thì A\B gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu C AB .

B
A

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com


§4. CÁC TẬP HỢP SỐ
I- CÁC TẬP HP SỐ ĐÃ HỌC:
1. Tập hợp các số tự nhiên N:
N = {0, 1, 2, 3, ...}
N* = {1, 2, 3, ...} = N\{0}.
2. Tập hợp các số nguyên Z:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
3. Tập hợp số hữu tỉ Q:
a
b

Q = {a,b  Z , (b  0)} với

a
b

là phân số tối giản.

Số hữu tỉ được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
* Công thức đổi số thập phân sang số hữu tỉ: n,(a1a2...an) = n +

a1 a 2 ...a n
10 n  1

4. Tập hợp các số thực R:
Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ.
Tập hợp các số thực R gồm: các số hữu tỉ và các số vô tỉ.
Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số và ngược lại.
-


2

-2

-1

3

1

0

2

âm vô
cực

(-, + chỉ là kí hiệu - không phải là một số)
Ta có quan hệ: N  Z  Q  R

2

+
dương
vô cực

II- CÁC TẬP HP CON THƯỜNG DÙNG CỦA R:
1. Khoảng:
(a; b) = {x  R, a < x < b}


(
a

(a;   ) = {x  R, a < x}

(
a

)
b

)
b

(  ; b) = {x R, x < b}

R = (  ;   ). Mọi số thực R có thể viết: - < x < +
2. Đoạn:
[a; b] = {x  R, a  x  b}
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

[
a

]
b

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ



ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

3. Nöûa khoaûng:
[a; b) = {x  R, a  x < b}

[
a

)
b

(a; b] = {x  R, a < x  b}

(
a

]
b

[a;   ) = {x  R, a  x}

[
a

(  ; b] = {x R, x  b}

]

b

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
Một số tập con của tập hợp số thực

N*  N  Z  Q  R

Khoảng: (a; b)   x  R a  x  b ; (a; )   x  R a  x ; (; b)   x  R x  b
[a; b]   x  R a  x  b

Đoạn:
[a; b)   x  R a  x  b ;
(a; b]   x  R a  x  b ;

Nửa khoảng:
[a; )   x  R a  x ;
(; b]   x  R x  b

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

§5. SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ.
I- SỐ GẦN ĐÚNG:
Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các số gần đúng.

II- SAI SỐ TUYỆT ĐỐI:
1. Sai số tuyệt đối của một số gần đúng:
Nếu a là số gần đúng của số đúng a thì  a  a  a được gọi là sai số tuyệt đối
của số gần đúng a.
2. Độ chính xác của một số gần đúng:
Nếu  a  a  a  d thì -d  a - a  d hay a - d  a  a + d. Ta nói a là số gần
đúng của a với độ chính xác d, và quy ước viết gọn là a = a  d.
* Chú ý: Sai số tuyệt đối của số gần đúng nhận được trong một phép đo đạc
đôi khi không phản ánh đầy đủ tính chính xác của phép đo đó.
III- QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG
1. Ôn tập quy tắc làm tròn số:
Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ số bên phải
nó bởi chữ số 0.
Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên,
nhưng cộng thêm một đơn vò vào chữ số của hàng quy tròn.
2. Cách viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính độ chính xác
cho trước:
Ví dụ: Hãy viết số quy tròn của số gần đúng biết:
a) a = 2841275 với độ chính xác d = 300;
b) 3,1463  0,001.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com


CHƯƠNG II. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Mặt phẳng tọa độ:
y
6
5

 Hãy xác đònh tọa độ các điểm A,
B, C, D, E, F trên hình vẽ.
 Hãy vẽ các điểm P(1; 5), Q(5; -2),
R(-4; -6), S(-2; 5), T(0; 4), S(-5; 0) trên
mặt phẳng tọa độ.

4

A

B

3
2
1

-5

-4

-3


-2

-1

O

1

3

2

4

5

x

D

-1
-2

E

-3

F -4

C


-5
-6

2. Hàm số y = ax2(a ≠ 0):
 Khi a > 0: Hàm số nghòch biến trên (-; 0), đồng biến trên (0; +).
Bảng biến thiên:
x

-
+

y

y

0

+
+

0

x
O

 Khi a < 0: Hàm số đồng biến trên (-; 0), nghòch biến trên (0; +).
Bảng biến thiên:
x


-

y

-

y

O

0
0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

x

+
-

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

§1. HÀM SỐ
I- ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ:
1. Hàm số. Tập xác đònh của hàm số:

Nếu với mỗi giá trò của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trò tương ứng của
y thuộc tập số thực R thì ta có một hàm số.
Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x.
Tập hợp D được gọi là tập xác đònh của hàm số.
2. Cách cho hàm số:
a) Hàm số cho bằng bảng:
Ví dụ: Qng đường đi được y (tính bằng km) và thời gian x kể từ lúc xuất
phát (tính bằng giờ) của một xe khách được ghi trong bảng sau:
x
y

1
2

1

3
2

2

5
2

3

7
2

4


15 35 55 73 98 118 143 160

b) Hàm số cho bằng biểu đồ:

Ví dụ: Tỉ lệ học sinh đỗ Đại học - Cao
đẳng của một trường THPT từ năm 2004
đến 2007 được cho bởi biểu đồ:

c) Hàm số cho bằng công thức:
 Hàm số cho bởi công thức có dạng: y = f(x), trong đó f(x) là một biểu
thức chứa biến x.
 Tập xác đònh của hàm số y = f(x) là D = {x  R  f(x) có nghĩa}
Với mỗi giá trị x0D, giá trị tương ứng y0=f(x0) được gọi là giá trị của hàm số tại x=x0.

 Chú ý: Một hàm số có thể xác đònh bởi hai, ba, ...công thức.
3. Đồ thò của hàm số:
Đồ thò của hàm số y = f(x) xác đònh trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M(x;
f(x)) trên mặt phẳng tọa độ với mọi x thuộc D.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

II- SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
1. Ôn tập:

Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a; b), nếu  x1, x2  (a; b)
 x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên (a; b).
 x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x) được gọi là nghòch biến trên (a; b).
2. Bảng biến thiên:
Để diễn tả hàm số nghòch biến trên khoảng (a; b), ta vẽ mũi tên đi xuống.
Để diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) ta vẽ mũi tên đi lên.
Nhìn vào bảng biến thiên, ta sơ bộ hình dung được đồ thò hàm số (đi lên trong
khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào).
* Nhận xét: Khi x > 0 nhận các giá trò túy ý ta nói x dần tới +, khi x < 0 và x
nhận các giá trò tùy ý ta nói x dần tới -. Khi x dần tới + hay - thì x2 dần tới +.
III- TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ
1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ:
Hàm số y = f(x) với tập xác đònh D.
 là hàm số chẵn nếu  x  D thì -x D và f(-x) = f(x).
 là hàm số lẻ nếu  x  D thì -x  D và f(-x) = -f(x).
* Chú ý: Một hàm số không nhất thiết phải là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ.
2. Đồ thò của hàm số chẵn, hàm số lẻ:
 Đồ thò của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
 Đồ thò của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
y

y

y = x3

y=x

2

x

O

x
O

Đồ thò hàm số chẵn: y = x2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

Đồ thò hàm số lẻ: y = x3

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP

1. Định nghĩa
 Cho D  R, D  . Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi
số x  D với một và chỉ một số y  R.
 x đgl biến số (đối số), y đgl giá trị của hàm số f tại x. Kí hiệu: y = f(x).
 D đgl tập xác định của hàm số.
 T = y  f ( x) x  D đgl tập giá trị của hàm số.

2. Cách cho hàm số
 Cho bằng bảng
 Cho bằng biểu đồ

 Cho bằng công thức y = f(x).
Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu
thức f(x) có nghĩa.
3. Đồ thị của hàm số
Đồ thị của hàm số y = f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm
M  x; f ( x )  trên mặt phẳng toạ độ với mọi x  D.
Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số y = f(x) là một đường. Khi đó ta nói y
= f(x) là phương trình của đường đó.
4. Sư biến thiên của hàm số
Cho hàm số f xác định trên K.
 Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu x1, x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
 Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu x1, x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
5. Tính chẵn lẻ của hàm số
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.
 Hàm số f đgl hàm số chẵn nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = f(x).
 Hàm số f đgl hàm số lẻ nếu với x  D thì –x  D và f(–x) = –f(x).
Chú ý:
+ Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

VẤN ĐỀ 1: Tìm tập xác định của hàm số


 Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) là tìm tất cả những giá trị của biến số x

sao cho biểu thức f(x) có nghĩa: D =  x  R f ( x ) coù nghóa .
 Điều kiện xác định của một số hàm số thường gặp:
1) Hàm số y =

P( x )
:
Q( x )

Điều kiện xác định: Q(x)  0.

2) Hàm số y = R( x ) :
Điều kiện xác định: R(x)  0.
Chú ý:
+ Đôi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau.
+ Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là A  D.
+ A.B  0   A  0 .
B  0

VẤN ĐỀ 2: Xét sự biến thiên của hàm số
Cho hàm số f xác định trên K.
 y = f(x) đồng biến trên K  x1, x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )



x1, x2  K : x1  x2 

 y = f(x) nghịch biến trên K 



f ( x2 )  f ( x1 )
x2  x1

0

x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )

x1, x2  K : x1  x2 

f ( x2 )  f ( x1 )
x2  x1

0

VẤN ĐỀ 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số
Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta tiến hành các bước như sau:
 Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không.
 Nếu D là tập đối xứng thì so sánh f(–x) với f(x) (x bất kì thuộc D).
+ Nếu f(–x) = f(x), x  D thì f là hàm số chẵn.
+ Nếu f(–x) = –f(x), x  D thì f là hàm số lẻ.
Chú ý:
+ Tập đối xứng là tập thoả mãn điều kiện: Với x  D thì –x  D.
+ Nếu x  D mà f(–x)   f(x) thì f là hàm số không chẵn không lẻ.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ



ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

§2. HÀM SỐ y=ax+b
I- ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax+b (a  0)
TXĐ: D = R
Chiều biến thiên:
Với a > 0 hàm số đồng biến trên R.
Với a < 0 hàm số nghòch biến trên R.
Bảng biến thiên:
a>0

a<0

x -

+
+

y -

x
y

-
+

+

-

Đồ thò: Đồ thò hàm số y = ax + b là một đường thẳng đi qua hai điểm A(0; b);
B(

b
;0 )
a
y

y
y = ax

y = ax

O

x

x
O
y = ax + b

y = ax + b

II- HÀM SỐ HẰNG y = b
Đồ thò hàm số y = b là một đường
thẳng song song hoặc trùng với trục
hoành và cắt trục tung tại điểm (0; b).
Đường thẳng này gọi là đường thẳng

y = b.
* Đặc biệt: Khi b = 0 ta có đường
thẳng y = 0 là phương trình của trục
hoành.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

y

b

y=b
x

O

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

III- HÀM SỐ y = x
 Tập xác đònh: D = R
 x khi x  0

Ta có: y = x = 
 x khi x  0
 Chiều biến thiên: Hàm số y = x nghòch biến trên khoảng (-  ;0) và đồng biến

trên khoảng (0;+  ).
 Bảng biến thiên:
x -
+
y

0

+
+

0

 Đồ thò:
Trong nửa khoảng [0; +  ) đồ thò của hàm số y = x

y

trùng với đồ thò của hàm số y = x.
Trong khoảng (-  ; 0) đồ thò của hàm số y = x
trùng với đồ thò của hàm số y = -x
* Chú ý: Hàm số y = x là hàm số chẵn, đồ

1
-1

O

1


x

thò của nó nhận Oy làm trục đối xứng.

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
1. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a  0)
 Tập xác định: D = R.
 Sự biến thiên: + Khi a > 0, hàm số đồng biến trên R.
+ Khi a < 0, hàm số nghịch biến trên R.
 Đồ thị là đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục tung tại điểm B(0; b).
Chú ý: Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d): y = ax + b:
+ (d) song song với (d)  a = a và b  b.
+ (d) trùng với (d)  a = a và b = b.
+ (d) cắt (d)  a  a.
2. Hàm số y  ax  b (a  0)

ax  b
y  ax  b  
(ax  b)


b
a
b
khi x  
a
số y  ax  b
khi x  

Chú ý: Để vẽ đồ thị của hàm

ta có thể vẽ hai đường thẳng y=ax+ b
và y = –ax – b, rồi xố đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hồnh.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

§3. HÀM SỐ BẬC HAI
Hàm số bậc hai cho bởi công thức y = ax2 + bx + c (a  0) có tập xác đònh D = R.
I- ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI
1. Nhận xét:
a) Hàm số y = ax2 hay parabol y = ax2(a  0; b = c = 0) có đỉnh O(0; 0) và có
trục tung là trục đối xứng (đường thẳng x = 0). Khi đó:
 a > 0: điểm O(0; 0) là điểm thấp nhất của đồ thò và y  0 với mọi x.
 a < 0: điểm O(0; 0) là điểm thấp nhất của đồ thò và y  0 với mọi x.
y

y

O

x

x
O


a<0

a>0
b) Hàm số y = ax2 + bx + c (a  0): y=ax2+bx+c=a(x +
Điểm I (

b 
;
)
2a 4a

b 2
)
2a

+


4a

,  = b2-4ac

thuộc đồ thò hàm số y = ax2 + bx + c (a  0) và đóng vai

trò như đỉnh O(0; 0) của parabol y = ax2.
2. Đồ thò: Đồ thò hàm số y = ax2 + bx + c là một parabol có đỉnh là điểm
I (

b 

;
) , có
2a 4a

trục đối xứng là đường thẳng x = 

b
.
2a

Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, quay bề lõm xuống dưới nếu a < 0.
3. Cách vẽ parabol y = ax2 + bx + c (a  0):
 Xác đònh tọa độ của đỉnh I (
 Vẽ trục đối xứng x = 

b 
;
).
2a 4a

b
.
2a

 Xác đònh tọa độ các giao điểm của parabol với các trục tọa độ:
Giao với trục tung: x = 0  y = c
Giao với trục hoành: y = 0  ax2+bx+c=0, giải phương trình tìm x (nếu có).
 Vẽ parabol.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com
y

y
-

O

-

-

b
2a

x

-

b

4a

x


O

2a

4a

a>0

a<0

II- CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI
Bảng biến thiên:
a>0
a<0
x -
y

+



b
2a


4a

+
+


x -
y

b
2a

4a

+



-

-

Đònh lí:
 Nếu a > 0 thì hàm số y = ax2 + bx + c nghòch biến trên (-  ; 
trên ( 

đồng biến

b
;+  ).
2a

 Nếu a < 0 thì hàm số y = ax2 + bx + c đồng biến trên (-  ; 
trên ( 


b
),
2a

b
),
2a

nghòch biến

b
;+  ).
2a

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

CHƯƠNG III. PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:
1. Nghiệm của đa thức:
Nghiệm của đa thức f(x) = a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + ... + an-1x + an là số x = x0 làm
cho đa thức bằng 0.

2. Giá trò tuyệt đối:
 A nếu A  0
A 
 A nếu A  0

3. Hai quy tắc biến đổi phương trình:
 Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và
đổi dấu hạng tử đó.
 Trong một phương trình, ta có thể nhân hoặc chia cả hai vế cho cùng một số
khác 0.
4. Phương trình bậc nhất ax + b = 0 (a ≠ 0) và phương trình đưa về dạng ax + b:
b
a

 Phương trình: ax + b = 0  ax = -b  x = - .
5. Phương trình tích:
A(x).B(x) = 0  A(x) = 0 hoặc B(x) = 0.
6. Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
7. Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0):
Nêu cách giải phương trình bậc hai và các trường hợp nghiệm đặc biệt?

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com


§1. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

I- KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương trình một ẩn:
 Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng: f(x) = g(x) (1) trong đó
f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là vế phải của
phương trình (1).
 Nếu có số thực x0 sao cho f(x0) = g(x0) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là
một nghiệm của phương trình (1).
 Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghóa là tìm tập
nghiệm của nó).
 Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm
(hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).
2. Điều kiện của một phương trình:
Điều kiện xác đònh của phương trình (1) là điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có
nghóa.
3. Phương trình nhiều ẩn:
Đó là phương trình có dạng F(x, y, z,...) = G(x, y, z, ...), trong đó F(x, y, z,...)
và G(x, y, z, ...) là những biểu thức của nhiều biến.
Nếu phương trình hai ẩn x và y trở thành mệnh đề đúng khi x = x 0 và y = y0
(với x0, y0 là số) thì ta gọi cặp số (x0, y0) là một nghiệm của nó.
Khái niệm nghiệm của phương trình ba ẩn, bốn ẩn, … cũng được hiểu tương tự.
4. Phương trình chứa tham số:
Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ cái đóng vai trò
ẩn số còn có các chữ cái khác được xem như hằng số và được gọi là tham số.
Việc giải phương trình chứa tham số thường được gọi là giải và biện luận
phương trình.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309


SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

II- PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
1. Phương trình tương đương:
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
2. Phép biến đổi tương đương:
Đònh lý:
Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm
thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phép biến đổi mới tương đương.
 Cộng hay trừ hai vế phương trình với cùng một số hoặc một biểu thức;
 Nhân hoặc chia hai vế phương trình với cùng một số khác 0 hoặc với
cùng một biểu thức luôn có giá trò khác 0.
* Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép
cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.
Kí hiệu: Ta dùng kí hiệu “” để chỉ sự tương đương của các phương trình.
Vậy: f(x) = g(x)  f(x)  h(x) = g(x)  h(x)
f(x) = g(x) + h(x)  f(x) - h(x) = g(x)
f(x) = g(x)  f(x).h(x) = g(x).h(x) (h(x) ≠ 0)
f(x) = g(x) 

f ( x ) g( x )

h ( x ) h( x )

(h(x) ≠ 0)


3. Phương trình hệ quả:
Nếu mọi nghiệm của phương trình f ( x)  g ( x) đều là nghiệm của phương trình
f1 ( x)  g1 ( x) thì phương trình f1 ( x)  g1 ( x) được gọi là phương trình hệ quả của phương
trình f ( x)  g ( x) .
Ta viết: f ( x)  g ( x)  f1 ( x)  g1 ( x) .
Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình
ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP
1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)
 x0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x0) = g(x0)" là một mệnh đề đúng.
 Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.
 Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình.
Chú ý:
+ Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:
– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức

1
P( x )


thì cần điều kiện P(x) 0.

– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P( x ) thì cần điều kiện P(x)  0.
+ Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị
hai hàm số y = f(x) và y = g(x).
2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả
Cho hai phương trình f1(x) = g1(x) (1) có tập nghiệm S1
và f2(x) = g2(x) (2) có tập nghiệm S2.
 (1)  (2) khi và chỉ khi S1 = S2.
 (1)  (2) khi và chỉ khi S1  S2.
3. Phép biến đổi tương đương
 Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định
của nó thì ta được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến
đổi sau:
– Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức.
– Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0.
 Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương
trình hệ quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


ĐẠI SỐ 10

www.TOANTUYENSINH.com

§2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT, BẬC HAI

I- ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
1. Phương trình bậc nhất:
 Giải và biện luận phương trình dạng ax+b=0:
 Khi a  0 phương trình ax+b=0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
2. Phương trình bậc hai:
Giải và biện luận phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0):
3. Đònh lý Vi-ét:
 Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) có hai nghiệm x1, x2 thì
b
a

S = x1  x 2   , P = x 1 x 2 
u  v  S

c
a

 Ngược lại, nếu hai số u, v có 
thì u, v là các nghiệm phương trình:
 uv  P
x2–Sx+P=0.
II- PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
2. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trò tuyệt đối:
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trò tuyệt đối ta có thể dùng đònh nghóa
 A nếu A  0
hoặc
 A nếu A  0

của giá trò tuyệt đối: A  


bình phương hai vế phương trình dẫn đến

phương trình hệ quả.
3. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn:
Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương
hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.
4. Phương trình trùng phương:
Phương trình trùng phương ax4 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có thể đưa về phương trình bậc
hai bằng cách đặt t = x2 (t  0).

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Tốn K35 - ĐH Cần Thơ