Bai 12 HDGBTTL cac bai toan cb ve dinh luong phan 2 hocmai vn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (311.21 KB, 4 trang )
Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐỊNH LƢỢNG (Phần 2)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Bài 1. Cho ba điểm A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1). Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho độ
dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
x 1 t
Ta có AB 1; 4; 3 nên phương trình đường thẳng AB: y 5 4t
z 4 3t
Để độ dài đoạn CD ngắn nhất nên D là hình chiếu vuông góc của C trên cạnh AB, gọi tọa độ điểm
D(1-a;5-4a;4-3a) DC (a; 4a 3;3a 3)
21
Vì AB DC =>-a-16a+12-9a+9=0<=> a
26
5 49 41
Tọa độ điểm D ; ;
26 26 26
x 1 2t
x y z
Bài 2. Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng d1 : ; d2 : y t
1 1 2
z 1 t
Tìm A d1 ; B d 2 sao cho AB ngắn nhất .
Hướng dẫn giải:
Gọi A t; t;2t và B 1 2t1 ; t1 ;1 t1 , AB ngắn nhất khi nó là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
d1 và d2.
3
t
AB.v1 0
1
t
6
t
0
35
3 3 6 1 17 18
1
A ; ; ; B ;
; .
35 35 35 35 35 35
3 6t1 t 0
t 17
AB.v2 0
1
35
Bài 3. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho
P : x 2 y z 5 0
và đường thẳng
x3
y 1 z 3 , điểm A( -2; 3; 4). Gọi là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của ( d)
2
và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất.
(d ) :
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
Hướng dẫn giải:
x 2t 3
Chuyển phương trình d về dạng tham số ta được: y t 1
z t 3
Gọi I là giao điểm của (d) và (P) I 2t 3; t 1; t 3
Do I P 2t 3 2(t 1) (t 3) 5 0 t 1 I 1;0;4
Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương là a (2;1;1) , mp( P) có vectơ pháp tuyến là n 1;2; 1
a, n 3;3;3 . Gọi u là vectơ chỉ phương của u 1;1;1
x 1 u
: y u
. Vì M M 1 u; u;4 u AM 1 u; u 3; u
z 4 u
4
AM ngắn nhất AM AM u AM .u 0 1(1 u ) 1(u 3) 1.u 0 u .
3
7 4 16
Vậy M ; ;
3 3 3
Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho đường thẳng d
x 2 y z 1
và hai điểm:
4
6 8
A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2). Tìm điểm I trên đường thẳng d sao cho IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn giải:
Ta có AB = ( 2; - 3; - 4); AB // d1
Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua d1 .Ta có: IA + IB = IA1 + IB A1B
IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A1B
Khi A1, I, B thẳng hàng I là giao điểm của A1B và d
Do AB // d1 nên I là trung điểm của A1B.
36 33 15
Gọi H là hình chiếu của A lên d1. Tìm được H ; ;
29 29 29
43 95 28
A’ đối xứng với A qua H nên A’ ; ;
29 29 29
65 21 43
;
I là trung điểm của A’B suy ra I ;
29 58 29
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1;2;3), song song
x 1 2t
với đường thẳng d: y t 9 và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
z 3 4t
Hướng dẫn giải:
Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và song song với d, khi đó khoảng cách giữa d
và (P) là khoảng cách từ H tới (P).
Giả sử I là hình chiếu của H trên (P), ta có AH HI max HI A I .
Vậy (P) cần tìm đi qua A và nhận AH là véc tơ pháp tuyến.
Ta có
H d H (1 2t ; t 9;3 4t )
1 2
AH d AH .ud 0 t AH (1;10; 2)
3
3
( P) : 1.( x 1) 10( y 2) 2( z 3) 0 ( P) : x 10 y 2 z 15 0.
Bài 6. Cho 3 điểm A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0; c) với a, b, c là ba số dương thay đổi và luôn thỏa mãn
a2 + b2 + c2 = 3. Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ điểm O(0 ; 0; 0) đến mp(ABC) là lớn nhất.
Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt phẳng (ABC) là:
x y z
1 0 , do đó khoảng cách từ gốc O đến mặt phẳng (ABC)
a b c
là:
d
1
.
1 1 1
a2 b2 c2
Ta có BĐT sau:
(a 2 b 2 c 2 )(
d
1 1 1
1 1 1
9
2 2 ) 9 2 2 2 2
2
a b c
a b c
a b2c2
a2 b2 c 2
3
a2 b2 c 2
3
3
3
Dấu = xảy ra khi a b c 1
max d
Bài 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d có
x 2 3t
phương trình y 2t (t R) . Tìm trên d những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là
z 4 2t
nhỏ nhất.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Hình học giải tích trong không gian
Hướng dẫn giải:
Giả sử M 2 3t; 2t; 4 2t d , dễ thấy AB//d.
Gọi A’ đối xứng với A qua d MA’ MA MA MB= MA’ MB A’B
Do đó (MA+ MB)min = A’B, khi A’, M, B thẳng hàng tức là: MA = MA’ = MB
Từ MA=MB dễ dàng suy ra M(2 ; 0 ; 4)
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 4 -
