Bai 01 HDGBTTL cong thuc luong giac
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (417.16 KB, 5 trang )
Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 09. Lượng giác
BÀI 1. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Công thức lượng giác, phương trình lượng
giác cơ bản thuộc khóa học Luyện thi Quốc Gia PEN-C: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website
Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Công
thức lượng giác, phương trình lượng giác cơ bản Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy
đủ các bài tập trong tài liệu này.
Bài 1: Giải phương trình: 4sin 3 x cos 3 x 4 cos3 x sin 3 x 3 3cos4 x 3
Giải:
sin 4 x
3cos4 x 1
cos 4 x
π
6
x
x
π
8
k
cos
π
2
π
π
k
24
2
1
sin 4 x
2
π
4x
6
π
3
;k
3
1
cos4 x
2
2
π
k 2π , k Z
3
Z
Bài 2: Giải phương trình: 4sin 3 x 1 3sin x
Giải:
3cos3 x
3cos3 x (3sin x 4sin 3 x) 1
3cos3 x sin 3 x 1
cos 3 x
π
6
cos
π
3
3
1
1
cos3 x
sin 3 x
2
2
2
π
π
3x
k 2π ; k Z
6
3
π
2π
k
18
3
; k Z
π
2π
x
k
6
3
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm, giải phương trình trong các trường hợp đó.
3
2m(cos x sin x) 2m 2 cos x sin x
2
Giải:
3
PT
(2m 1) sin x (2m 1) cos x 2m 2
2
x
Để phương trình đã cho có nghiệm, ta phải có: (2m 1)
(4m 2 1) 2
0
(4m 2 1)2 0
m
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
2
(2m 1)
2
2m
2
3
2
2
1
2
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán Thầy Lê Bá Trần Phương
1
2
+ TH1: m
sin x 1
1
2
+ TH2: m
π
2
x
cosx
k 2π ; k
x π
1
2sin 2 x cos x
PT
2sin 2 x sin x
Z
k 2π ; k
Bài 4: Giải phương trình: 2sin x cot x
Giải:
Điều kiện: sin x 0
Chuyên đề 09. Lượng giác
Z
2sin 2 x 1
4sin 2 x cos x sin x
4sin 2 x cos x cos x
sin x(2sin x 1) cos x(4sin 2 x 1) cos x(2sin x 1)(2sin x 1)
(2sin x 1)(sin x cos x 2sin x cos x) 0
1
(1)
2
sin x cos x 2sin x cos x
sin x
0 (2)
π
k 2π
1
π
6
Giải (1) sin x
sin
;k
5π
2
6
x
k 2π
6
Giải (2) sin x cos x 2sin x cos x 0
x
Đặt sin x cos x t ,
2
t
t2
2
t
Ta có phương trình: t
2
1
sin x cos x
α
Vậy x
5
2cos x
2
π
4
k 2π , k
1 2sin x cos x
1
5
2; 2
2
t 1 0
t
Z
1
5
2; 2
2
π
4
1
5
cos x
2
π
4
cosα (cosα
1 5
)
2 2
Z
Bài 5: Giải phương trình: (sin x cos x)3
2(sin 2 x 1) sin x cos x
2
0
Giải:
(sin x cos x)3
PT
2(sin x cos x) 2 sin x cos x
Đặt: sin x cos x t ,
Phương trình
sin x cos x
x
π
4
π
2
t3
2
t
2t 2 t
k 2π
x
π
4
0
2)(t 2 1) 0
t
2
2
π
4
2 sin x
2
0
(t
2
sin x
k 2π ; k
π
4
2
1
Z.
Bài 6: Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1).
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 09. Lượng giác
Giải:
1 cos 2 x 1 cos 6 x
2
2
Phương trình (1) tương đương với:
1 cos 4 x 1 cos8 x
2
2
cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0
2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0
2cos5x(cos3x+cosx) = 0
4cos5x.cos2x.cosx = 0
π
kπ
2
π
kπ
2x
2
π
x
kπ
2
5x
cos 5 x
0
cos 2 x
0
cos x
0
x
x
x
π kπ
10 5
π lπ
, (k , l , n
4 2
π
nπ
2
)
Bài 7: Giải phương trình: cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (1).
Giải:
Ta có (1)
cos6x(2cos2x 1) = sin6x(1 2sin2x)
cos2x(sin6x–cos6x) = 0
cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0
cos2x = 0
2x
π
2
kπ
x
π
4
kπ
, (k
2
)
Bài 8: Giải phương trình: 8 2 cos6 x 2 2 sin 3 x sin 3 x 6 2 cos 4 x 1 0 (1).
Giải
(1)
Ta có:
2 2 cos3 x(4 cos3 x 3cos x) 2 2 sin 3 x sin 3 x 1 0
2 cos 2 x.2 cos x cos 3 x 2sin 2 x.2sin x sin x3 x
2
(1 cos 2 x)(cos 2 x cos 4 x) (1 cos 2 x)(cos 2 x cos 4 x)
2(cos 2 x cos 2 x cos 4 x)
cos 2 x(1 cos 4 x)
2
2
2
2
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán Thầy Lê Bá Trần Phương
2
4
cos 2 x.cos 2 2 x
cos 2 x
2
2
Chuyên đề 09. Lượng giác
x
π
8
kπ , (k
)
Bài 9. Giải phương trình lượng giác: sin 8 x cos8 x
17
32
(1).
Giải
Ta có (1)
1 cos 2 x
2
4
1 cos 2 x
2
4
17
32
1
(cos 4 2 x
8
Đặt cos22x = t, với t [0; 1], ta có t 2
Vì t [0;1], nên t
1
2
1
2
cos 2 2 x
6t 1
17
4
cos 4 x 1
2
cos4x = 0
4x
π
2
17
32
6 cos 2 2 x 1)
t2
6t
13
4
1
2
t
0
13
2
t
1
2
π
8
x
kπ
k
π
, (k
4
)
Bài 10. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (1)
Giải
Ta có (1)
2(1 cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0
(1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)
1] = 0
(1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0
cos x 1 x k 2π , (k
)
2sin x 2 cos x 2sin x cos x 1 0 (*)
Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t |
2t + t2 – 1 + 1 = 0
t
t
t2 + 2t = 0
0
2 (lo ¹i)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x
Bài 11. Giải phương trình: π |sin
x|
2 , khi đó phương trình (*) trở thành:
sin x
π
nπ ; x
4
- cos x
k 2π , ( n, k
π
4
x
nπ , (n
)
)
cos x
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -
Khóa học Luyện thi Quốc gia PEN-C: Môn Toán Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 09. Lượng giác
Giải
Điều kiện: x ≥ 0
Do | sin x | 0, nên π |sin
Do đó (6)
x|
| sin x | 0
| cos x | 1
π0
1 , mà |cosx| ≤ 1.
x
x
kπ , (k
)
nπ , (n
)
x
x
k 2π 2
nπ
k 2π n
x nπ
k
x
n
0
0
Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
(Vì k, n
x2
2
Bài 12: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 1
cos x .
Giải
Đặt f ( x)= cos x
x2
. Dễ thấy f(x) = f( x),
2
x
, do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét
với x ≥ 0.
Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1,
đồng biến với x≥0 .
x≥0
f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0
f(x)
Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 13: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0;
phương trình: sin n x cos n x
2
2 n
2
π
2
thoả mãn
.
Giải
Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x = nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x)
Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng 0;
Vậy x =
π
π
, ta có minf(x) = f
2
4
=2
2 n
2
π
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
4
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 5 -
