Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n ẫh

S

T

ng)

Hàm s

NG GIAO C A
TH HÀM TRÙNG PH
Áẫ ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH

NG

NG

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng S t
khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph
qu , B n c n h c tr

ng giao c a đ th hàm trùng ph ng thu c
ng) t i website Hocmai.vn.
s d ng hi u
c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Các bài đ

c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao

Bài 1. Cho hàm s : y  x4  2m2 x2  1 (1)
CMR: V i m i giá tr c a m thì đ ng th ng y = x + 1 luôn c t đ th hàm s (1) t i 2 đi m phân bi t.
Gi i
S giao đi m c a 2 đ th t ng ng v i s nghi m c a ph ng trình:
x4  2m2 x2  1  x  1  x( x3  2m2 x  1)  0 (*) 

x  0
 3
2
 x  2m x  1  0
Ph ng trình (*) có m t nghi m x = 0
Ta s ch ng minh ph ng trình x3  2m2 x  1  0 (**) có đúng m t nghi m x  0 v i m i giá tr c a m.
- N u m = 0 thì (**) tr thành x3 – 1 = 0  x = 1 => Ph ng trình (*) có đúng 2 nghi m.
- N u m  0.

t f ( x)  x3  2m2 x  1

Hàm s này liên t c trên R và ta có f (0) . f (1)  (1).2m2  0 => Ph

ng trình f(x) = 0 có nghi m thu c

kho ng (0;1).
M t khác f ( x)  3x2  2m2  0 x  R => f(x) là hàm đ ng bi n trên R.
Nh v y ph ng trình (**) có v trái luôn đ ng bi n còn v ph i là h ng s nên nghi m thu c (0, 1) nói
trên là duy nh t.
V y (*) luôn có 2 nghi m phân bi t v i m i m (đi u ph i ch ng minh).
 nh lý SGK l p 11 (H qu c a đ nh lý v giá tr trung gian c a hàm s liên t c)
N u hàm s f(x) liên t c trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì t n t i ít nh t m t đi m C   a , b  sao cho f(c) = 0
(t c c là nghi m c a ph


ng trình f(x) = 0).

Bài 2. Cho hàm s : y   x4  2mx2  2m  1 (Cm)
Tìm m đ (Cm) c t tr c hoành t i 4 đi m, t o thành 3 đo n th ng có đ dài b ng nhau (4 đi m có hoành đ
l p thành 1 c p s c ng).
Gi i
–
(Cm) c t Ox t i 4 đi m phân bi t thì ph ng trình:

x4  2mx2  2m  1  0 (1) ph i có 4 nghi m phân bi t.

 X 2  2mX  2m  1  0 (2) ph i có 2 nghi m d

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

ng phân bi t (đ t x2  X , X  0 )

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n ẫh

ng)

Hàm s




 '  0
2


(m  1)  0
m1
1



b


m 
  S    0   2m  0
 m  0  
2
a

 2m  1  0


1
m  1

c


m 

2
 P  a  0
- G i nghi m c a (1) là x1, x2, x3, x4 (x1 < x2 < x3 < x4)
G i nghi m c a (2) là X1, X2 (X1 < X2 )
Và g i 4 giao đi m đó theo th t là A, B, C, D
=> A(x1,0), B(x2,0), C(x3,0), D(x4,0)
4 đi m này t o thành 3 đo n th ng có đ dài b ng nhau
 AB = BC = CD
 x2  x1  x3  x2  x4  x3

  X1  ( X2 )  X1  ( X1 )  X2  X1
 X2  3 X1  X2  9 X1
2
10 X1  2m
 X1  X2  2m
 m
Mà theo Viet ta l i có: 
 2
 9.    2m  1
5
 X1. X2  2m  1 9 X1  2m  1

m  5
 9m  50m  25  0  
m  5
9

2


Bài 3. Cho hàm s

y  x4  2(m  1) x2  2m  1

Tìm m đ hàm s c t Ox t i 3 đi m phân bi t có hoành đ nh h n 3.
Gi i
Xét ph

ng trình hoành đ giao đi m : x4  2(m  1) x2  2m  1  0 (1)

t t  x2 ( t  0) thì ( 1) tr thành : f (t )  t 2  2(m  1)t  2m  1  0
Hàm s c t Ox t i 3 đi m phân bi t có hoành đ nh h n 3

0  t1  t2  9 (2)
 f (t )  0 có 2 nghi m phân bi t t1 ; t2 sao cho : 
0  t1  9  t2 (3)
 '  m2  0
1
Xét (2)  
 m   . Thay m vào ph
2
 f (0)  2m  1  0

ng trình ta th y (2) th a mãn.

t  1
, do đó (3)  0  1  9  2m  1  m  4
Xét (3) : f (t )  0  
t  2m  1

1
áp s : m    m  4
2
Bài 4 : Cho hàm s

y  f ( x)  x4  mx3  (2m  1) x2  mx  1

Xác đ nh m sao cho đ th hàm s c t tr c hoành t i hai đi m phân bi t có hoành đ l n h n 1.
Gi i
Xét ph

ng trình hoành đ giao đi m : x4  mx3  (2m  1) x2  mx  1  0 (1)

(1)  x2 

1
1

 m  x    (2m  1)  0 (2)
2
x
x


Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12


- Trang | 2 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n ẫh

ng)

Hàm s

1
1
t t  x  ; t '( x)  1  2  0 , do đó khi x  1  t ( x)  t (1)  0
x
x
2
Bây gi (2) có d ng : t  mt  (2m  1)  0 (3)
V y đ (1) có hai nghi m l n h n 1, ph

ng trình (3) ph i có hai nghi m d

ng

  m2  4(1  2m)  0  2
m  8m  4  0


1
S m

  0

 m  0
 m   4  2 5;  .
2

2 2

1
P
m



1
2
0

m 

2

Bài 5: Cho đ

ng cong y  x4  (3m  2) x2  3m . Tìm m đ đ

4 đi m phân bi t, trong đó có 2 đi m có hoàng đ l n h n
Gi i
ng th ng y  1 c t đ

ng th ng y  1 c t đ


1
.
2

ng cong trên t i 4 đi m phân bi t khi và ch khi ph

x4  (3m  2) x2  3m  1 có 4 nghi m phân bi t, đi u đó x y ra khi và ch khi ph
t 2  (3m  2)t  3m  1  0 có 2 nghi m d

ng cong trên t i

ng và l n h n

ng trình :
ng trình :

1
.
4

1

t1  1  4
1


1

m  
T c là : t2  3m  1   

4
4

m  0
1  3m  1


Bài 6: Cho hàm s

y  x4  2(m  1) x2  2m  1

Tìm m không âm đ hàm s c t tr c Ox t i 4 đi m có hoành đ là : x1 ; x2 ; x3 ; x4 sao cho :
x14  x24  x34  x44 đ t giá tr nh nh t.

Gi i
Xét ph

mg trình hoành đ giao đi m : x4  2(m  1) x2  2m  1  0 (1)

t  1
(vì m không âm)
t t  x2 , t  0 thì (1) thành : f (t )  t 2  2(m  1)t  2m  1  0  
t  2m  1

Khi đó : x14  x24  x34  x44  2  t12  t22   2  2(2m  1)2  4, m  0
Do đó t ng này đ t giá tr nh nh t là 4 khi m  0 .
V y m = 0.
ÁP ÁN M T S

BÀI T P THAM KH O THÊM


Bài 1. Cho hàm s : y  x4  2m2 x2  m4  2m (1), v i m là tham s .
Ch ng minh đ th hàm s (1) luôn c t tr c Ox t i ít nh t hai đi m phân bi t, v i m i m < 0.
B n đ c t gi i

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n ẫh

Bài 2. Cho hàm s

y  x4  3x2  2 . Tìm s th c d

ng)

ng a đ đ

Hàm s

ng th ng y  a c t (C) t i hai đi m A, B

sao cho tam giác OAB vuông t i g c t a đ O.
H ng d n gi i:

Hoành đ giao đi m c a đ
x4  3x2  2  a  0 . (1)
Rõ ràng v i m i a  0 ph

ng th ng y  a v i (C) là nghi m c a ph

ng trình x4  3x2  2  a , hay

ng trình (1) có hai nghi m th c trái d u, ngh a là đ

ng th ng y  a c t (C) t i

hai đi m phân bi t A( xA; a ) và B( xB ; a ), xA  xB .


Ta có: xA  xB  0 (2) và OA  ( xA; a ), OB  ( xB; a )
 
Theo gi thi t tam giác OAB vuông t i O nên OA. OB  0 hay xA.xB  a 2  0
K t h p v i (2) ta đ

c xA  a ; xB  a . Do xA , xB là nghi m c a (1) nên

a 4  3a 2  a  2  0  (a  2)(a 3  2a 2  a  1)  0  a  2 (vì a > 0)

V y a = 2 th a mãn đi u ki n bài toán.
Bài 3: (D-2009) Cho hàm s y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đ th là (Cm), m là tham s .
Tìm m đ đ
H
Ph


ng th ng y = -1 c t đ th (Cm) t i 4 đi m phân bi t đ u có hoành đ nh h n 2.

ng d n gi i:
ng trình hoành đ giao đi m c a (Cm) và đ

t t  x2 , t  0 ; ph

ng th ng y = - 1: x4  (3m  2) x2  3m  1 .

ng trình tr thành: t 2  (3m  2)t  3m  1  0

 t  1 ho c t  3m  1 .
Yêu c u c a bài toán t

ng đ

0  3m  1  4
ng: 
3m  1  1

1
   m  1, m  0.
3

Bài 4: Cho hàm s : y  x4  2(m  1) x2  2m  1 có đ th là (Cm).
Tìm m đ đ th (Cm) c t tr c hoành t i 4 đi m phân bi t có hoành đ l p thành c p s c ng.
H
Xét ph

ng d n gi i:


ng trình hoành đ giao đi m: x4  2(m  1) x2  2m  1  0

(1)

t t  x2 , t  0 thì (1) : f (t )  t 2  2(m  1)t  2m  1  0
(Cm) c t Ox t i 4 đi m phân bi t thì f (t )  0 ph i có 2 nghi m d

ng phân bi t

 '  m2  0
1


m  
 (1)   S  2(m  1)  0  
2 (*)
 P  2m  1  0
m  0


Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -



Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n ẫh

ng)

Hàm s

V i (*), g i t1  t2 là 2 nghi m c a f (t )  0 , khi đó hoành đ giao đi m c a (Cm) v i Ox l n l

t là

x1   t2 ; x2   t1 ; x3  t1 ; x4  t2
x1 ; x2 ; x3 ; x4 l p thành c p s c ng  x2  x1  x3  x2  x4  x3  t2  9t1

m  4
5m  4m  4
 m  1  m  9  m  1  m   5 m  4(m  1)  

m   4
 5m  4m  4
9

4

V y m  4;  
9


Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n


Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 5 -