Biến đổi tuyến tính và ma trận chuyển cơ sở
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.28 MB, 28 trang )
$.9 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH
VÀ MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ
/>
9.1 ¡ KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH
Định nghĩa 9.1.1 Một ánh xạ T : V → W được gọi là
một phép biến đổi tuyến tính nếu ∀ v, w∈V và ∀ x ∈!
(a) T(v + w) = T(v) + T(w)
(b) T(xv)= xT(v).
Chú ý Hai điều kiện (a) và (b) tương đương với
(c) T(xv + yw) = xT(v) + yT(w)
VD9.1.1
a) T : ! → !
2
2
V ! T(v) = 3v
⇒ T là phép biến đổi tuyến tính( phép dãn vectơ 3 lần).
b) T : ! → !
2
2
⎡ x1 ⎤
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥ ! T ⎢x ⎥ =
⎣ 2⎦
⎣ 2⎦
⎡ x1 ⎤
⎢ 0⎥
⎣ ⎦
⇒ T là phép biến đổi tuyến tính( phép chiếu lên trục Ox).
c)
T: ! → !
2
2
⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥ ! T ⎢x ⎥ = ⎢ − x ⎥
2⎦
⎣ 2⎦ ⎣
⎣ 2⎦
⇒ T là phép biến đổi tuyến
tính( phép lấy đối xứng các
vectơ qua trục Ox).
d)
T: ! → !
2
2
⎡ x1 ⎤ ⎡ − x2 ⎤
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥ ! T ⎢x ⎥ = ⎢ x ⎥
⎣ 2⎦ ⎣ 1 ⎦
⎣ 2⎦
⇒ T là phép biến đổi tuyến tính(
phép quay mỗi vectơ trong R
2
một góc 900 theo hướng ngược
chiều kim đồng hồ)
e)
T: ! → !
2
2
⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 x2 ⎤
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥ ! T ⎢x ⎥ = ⎢ x + x ⎥
⎣ 2⎦ ⎣ 1 2⎦
⎣ 2⎦
⇒ T KHÔNG là phép biến đổi tuyến tính
2
f) T : R → R
1
⎡ x1 ⎤
⎡ x1 ⎤
⎢ x ⎥ ! T ⎢ x ⎥ = x1 + x2 ⇒ T là phép BĐ tuyến tính
⎣ 2⎦
⎣ 2⎦
2
g) T : R → R
3
⎡ x2 ⎤
⎡ x1 ⎤ ⎢
⎡ x1 ⎤
⎥
⎢ x ⎥ ! T ⎢ x ⎥ = ⎢ x1 ⎥
⎣ 2⎦ ⎢ x + x ⎥
⎣ 2⎦
⎣ 1 2⎦
⇒ T là phép biến đổi tuyến tính
VD9.1.2 Cho phép biến đổi tuyến tính:
T: ! → !
2
3
⎡ 1⎤
! ⎡7 ⎤
!
⎡3⎤
!
!
⎢ ⎥
v1 = ⎢ ⎥ ! T ( v1 ) = ⎢ − 1⎥ ; v 2 = ⎢ ⎥ !T ( v2 ) =
1⎦
⎣2⎦
⎣
⎢⎣ 0 ⎥⎦
! ⎡ 4⎤
!
Tính T ( v3 ) biết v 3 = ⎢ ⎥
⎣ −2 ⎦
⎡2 ⎤
⎢ ⎥
1
⎢ ⎥
⎢⎣3 ⎥⎦
Định nghĩa 9.1.2 Cho phép biến đổi tuyến tính
T:V→W
Ảnh của T là tập {T(v) | v∈V}.
Hạt nhân của T là tập {v∈V | T(v) = 0W}.
Định lý 9.1.1 Nếu T : V → W là một phép biến đổi
tuyến tính, thì
(i) Ker(T) là một không gian con của V.
(ii) Im(T) là một không gian con của W.
(iii) dim Ker(T) + dim Im(T)
= dim V
2
2
VD9.1.3 Cho T : R → R xác định bởi
⎛
⎡ x1 ⎤
⎢ x ⎥ ! T ⎜⎜
⎣ 2⎦
⎝
Ker(T) = {(0, x2) | x2 ∈R}.
Im(T) = {( x1, 0 ) | x1 ∈R}
⎡ x ⎤ ⎞ ⎡x ⎤
⎢ 1 ⎥⎟ = 1
⎢ x2 ⎥ ⎟⎠ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎣
⎦
3
2
VD9.1.4 T : R → R xác định bởi
⎛⎡ x ⎤⎞
⎡ x1 ⎤
1
⎢
⎥ ⎟ ⎡ x1 + x2 ⎤
⎜
⎢x ⎥ ! T ⎢ x ⎥ =
⎜
⎟ ⎢
2
2
⎥
⎢ ⎥
x
+
x
3⎦
⎜⎢ x ⎥⎟ ⎣ 2
⎢⎣ x3 ⎥⎦
⎝ ⎢⎣ 3 ⎥⎦ ⎠
Ker(T) = {( x1, - x1, x1) | x2 ∈R}.
Im(T) = {( x1, x2 ) | x1, x2 ∈R} = R
2
9.2 ¡ MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH
VD9.1.2(g):
⎡ x2 ⎤
⎡0⎤
⎡1 ⎤
⎡ x1 ⎤ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
T⎢ ⎥=
x1
= x1 1 + x2 0
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
x
⎣ 2⎦ ⎢ x + x ⎥
⎢⎣1 ⎥⎦
⎢⎣1 ⎥⎦
⎣ 1 2⎦
⎡0 1⎤
⎡ x1 ⎤
⎢
⎥
= x1T ( e1 ) + x2T ( e 2 ) = 1 0 ⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎣ x2 ⎦
⎢⎣1 1 ⎥⎦
Do đó T(v) = Av
{e1, e2, ... , en} là cơ sở chính tắc cơ sở của !
n
Phép biến đổi tuyến tính T : ! → !
m
v ! T(v) = Av
m
Đặt aj = T(ej) ∈ R . Khi đó A = [a1 a2 ... an]
A được gọi là ma trận chính tắc của T.
n
3
2
VD9.2.1 Cho phép biến đổi tuyến tính T : ! → ! xác
định bởi
⎡ 5x − 2x
1
2
⎢
T(v) =
⎢ 10x2 + x3
⎣
Tìm ma trận chính tắc của T
⎤
⎥
⎥
⎦
⎡ x ⎤
⎢ 1 ⎥
với v = ⎢ x2 ⎥ .
⎢
⎥
x
⎢⎣ 3 ⎥⎦
NHẮC LẠI E = {v1, v2, ... , vn} là cơ sở của V
Nếu v ∈V, ta có: v = x1v1 + x2v2 + ⋅⋅⋅ + xnvn
Ký hiệu [v]E = (x1, x2,... , xn): tọa độ của v theo cơ sở E
⎧ ⎡ 2 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎫
VD9.2.2 E1= {e1, e2 }, E2 = {v1, v2 } = ⎨ ⎢ ⎥ , ⎢ ⎥ ⎬
⎩ ⎣1 ⎦ ⎣6 ⎦ ⎭
⎡5⎤
v = ⎢ ⎥ ∈ ! 2 : v = 5 e1 – 3 e2 →[v]E1 = (5, -3)
⎣ −3⎦
v = 3 e1 – e2 →[v]E2 = (3, -1)
TỔNG QUÁT: E = {v1, v2, ... , vn} là cơ sở của V
F = {w1, w2, ... , wm} là cơ sở của W.
Phép biến đổi tuyến tính T : V → W
aj = [T(vj)]F (tọa độ của
T(vj) theo cơ sở F)
Đặt A = [a1 a2 ... an]
→ [T(v)]F = A[v]E.
VD9.2.3 Cho phép biến đổi tuyến tính
3
T:R →R
2
⎡ x1 ⎤
⎢ ⎥
v = ⎢ x2 ⎥ ! T(v) = Av = x1w1 + (x2 + x3)w2
⎢x ⎥
⎣ 3⎦
⎡1⎤
⎡− 1⎤
trong đó w1 = ⎢ ⎥ và w2 = ⎢ ⎥ . Hãy tìm ma trận A của
⎣1⎦
⎣1⎦
T theo các cơ sở {e1, e2, e3} và {w1, w2}.
VD9.2.4 Cho phép biến đổi tuyến tính
2
T:R →R
2
xw1 + yw2 ! T(xw1 + yw2) = (x + y)w1 + 2yw2
⎡1⎤
⎡− 1⎤
trong đó w1 = ⎢ ⎥ và w2 = ⎢ ⎥ .
⎣1⎦
⎣1⎦
Hãy tìm ma trận A biểu diễn T theo cơ sở {w1, w2}.
9.3 Ma trận chuyển cơ sở
Nhắc lại: I : V → V
v ! I (v) = v
được gọi là ánh xạ đồng nhất.
Giả sử V có cơ sở E = {v1, v2, ... , vn} trong không gian
nguồn, và cơ sở F = {w1, w2, ... , wm} trong không gian
đích.
aj = [I (vj)]F = [vj]F ( j = 1, 2, ... , n)
thì I có ma trận A = [a1 a2 ... an] theo các cơ sở E và F
2
VD9.3.1 Cho hai cơ sở của R là
E = {e1, e2} và F ={w1 = (3, 7), w2 = (2, 5)}.
2
Tìm ma trận của I : R → R
a) theo các cơ sở E và F.
b) theo các cơ sở F và E.
Giải
2
Chú ý
n
1) Nếu R có hai cơ sở E = {e1, e2, ... , en} (cơ sở chính
tắc) và F = {w1, w2, ... , wm}, thì ma trận của của ánh xạ
đồng nhất theo cơ sở F và E là [w1 w2 ... wn].
2) Nếu E TRÙNG F, thì ma trận của I theo cơ sở E và
F là ma trận đơn vị cỡ n×n.
