Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

08. BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 3. MẶT PHẲNG CÓ YẾU TỐ GÓC – KHOẢNG CÁCH
Phương pháp giải:
Giả sử mặt phẳng cần lập có một véc tơ véc tơ pháp tuyến là nP = (a; b; c), a 2 + b2 + c 2 ≠ 0.
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d nên (P) đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d và vuông góc với véc tơ chỉ phương của d.

( P ) : a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) + c( z − z0 ) = 0
Khi đó ta có 
nQ .ud = 0 ⇔ a = f (b; c)
Từ các dữ kiện về góc, khoảng cách ta được một phương trình đẳng cấp bậc hai theo các ẩn a, b, c.
Thay a = f(b; c) vào phương trình này, giải ra được b = m.c hoặc b = n.c
Chọn cho c = 1, từ đó tim được các giá trị tương ứng của a và b ⇒ phương trình mặt phẳng (P) cần lập.
Chú ý:
Phương trình đẳng cấp bậc hai là phương trình có dạng
2

x
x
x
Ax + Bxy + Cy = 0 ⇔ A   + B   + C = 0 ⇒ = t ⇔ x = t. y
y
b
 y
2

2

Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hai mặt phẳng ( α ) : x + 2 y − z + 5 = 0;

(β ) : 4 x − 2 y + 3 = 0

8
.
30
Ví dụ 2: [ĐVH]. Lập phương trình (P) đi qua A(1; −1;0), B (2; −1; −1) sao cho khoảng cách từ M(–2; 1; 3) đến (P)
2
bằng .
3
Đ/s: ( P) : 2 x + y + 2 z − 1 = 0;( P ) : 2 x − y + 2 z − 3 = 0
x +1 y z + 2
Ví dụ 3: [ĐVH]. Lập phương trình (P) chứa d :
= =
sao cho khoảng cách từ A(–3; 1; 1) đến (P) bằng
1
1
−2
2
.
3
Đ/s: ( P ) : x + y + z + 3 = 0
x − 2 y +1 z
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho ∆ :
=
= ;( P ) : 2 x + y − z + 3 = 0
1

3
−1
7
Lập (Q) // ∆; (Q) ⊥ (P) đồng thời khoảng cách từ A(1; 2; 0) đến (P) bằng
.
30
Đ/s: (Q ) : 2 x + y + 5 z + 3 = 0
Ví dụ 5: [ĐVH]. Lập phương trình (P) đi qua A(−1;2;1), vuông góc với mặt phẳng (xOy) đồng thời khoảng cách từ
3
điểm B (1;1; −3) đến (P) bằng
.
5
Đ/s: ( P) : 2 x + y = 0

Lập (P) vuông góc với cả hai mặt phẳng đã cho đồng thời khoảng cách từ điểm A(3; 1; 1) đến (P) bằng

x = 2 + t

Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho d :  y = 1 − 2t và các điểm A(1;1;2), B (3;1; −1)
 z = −t

Lập (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A tới (P) bằng hai lần khoảng cách từ B tới (P)
Đ/s: ( P ) : y − 2 z = 0;( P ) : 8 x + y + 6 z − 17 = 0

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95


x −1 y +1 z
và các điểm A(1;2; 2), B (4;3;0)
=
=
2
−1 −2
Lập (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A tới (P) bằng khoảng cách từ B tới (P)

Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho d :

Đ/s: ( P) : 4 x − 2 y + 5 z − 10 = 0;( P ) :12 x − 10 y + 17 z − 22 = 0
Ví dụ 8: [ĐVH]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(−1; 2; −3), B(2; −1; −6) và (P): x + 2y + z −3=
3
0 . Viết phương trình (Q) chứa AB và tạo với (P) một góc α thỏa mãn cos α =
6
Hướng dẫn giải:
Giả sử (Q) có một véc tơ pháp tuyến là nQ = (a; b; c), a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0.
(Q ) : a ( x + 1) + b( y − 2) + c( z + 3) = 0
Mặt phẳng (Q) chứa A; B nên 
nQ . AB = 0 ⇒ a − b − c = 0 ⇔ a = b + c
Theo bài, ( ( P);(Q ) ) = α ⇒ cos α =

nP .n Q
nP . n Q

a + 2b + c

=


a +b +c
2

2

2

1+ 4 +1

3
2
⇔ 2 ( a + 2b + c ) = a 2 + b 2 + c 2
6

=

b
 c = −1
2
⇔ 2 ( 3b + 2c ) = 2b 2 + 2c 2 + 2bc ⇔ 8b 2 + 11bc + 3c 2 = 0 ⇔ 
b = − 3
 c
8
+) Với b = −c, chọn c = 1; b = −1; a = 0 ⇒ (Q ) : −( y − 2) + ( z + 3) = 0 ⇔ y − z − 5 = 0
b
3
+) Với = − , chọn c = 8; b = −3; a = 5 ⇒ (Q ) : 5( x + 1) − 3( y − 2) + 8( z + 3) = 0 ⇔ 5 x − 3 y + 8 z + 35 = 0
c
8
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Ví dụ 9: [ĐVH]. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; −1; 1), B(0; 1; −2) và đường thẳng
x y − 3 z +1
d: =
=
. Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (OAB),
−1
1
2
5
nằm trong mặt phẳng (OAB) và hợp với đường thẳng (d) một góc α sao cho cos α = .
6
Hướng dẫn giải:
Ta có OA = ( 2; −1;1) , OB = ( 0;1; −2 ) ⇒ OA, OB  = (1;4;2 ) = nOAB

Do đó (OAB): x + 4y + 2z = 0 (1) .

 x + 4 y + 2z
x = t

Gọi M = d ∩ (OAB) thì tọa độ của M là nghiệm của hệ 

→ t = −10 ⇒ M = ( −10;13; −21)
y = 3−t
 z = −1 + 2t
Vì ∆ ∈ ( OAB ) ⇒ nOAB .u∆ = 0 ⇔ a + 4b + 2c = 0 ⇒ a = −4b − 2c, với u∆ = ( a; b; c ) .
Do đó : α = (d ; ∆ ) ⇒ cos α =

ud .u∆
ud . u∆


=

a − b + 2c
a +b +c
2

2

2

1+1+ 4

=

a − b + 2c
6 a +b +c
2

2

2

=

5
6

5


b=− c
2
2
2
2
2


⇔ 6 ( −5b ) = 25 ( 4b + 2c ) + b + c ⇔ 11b + 16bc + 5c = 0 ⇔
11



b = −c
 x = −10 − 31t
5

+) Với b = − c , chọn c = 11; b = −5; a = −31 ⇒ ∆ :  y = 13 − 5t
11
 z = −21 + 11t

 x = −10 + 2t

+) Với b = −c , chọn c = 1; b = −1; a = 2 ⇒ ∆ :  y = 13 − t
 z = −21 + t

2

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!



Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 10: [ĐVH]. Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0;1;−2), vuông góc
x+3 y−2 z
với đường thẳng d :
=
= và tạo với mặt phẳng (P): 2x + y − z +5 = 0 một góc 300.
1
−1
1
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương u = (1; −1;1) , đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương u∆ = ( a; b; c ) .
Mặt phẳng (P) có n = ( 2;1; −1) . Gọi α = ( d ; P ) ⇒ sin α =

⇔

2a + b − c

=

u∆ .nP
2a + b − c
1
= cos u∆ , nP =
=
.

2
u ∆ . nP
a 2 + b2 + c 2 4 + 1 + 1

(

)

1
2
⇔ 2 ( 2a + b − c ) = 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) , (*)
2

6 a 2 + b2 + c 2
Mặt khác, d ⊥ ∆ ⇒ ud .u∆ = 0 ⇔ a − b + c = 0 ⇔ b = a + c

a = c
Khi đó, ⇔ 2.9a = 3 ( 2a + 2ac + 2c ) ⇔ 2a − ac − c = 0 ⇔ 
a = − c

2
x = t

+) Với a = c ⇒ b = 2a, chọn a = c = 1; b = 2 ⇒ ∆ :  y = 1 + 2t
 z = −2 + t

x = t

+) Với c = −2a ⇒ b = −a, chọn a = 1; b = −1; c = −2 ⇒ ∆ :  y = 1 − t
 z = −2 − 2t


Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2

2

2

2

2

Ví dụ 11: [ĐVH]. Trong không gian cho hai đường thẳng ∆1 :

x y z
x −1 y +1 z −1
=
=
và ∆ 2 :
=
=
1 −2 1
1
−1
3

a) Chứng minh hai đường thẳng ∆1 và ∆2 chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆2 và tạo với đường thẳng ∆1 một góc 300.
Hướng dẫn giải:
a) Chứng minh hai đường thẳng ∆1 và ∆2 chéo nhau:

Đường thẳng ∆1 có véc tơ chỉ phương u1 = (1; −2;1) và qua O(0;0;0),

Đường thẳng ∆2 qua B(1; −1; 1) và có véc tơ chỉ phương u2 = (1; −1;3) . Ta thấy hai véc tơ chỉ phương của hai đường
khác phương nên d1 và d2 hoặc chéo nhau, hoặc cắt nhau.
Mặt khác, u1 ; u2  = ( −5; −2; −1) ⇒ u1 , u2  .OB = 6 ≠ 0.
Vậy hai đường thẳng ∆1 và ∆2 chéo nhau.
b) Viết phương trình (P).
Giả sử (P) có một véc tơ pháp tuyến là nP = (a; b; c), a 2 + b2 + c 2 ≠ 0.

 B ∈ (Q ) ⇒ a( x − 1) + b( y + 1) + c( z − 1) = 0
Mặt phẳng (Q) chứa ∆2 nên 
nQ .u∆ 2 = 0 ⇒ a − b + 3c = 0 ⇔ a = b − 3c
Theo bài, α = ( ∆1 ; P ) ⇒ sin α =
⇔

u∆1.nP
a − 2b + c
1
1
= cos u∆1 , nP =
⇔ =
2
2
u∆1 . nP
a 2 + b2 + c 2 1 + 4 + 1

(

)


b − 3c − 2b + c
1
=
⇔ 6. 2b 2 − 6bc + 10c 2 = 2 −b − 2c ⇔ 3(b 2 − 3bc + 5c 2 ) = b 2 + 4bc + 4c 2
2
2
2
2
(b − 3c) + b + c 6

b
c =1⇔ b = c
2
2
2
2
2
2
⇔ 3(b − 3bc + 5c ) = b + 4bc + 4c ⇔ 2b − 13bc + 11c = 0 ⇔ 
 b = 11 ⇔ b = 11 c
 c 2
2
+) Với b = c, chọn c = 1; b = 1; a = −2 ⇒ ( P ) : −2( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 1) = 0 ⇔ 2 x − y − z − 2 = 0

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95


b 11
= , chọn c = 2; b = 11; a = 5 ⇒ ( P ) : 5( x − 1) + 11( y + 1) + 2( z − 1) = 0 ⇔ 5 x + 11 y + 2 z + 4 = 0
c 2
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
x + 2 y −1 z + 3
Ví dụ 12: [ĐVH]. Cho hai điểm A(1; 1; 1), B(2; 0; 2) và đường thẳng d :
=
=
. Lập phương
−2
−1
1

+) Với

trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và tạo với d một góc 600
Lời giải:
Ta có: AB = (1; −1;1) = u AB
Giả sử (P) có một véc tơ pháp tuyến là nP = (a; b; c), a 2 + b2 + c 2 ≠ 0.

 A ∈ (1;1;1) ∈ d ⇒ a ( x − 1) + b( y − 1) + c( z − 1) = 0

Mặt phẳng (P) qua A,B nên 

nP .u AB = 0 ⇒ a − b + c = 0 ⇔ a = b − c

(

)


Theo bài, sin ( P; ∆ ) = sin 600 = cos nP , ud =

nP .ud

⇔

n p . ud

−2a − b + c
3
=
2
2
a + b2 + c 2 4 + 1 + 1

−2b + 2c − b + c
3
=
⇔ 18. 2b 2 − 2bc + 2c 2 = 2 3b − 3c ⇔ (b 2 − bc + c 2 ) = ( b 2 − 2bc + c 2 ) ⇔ bc = 0
2
2
2
2
(b − c) + b + c 6

+) Với b = 0, chọn c = −1; a = 1 ⇒ ( P ) : x − z = 0
+) Với c = 0 chọn b = 1; a = 1 ⇒ ( P ) : x + y − 2 = 0
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán
Ví dụ 13: [ĐVH]. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với đường thẳng ∆ một góc

 x = t

bằng 600 biết d :  y = 2 − t , ∆ :
 z = t

x−2 y −3 z +5
=
=
2
1
−1

Lời giải:
Giả sử (P) có một véc tơ pháp tuyến là nP = (a; b; c), a 2 + b2 + c 2 ≠ 0.
 B ∈ ( 0;2;0 ) ∈ d ⇒ ax + b( y − 2) + cz = 0

Mặt phẳng (P) chứa d nên 

 nP .ud = 0 ⇒ a − b + c = 0 ⇔ a = b − c

(

)

Theo bài, sin ( P; ∆ ) = sin 600 = cos nP , u∆ =

nP .u∆
n p . u∆

⇔


2a + b − c
3
=
2
a2 + b2 + c2 4 + 1 + 1

2b − 2c + b − c
3
=
⇔ 18. 2b 2 − 2bc + 2c 2 = 2 3b − 3c ⇔ (b 2 − bc + c 2 ) = ( b 2 − 2bc + c 2 ) ⇔ bc = 0
2
2
2
2
(b − c) + b + c 6

+) Với b =0, chọn c = −1; a = 1 ⇒ ( P ) : x − z = 0
+) Với c = 0 chọn b = 1; a = 1 ⇒ ( P ) : x + y − 2 = 0
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 14: [ĐVH]. Cho hai điểm A(1; -2; -2), B(0; -1; -2). Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A,

B và tạo với mặt phẳng (yOz) một góc φ với cos φ =

1
3

Lời giải:
Giả sử mặt phăng (P) có một vecto pháp tuyến là nP = ( a, b, c ) ; a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0


Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

( P ) : a ( x − 1) + b ( y + 2 ) + c ( z + 2 ) = 0
Mặt phẳng (P) chứa hai điểm A;B nên 
nP AB = 0 ⇔ b − a = 0
Do ( ( P);( yOz ) ) = α ⇒ cos α =

nP .n yOz

a

=

nP . n yOz

a2 + b2 + c2 1 + 0 + 0

=

1
2
⇒ 3 ( a ) = 2a 2 + c 2 ⇒ a 2 = c 2
3

 a = −c

⇒
a = c

• Với a = c chọn a = 1; b = 1; c = 1 ⇒ ( P ) : x + y + z + 3 = 0

• Với a = -c chọn a = 1; b = 1; c = −1 ⇒ ( P ) : x + y − z − 1 = 0

x = t

Ví dụ 15: [ĐVH]. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình d :  y = 1
, ( P ) : x + y − z + 1 = 0.
 z = 1 − 2t


Lập phương trình (Q) chứa d và và tạo với (P) một góc φ, biết rằng cos φ =

1
.
15

Lời giải:
Đường thẳng d đi qua điểm B ( 0;1;1)
Giả sử mặt phẳng (Q) có một vecto pháp tuyến là nQ = ( a, b, c ) ; a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0

( Q ) : ax + b ( y − 1) + c ( z − 1) = 0
Phương trình mặt phẳng (Q) chứa d có dạng: 
nQ .ud = 0 ⇒ a − 2c = 0 ↔ a = 2c

(


)

Theo bài ta có: cos nQ , nP =

nP .n Q
nP . n Q

=

a+b−c
a2 + b2 + c2 1 + 1 + 1

=

b+c
1
1
⇔
=
15
5
b 2 + 5c 2

b = 0
2
⇔ 5 ( b + c ) = b 2 + 5c 2 ⇔ 2b 2 + 5bc = 0 ⇔ b ( 2b + 5c ) = 0 ⇔ 
 2b = −5c
+) Với b = 0 → a = 2c ,chọn a = 2 → c = 1 ⇒ ( Q ) : 2 x + z − 1 = 0

+) Với 2b = −5c , chọn b = −5 → c = 2 → a = 4 ⇒ ( Q ) : 4 x − 5 y + 2 z − 3 = 0


Ví dụ 16: [ĐVH]. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1;0;1), B (−2;3; −2) và tạo với đường thẳng
∆:

x + 1 y z −1
35
=
=
một góc φ với cos φ =
.
1
−1
2
6

Lời giải:
Ta có: AB = ( −1;1; −1)

(

Giả sử ( P ) có một véc tơ pháp tuyến là nP = ( a; b; c ) a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0

)

 A (1; 0;1) ∈ ∆
a ( x − 1) + by + c ( z − 1) = 0
Do măt phẳng ( P ) qua A và B nên ta có: 
⇔
nP .u AB = 0
− a + b − c = 0 ↔ a = b − c

35
1
⇒ sin ( ( P ) ; ∆ ) =
Theo bài, do cos ϕ = cos ( ( P ) ; ∆ ) =
6
6
a − b + 2c
c
1
1
Mặt khác ta lại có: sin ( ( P ) ; ∆ ) = cos nP ; u∆ =
= ⇔
=
2
a 2 + b2 + c 2 . 6 6
6. ( b − c ) + b 2 + c 2 6

(

)

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

b = c
⇔ 3c 2 = b 2 + c 2 − bc ⇔ 2c 2 + bc − b 2 = 0 ⇔ ( c − b )( 2c + b ) = 0 ⇔ 

 b = − 2c
+) Với b = c → a = 0 ⇒ ( P ) : y + z − 1 = 0

(

)

+) Với b = −2c , chọn b = 2 ⇒ c = −1 ⇒ a = 3 ⇒ ( P ) : 3x + 2 y − z − 2 = 0
Vậy có 2 mặt phẳng trên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 17: [ĐVH]. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d :

x + 1 y z −1
= =
và tạo với mặt
2
1
−1

phẳng (yOz) góc nhỏ nhất?

Lời giải:
Giả sử mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến n = ( a, b, c ) ; a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0
( P ) : a ( x − 1) + by + c ( z + 1) = 0

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d có: 

nP ud = 0 ⇒ 2a + b − c = 0

Ta có: (( P ), ( yOz )) = α ⇒ cosα =


nP n yOz

=

nP n yOz

a
a 2 + b2 + c 2

=

a
5a 2 + 4ab + 2b 2

Nếu a = 0 thì cos α = 0
Nếu a ≠ 0 , xét hàm f ( t ) =
Vậy ( cosα )max =

b
1
1

≤
 t =  ⇒ f (t ) =
2
a
3
2t + 4t + 5 
2 ( t + 1) + 3
1


2

1
⇔ t = −1 ⇔ a = −b = c
3

Mặt phẳng cần tìm là ( P ) : x − y + z = 0
Ví dụ 18: [ĐVH]. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d :

x + 2 y +1 z
=
=
và tạo với mặt
1
1
−2

phẳng (xOy) góc nhỏ nhất?

Lời giải:
Giả sử mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến n = ( a, b, c ) ; a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0
( P ) : a ( x − 1) + b ( y − 1) + c ( z + 2 ) = 0

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d có: 

 nP ud = 0 ⇒ a + b − 2c = 0

Ta có: (( P ), ( yOz )) = α ⇒ cosα =


nP n yOx
nP n yOx

=

c
a2 + b2 + c2

=

c
5c 2 − 4bc + 2b 2

Nếu c = 0 thì cos α = 0
Nếu c ≠ 0 thì f ( t ) =
Vậy ( cosα )max =

1
1
 b
≤
 t =  ⇒ f (t ) =
2
c
3
2t − 4t + 5 
2 ( t − 1) + 3
1

2


1
⇔ t =1⇔ a = b = c
3

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!