Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

TH TÍCH KH I CHÓP (PH N 05)
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH

NG

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Th tích kh i chóp (Ph n 05) thu c khóa h c
Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn.
s d ng hi u qu ,
B n c n h c tr c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

(Tài li u dùng chung P3+ P4+ P5)

Các bài đ

c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao

Bài 1. Cho chóp S.ABC có góc BAC  900 , ABC  300 , ( SAB)  ( ABC ). Tam giác SBC đ u c nh a.
Tính th tích chóp S.ABC theo a..
Gi i:
Ta có:
( SAB)  ( ABC )
a

0

( SAB)  ( ABC )  AB  AC  ( SAB)  h  AC  BC sin 30 
2
 AC  AB


Do AC  (SAB)  AC  SASAC vuông t i A nên ta có:
a 3
2
Tam giác SAB cân t i S, M là trung đi m SB suy ra AM là đ
SA  AB  SC 2  AC 2 

ng cao c a tam giác này và:

SB 2 a 2
a2 2
1
 VSABC  CAS
) 
. ABC 
2
2
3
24
Bài 2. Cho chóp SABC đáy là tam giác vuông cân t i B có BC = a. M t SAC vuông góc v i đáy, các m t
bên còn l i t o v i đáy 1 góc 45 đ . Tính th tích chóp?
Gi i:
K SH  BC, (SAC )  ( ABC )  SH  ( ABC )
AM  SA2  (

G i I, J là hình chi u c a H lên AB, BC

 SI  AB, SJ  BC  SIH  SJH  450.

Ta có: SHI  SHJ  HI  HJ
 BH là đ ng phân giác góc ABC, nên H là trung đi m AC.
Khi đó: HI  HJ  SH=

1
a
a3
 VSABC  SH .SABC 
2
3
12

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đ ng chéo AC = 2 3a , BD = 2a và c t
nhau t i O; hai m t ph ng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD). Bi t kho ng cách t
đi m O đ n m t ph ng (SAB) b ng

a 3
, tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a.
4

Gi i:
T gi thi t AC = 2a 3 ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc v i nhau t i trung đi m O c a m i đ
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12


ng chéo.
- Trang | 1 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

Ta có tam giác ABO vuông t i O và AO = a 3 ; BO = a , do đó ABD  600 hay tam giác ABD đ u.
T gi thi t hai m t ph ng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD) nên giao tuy n c a
chúng là SO  (ABCD)
Do tam giác ABD đ u nên v i H là trung đi m c a AB, K là trung đi m c a HB ta có DH  AB và DH =
1
a 3
DH 
 OK  AB  AB  (SOK)
2
2
G i I là hình chi u c a O lên SK ta có OI  SK; AB  OI  OI  (SAB) , hay OI là kho ng cách t O
đ n m t ph ng (SAB).
1
1
1
a
Tam giác SOK vuông t i O, OI là đ ng cao 


 SO 

2
2
2
2
OI
OK
SO
a
Di n tích đáy SABCD  4SABO  2.OAOB
.  2 3a 2 ; đ ng cao c a hình chóp SO  .
2
a 3 ; OK // DH và OK 

1
3a 3
Th tích kh i chóp S.ABCD: VS. ABCD  SABCD .SO 
.
3
3
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i đ nh A, AB=AC=a. M t bên qua c nh
huy n BC vuông góc v i m t đáy, hai m t bên còn l i đ u h p v i m t đáy các góc 60o. Hãy tính th tích
c a kh i chóp S.ABC.
Gi i:
K SH vuông góc v i BC. Suy ra SH  mp (ABC)
K SI vuông góc v i AB và SJ  AC
góc SIH = góc SJH = 60o  tam giác SHI = tam giác SHJ
 HI = HJ  AIHJ là hình vuông
 I là trung đi m AB  IH = a/2

Trong tam giác vuông SHI ta có SH 


a 3
2

1
a3 3
(đvdt)
V(SABC) = SH .SABC 
3
12

Bài 5. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thoi c nh 2a, SA=a, SB=a 3 , BAD  600 ,
(SAB)  (ABCD). G i M, N l n l t là trung đi m c a AB, BC. Tính th tích kh i t di n NSDC và tính
cosin c a góc gi a hai đ ng th ng SM và DN.
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Gi i
+) VNSDC=?
- Ta có: SA2+SB2=a2+3a2=4a2=AB2

1
=>  SAB vuông t i S => SM= AB  a
2
=>  SAM đ u.
- G i H là trung đi m AM => SH  AB.

Hình h c không gian

S

(SAB)  ( ABCD)  AB
- 
 SH  ( ABCD)
SH  (SAB), SH  AB

+ SH=

C

M

1
- VNSDC = VSNDC= .SNDC .SH
3
Mà:

+ SNDC 

N


B

H

A

I

E

D

2

1
3 a 3
1
1
1 1

SBDC  SBDA  . . AB.AD.sin 60 0 = .2a .2a.
4
2
2
2
2
2 2

a 3
2


(SH là đ

ng cao trong tam giác đ u SAM).

1 a2 3 a 3 a3
.

.
 VNSDC= .
3 2
2
4
+) d(SM, DN)=?
- G i E là trung đi m c a AD, ta có: BN//=ED => BNDE là hình bình hành => BE//ND.
- G i I là trung đi m c a AE => MI//BE => MI//ND => (SM , DN )  (SM , MI )

- Ta có: SI2 = MS2 + MI2 - 2MS.MI.cos SMI => cosSMI 
Mà: + SM=

MS 2  MI 2  SI 2
2.MS.MI

1
1
AB= .2a = a.
2
2

a2

a 1 3a 2
 2.a . . 
+ MI = AM + AI - 2AM.AI.cos60 = a +
2
2 2
4
2

2

2

0

2

+ Xét tam giác vuông SHI, ta có: SI2 = SH2 + HI2 = (

a 3 2
)  HI 2 .
2

a
3a 2 a 2
2

 a2
H n n a tam giác AHI đ u => HI=  SI 
2
4

4

 Cos SMI 

3a 2
 a2
3
4

 0.
4 3
a 3
2.a .
2

a2 

   SM , MI   SMI  cos  SM , DN   cos  SM , MI   cosSMI 

3

.
4 3
Bài 6. Cho hình chóp t giác SABCD, hai m t ph ng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc v i (ABCD), đáy
ABCD là hình ch nh t có AB = a, BC = a 3 . G i I là đi m thu c SC sao cho SI = 2CI và AI  SC. Tính
th tích kh i chóp SABCD.
Gi i
- G i O = AC  BD..
Hocmai.vn – Ngôi tr


ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

( SAC )  ( SBD)  SO

 SO  ( ABCD)
- ( SAC )  ( ABCD)
( SBD)  ( ABCD)


S

1
- VSABCD  SABDC .SO
3
Mà:

I

+ SABCD = AB.AD = a.a 3 = a 2


3.
A

B

1
1
+ SSAC  SO. AC  SC. AI
2
2
=> SO.AC = SC.AI (*).
H n n a:

O

AC = AD2  DC 2  3a 2  a 2  2a.

C

D

SC = SO2  OC 2  SO2  a 2 .
AI =

1
1
AC 2  CI 2  AC 2  ( SC ) 2 (SI=2 IC => IC= SC )
3
3


SC
SO 2  a 2 1
2
AC 
 4a 

35a 2  SO 2 ( k: SO < a 35 ).
9
9
3
Thay vào (*) ta có:
1
SO.2a = SO 2  a 2 . 35a 2  SO 2
3
2

=

2

 6a.SO =

SO2  a 2 . 35a 2  SO2

 36.a2.SO2 = ( SO 2  a 2 ).(35a 2  SO 2 )
 SO4 + 2a2.SO2 - 35a4 = 0. Coi đây là ph

ng trình trùng ph


ng, ta có SO=a 5 .

1 2
a 3 . 15
.
a
.
3.
a
5

V y VSABCD=
.
3
3
Bài 7. Cho hình chóp SABC, đáy ABC là tam giác vuông t i B, AB = 3a, BC = 4a, hai m t ph ng (SAB)
và (SAC) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABC), góc gi a SB và m t ph ng (ABC) b ng 30o, M là trung
đi m c a SC. Tính th tích kh i chóp SABM.
S
Gi i:

( SAB)  ( SAC )  SA

o

( SAB)  ( ABC )
  SA  ( ABC )  SBA  30

( SAC )  ( ABC )



- Xét SAB ta có: SA = SB.tan30o = 3a.

M

1
=a 3.
3

G i H là trung đi m c a AC
Khi đó: MH //SA  MH  (ABC)

A

C
H

B

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph


ng)

Hình h c không gian

1
1
VSABM  VSABC  VMABC  SABC .SA  SABC .MH
3
3
1
1
1
1
-  SABC .SA SABC . SA  SABC .SA
3
3
2
6
1 1
1
 . .BABC
. .SA  .3a.4a.a 3  a 3 . 3
6 2
12
Bài 8. D b KA-2010: Chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t i A, BA=AC=a,
(SBC )  ( ABC ) , hai m t bên còn l a h p v i đáy 1 góc 600. Tính th tích chóp S.ABC.

Gi i:
K SH  BC ( H  BC )  SH  ( ABC )


S

 SH là chi u cao c a kh i chóp S.ABC
- K HI  AB và k HK  AC
VS. ABC

1
a2
1
S
AB
.
AC


mà
 SABC .SH
ABC
2
2
3

Tính SH=?
Ta có: tan 600 

SH
 SH  HK.tan 600  3.HK
HK

K


I

M t khác: IHKA là hình vuông  HK  AK

A

Tam giác HKC vuông cân t i K nên HK = KC. K là trung đi m c a AC nên HK 
 SH 

C

H

B

a
2

a 3
2

1 a2 a 3 a3 3

V y VS. ABC  . .
3 2 2
12

Bài 9. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD c nh a, m t bên (SAD) là tam giác đ u và
n m trong m t ph ng vuông góc v i m t ph ng (ABCD). G i M, N, P l n l t là trung di m c a SB, BC,

CD. Tìm th tích c a t di n CMNP.
Bài gi i:
K SI vuông góc v i AD t i I. Kho đó SI   ABCD  . T M h đ

ng th ng vu ng góc xu ng m t ph ng (ABCD)

t i J khi đó J là trung đi m c a IB. Ta có

1
1 2 a2 a 3

SI 
a 
2
2
4
4
1
1 a a a2
SCNP  NC.CP  . . 
2
2 2 2 8
1
1 a 3 a2 a3 3
 VCNMP  MJ .SCNP 

3
3 4 8
96
MJ 


Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Khóa h c Luy n thi Qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hình h c không gian

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn


- Trang | 6 -