giai tich loi phan 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (17.13 MB, 135 trang )
loi
Chương
IV
D Ư Ớ I V I PHÂN
4.1.
ĐẠO HÀM T H E O
PHƯƠNG
Giả sử f là h à m xác định trên không gian lồi địa p h ư ơ n g
Hausdortf X
|/(;r)| < +00.
Đ i n h nghĩa 4.1.
Dạo hàm của hàm
f theo "phương (ỉ tại
, i \ ký hiệu là f'(x; d), được định nghĩa là giới hạn
ỉ (.r; d) := l i m
-y
A 1.0
Ả
sau:
nến giới hạn này t ồ n t ạ i (có t h ề hữu hạn hoặc ± o o ) .
Nhận xét
ị.Ì
/'(.(•;.) là h à m thuần nhất dương.
Thật vậy, VA > 0,
/<(*«) =
l i m '
{
í lo
= A lim
ỉ
+
' * " " - • « "
e
f ( x + e ' d ) - f ( T )
ê'ịô
Ằf'(x;d).
e'
10")
đề
Mênh
4.1.
G i ã sir ọ là h à m l ồ i c h í n h t h ư ờ n g t r ê n
K h i (ló, ỳ có đ ạ o h à m p h á i -p'Ạ-)
Đồm* t h à i . -p' (t)
hữu
iiitỊdoiìì^).
Chứ nọ
L ấ y tị
domxp.
l à h ù m k h ô n g g i ả m và. n h ậ n giá t r ị
+
hạn khi / 6
t ạ i m ọ i đ i ể m của.
R.
mãnh
<i>
< / 3 . v ớ i / 1 , í 2 £ domọ.
B ơ i vì h à m y l ồ i v à :
' 3 - í ,
cho
urn:
ti
t
l
>W)-*>(*i)
<
/a - f ,
— tị
:i
'I
—
l ị
^Ơ2)-y-(M
t
—
/3 -
y g ự a ) - ^ )
<
í-2
<3 -
í Ì
.
A
)
, 1 • «
ị
không tăng
A
k h i A g i â m t ớ i 0 ( n ế u / là d i ê m b i ê n liên p h ả i cùa. dơn lọ. t h ì
J
-f
4
f-
ỹự
+ \ ) - S ( t )
ì
T W
1
L a y / £ (ionup.
ĨỔÍ +
ì ì
l ừ (4.1) suy r a
=
+
o
c
<
V
A
>
( ) )
D
o
f
l
ỏ
V ( V i
t
e
<
/
A
c
(lạo h à m p h á i ý?+(f) '.
ý>+(f) = ^ (/; 1) = l i m
A|0
í
A
.
o
m
^
^
106
Hơn nữa, v ớ i
fi,Í2
£
domip v à 0 < ỗ < í 2 — í Ì , t ừ (4.1) ta
nhận đirợc:
y+Ci) S
<
v+ơi) <
ị
v ơ a ) - y ( * i ) < y(*2 + A ) - y ( t )
Í2 - í Ì
A
2
V+(*2),
tức là < j 3 + ( . ) không giầm v à |y?+(í)| <
+oo khi í G intịdonvp).
•
Đ i n h l ý 4 . 1 . G i ả sử / là h à m lồi chính thường trên -Ý.
K h i đ ó , / có đạo h à m theo phương t ạ i mọi đ i ể m X € dom f .
Đồng t h ờ i ,
_ • f(x + X d ) - f { x )
ị {x\d) = mĩ
f
.
n
f
A>0
Chứng
A
(4.2)
minh
Lấy X G domf,
d e X. Đ
t if(t) := f ( x + td). Khi đó, if
là h à m lồi chính t h ư ờ n g trên R và 0 €E dơrrup. Mệnh đ ề 4.1
chỉ ra đạo h à m phải ¥>+(()) tồn t ạ i . Đồng t h ờ i ,
¥>'+(0) = /'(*;<*).
Như vậy, f có đạo h à m theo p h ư ơ n g ả t ạ i X .
Bời vì ¥?+(.) là h à m không giảm (mệnh đề 4.1), cho nên
(4.2) đúng.
•
107
Nhận
Nếu /
xét
ị.2
l à l ồ i c h í n h t h ư ờ n g t r ê n x,x
G dom/,
thì
f'{x,.)
là h à m l ồ i .
T h ậ t v ậ y , l ấ y di, (Ỉ2 € X,
f'(x\di
+ d ) = lim
2
ta có:
/(x+J(di + d
MO
2
) ) - f ( x )
A
/ ( | ( T + Adi) + è(g + A r f 2 ) ) - / ( » )
= 2 lim —
ĂỊo
A
/(g + A<*i)-/(») + / ( * + A d a ) - / ( * )
< lim
ị
é
:
Ã]o
A
= /'(a;;d ) +
1
M ê n h đ ề 4.2.
/'(x-;d )
2
G i ả sử / l à h à m t h u ầ n n h ấ t d ư ơ n g t r ê n
X.
Khi đó,
a) N ế u / liên t ụ c t ạ i m ọ i đ i ể m của t ậ p u c X,
t ụ c t ạ i m ọ i đ i ể m của n ó n Ky
s i n h b ờ i t ậ p u, c ó t h ế t r ừ
b ) N ế u f liên t ụ c t r o n g m
t l â n c ậ n c ù a 0 , t h ì /
liên t ụ c
minh
a) L ấ y .To Ỷ 0 t h u
c Ky.
K h i đ ó , 3A > 0 : XXQ G lĩ. D O /
liên t ụ c t ạ i đ i ể m Axo, v ớ i m ọ i e > 0 , t ồ n t ạ i l â n c ậ n V
0
ra
X.
Chứng
Xx
liên
E
đ i ể m 0;
trên
thì /
sao
cho:
|/(x)-/(Axo)|
(V*€V).
của
108
Ì
Ì
Ta có ^-V
l à m ộ t l â n c ậ n của .ro v à V.Ỉ' 6
-~v,
Ả
Á
•ƯU-) - f(:ra)\
=>
= Ằ-ìựịXx)
-
/ ( A . r ) | < e.
0
f liên t ụ c t ạ i .!•().
b) N ế u f liên t ụ c t r o n g l â n c ậ n w
n i i n l i p h ầ n a)
t ậ p w,
f liên tục t ạ i m ọ i đ i ể m
c ủ a 0, t h ì theo c h ứ n g
n ó n K\Y
ciia
có the t r ừ ra đ i ể m 0. T a l ạ i c ó K\Y
sinh
tòi
— À" v à t ạ i 0 ta
đà giả thiết /
liêu t ụ c . V i v ậ y ,
Đ i n h lý 4.2.
G i ả sử ị' l à h à m l ồ i c h í n h t l r ư ờ n g t r ê n À", liên
tục tại c á c đ i ề m của tập
/' l i ê n t ụ c t r ê n t o à n À".
u c A". Khi
đó,
à ) N ế u t ạ i đ i ể m ã G À" t h ỏ a m ã n .V + d G ư m à
hằu hạn, thì
•
f ' ( . ! " . ) liên t ụ c t ạ i m ọ i đ i ể m ciìa. n ó n
f'(.v;d)
Kư-X
sinh b ở i t ậ p Ự — .T, có t h ể t r ừ r a đ i ế m 0;
b) N ế u
/' liên tục t ạ i X, t h ì
f'(.r;.) hằu
hạn
v à liên
tục
t r ê n A".
Chúng
minh
a) T h e o m ệ n h (tề 4.2,
t a chì c ầ n c h ứ n g m i n h r ằ n g
/'(.(•:.)
liên tục t ạ i m o i đ i ể m cùa. t ậ p ự — .{'.
T r ư ớ c h ế t t a chì ra f'(.r;.)
Do | / ' ( . r ; r f ) | <
là. h à m c h í n h
+ O C , n ô n ,.r e
dom/.
thường.
Từ
đ ị n h lý 4.1
nliậii được:
f ' { x ; d ) < f ( x+
d) - f ( x )
(Ve/
e
X ) .
ta
J 09
N(UI 3d J e A ' : / ' ( . / • ; dị ) = - o e . T h e o ( l ị n h lý 2.9, ;(• + (ì e
int{đom
f ) . D o ( l ó . v á i f > 0 chi n h ò , .ỉ- + (<7 + f(<7 — <7))) =
•'• + d> £ <7om /'. B à i v ì :
•ì- + A i / =
—ỉ— (.ỉ1 +
cho
+ Ai/.,)
T-ị-U +
+
A
F
/
1 ) '
Ì +f
6
liên:
/(.r
+ xà)
<
T ^ - f i x
Ì + e
+ Ằck) +
^ — / { x
/'(.1-:<Õ < — L - / ' ( , - ; r / ) + ^ _ / ' ( .
Ì + e
Ì +e
2
D o .r + f /
2
suy r a f'{.v\d)
£ d o m f \ nên
f'(x;cỈ2)
+
Ì +e
T
;
d
l
\(h)
) .
(4.3)
< + 0 O - Vì vậy, t ừ
(4.3)
— —oe. Đ i ề u n à y m â u t h u ẫ n v ớ i đ i ề u k i ệ n
| / ' ( . r ; N ế n di £ u — X, thì f b ị c h ặ n t r ê n b ở i h ằ n g số r t r o n g
m ộ t l â n c ậ n chi n h ò V của .r +
/'(.'•;
=>
dì <
/(.!• + ã) -
Í/Ị
. Khi đó,
f ( x ) < c -
f ( x ) (W G V -
X).
f (.(•;.) h ẳ u h ạ n v à b ị c h ặ n t r ê n t ậ p V — X.
/ ' ( . ỉ - ; . ) l i ê n t ụ c t ạ i dĩ ( đ ị n h l ý 2.9).
K h ẳ n g (lịnh a) clưưe c h ứ n g m i n h .
b ) C h ú ý r ằ n g : d o t í n h l ồ i , n ế u f liên t ụ c t ạ i 0, t h ì / liên
t ụ c t r o n g m ộ t l â n c ậ n c ủ a 0. Á p d ụ n g m ệ n h đ ề 4.2 t a n h ậ n
(lircrc k h ẳ n g đ ị n h b ) .
•
no
4.2.
D Ư Ớ I
G i ả sử f là h à m lồi trên
Đinh
nghĩa
gradient
h à m X* G X*
(subgradient) của h à m /
-
f { ĩ ) >< x*,x
Đ i n h nghĩa 4.3.
gói l à
dưới
Ổ/'(.ĩ),
tức
d f { x ) =
P H Â N
X.
Phiếm
4.2.
V I
được
gọi là
dưới
tai X G A ,nếu:
- x >
(Va,- 6 X ) .
T ậ p t ấ t cả d ư ớ i gradient của / t ạ i X đ ư ợ c
VI phân
(subdifferential) của / tai X , ký hiện là
là:
{x*
e X*
: f ( x ) -
f ( x ) >< x * , x - x
H à m f được gọilà
Đ i n h n g h ĩ a 4.4.
khả
> , Va; e X } .
dưới
vi phân
tại
ĩ-, n ế u d f ( x ) Ỷ 0Đinh
X
lý 4.3.
G dom/.
X*
e
Chứng
G i ả sử /
là h à m lồi chính
thường
trên X
K h i đó,
d f ( X)
^
f'(x;
d)><
X*,
d>
(Vá G i ) .
minh
N ế u X * G Ỡ / ( . T ) , t h ì v ớ i m ọ i (ỉ E X , A > 0, t a c ó :
/(í
+ Ac/) -
f(x) > \
< x*,d
> .
và
111
T h e o đ ị n h lý 4 . 1 . f có đ ạ o h à m t ạ i í
nôn:
f'(
v ; d ) > <
t h e o p h ư ơ n g d,
x*,đ>
.
(4.4)
N g ư ợ c l ạ i , n ế u (4.4) ( l ú n g , t a l ấ y .V £ À", ã =
đ ị n h lý 4.1 ta n h ậ n
<
_
V — .}•, từ
được:
> < / ' í , - : .r - ã-) <
ĩ
f ( x
+
(X
-
ĩ ) )
-
/(.*•)
D o đ ổ . .(•* ẽ ớ / ( . r ) .
H ệ quả 4.3.1.
•
Ỡ/U) = d
A
f { x ; 0),
t r o n g đ ó ỡf/ là d ư ứ i v i p h â n của
Chúng
cho
f ' { x \ d )
theo b i ế n
ã.
minh
D o /'(.(•;()) = 0. theo đ ị n h lý 4.3, t a c ó :
e a/(.r)
f'(.r:
đ ) - f ' ( x ; Q )
>< x*,(ì
>
(Ví/ € -Ý)
•>•* e O f'(x;0).
•
d
Đ i n h lý 4.4.
G i à s ù f l à h à m l ồ i c h í n h t h ư ờ n g t r ê u A" v à
.V (E <7o//í f. K h i d ó ,
,* e ỡ/(.r)
Chúng
^=>
f ( x ) + f*(x*)
=<
.,*,.«• > .
minh
a) Giả s ù :r* e df(.r).
K h i đó,
/ ( • ' • ) - / ( . / • ) ><•!•*..»•-- , • >
(We-Ý).
112
==>
< x \ x
> - / ( * ) >< x*,x
> -f(:r)
< .;•*,.(• > - f ( . r ) > s u p { < .(•*,.;• >
(V.r € A ' )
-/(./•)}
J'
= /*(**).
(4.Õ)
s
M ặ t k h á c . theo b ấ t đ ẳ n g t h ứ c Y o u n g - F(Tiehc l.
<.v*.ĩ>
T ừ (4.5). (4.6) suy
- f i x )
(4.C)
ra:
/(í)+/*(**)=<
(4.Ĩ)
3-*,í > .
b ) G i ả sir (4.7) đ i í n g . T ừ b ấ t đ ẳ n g thức
Y o u n g - Fonohel.
v ớ i Ả > 0, d G À", t a có:
f ( x + Xd)><
=»
v*..r + Xd>
^—;
>
/ V : rf) > < .«•*, í/ >
=»
x * e d f ự )
Ví dụ
_ ( <
ị
>
-/(.ĩ-)).
= < . r , í / >
(Ví/ G À")
( đ ị n h lý 4.3).
•
ị.ỉ
Cho h à m siffine /(.!•) = < .r*,.r > + a
K h i đ ó , ỡ / ( . r ) = {.í*}
(V.r G A ' ) .
(**
e A'*.n e
/?).
113
Ví dụ 4.2
Cho h à m chì /'(•'•)
=
^(-l-*!), t r o n g đ ó A là t ậ p l ồ i k h á c 0.
K h i (ló. v á i J" G -4.
e ỡ()(.r\A)
<^> ố(.v\A)
<^>
<
tf*,.T
> ố ị.rĩ Á)-Ị- < x \ x - ĩ > (V;r e À")
-
X ><
0
(V.Ĩ 6
A).
Đ i ê u n à y c ó nghĩa là X* là. v é c t ơ p h á p t u y ế n c ủ a .4 t ạ i ã'.
N h ư v ậ y , ỡồ(.r|-4.) là. ncSn p h á p t u y ế n cùa. A t ạ i X :
T
ỡ*(:r|.-i) = A (ã-|.4).
Chú ý:
v ớ i .ĩ- ị
.4, dổ(x\A)
= 0.
w dụ 4.3
G i à s ư A ' là k h ô n g g i a n B a n a c h , f ( x ) = \\x
a) V ớ i .í' / 0
. ta có:
d f ( x ) = {x* € A ' * :
= 1,< í ' , ! > =
T h ậ t v ậ y , n ế n .(•* t h o a m â n <
.Ỉ:*,.Ì'
> = ||.ỉ'|| v à ||.r*|| = Ì ,
thì:
< , • * . . : > < | | ; | | | k * ] | = ||c||
<.r*,c-.r > < | | í
jr* e
ỡ/(:c).
NI
(V--6-Y).
Ngirực l ạ i , n ế u X* e d f { x ) , t h ì :
- I k l l = n o n - l l - H I > < **,0 - .í- > = - < x\x >,
11*11 =
||2a:|| -
\\x\\ =
11*11 >
< X*,2.r
-
X > = < .v\
X >
> .
.
(4.8)
V ớ i ; G X A > Ũ , t a có:
||A.r + . * - | | - 1 1 * 1 1 > < * : * , ( A c +
=
= >
X*,ẰZ
<
.r)-.r>
>
II*- + | | | - Ỉ I W I ^ < ^ Z > .
Cho A —> co, t a n h ậ n đ ư ợ c :
11-11 ><**,•* >
=>
(Vre-Y).
1 1 * * 1 1 < ÌN h ư n g lia:*li k h ô n g t h ể < Ì , b ổ i vì n ế u
|<;I:V~>|<1
(feel,
||s||
< Ì thì:
=
l).
Vái ~ = Ijlj-j, t h ì ||~|| = 1. Do đ ó ,
I < x\ Ị ị ^ĩĩ > I < Ì
=>
<
> <
Đ i ê u n à y m â u t h u ẫ n v ớ i (4.8). Vì v ậ y , lịa'*li = 1.
115
ì)) V ớ i
ỡ/(0)
X
=
0. ta có:
= {.!'*
: ||.:|| >< ./•*.-
>}
= {.,•* e -V* : ||.r*|| < 1}
= - ơ , ( 0 . 1) ( h ì n h cần đ e m v i d ó n g t r o n g A"*).
Trường
V(Vi .(•
hợp
7^
0 :
riciig:
X
lì.
=
/(.ỉ-)
=
ị-í-Ị.
/ là h à m k h á v i , v à :
1
a/(.r) =
{1,-r ,-}.
Ycri .r = 0 :
ỡ / ( 0 ) = {£ e lì:
=
=
M ê n h đ ề 4.3.
I-| ><
z > . Ve e 7?}
ttei?:KI
G i à s ư f là h à m l ồ i (lóng t h u ầ n n h ấ t chrơiig.
K h i đ ó , / * là h à m chỉ c ủ a t ậ p dom f* :
/*(.,-*)
= S(x*\domf*)
(x* e À'*).
H ư u n ữ a , dom /'* là t ậ p (lóng.
Chúng
mini).
Ta có:
/*(.<•*) = s u p { < .<•*,.r > - / ( x ) } > < .r*,() > - / ( ( ) ) = 0
r e Ã'
116
G i ả sử
-
Ba1 £ -Ý sao cho:
<
X*,XI
>
- / ( X i ) >
0.
Khi đó,
r(x*)>snp{
>-f(\x )}
1
x>0
= SUpA[<
À>0
= +00.
l
.T*,Xi
>
-/(.Ti)]
/ * chỉ nhận hai giá trị 0 v à +00.
{
0, nếu X* €
+00, nếu X* ị
domf*,
domf*.
Đề ý rằng: h à m chỉ của tập A là đóng khi và chì khi A
đóng. Do / * là h à m đóng, nên dom f* đóng.
•
M ê n h đ ề 4.4. G i ả sử / là h à m lồi đ ó n g thuần nhất d ư ơ n g .
Khi đó,
f ( x ) = sup{< x*,x
Chứng
minh
> : X * (E
domf*}.
117
T h e o đ ị n h lý 3.6, /
=
/**. M ặ t khác, / •
=
6{.\dơmf*)
( m ệ n h đ ề 4.3). V ì vậy,
f ( x ) = f**(x)
= s u p { < x*,x
>
-ỗ(x*\domf*)}
ì*
= s u p { < ;r*,.T > :
X* G
domf*}.
•
Đ ị n h l ý 4 . 5 . G i ả sử f'(x;.)
là h à m đ ó n g . K h i đ ó , d f { x ) Ỷ 0
v à Vf/
Chủng
Bởi
= «up{<
x*,d>:
X* e d f ( z ) } .
minh
vì f (ã-;.) là h à m l ồ i t h u ầ n n h ấ t d ư ơ n g , cho n ê n
từ
m ệ n h đ ề 4.4 t a n h ậ n đ ư ợ c : Ví/ G X ,
./"(.(•; ã) = s u p { < x*,d
> : X* e clơm(f'(x;
.))*}.
(4.8)
T h e o m ệ n h đ ồ 4.3,
Ị
(/'(*;.))*(*•)=<
[
Mặt
0, n ế u X* G c / ơ m ( / ' ( . ĩ - ; . ) ) * ,
•
~
+ o o , n ê u .r* £ dơm(f(x;
.))*.
khác.
ư'(.r;.))%*•*) = s u p { < x * , d >
-/'(*;d)}.
(í GÃ'
Vì vậy,
€ dom(f'(x:.))*
<ỉ=> 0
> <
ÍT*,í/
> - / ' ( . T ; d)
(Ví/ G À")
118
Gỡ./•(.(•)
= (ioniịf'(.h.)ì*.
D o (ló. df(:r)
f'(.v:d)
= s u p { < .v*.d
Già. s ư /
M ê n h đ ề 4.5.
Từ
hàm
> : .(•* G a / ( . r ) } .
là h à m l ồ i c h í n h t h ư ờ n g t r ô n
K h i đó, a / ( a - ) 7^ 0 (V.i- e
Chúng
( đ ị n h lý 4.3).
v à Ví/ e X ,
R".
riịdom/)).
í
lý 2.11 và 4.2 suy
ra:
v ớ i ;(• G ri((ìuiìi
1
f ( à ; . ) h ữ u h ạ n t r ê n k h ô n g g i a n con
.))* ^
D o d ó , dị\x)Ỷ®
=
df(.v).
(Vi- G r i ( d o m / ) ) .
4.6.
A". .ỉ- G dornf.
nên
0. T h e o c h ứ n g m i n h đ ị n h lý 4.5,
đề
f).
a f f ( d o i i i f ) — .V.
T h e o đ ị n h lý 3.4, ( f (.?•; . ) ) * l à h à m c h í n h t h ư ờ n g , cho
Mênh
• ị
minh
các đ ị n h
dom(f'{x:
Ị
Già
sử
f
là. h à m
•
lồi chính thường
K h i d ó . d f ( x ) 7^ 0 k h i v à chỉ k h i f n ử a
trên
liên
t ụ c d ư ớ i t ạ i 0.
Chứng
minh
a) G i à s ù ỡ / ( . r ) ^ 0. K h i đ ó , 3x* e ỡ / ( ; r ) . N h ư v ậ y ,
f'(x;rì)><
x*,d>
(VdeX).
ì
D o .ỉ"* liên t ụ c . l i ê n / ' ( . ! • ; . ) n ử a liên t ụ c d ư ớ i t ạ i 0.
ị
li
ị
ị
119
b ) G i ả sử /' n ữ a liên tục d ư ớ i t ạ i 0. Nlnr vậy, / ' ( . r ; . ) l à
h à m l ồ i t h u ầ n n h ấ t d ư ơ n g , đ ó n g . Do đ ó , / ' ( . ĩ ; 0 ) = 0 v à
f ( . ĩ ; . ) k h ô n g t h ề n h ậ n g i á t r ị — oo.
T h e o đ ị n h lý 3.4,
doinị
f{x:
(f(z;.))*
là h à m chính thường.
. ) ) * Ỷ 0- Theo c h ứ n g m i n h đ ị n h lý 4.5, t a có:
dom(f(x-.))*
Vì vậy,
Vậy.
=df(x).
D
df{x)
Nhận
Nếu X ị
xét
ị.3
dotnf,
thì
d f ( x ) = 0.
T h ậ t v ậ y , X* G d f ( x ) k h i v à chỉ k h i
/ ( - ) - ĩ ( x ) >< x \ z
N ế u z G domf,
n ế u 3x*
lại:
X >
(Ve e X ) .
(4.9)
t h ì (4.9) k h ô n g t h ể t h ỏ a m â n k h i f ( x ) —
+oo, tức là khi
Nhắc
-
X
Ệ
dom/.
h à m / đ ư
c gọi là
khả vi Gâteaux
t ạ i ã; G X ,
€ -Ý*, sao cho v ớ i m ọ i á € A",
f ( x + td) = f ( x ) + t<
x*,d>
+o(t).
K h i đ ó , t a gọi ;C* là đ ạ o h à m G â t e a u x của / t ạ i X :
.r*.
Đ i n h lý 4.6.
G i ả sử f l à h à m l ồ i t r ê n X.
K h i đó,
(4.10)
=
120
a) Nếu / khả vi Gâteaux t ạ i X với đạo hàm Gâteaux tại
X là X* và f khả dtrới vi phân t ạ i X, thì df(x) — {x*}.
b) Nếu / là hàm chính thường, liên tục t ạ i .X và
df{x)
gồm một phần từ duy nhất X*, thì / khả vi Gâteaux t ạ i X
Chứng
minh
a) T ừ (4.10) ta có:
f'{x;d)
= <
f '
G
( x ) , d > = <
x*,d
>
.
Do đó,
y*
e
d f ( x )
y * , d >
X*
<
<
x * , d >
- y * , d > >
•4=> X* — y* = 0 hay
Vậy df{x)
0
(Ví/
(Ve/
G
G
-Y)
X )
X* — y* •
= {x*}.
b) Giả sử df(x)
tục. Do đó, p(x;,
= {x*}. Theo định lý 4.2, /'(;?;,) liên
) là. hàm đóng. Vì vậy, Ve/ £ À",
/ ' ( ã ; d ) = (/'(=
=
s u p { <
<
y * , d > :
x \ ã > .
(định lý 3.6)
y * e d f ( x ) }
(định lý 4.5)
•
121
Hê quầ
4.6.1.
G i ả sử À' l à k h ô n g g i a n B a n a c h , /
l ồ i k h ả v i Frechet t ạ i X G X
f'{x).
là h à m
v ớ i đ ạ o h à m Frechet t ạ i X l à
Khi đó,
d f ( x ) =
Đ i n h lý 4.7.
G i ả sử /
{ f ( x ) } .
là h à m lồi chính t h ư ờ n g t r ê n k h ô n g
g i a n l ồ i đ ị a p h ư ơ n g H a u s d o r f f X, l i ê n t ụ c t ạ i X £ X.
Khi đó,
d f ( x ) k h á c 0, l ồ i , c o m p á c * y ế u . Đ ồ n g t h ờ i ,
= m a x { < x*,d>:
f ( x ; d)
Chứng
X*
€ d f ( x ) }
minh
a) T a c h ứ n g m i n h d f ( x ) lồi?
L ấ y x\,x*
2
6 d f { x ) v à A
< ( l - \ ) x *
<
Xx*
+
(Ì
-
2
, x - x >
\)x* ,x
2
-
<
Ả(/(x) - f ( x ) ) ,
<
( l - X ) ( f ( x ) - f ( x ) ị
X >
<
f ( x ) -
XxỊ + ( Ì — A)a.'2 G d f ( x )
b) Chứng m i n h d f ( x ) í
X,
f ( x ) (Va;
e
X ) .
df(x)\òi.
0?
T h e o đ ị n h lý 4.2, / ' ( ĩ ; , ) l i ê n t ụ c t r ê n X . D o đ ó ,
( m ệ n h đ ề 4.6).
c) C h ứ n g m i n h d f ( x ) c o m p ă c * y ế u ?
) ^
0
122
Do
/'(.ỉ-;.
)
liên t ụ c , / ' ( . í - ; , ) l à h à m đ ó n g .
T h e o đ ị n h lý
4.5,
s u p { < ;r*, ả >: .<•* e d f { x ) } = f'(x;
d)
<
(Vrf
+00
K h i (ỉ chạy t r ê n c á c t ậ p h ữ u h ạ n .4. t r ê n À", t h ì :
—00 <
m a x f'(.r;d)
(l é A '
<
+00.
Vì v ậ y . d f ( . i - ) b ị c h ặ n theo t ô p ô * y ế u của A"*.
Mặt khác, d f ( x ) =
ị^ị Hii, t r o n g đ ó i ĩ / l à nữa. k h ô n g
f
ừe.v
gian (lóng * y ế u t r o n g À'* :
Ha =
{.V*
ex*:<
.v\d
><
f i x +
ã) -
f i x ) } .
ỡ/(;ĩ") Là t ậ p đ ó n g * y ế u t r o n g À"*.
dị'{.ì)
=>
4.3.
compăc *yếu trong A * .
C Á C Đ Ị N H LÝ cơ
G i à sử X
B A N VE D Ư Ớ I
•
V I
P H Â N
là k h ô n g g i a n l ồ i đ ị a p h ư ơ n g H a i i s d o r f f .
M ê n h đ ề 4 . 7 . G i à S\V / l à h à m l ồ i c h í n h t h ư ờ n g t r ê n A" v à
A >
0. K h i dó. v.r
€ X ,
d ( \ f ) ( . v ) = \ d f ( x ) .
Chứng
ĩninh
123
V ớ i .r G đom/,
đ o / l ồ i cliínli t h ư ờ n g v à A > 0, n ê n A / l ồ i
c h í n h t h ư ờ n g và .í- € doni(\f).
Đồng t h ờ i ,
(A/)'(x;.) =
T ừ đ ị n h lý 4.3 suy r u :
A/'(x;-).
d { X f ) ( x ) = Xdf(x).
Nếu
.T
Ệ dom f , t h ì
ỡ ( A / ) ( . ì ) = A Ỡ / ( . r ) = 0.
Đ ị n h lý 4.8(Moreau Già
SỪ
t i , . . .
, f,n
o
Rockafelỉar)
là h à m l ồ i c h í n h t h ư ờ n g t r ê n -Ý. K h i
d ỏ , v.r € A",
+ . . . + / , „ )(.r) D ỞMx)
+ ... +
ỡ/ (*).
m
»11
Hem n ữ a ,
n ế u t ạ i ( l i ế m X G 1^1 dotnfi,
t ấ t cà các
hàm
í=i
A i . . . . , f m l i ê n tục ( c ó t h ổ t r ừ ra m ộ t h à m ) , t h ì :
+ . . . + /,„
Chúng
= a/^a-) + . . . + ỡ/ ,(j-).
n
ì ninh
Ta c h ứ n g m i n h cho t r ư ờ n g h ợ p VI = 2. T r ư ờ n g h ợ p
q u á t d ù n g quy
tổng
nạp.
à) Chứng minh:
+f>)(.r)
D dh(x)
+ df (x).
2
(4.11)
124
Lấy xì e dfi(x)
(i = 1,2). K h i đó, v ớ i Vz € -Ý,
< X*,z - X > <
= •
=*>
- /,-(*)
< X Ĩ + x 5 , 2 - X > <
/l(2)+
X* + x* € ỡ ( / ! + / ) ( x )
= •
2
2
( i = Ì , 2).
/2(^)-(/,(x)+/ (x)).
2
(4.11).
b) Ta chứng minh r ằ n g nếu / ì liên tục t ạ i X € cỉomf ,
2
+ / ) ( x ) = a / i ( x ) + dMx)
thì:
(4.12)
2
Ta có: int(epifi)
0?
T h ậ t vậy, Ve > 0, tồn t ạ i lân cận ự m ả của X sao cho:
|/i(*)-/i(*)|<«
=ì>
A : = { ( z , a ) e X X Jĩ : a > / i ( x ) + e, X e Ỉ7} c epz/j
v à J4 mờ.
=>
L ấ y X * (E ô ( / i
d
c
(VarelO.
int(epifi)
+ f2)(x)-
^ 0.
Xét
= {(*,a) e ! x i ỉ :
các t ậ p
t
t
>/ (i
1
sau:
+
2
) - M x ) } ,
= {(*,<*) G l x f í : a « 2 * , z > - / ( x + 2 ) + / ( x ) } .
2
2
K h i đó,
Cị = e p i / i =*•
Ci l ồ i v à i n í C i Ỷ 0-
Ta k i ể m t r a t í n h loi của Ơ2?
(x,/i(a;)).
2
125
Ị
L ấ y (zi,oti)
€ c*2 {i = 1,2) v à À G [0,1], t a có:
ai <<x\z >
- f { x + Zi) + Mx) ạ = 1,2).
t
(4.13)
2
B ở i vì /2 l à h à m l ồ i ,
f (Kx
2
+ z ) + {l-X)(x
+ z)
1
< Xf (x
2
2
+ z) + ( l - X ) f ( x+ z)
1
2
2
(4.14)
T ừ (4.13), (4.14) suy r a :
Xon + (1-A)<*2 < <
= •
MX(x
+ ( Ì - X)z
x*,ẰZị
2
>
-
+ z ) + ( Ì - X)(x + z )) +
x
2
c lồi.
A(z ,a ) + ( l - A ) ( * , a ) e C 2
1
1
í
2
h(x)
2
2
T a c ó : Gi n Ca = 0?
T h ậ t v ậ y , n ế u 3(^0) ^0) £ C i n C'2, t h ì :
<x*,z >
- f
0
= >
<
2
( x + Z ) + f (x)
Q
,r*,~0 > >
2
/ i ( a : + ^o) +
> fi(x + z ) - f i ( x )
0
/ 2 Ú + 2 )-(/a(.'r) +
0
/2(.T)).
Đ i ê u n à y m â u t h u ầ n v ớ i X* G d(fi + / 2 ) ( £ ) ( ! ) .
V ậ y , C\ n c*2 = 0.
Theo đ ị n h
(.C*
,ỊỈ) Ỷ 0
sup
(:,a)ec*4.
s
a
lý t á c h
o
c
h °
{< x*,z
t h ứ n h ấ t , 3xỊ
e
X*,
sạ
e
R với
:
>+/3a)
<
{< xỊ, z > +/3a}
'mĩ
U,ar)€C
2
(4.15)
126
Rõ ràng ịj < 0, b ờ i vì nếu /3 > 0 thì cận trên trong (4.15)
bằng +oo v à cận d ư ớ i bằng — oo(!H).
Hơn nữa, 3 ^ 0, b ở i vì n ếu /? = 0 thì (4.15) có dạng:
>•
sup
<x*,z><
mỉ
:£domfi-r
<x*ị,z>.
(4.16)
z€domf -x
2
M ặ t khác, ÍT* Ỷ 0, b à i vì ậ - 0 v à (.rĩ, /ỉ) ^ 0. Do đ ó ,
<
.)•*..;• -
i
>
<
sup
: € í' —
==»
inf
<
<
x*,z
>
<
sup
X
c
x \ , z >
<
<
X^.X
-
6 do
X
<
Ị\ —
IU
X ị , z
>
J
>
rgrfom /2 — J L '
<
sup
zfztlomfi
< .r*,z >
—X
Điều này luân thuần v á i (4.16)(!). Vì vậy, Ạ Ỷ 0 và
t
n
( , < )
;i < 0.
Không m ấ t tính chất t ô n g quát có the xem lỉ = —ì. N h ư
vậy, CỊ v à C-J tách đ ư a c b ả i siêu phang:
H = {{.-.,a) e X X R : < . r ; , r > - r v = ()}.
T ừ (4.lõ) suy ra:
sup{<.rĩ..r
< mỉ{<
> - / , ( . / • + Z) +
.V* -
Mx)}<
> +f (.v
2
+ z ) - f (x)}
2
(4.17)
127
Đ ể ý r ằ n g v ớ i z = 0, t h ì c á c b i ể u t h ứ c t r o n g ngoặc c ù a
hai v ế (4.17) đ ề u b ằ n g 0. D o đ ó , k h i đ ặ t # 2 = X* — X*, t a
nhận đ ư ạ c :
fi{x
+ s) - h(x)
f-i(x + z ) - Mx)
==>
Hê
-r* e dfi(x)
q u à 4.8.1.
>< x\,z
>
( t o € X),
>< x ỉ , z >
(V* € X).
(i = 1,2)
=>
(4.12).
G i à sử / ì , . . . , /
t h ư ờ n g t r ê n X v à Xi > 0 , . . . , A
ỡ( A i / i + . . . + A
m
/
m
m
m
•
là các h à m l ồ i chính
> 0. K h i d ó , Va; G A",
)(;c) D Àiổ/xíar) 4 - . . . + X
m
df
m
(x).
in
H ơ n n ữ a , n ế u t ạ i ã' e Pl dom / í , t ấ t c ả c á c h à m / ì , . . . , /
m
t=i
liên t ụ c ( c ó t h ề t r ị r a m ộ t h à m ) , t h ì v ớ i m ọ i X € A",
d(X,h
Chứng
+ ••• + Ằ
minh:
m
f
m
) ( x ) = Axô/itx) + . . . + x
m
df
m
(x).
Suy r a t ị đ ị n h l ý 4.8 v à m ệ n h đ ề 4.7. •
Đ ị n h l ý 4.9. G i à sử A", Y l à c á c k h ô n g gian l ồ i đ ị a p h ư ơ n g
H a u s d o r f f ; A : X —> Ì* l à t o á n t ị t u y ế n t í n h liên t ụ c ; / l à
h à m x á c đ ị n h t r ê u Y. K h i đ ó , v ớ i m ọ i X 6 X,
A*df(Ax)
c d(fA)(x).
(4.18)
128
H ơ n n ử a , n ế u / l ồ i v à liên t ụ c t ạ i m ộ t đ i ể m n à o đ ó t h u ộ c
ImẤ,
t h ì v ớ i m ọ i X € A",
A*ô/(Aa;) = ỡ ( / A ) ( . T ) .
Chứng
(4.19)
minh
a) T a c h ứ n g m i n h (4.18):
L ấ y X* 6 A*df(Ax).
K h i đ ó , 3y* e d f ( A x ) sao cho: X* =
A*y*. Do đ ó ,
< y \ y -
><
f ( y ) - f(Ax)
Ax
> <
f ( A z ) - /(Ax)
(Vi/ 6 Y ) .
=»
< y*,Ảz
=>
=>
-
Ax
:
2
AVeỡ(/A)(ar)
=>
(Vz e À')
(V:eX).
(4.17).
b ) C h ứ n g m i n h (4.19):
Ta giả thiết
f l à h à m l ồ i l i ê n t ụ c t ạ i đ i ể m A i , í € X.
x é t hai t r ư ờ n g h ợ p
Ta
sau:
N ế u Ỡ ( / A ) ( j r ) = 0 : do (4.18), n ê n (4.19) đ ú n g .
Nếu Ỡ(/A)(.r) ^
0 : Rõ ràng là (/A)'(.r;.:) = / ' ( A i ; Ac).
T h e o đ ị n h lý 4.2, h à m / ' ( A x ; . ) liên t ụ c t ạ i đ i ể m A(ã- — .r) G
/ m A . Á p d ụ n g đ ị n h lý 3.10 đ
i v ớ i h à m / ' ( A . r ; . ) t a
nhận
