PHẦN I. LỜI MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học cơ sở mang tính trừu tượng nhưng mô hình ứng
dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực và đời sống.
Định lí Stockes có vị trí rất quan trọng trong toán học, không những như
một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của giải tích cổ điển mà còn là một công
cụ đắc lực để giải các bài toán tích phân phức tạp trở nên dễ dàng hơn, và
đôi khi kết hợp với định lí Gauss cung cấp một công cụ quan trọng để làm việc
với các dạng khác nhau của bề mặt và dòng tích,…Trước hết với sự cần thiết
của giải tích cổ điển đối với các sinh viên chuyên Toán, với tầm quan trọng
của nó trong công việc giảng dạy sau này, chúng tôi chọn đề tài “ ĐỊNH LÍ
STOKES VÀ ỨNG DỤNG ”
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của chúng tôi khi nghiên cứu đề tài này là trình bày sâu sắc hơn
về định lí Stokes, dựa trên công thức Stokes nghiên cứu đưa ra phương pháp
giải cho một số dạng bài tập.
3. Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là định lí Stokes
4. Phạm vi nghiên cứu

+ Định lí Stokes và cách chứng minh định lí
+Ứng dụng định lí Stokes để giải một số dạng bài tập.
5. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu

6. Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, đề tài gồm ba chương :

Chương 1: Định lí Stokes
Trong phần này chúng tôi phát biểu và chứng minh định lí Stokes.
Chương 2: Ứng dụng định lí Stokes
Trong phần này chúng tôi đề cập đến một số ứng dụng của định lí Stokes
như dùng để tính tích phân đường và tích phân mặt, tính tích phân trong
bề mặt tương đương và tính tích phân trong một số bề mặt khác.
Chương 3: Bài tập vận dụng
Trong chương này chúng tôi giải một số dạng bài tập có ứng dụng định
lí Stokes.
2.1 .Ứng dụng định lí Stokes để tính tích phân đường và tích phân mặt.
2.2. Bề mặt tương đương
2.3. Tính tích phân trong một số bề mặt khác.


PHẦN II. NỘI DUNG
CHƯƠNG I. ĐỊNH LÍ STOKES


1.1.

Định lí Stokes.
F ( X ) = f ( x , y , z ) i + g ( x, y , z ) j + h ( x , y , z ) k

Cho
là một hàm số liên tục, khả vi,
là một trường véc tơ trong miền D chứa một đường cong khép kín đơn giản C và
một bề mặt không định hướng vì vậy mà C là ranh giới của .
Cho điểm , cho v là đơn vị trực chuẩn để đúng, thông qua quy tắc bàn tay phải, với
hướng lựa chọn của đường cong C. Khi đó


∫ ∇ × F ( X ) .vdσ = ∫ F ( X ) .dX .
Σ

C

Chứng minh
Đầu tiên ta chứng minh một trường hợp đặc biệt
Giả thiết phẳng là một phép chiếu vào mỗi tọa độ phẳng x,y y,z và z,x. Nó có nghĩa
là các phương trình xác định của , mà ta có thể giả định để có , là cách tìm x,y và z,
do đó ta có
z = ϕ ( x, y ) , x = ψ ( y, z ) , y = θ ( x, z ) .
Cx, y , C y, z

Ta cho

Cz , x

và

là đường cong phẳng hai chiều, đó là những hình chiếu
Σ x, y

Σ y,z

Σz,x

của lên các mặt phẳng y,x, y,z và z,x tương ứng, và ta cho
,
và
là các

phần bên trong đường cong phẳng x,y ,y,z và z,x ,tương ứng, bên trong các phẳng.
Ta chú ý rằng có thể được chia thành

=
= Fx,y + Fy,z + Fz,x
Bắt đầu với trường
x,y

x,y

và ,ta có

= Fx,y

= (x,y)i + (x,y)j.
Bởi vì trường này chỉ phụ thuộc vào x và y, ta có thể coi nó được xác định trong một
Σ x, y

vùng của phẳng x,y có chứa đường cong phẳng x,y và phần bên trong

của nó.


Sử dụng quy tắc dây chuyền, ta tính

=

=
Áp dụng định lí Green ta có:


∫ ( f%( x, y ) dx + g%( x, y ) dy ) = ∫

Σx ,y

Cx , y

 ∂g% ∂f%
 − ÷dxdy
 ∂x ∂y 

 ∂ϕ

∂ϕ
−
i−
j+k÷

 ∂g
∂y
 ∂g ∂f    ∂x
∂f
 dσ
= ∫ − i +
j +
− ÷k ÷.
Σ
2
2
∂z
 ∂x ∂y  

 ∂z
 ∂ϕ   ∂ϕ 
1+ 
÷ +
÷
 ∂x   ∂y 

 ∂g
 ∂g ∂f  
∂f
= ∫ − i+
j +  − ÷k ÷( x, y , ϕ ( x, y ) ) .v ( x, y, ϕ ( x, y ) ) d σ .
Σ
∂z
 ∂x ∂y  
 ∂z

Từ và tại điểm

x,y

thỏa mãn và tương ứng tại điểm , ta có
 ∂g ∂f
 ∂g ∂f  
j +  − ÷k ÷.vdσ .
− i +
∂z
 ∂x ∂y  
 ∂z


∫ ( f ( x, y, z ) dx + g ( x, y, z ) dy ) = ∫

Σ

C

Sử dụng

x = ψ ( y, z ) , C y , z vàΣ y , z

, với lập luận tương tự ta có

∫ ( g ( x, y, z ) dy + h ( x, y, x ) dz ) = ∫
C

Cuối cùng, sử dụng

Σ

y = θ ( x, z ) , C z , x

∫ ( f ( x, y, z ) dy + h ( x, y, z ) dz ) = ∫
C

  ∂h ∂g  ∂h

j + k ÷.vdσ .
  − ÷i −
  ∂y ∂z  ∂x



Σ

và

∑

z,x

ta có

 ∂h  ∂f ∂h 
∂f 
 i +  − ÷ j − k ÷.vdσ .
∂y 
 ∂y  ∂z ∂x 


Từ 3 phương trình và 2 cách phân chia trên ta được:

∫

C

F ( X ) * dX = ∫ F ( X ).dX = ∫
C

C

( f ( x, y, z ) dx + g ( x, y, z ) dy + h ( x, y, z ) dz )


  ∂h ∂g   ∂f ∂h   ∂g ∂f  
= ∫   − ÷i +  − ÷ j +  − ÷k ÷.vdσ
Σ
  ∂y ∂z   ∂z ∂x   ∂x ∂y  

=

∫ curlF ( X ).v( X )d Σ
Σ

Và chứng minh cho bề mặt đặc biệt

Σ

,như mô tả, là hoàn tất.

Σ

Một mặt đa tạp định hướng (tức là, một mặt có hai mặt khác biệt, như trái
ngược với một dải Moebius, ví dụ) có thể được chia thành một hữu hạn số các bề
mặt nhỏ hơn

Σk

, k= 1,2, 3,...,k, thỏa mãn các giả thiết của bề mặt đặc biệt trên, và

giới hạn bởi đường cong k , như vậy
K


Σ = Uk =1 Σ k

Σk

được tính ngoại trừ đường cong ranh giới

Σ kK=1Ck = C

của chúng,
và
bởi vậy ta hiểu rằng k là đường định hướng theo
hướng dương liên quan đến và quy tắc bàn tay phải, và tất cả các hình cung nhỏ
của k mà không phải là các hình cung nhỏ của được phủ hai lần, theo hướng ngược
nhau, để hủy tích phân đường tương ứng. Áp dụng kết quả của chúng tôi cho mỗi bề
mặt và đường cong mặt biên của chúng, ta hoàn thành chứng minh của định lí bằng
cách quan sát

∫

Σ

K

curl F ( X ) * v( X )dX = ∑ ∫ curlF ( X )* v( X )dX
k =1

Σk

K


= ∑ ∫ F ( X ) * dX = ∫ F ( X ) * dX .
k =1

Ck

C

1.2 ví dụ

Ví dụ 1: Chúng ta xét các trường trong 3:


F( X) =

1 2
z i + x2 j + y 2k ,
2

(

)

Có curl là dễ dàng thấy được
∇ × F ( X ) = yi + zj + xk .

Ta cho biểu thị bề mặt paraboloit :
Σ = { ( x, y , z ) 4 z + x 2 + y 2 − 1 = 0

hoặc


}

z = 1 − ( x2 + y 2 ) 4

Các đơn vị trực chuẩn đến bề mặt này với các thành phần tích cực theo hướng z là
v ( X ) = ( xi + yj + 2k ) / 4 + x 2 + y 2

Tích phân mặt trong định lí Stokes là như vậy

∫∫ ( yi + zj + xk ).(( xi + yj + 2k )
Σ

x2 y 2
4 + x + y ) 1 + + dxdy
4
4
2

2

= 2 ∫∫ ( yi + zj + xk ).( xi + yj + 2k )dxdy = 2 ∫∫ ( xy + zy + 2 x)dxdy,
Σ

D

Trong đó là đĩa bán kính 2 trọng tâm trong phẳng x,y. Phức tạp nhưng không quá
khó để thấy rằng tích phân này bằng không. Ứng dụng định lí Stokes , tích phân phải
đúng với:
1
1

z 2 dx + x 2 dy + y 2 dz = ∫ x 2 dy
∫
2C
2C

(

Vì

z≡0

)

trên trong phẳng . Thay đổi hai cận để tích phân cuối cùng này dễ tính hơn
cos 2θ

4∫

2π

0

=

d


sin 3 
2
1

−
si
n
θ
c
os
θ
d
θ
=
si
n
θ
−
(
)

÷
3 


2π
0

=0


CHƯƠNG II. ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ STOKES

2.1. Ứng dụng của định lí Stokes để tính tích phân đường và tích phân mặt

S - một vòng tròn định hướng, liên tục từng mảnh – bề mặt trơn.
C – một lá đơn, đóng, liên tục từng mảnh – đường cong trơn ràng buộc bởi S.
F – trường véc tơ, có các thành phần liên tục trong một miền mở của

¡

3

chứa S.

Công thức Stokes

Ñ
∫ F .dr = ∫∫ curlF .dS
C

S

2.1.1. Giả sử C là đường cong trơn thu được bởi phẳng giao nhau

z=x

và hình

x2 + y 2 = 1

trụ
, vòng tròn định hướng theo chiều kim đồng hồ khi nhìn từ trên xuống.
Cho S bên trong elip này, vòng tròn định hướng với hướng chỉ lên. Nếu
F = xi + zj + 2 yk


Tính:

Ñ
∫ F .dr
, thử lại với định lí Stokes, bằng cách tính cả hai

C

∫∫ curlF .dS
và

S

.


Ñ
∫ Fdr
C

Tích phân đường

. Elip là đồ thị (sử dụng

xy

trong phẳng
0 ≤ t ≤ 2π


Từ

. Do đó ta có thể tham số nó như là

z=x

) trên vòng tròn đơn vị

r (t ) = (cos(t ),sin(t ), cos(t ))

vì

.

F = ( x, y , 2 z )

, ta được

F ( r (t ) ) = ( cos(t ), cos(t ), 2sin(t ) )

dr = (− sin(t ), cos(t ), − sin(t )) dt

Và do đó
F (r (t )).dr = (− sin(t ) cos(t ) + cos 2 (t ) − 2sin 2 (t )) dt
= (− sin(t )cos(t ) + 1 − 3sin 2 (t )) dt.

Như vậy

Ñ
∫ F .dr = ∫


2π

0

C

(− sin(t )cos(t ) + 1 − 3sin 2 (t )) dt

3
3
 1

=  − sin 2 (t ) + t − t + sin(2t ) ÷
2
4
 2


= −π

2π
0

.

∫∫ curlF .dS
Tích phân mặt

S


. Lại có hình elip đĩa là một đồ thị (sử dụng
xy

đĩa đơn vị trong phẳng
x 2 + y 2 ≤ 1.

Từ

∫∫

C

. Do đó ta có thể đặt tham số nó là

F = ( x, z , 2 y )

curlF .dS =

, ta được

curlF = ( 1, 0, 0 )

∫ ∫ ( 1, 0, 0 ) . ( −1, 0,1) dxdy

unit disk

và

z=x


r ( x, y ) = ( x , y , x )

rx × ry = ( −1, 0,1) .

) trên

vì

Như vậy


=−∫

∫ 1dxdy

unit disk

= −π

,
π ( 1) = π
2

Từ tích phân cuối cùng là bề mặt đơn giản

của đĩa đơn vị.

Lưu ý rằng hai tích phân thõa mãn. Đó là một thành công của định lí Stokes!
x + y + z =1


2.1.2. Giả sử S là một phần của phẳng
trong góc phần tám thứ
nhất, định hướng đi lên – chỉ bình thường, và cho C là ranh giới , hướng kim đồng
hồ khi nhìn từ trên xuống.

(

F = x2 − y 2 , y 2 − z 2 , z 2 − x2

Nếu

tích phân

Ñ
∫ Fdr
C

và

)

. Chứng minh định lí Stokes bằng cách tính cả hai

∫∫ curlF .dS ∫∫ curlF .dS
S

S

.


(0,0,1)

C3

C2

(1,0,0)

(0,1,0)

Đây là hình ảnh của bề mặt và đường cong. Khu vực S là phần tam giác chấm
(với hướng chỉ lên bình thường ), và đường cong C là hợp của

Tích phân đường
riêng biệt trên mỗi
phân này là :

Ñ
∫ Fdr
C

C1 , C2

và

C1 ∪ C2 ∪ C3

.


. Tích phân này sẽ thực sự là tổng của ba tích phân
C3

. Ta bắt đầu với

C1

r(t)= điểm đầu + t(điểm cuối – điểm đầu)

. Một tham số đơn giản của tích


= (1, 0, 0) + t ((0,1, 0) − (0,1, 0))
= (1 − t , t , 0).

Như vậy

dr = (−1,1, 0) dt.

Trong điều kiện của tham số này, trường véc tơ

F = ( x − y , y − z , z − x2 )
2

2

2

2


2

trở thành

F (r (t )) = ((1 − t ) 2 − t 2 , t 2 − 0 2 , 02 − (1 − t ) 2 )
= (1 − 2t , t 2 , −(1 − t ) 2 )

Sau đó
F (r (t )).dr = (1 − 2t , t 2 , −(1 − t ) 2 ).( −1,1, 0) dt
= (t 2 + 2t − 1) dt.

Như vậy
1
1
F .dr = ∫ t 2 + 2t − 1 dt = .
C1
0
3

(

∫

Đường cong

C2

)

tương tự: tham số của nó là


r (t ) = (0,1 − t , t ),

F (r (t )).dr = (−(1 − t )2 ,1 − 2t , t 2 ).(0, −1,1)dt
= (t 2 + 2t − 1)dt.

Như vậy

1
1
F .dr = ∫ (t 2 + 2t − 1)dt = ,
C2
0
3

∫
∫

C2

Và cũng tương tự

F .dr =

1
3

. Như vậy

do đó



∫

C

1 1 1
F .dr = ∫ F .dr + ∫ F .dr + ∫ F .dr = + + = 1.
C1
C2
C3
3 3 3

Tích phân mặt
trong tam giác

∫∫ curlF .dS
S

mặt tam giác này là một đồ thị ( sử dụng

T = { ( x, y ) : 0 ≤ y ≤ 1 − x, 0 ≤ x ≤ 1}

xy

phẳng

. Như vậy ta đặt tham số nó là

F = ( x 2 − y 2 , y 2 − z 2 , z 2 − x 2 ),

i
∂
curlF =
∂x
2
x − y2

z = 1− x − y

)

trong góc phần tư thứ nhất của

r ( x, y ) = ( x, y,1 − x − y )

vì

( x, y ) ∈ T

. Từ

ta được
j
∂
∂y
2
y − z2

k
∂

= (2 z , 2 x, 2 y ).
∂z
z 2 − x2

rx × ry = (1,1,1)

Tính toán tương tự cho thấy rằng

∫∫

C

. Như vậy

curlF .dS = ∫∫ (2(1 − x − y ), 2 x, 2 y ).(1,1,1)dA
T

=∫

1 1− x

∫

0 0

2dydx

=1

như trước. Thành công hơn cho định lí Stokes.

2.1.3. Giả sử S là “bóng đèn – phồng lên – một phần của hình”. Tưởng tượng một
bóng đèn – phồng lên cắt tại cơ sở để ranh giới của nó là một vòng tròn đơn vị
x2 + y 2 = 1

, định hướng với hướng bên ngoài – chỉ bình thường, (bạn nên dùng bóng
đèn tròn cổ điển hoặc com pắc huỳnh quang) .
Giả

(

F = ez

sử

2

−2 z

2

x,sin( xyz ) + y + 1, e z sin( z 2 )

)
.

∫∫ curlF .dS
Tính tích phân mặt

S


sử dụng định lí Stokes.


Tính: Quan điểm của vấn đề này là sử dụng định lí Stokes để tránh việc tính tích
phân mặt S và thay thế tính tích phân đường trong vòng tròn đơn vị C trog phẳng
xy. Ta dùng tham số

r (t ) = ( cos(t ),sin(t ), 0 )

, như vậy

F (r (t )) = ( cos(t ),sin(t ) + 1, 0 )
dr = ( − sin(t ), cos(t ), 0 ) dt

F (r (t )).dr = cos(t )dt

.

Như vậy

∫∫ curlF .dS = Ñ
∫ F .dr =
C

S

2π

∫ cos(t )dt = 0
0


Nó trở nên khá dễ dàng.
2.1.4. Giả sử
phẳng
(5,0, 0)

z = 4,

F = ( − y , x, z )

và S là một phần của hình cầu

x 2 + y 2 + z 2 = 25

dưới

định hướng với bên ngoài – chỉ bình thường (để bình thường tại

∫∫ curlF .dS

i

là ). Tính tích phân mặt

S

sử dụng định lí Stokes

Một lần nữa ta tích hợp tích phân đường trên đường ranh giới C, chứ không
phải là tích phân đường trên mặt S. Đường ranh giới là đường tròn

(hoặc

x2 + y 2 = 9

) trên phẳng

z=4

x 2 + y 2 + 42 = 25

, nhưng một lưu ý quan trọng là theo thứ tự. Các

r (t ) = ( 3cos(t ),3sin(t ), 4 )

tham số tự nhiên là
tham số thực sự -C (đó là C với hướng
đối diện) ! Tại sao vậy? Tưởng tượng một người đi bộ dọc theo ranh giới này với
đầu của họ theo hướng bình thường. Phần còn lại của hình cầu là phía bên phải của
họ nếu họ đi bộ ngược chiều kim đồng hồ. Nó phải là bên trái của họ, như vậy họ
phải đi theo chiều kim đồng hồ.

Ñ
∫ F .dr

Ta sẽ tính

−C

, vì ta muốn tham số. Về tham số này,



F (r (t )) = ( −3sin(t ),3cos(t ), 4 )
dr (t ) = ( −3sin(t ),3cos(t ), o ) dt

F (r (t )).dr (t ) = 9dt

Như vậy
2π

∫

−C

∫

C

Và do đó

F .dr = ∫ 9dt = 18π
0

F .dr = − ∫ F .d = −18π .

2.1.5. Giả sử

−C

S1


và

S2

là hai mặt định hướng, phần C như là ranh giới. Bạn có thể

∫∫ curlF .dS
nói gì về

S1

∫∫ curlF .dS ?
và
S1

S2

S2

Nếu ranh giới của và đều là C (với cùng một định hướng), sau đó hai ứng
dụng của định lí Stokes có nghĩa là:

∫∫ curlF .dS = Ñ
∫ F .dr = ∫∫ curlF .dS
C

S1

S2


Vậy là cả hai tích phân mặt phải giống nhau.
2.1.6. Giả sử

S1

và

S2

là hai mặt định hướng, phần C như là ranh giới. Cho

∫∫ G.dS = ∫∫ G.dS
S1

S2

trường véc tơ G bất kì, nó đúng là
? Đó là, có thể bạn luôn chọn mặt
đơn giản nhất để làm việc khi tính tích phân mặt trên một bề mặt với ranh giới là
C?
G = curlF

Những vấn đề đã có trước đó luôn đúng khi
F. Nhưng nó không đúng trên tiên đề tổng quát.

cho một số trường véc tơ

Ở đây là một ví dụ đơn giản:
Cho


G = (0,0, z )

và

S1

là hình vuông đơn vị trong phẳng xy:


S1 = { ( x, y , z ) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, z = 0} .

Sau đó cho

S2

S1 ∪ S 2

là phần còn lại của ranh giới khối đơn vị, định hướng để

S1

kèm theo khối này và ta có bên ngoài – chỉ bình thường. Rõ ràng mặt bên
G=0

la 0 (từ

∫∫ G.dS = 1
trong mặt này), nhưng trong tính toán cho thấy, thực tế,

S2


.

Trong phần tiếp theo ta thấy rằng những gì được đưa ra ở đây đúng khi
Nhưng, như
divG = 0

curlF = 0

, ngụ ý là

F = ∇f

DivG = 0

.

, nó chỉ ra rằng (theo các giả định phù hợp)

G = curlF

, ngụ ý
(Điều này sẽ cung cấp cho ta một cách dễ dàng để tình
toán các ví dụ đơn giản).
2.1.7. Giả sử S là mặt đóng (đó là một mặt không có ranh giới). Phải có

∫∫ F .dS = 0
S

?


∫∫ curlF.dS=0
Không ,

S

trong trường hợp này, nhưng không đúng cho tích phân

∫∫ F .dS = 0
S

.

Nếu bạn tự hỏi là như thế nào? Ta đặt vấn đề như sau: Tổng lượng dòng chảy chảy
ra khỏi một mặt đóng, có thể là một cái gì đó khác, trong khi bạn đang quá tập
trung vào nước. Một chất lỏng giống nước, không nén được, chảy vào một khu vực
phải được cân bằng bởi một lượng bằng nhau khi chảy ra (giả định rằng khu vực
này hoàn toàn chìm hoặc đầy nước). Nhưng nó không đúng với mọi thứ có thể chảy,
ví dụ điện tích hoặc nhiệt độ.
2.2 Bề mặt tương đương
∑1

∑2

Ta gọi hai bề mặt
và , tương đương nếu chúng bị chặn bởi một đường cong
đơn giản đóng C, hoặc nếu là biên của một tập hữu hạn các đường cong như vậy,
định hướng, trong cùng một cách tương đối so với pháp tuyến tương ứng

ν1 ( X )


và


ν2(X )

trên

∑1

và

∑2

, tương ứng, theo quy tắc bàn tay phải. Do đó nếu ta lấy

∑2

phiên bản định hướng trái dấu của cùng một bề mặt
đương.

∑

∑1

và

, chúng không tương

Ví dụ. Các bề mặt

z = 1 − x2 − y 2

z = − 1 − x2 − y 2

và
cùng định hướng để các bên đi lên của bề mặt (z hướng dương) được coi là mặt
dương, chúng tương đương, đường ranh giới chung là vòng tròn đơn vị
trong phẳng
∑1

z=0

x2 + y2 = 1

.

∑2

F(X )

Nếu
và
là hai bề mặt tương đương như xác định đúng , và nếu
là
một hàm khả vi, liên tục, trường xác định trong một không gian bao gồm các bề mặt
và không gian ba chiều
lần,

ℜ


nằm giữa hai bề mặt, sau đó áp dụng định lí Stokes hai

∫ ∇ × F ( X ).ν dσ = ∫ F ( X ).dX = ∫ ∇ × F ( X ).v dσ
1

2

∑1

C

∑2

v1 , v2

Cho
, hướng dương ,tương ứng là các pháp tuyến đơn vị đến
mỗi trường hợp liên quan để lựa chọn định hướng của C.
Một cách khác, trong đó ta có thể thấy cho
hướng cho

ℜ

và pháp tuyến đơn vị

ν

đến

∑2


∑

∑ = ∑1 ∪ ∑ 2

; sau đó

thỏa mãn với

v1

∑

trên

trên
. Từ một trong những điều đã biết ta có thể thấy trước là
dụng định lí Gauss cho

∫ ∇ × F ( X ).vdσ = ∫ ∇.∇ × F ( X )dX = 0

∑

Nhưng từ

ℜ

∑1 , ∑ 2

, trong


là bề mặt định
∑1

và với

−v2

∇.∇ × F ( X ) ≡ 0

, áp


∫ ∇ × F ( X ).vdσ = ∫ ∇ × F ( X ).vdσ + ∫ ∇ × F ( X ).vdσ
∑

∑1

∑2

= ∫ ∇ × F ( X ).v1dσ − ∫ ∇ × F ( X ).v2 dσ
∑1

∑2

Cuối cùng hai tích phân phải bằng nhau, như trước.
2.3. Tính tích phân trong một số bề mặt khác.
2.3.1. Khẳng định của định lí Stockes
¡


Cho S là một bề mặt trong

3

và cho

∂S

là biên của S, định hướng theo quy ước

thông thường. Đó là, “nếu di chuyển một mình

∂S

và đặt xuống bên trái chúng tôi,

ta nhấn mạnh bên cạnh bề mặt, nơi các vec tơ pháp tuyến đi ra”. Cho
vec tơ được xác định là lân cận của S. Khi đó:

∫

dS

r
F

là trường

r r
rr

F .dr = ∫∫ curlF .ndS
S

Định lí có thể hữu ích trong cả hai hướng: đôi khi tích phân đường dễ hơn tích
phân mặt, đôi khi cách khác xung quanh.
2.3.2. Ví dụ
Xét trường vec tơ

r
F = ( y, xz ,1)

r
i
r
∂
= curlF =
∂x
y

r
j
∂
∂y
xz

có curl là
r
k
∂
∂z

1

r
r
r
= i (0 − x ) − j (0 − 0) + k ( z − 1)

= ( − x, 0, z − 1)


Xét đường cong C là đường cong cơ sở trên phẳng xy, xác định bởi
z=0

x2 + y2 = 1

,

, hướng ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ trên xuống. Ta tính tích phân

đường của

r
F

dọc theo C.

Đầu tiên tham số C bởi góc kinh độ thông thường

θ


:

r
r (θ ) = (cosθ ,sin θ , 0)
0 ≤ θ ≤ 2π

Sau đó ta có

∫

C

r r
2π
r
Fdr = ∫ ( y , xz ,1).r (t )dt
0

2π

= ∫ (sin θ ,0,1).(− sin θ , cosθ , 0) dt
0

=∫

2π

0

− sin 2θ dt


= −π

Định lí Stokes khẳng định rằng nếu ta đóng đường tròn C bởi mặt S bất kì, khi đó
tích phân đường có thể được tính như:

∫

C

r r
rr
F .dr = ∫∫ curlF .ndS .
S

Bây giờ, để chính xác hơn, ta xác minh bằng cách lựa chọn các bề mặt S khác
nhau.

1.Hình đĩa
Cho S là đĩa đơn vị trong phẳng xy, xác định bởi
theo quy ước, véc tơ pháp tuyến
tế

r
n = (0, 0,1)

∫∫

S


r
n

Định hướng

đến S được định hướng đi lên, do đó trong thực

.

rr
curlF .ndS = ∫∫ ( − x, 0, z − 1).(0, 0,1)dS
S

x 2 + y 2 ≤ 1, z = 0.


= ∫∫ ( z − 1)dS
S

= ∫∫ (−1)dS
S

= −π

2.Hình bán cầu
Cho S là đơn vị của bán cầu trên, xác định bởi
theo quy ước, véc tơ pháp tuyến
r
n=


r
n

( x, y , z )

= ( x, y, z ).

x2 + y 2 + z2

Chúng ta hãy tham số hóa S trong tọa

π
≤∅ ≤π
2

∫∫

S

Định hướng

của S được định hướng đi lên, đi từ gốc tọa độ.

Điều đó có nghĩa là

độ cầu, với

x 2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0.

0 ≤ θ ≤ 2π


và

. Tính toán tương tự:

rr
curlF .ndS = ∫∫ ( − x, 0, z − 1).(−( x, y, z )) dS
S

= ∫∫ − x 2 + z 2 − zdS
S

π

2π

= ∫ 2 ∫ (−(sin ∅cosθ ) 2 + (cos∅) 2 − cos∅) sin ∅ dθ d ∅
0

0

π

= ∫ 2 (−π sin 2∅ + 2π cos 2∅ − 2π cos∅)sin ∅d ∅
0

2π

= π ∫ (cos 2∅ − 1 + 2 cos 2 ∅ − 2 cos ∅)sin ∅ d ∅
0


π

= π ∫ 2 (3cos 2∅ − 2 cos ∅ − 1) sin ∅d ∅ (u = cos∅, du = − sin ∅d ∅)
0
1

= π ∫ (3u 2 − 2u − 1)(− du )
0

1

= π u 3 − u 2 − u 

0


= π (1 − 1 − 1)
= −π

Ta cũng có thể cho S là bán cầu dưới , xác định bởi
hướng theo quy ước, vec tơ pháp tuyến
r
n=

r
n

x 2 + y 2 + z 2 = 1, z ≤ 0


đến S định hướng đi lên, hướng về phía

− ( x, y , z )
x2 + y 2 + z 2

= − ( x, y , z )

gốc tọa độ. Điều này có nghĩa là

số S trong tọa độ cầu, với vĩ độ
tự là:

∫∫

S

. Định

. Mootj lần nữa, ta tham

π
≤∅≤π
2

và kinh độ

0 ≤ θ ≤ 2π .

Một tính toán tương


rr
curlF .ndS = ∫∫ ( − x, 0, z − 1).( −( x, y, z ))dS
S

= − ∫∫ − x 2 + z 2 − zdS
S

π

= −π ∫π (3cos 2∅ − 2 cos ∅ − 1) sin ∅d ∅
2

( u = cos∅ )

−1

= −π ∫ (3u 2 − 2u − 1)(− du )
0

−1

= −π ∫ (3u 2 − 2u − 1)(− du )
0

= π (( −1) − 1 − (−1))
= −π

3.Mặt parabol
Cho S là một phần của mặt parabol xác định bởi
hướng theo quy ước, vec tơ pháp tuyến

z.

r
n

z = 1 − x 2 − y 2 , x 2 + y 2 ≤ 1.

Định

đến S có định hướng đi lên, chỉ đi từ trục


Ta tham số S sử dụng x và y như các tham số, D là miền tham số đĩa đơn vị
x2 + y 2 ≤ 1

:
r
r ( x, y ) = ( x, y,1 − x 2 − y 2 ).

Các vec tơ pháp tuyến
r
rx = (1, 0, −2 x)
r
ry = (0,1, −2 y )

Do đó, một vec tơ pháp tuyến là kết quả của tích
rx × ry = (2 x, 2 y,1)

Kiểm tra định hướng, vec tơ pháp tuyến này chỉ lên và đi từ trục z. Không cần
phải lật ngược nó.


∫∫

S

rr
r r r
curlF .ndS = ∫∫ curlF .( rx × ry )dxdy
D

= ∫∫ (− x, 0, z − 1).(2 x, 2 y,1)dxdy
D

= ∫∫ −2 x 2 + z − 1dxdy
D

= ∫∫ −2 x 2 + (1 − x 2 − y 2 ) − 1dxdy
D

= ∫∫ −3x 2 − y 2 dxdy
D

= −∫

2π

= −∫

2π


= −∫

2π

0

0

0

1

∫ (3r cos θ + r
2

2

2

sin 2 θ ) rdrdθ

3

sin 2 θ ) drdθ

0

1

∫ (3r cos θ + r

0

3

2

3 2
1
cos θ + sin 2 θ dθ
4
4


1
3

= −  (π ) + (π ) ÷
4
4

= −π

4. Hình nón
z = 1 − x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≤ 1.

Cho S là một phần của hình nón xác định bởi
hướng theo quy ước, vec tơ pháp tuyến
Ta tham số hóa S trong tọa độ trụ

r

n

Định

đến S định hướng đi lên , chỉ đi từ trục z.

0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π

:

r
r ( r ,θ ) = (r cos θ , r sin θ ,1 − r ).

Các véc tơ chỉ phương là
ur
rr = (cosθ ,sin θ , −1)
ur
rθ = (− r sin θ , r cos θ , 0)

Do đó, một véc tơ pháp tuyến được cho bởi kết quả :
r
i
ur ur
rr × rθ = cosθ
−r sin θ

r
j
sin θ


r
k
−1

r cos θ

0

r
r
r
= i (0 − ( −r cos θ )) − j (0 − r sin θ ) + k ( r cos 2 θ − ( − r sin 2 θ ))

=

(r cos θ , r sin θ , r )

.

Kiểm tra định hướng véc tơ pháp tuyến này chỉ lên và đi từ trục z. Không cần lật
ngược nó.

∫∫

S

ur r
ur ur ur
curl F .ndS = ∫∫ curl F .(rr × rθ )drdθ
D


Thật vậy ! véc tơ

ur ur
rr × rθ = (r cos θ , r sin θ , r )

rồi giải mã hàm thế xoắn của bề mặt


ur ur
dS = rr × rθ drdθ = 2rdrdθ .

không thêm vào r.
= ∫∫ (− x, 0, z − 1).(r cos θ , r sin θ , r ) drdθ
D

= ∫∫ (−r 2 cos 2θ + (−r ) r )drdθ
D

= −∫

2π

0

=−

1

∫r

0

2

(cos 2θ + 1)drdθ

1 2π
(cos 2θ + 1)dθ
∫
0
3

1
= − (π + 2π )
3
=π

5. Hình lon
Cho S là một hình lon không có đáy, chiều cao là 5. Nói cách khác, S là một phần
của hình trụ

x2 + y2 = 1 0 ≤ z ≤ 5

,

(đầu của lon). Gọi tương ứng là
Theo quy ước, pháp tuyến
số hóa

S1


r
n

(kích thước của lon), cùng với đĩa
S1

đến

S1

trong hình trụ, cùng với

và

S1

, nên chỉ đi từ trục z. nghĩa là
0≤ z≤5

và

0 ≤ θ ≤ 2π :

ur r
curl F .ndS = ∫∫ (− x, 0, z − 1).( x, y, 0)dS
S1

,


S2

r
r ( z ,θ ) = (cosθ ,sin θ , z ).

∫∫

x2 + y 2 ≤ 1 z = 5

r
n = ( x, y , 0)

. Tham


= ∫∫ − x 2 dS
S1

= −∫

2π

0

∫

5

0


(cos 2θ )(1)dzdθ

2π

= −5∫ (cos 2θ )dθ
0

= −5π

Pháp tuyến

r
n

đến

S2

.

nên chỉ lên, nghĩa là

∫∫

S2

r
n = (0, 0,1)

.


ur r
curl F .ndS = ∫∫ (− x, 0, z − 1).(0, 0,1) dS
S2

= ∫∫ ( z − 1)dS
S2

= ∫∫ (4)dS
S2

= 4( S 2 )
= 4π .

Kết hợp hai phần, ta được

∫∫

S

ur r
ur r
ur r
curl F .ndS = ∫∫ curl F .ndS + ∫∫ curl F .ndS
S1

S2

= −5π + 4π


= −π

.

CHƯƠNG III BÀI TẬP VẬN DỤNG


ur

∫∫ curl ( F )d S
S

Bài 1. Tính

y 2 = x2 + z 2

của hình nón
hướng trục y dương.

, tại

ur
F ( x, y, z ) = ( x 2 y 3 z ,sin( xyz ), xyz )

, nằm giữa các mặt phẳng

y=0

, trong đó S là một phần


và

y=3

, định hướng theo

Giải :
Lát của hình nón qua
nón qua

y =3

y=0

bao gồm một điểm duy nhất, trong khi lát của hình

bao gồm một vòng tròn C bán kính 3 ( và tích phân đường trên một

điểm duy nhất sẽ là số 0). Ta đặt C bởi tham số
số của C, đây là

r
r (θ ) = (−3sin θ , 0, 3cos θ )

về các tham

ur r
F (r (θ )) = (279 cos 2 θ sin θ ,sin(27 sin θ cosθ ), 27 sin θ cosθ )

Bằng cách này, ta có thể tính tích phân theo định lí Stokes


∫∫

S

ur ur
rr
2π u
curl F .d S = − ∫ F .r (θ ) dθ
0

2π

= ∫ (2187 cos 2 θ sin 2 θ − 81sin θ cos 2θ ) dθ
0

Bây giờ, nhớ lại rằng

∫

2π

0

1
1
sin 2 θ cos 2θ = sin 2 (2θ ) = (1 − cos(4θ )).
4
8


2187 cos 2 θ sin 2 θ dθ =

từ đó ta thấy rằng

2187 2π
(1 − cos(4θ )) dθ
8 ∫0
2π

2187 
1

=
θ − sin(4θ )

7 
4
0

=

2187π
.
4

Các tích phân thứ hai. Mặt khác chỉ đòi hỏi một sự thay thế đơn giản

∫

2π


0

81sin θ cos 2θ dθ = 0

u = cosθ

:


Như vậy

r r 2187π
c
ur
lF
.dS =
∫∫S
4

Bài 2 Sử dụng định lí Stokes để tính

∫

C

r
F .dr

r

F ( x, y, z ) = e − x , e x , e z

, với

và C là biên

2x + y + 2z = 2

của một phần mặt phẳng
trong góc phần tám thứ nhất, hướng ngược
chiều kim đồng hồ khi nhìn từ trên xuống.
Giải

r
curlF = 0, 0, e x

Tính toán thông thường cho thấy rằng
lát cắt S nằm trên miền
D = { ( x, y ) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 − 2 x}

. Mặt khác ta có thể thấy

t
z = f ( x, y ) = 1 − x −

trong phẳng xy. Ta có thể vẽ đồ thị biểu diễn S :

cách khác, chúng ta đặt tham số S như :
véc tơ pháp tuyến


r
1
r ( x, y ) = x, y,1 − x − y
2

1
y
2

vì

trên D, nói

( x, y ) ∈ D

. Ta tính

1
r r
rx × ry = (1, ,1)
2

( chú ý đây là hướng đi lên của s, đó là trường hợp định hướng nhất định của C).
Như vậy , bằng định lí Stokes ta có :

∫

C

r r

r r
r r
F .dr = ∫∫ curlF .dS = ∫∫ (0, 0, e x ).(rx × ry )dxdy
S

D

1
= ∫∫ (0, 0, e x ).(1, ,1)dxdy
D
2

=∫

2

0

∫

2− 2 x

0

= 2e − 4

1

e x dydx = ∫ (2 − 2 x)e x dx
0


.