DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
VÀ KHÔNG GIAN

Nội dung của phƣơng pháp tọa độ trong các sách giáo khoa
1.
Giới thiệu sơ lƣợc về lịch sử của phƣơng pháp tọa độ
Khi đã nhắc đến hình học thì khơng thể khơng lƣu tâm đến hình học giải tích , một
phân mơn mà có thể thấy sự gắn kết giữa hình học và đại số. hình học gải tích là bộ
mơn nghiên cứu các đơi tƣợng hình học bằng công cụ của đại số dựa trên phƣơng
pháp tọa độ. Thực chất phƣơng pháp tọa độ trên mặt phẳng là : vị trí của mỗi điểm
đƣợc xác định bởi giáo điểm của hài điểm ( gọi là hai điểm của tọa độ) thuộc hai
đƣờng tọa độ khác nhau. Phƣơng pháp tọa độ là một thành tựu của thể kỷ XVII –
XVIII nhƣng đã có nguồn gốc từ lịch sử cổ đại. Tuy nhiên ở giai đoạn này sự phát
triển của phƣơng pháp tọa độ đã bị kìm hãm do chƣa có kí hiệu bằng chữ và chƣa
có một quan điểm tổng quát về số.
Các nhà bác học ngƣời pháp là fermat và descarter đã cống hiến lớn nhất trong việc
xây dựng nên hình học giải tích . nhờ dùng kí hiệu bằng chữ do nhà bác học ngƣời
pháp đề xuất, cả fermat và descarter ( độc lập nhau) đã đồng thời cống hiến cho
khoa học một phƣơng pháp mới - phƣơng pháp tọa độ, làm cơ sở cho hình học giải
tích do các ơng xây dựng nên vào thế kỷ VII.
Việc chuyển phƣơng pháp tọa độ vào không gian ba chiều chỉ đƣợc thực hiện vào
cuối TK XVII, và tiếp tục trong TK XVIII, trong các cơng trình của một số nhà bác
học mà trƣớc hết là Clairot và Euler. Và cuối TK XVIII hình học giải tích đa trở
thành mơn khoa học hồn chỉnh, đƣợc đƣa vào giảng dạy ở những năm đầu tiên
của bậc đại học.
1. Nội dung cơ bản trình bày trong các SGK lớp 10 và 12
Phƣơng pháp tọa độ đƣợc chia thành hai phần: phần đầu chúng ta đƣợc học về
“Phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng” đƣợc giới thiệu trong chƣơng 3 SGK Hình
học 10( chuẩn và nâng cao) sau đó mở rộng ra “Phƣơng pháp tọa độ trong không
gian” phần này đƣợc giới thiệu trong chƣơng 3 SGK Hình học 12 (chuẩn và nâng
cao).


Sách giáo khoa 10
Trong chƣơng III/ phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng chúng ta sẽ sử dụng
phƣơng pháp tọa độ để tìm hiểu về đƣờng thẳng, đƣờng trịn, đƣờng elip, ba đƣờng
conic.
Nội dung chính trong SGK lớp 10


Bài 1: phương trình đường thẳng
I/ phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng.
1/ định nghĩa vectơ chỉ phƣơng
Vectơ⃗⃗⃗⃗ đƣợc gọi là vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng d nếu ⃗
vectơ ⃗ song song hoặc trùng với d.

⃗ và giá của

2/ phƣơng trình tham số
Định nghĩa: trong mặt phẳng Oxy cho đƣờng thẳng d đi qua điểm
và nhận⃗⃗⃗
làm vectơ chỉ phƣơng. Với mỗi
bất kì trong mặt
phẳng, ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
. khi đó:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗


{
{
Hệ phƣơng trình (1) đƣợc gọi là phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng d, trong dó
t là tham số.
II/ Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng
1/ định nghĩacủa vectơ pháp tuyến
Vectơ ⃗ đƣợc gọi là vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng d nếu ⃗
góc với vectơ chỉ phƣơng của d.

⃗ và ⃗⃗⃗ vng

2/ phƣơng trình tổng qt của đƣờng thẳng.
Định nghĩa: phƣơng trình
với a và b khơng đồngth ời bằng 0,
đƣợc gọi là phƣơng trình tổng quát của dƣờng thẳng.
Nếu đƣờng thẳng d có phƣơng trình là
là ⃗
và có vectơ chỉ phƣơng là ⃗
Bài 2: Phƣơng trình đƣờng trịn

thì d có vectơ pháp tuyến


1/ phƣơngtrình đƣờng trịn có tâm và bán kính cho trƣớc
Phƣơng trình (2) là phƣơng trình tiếp Cho M
. phƣơng trình tiếp tuyến của (C) tại M có dạng:

thuộc đƣờng trịn (C) tâm I(a;b)

Bài 3:Phƣơng trình đƣờng elip

1 Định nghĩa đƣờng elip:
Cho hai điểm cố định F1 và F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2.Elip là tập
hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho :F1M+F2M=2a
Các điểm F1,F2 gọi là tiêu điểm của elip.Độ dài F1F2=2c gọi là tiêu cự của elip
2 Phƣơng trình chính tắc elip:
Cho elip (E) có tiêu điểm F1(-c;0) và F2(c;0); M(x;y)  (E) sao cho F1M+F2M=2a
x2 y 2
Phƣơng trình chính tắc của (E) có dạng: 2  2  1
a b

Với b2=a2-c2
Tóm lại:
 Nội dung của chƣơng này bao gồm những kiến thức đơn giản nhất, cơ bản nhất
của bộ môn hình học giải tích phẳng. Có thể phân thành hai mảng nhƣ sau:
Thứ nhất, diễn đạt bằng tọa độ những đối tƣợng khái niệm hình học quen thuộc
(đƣờng thẳng, khoảng cách và góc) và biểu thị qua tọa độ các tính chất cũng nhƣ
quan hệ đơn giản của các hình đó.
Thứ hai, các đƣờng trịn, elip, hypebol, parabol và lập phƣơng trình chính tắc của
các đƣờng đó. Từ các phƣơng trình này sẽ đi nghiên cứu, xem xét các tính chất của
nó. Sách giáo khoa cũng đề cập một số tính chất chung của ba đƣờng elip, hypebol,
parabol để đi đến khái niệm về đƣờng conic.
 Sách giáo khoa 12
Trong chƣơng III/ phƣơng pháp tọa độ trong mặt phẳng chúng ta sẽ sử dụng phƣơng
háp tọa độ để tìm hiểu về hệ tọa độ trong khơng gian, phƣơng trình mặt phẳng,
phƣơng trình đƣờng thẳng trong khơng gian.
Nội dung chính trong SGK 12
Bài 1: hệ tọa độ trong không gian
I/ biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ



⃗

trong khơng gian Oxyz vectơ
véctơ đó (k  R)

,  là góc tạo bởi hai

⃗
⃗

II/ tích vơ hƣớng
Định lí: trong khơng gian Oxyz, tích vơ hƣớng của hai vectơ
đƣợc xác định bởi cơng thức:

⃗

⃗
III/ Phƣơng trình mặt cầu
Định lí: trong khơng gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a,b,c) bán kính r. có phƣơng trình
là:
Bài 2: phƣơng trình mặt phẳng
I/vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Định nghĩa: cho mặt phẳng
. Nếu vectơ ⃗ khác và có giá vng góc với mặt
phẳng
thì ⃗ đƣợc gọi là vectơ pháp tuyến của
II/ phƣơng trình tổng qt của mặt phẳng
Định nghĩa: phƣơng trình có dạng
, trong đó A,B,C khơng
đồng thời bằng 0, đƣợc gọi là phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng.

III/ điều kiện để hai mặt phẳng song song, vng góc
Trong khơng gian Oxyz cho hai mặt phẳng (
có phƣơng trình
(
:
:
Khi đó (

có hai vectơ phap tuyến lần lƣợt là:
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗



(

{

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

{


⃗⃗⃗⃗



(


{



(

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

{

Bài 3: phƣơng trình đƣờng thẳng trong khơng gian
I/ phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng
Định nghĩa: phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng d đi qua điểm
nhận làm vectơ chỉ phƣơng
là phƣơng trình có dạng:

và

{
Trong đó t là tham số
II/ điều kiện để hai đƣờng thẳng song song cắt nhau, chéo nhau
Trong không gian Oxyz cho hai đƣờng thẳng d và dcó phƣơng trình tha số lần lƣợt
là:
{
và ⃗⃗⃗
trên d.


gọi
lấy điểm



{










 
 
 

:

lần lƣợt là vectơ chỉ phƣơng của d và d.

Ta có:


d




d






{
{

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗
 

d và d cắt nhau





hệ phƣơng trình {

 
  có đúng một
 

nghiệm.



d và d chéo nhau

hệ phƣơng trình {





 
 
 

vơ nghiệm.

Tóm lại
Từ cơ sở kiến thức về hệ trục tọa độ Oxy, các phép tốn trong khơng gian Oxy,
các phƣơng trình đƣờng thẳng trong mặt phẳng và phƣơng trình đƣờng tròn ở lớp


10 , thì lên hình học lớp 12 chúng ta sẽ đƣợc mở rộng ra hệ tọa độ trong không gian
3 chiều Oxyz , biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, đồng thời ở chƣơng này
chúng ta sẽ biết thêm về phƣơng trình đƣờng thẳng trong khơng gian và phƣơng
trình mặt cầu. Đặc biệt là biểu thức tọa độ của tích vơ hƣớng (Trong khơng gian
Oxyz, tích vơ hƣớng của hai vectơ = (a1, a2, a3) và ⃗ = (b1, b2, b3) đƣợc xác định
bởi công thức: ⃗⃗ = a1b1 + a2b2 + a3b3 ).
2.

Đặc điểm của mỗi cách trình bày


 Sách giáo khoa 10
Trong phần phƣơng trình đƣờng thẳng, SGK đã giới thiệu về phƣơng trình tham số
trƣớc rồi sau đó mới giời thiệu về phƣơng trình đƣờng thẳng tổng qt. Cách trình
bày này có vẻ tự nhiên và hợp lí vì nói tới đƣờng thẳng ta nghĩ ngay tới việc xác
định nó bằng một điểm và một vectơ chỉ phƣơng. Ta có phƣơng trình tham số của
đƣờng thẳng đi qua điểm M (x0, y0) và có vectơ chỉ phƣơng ⃗
là
{

, với

Phƣơng trình đƣờng thẳng tổng quát của đƣờng thẳng đi qua điểm M0 (x0, y0) và có
vectơ pháp tuyến ⃗ = (a,b) là
với
.
Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm
và có hệ số góc k là:
Trong chƣơng 3 sách giáo khoa lớp 10 nâng cao không chỉ đƣa vào cơng thức xét
vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng trong đại số mà cịn có cả trong hình học. Đây
là một cơng cụ trong đại số đƣa vào để giải quyết vấn đề hình học. Cách trình bày
thứ tự của phƣơng trình đƣờng thẳng có phần ngƣợc lại so với sách cơ bản.
Phƣơng trình đƣờng thẳng tổng quát trƣớc và phƣơng trình tham số sau.
Trong chƣơng này có thiết lập mối quan hệ với đại số bằng cách chỉ ra: phƣơng
trình của đƣờng thẳng có thể đƣa về dạng
; tan cũng chính là hệ số
của đƣờng thẳng. Các công thức bằng định thức không hề đƣợc đƣa vào trong sách
cơ bản mà đƣa vào sách hình học nâng cao.
Phƣơng pháp tọa độ trên mặt phẳng trong hình học đƣợc trình bày dựa trên các
kiến thức về vectơ và các phép toán về vectơ (phƣơng pháp này giúp học sinh “đại
số hóa” các kiến thức đã có về hình học, từ đó có thể giải quyết các bài tốn hình

học bằng thuần túy tính tốn)
Sách giáo khoa hình học 10 chỉ đƣa ra khái niệm elip một cách đơn giản qua phép
đo theo một trục, không đƣa ra khái niệm hypebol, parabol (xem nhƣ các khái
niệm này học sinh đã biết trong đại số) nhằm mục tiêu giới thiệu cho học sinh về
những hình thƣờng gặp trong thực tiễn, song khơng tìm hiểu sâu về chúng.


Để giảm nhẹ lý thuyết, những chứng minh quá phức tạp sẽ bỏ qua, thay bằng
những hoạt động kiểm chứng và những minh họa đơn giản. Chẳng hạn, bỏ qua
chứng minh phƣơng trình chính tắc của elip, phƣơng trình tổng quát của đƣờng
thẳng trong mặt phẳng.

 Sách giáo khoa 12
Sách giáo khoa không đƣa ra định nghĩa thế nào là phƣơng trình của một đƣờng,
kiểu nhƣ: “Phƣơng trình F(x, y, z)= 0 gọi là phƣơng trình của đƣờng thẳng d nếu
điểm M thuộc d khi và chỉ khi tọa độ (x, y, z) của M là nghiệm của phƣơng trình đó

II.Những ưu điểm của phương pháp tọa độ
1.Ưu điểm của phương pháp tọa độ trong phục vụ lý thuyết :
Nhƣ chúng ta đã biết , sau khi giới thiệu các khái niệm về vectơ và các phép tốn của
nó . Các tác giả đã đƣa khái niệm hệ trục tọa độ trong mặt phẳng vào nội dung tiếp
theo trong chƣơng trình tốn hình học lớp 10 .
Nếu nhƣ ở cấp II ,các em chỉ mới biết các khái niệm về hệ trục tọa độ một cách đơn
giản là có 2 trục : Trục Hoành ( Ox ) và Trục Tung (Oy) và gốc tọa độ O là giao của 2
trục thì ở lớp 10 , các em đã có 1 cái nhìn tổng qt hơn , đó là việc xây dựng khái
niệm tọa độ của vectơ trên hệ trục tọa độ , biết thế nào là vectơ đơn vị , hay từ các tọa
độ điểm ban đầu cho trƣớc ,dựa vào cơng thức mà các em có thể tính khoảng cách
giữa các điểm ,…..
Vd:
Ở cấp 2 , các em chƣa thể nào tính dc khoảng cách giữa 2 điểm trong trục tọa độ Oxy ,

hay đơn giản là bài toán :” cho hình chữ nhật CDEF , biết tọa độ 3 điểm C,E,F . Tìm
tọa độ điểm D “ , lúc này nếu là học sinh cấp 2 , các em chỉ có thể tìm đƣợc điểm D
một cách máy móc là vẽ hình lên trục tọa độ , rồi nhìn hình 1 cách trực quan . Vậy nếu
chúng ta đặt vấn đề là tọa độ là 1 con số rất lớn thì liệu cách vẽ hình cịn sử dụng đƣợc
hay không ? . Các kiến thức về hệ trục tọa độ ở lớp 10 sẽ giúp học sinh giải quyết
đƣợc vấn đề này 1 cách dễ dàng .


10

y

8

C

D
6

4

2

20

x

15

10


5

5

10

15

20

2

4

6

F

E
8

10

Không chỉ nhƣ vậy , việc đƣa lý thuyết của phƣơng pháp tọa độ còn giúp chuỗi kiến
thức của các em liền mạch , giúp các em có sự tiếp nối giữa tốn đại số và hình học .
Điều này đƣợc thể hiện qua việc ở phần đại số lớp 10 , các em tiếp tục học khảo sát và
vẽ các hàm số đơn giản . Lúc này đây , các em chỉ biết dựa vào hàm số cho trƣớc , rồi
rút ra các điểm tùy ý để vẽ đồ thị . Vậy giả sử các em thắc mắc , nếu cho trƣớc tọa độ
của 1 vài điểm nào đó chẳng hạn , thì liệu có tìm đƣợc phƣơng trình của đồ thị đó hay

khơng
???
Tất nhiên câu trả lời sẽ là có , và nó đƣợc thể hiện qua nội dung chƣơng cuối phần
tốn hình năm lớp 10 . Khi học đến phần này , các em sẽ biết đƣợc cách xây dựng
phƣơng trình của 1 số đƣờng quen thuộc nhƣ : đƣờng thẳng , đƣờng tròn , elip ,…..
Tƣơng tự nhƣ vậy , sau khi lên lớp 11 , các em sẽ đƣợc học về nội dung hình học
khơng gian .Sau khi đã có kiến thức vững vàng về hình học khơng gian , tác giả tiếp
tục xây dựng hệ tọa độ trong không gian cho học sinh . Và việc xây dựng hệ tọa độ
trong không gian ở năm lớp 12 thì đƣợc xây dựng tƣơng tự nhƣ năm lớp 10 ( Các
cơng thức tính khoảng cách giữa 2 điểm , tính góc giữa 2 vectơ , xây dựng phƣơng
trình mặt phẳng , hình cầu , … Các tính chất song song , vng góc ,….)

Tiếp theo ta nói đến vấn đề nội dung của lý thuyết phƣơng pháp tọa độ .
Nhƣ chúng ta đã biết , trong chƣơng trình phổ thơng , phƣơng pháp tọa độ đƣợc xem
nhƣ là 1 cơng cụ để giải tốn , do đó các tác giả đã giảm nhẹ phần lí thuyết , những
chứng minh phức tạp , khơng có ứng dụng nhiều sẽ đƣợc bỏ qua và thay vào đó là
những hoạt động kiểm chứng , đơn giản . Các khái niệm cũng đƣợc đƣa ra 1 cách đơn
giản nhằm giới thiếu cho các em các hình thƣờng gặp trong đời sống thức tiễn .


Việc nắm vững lý thuyết phƣơng pháp tọa đồ , giúp ích rất nhiều cho các em trong
việc giải tốn .
Vd:

Đối với các bài tốn tích thể tích các thiết diện trong hình học khơng gian , một số bài
tốn để tính đƣợc thể tích thì địi hỏi phải vẽ thêm đoạn thẳng hay chứng minh các
tính chất song song , vng góc của các đoạn thẳng rất phức tạp . Tuy nhiên nếu vững
lý thuyết của phƣơng pháp tọa độ , các em có thể lồng ghép , đƣa thiết diện vào trong
1 hệ trục tọa độ ,từ đó đƣa về tọa độ các điểm và sữ dụng các cơng thức trong phƣơng
pháp tọa độ để tính .

Việc đƣa phƣơng pháp tọa độ vào trong các bài tốn hình học , giúp các em có thể giải
quyết 1 số bài tốn mà có hình phức tạp , khó vẽ đƣợc , giúp các em có 1 cơng cụ để
giải quyết các bài tốn nhanh chóng . Tuy nhiên việc lạm dụng nội dung này có thể
dẫn đến khả năng khơng hiểu bản chất của bài tốn , hạn chế trí tƣởng tƣợng ,….
Cuối cùng là tính thực tế của lý thuyết phƣơng pháp tọa độ . Ý nghĩa của việc xây
dựng lý thuyết phƣơng pháp tọa độ rât gần gũi với đời sống chúng ta . Chẳng hạn nhƣ
cho 1 bàn cờ vua , làm sao để xác định đƣợc vị trí của quân xe và quân mã trên bàn cờ
. Hay làm thế nào để xác định đƣợc ta đang ở vị trí nào trên trái đất …..Chính vì
những lý do rất thiết thực đó , mà ngƣời ta đã xây dựng hệ trục tọa độ , nhằm giải
quyết các vấn đề trên . Và ngày nay ứng dụng phƣơng pháp tọa độ, ngƣời ta đã xây
dựng đƣợc các thiết bị cơng nghệ cao , giúp ích rất nhiều trong cuộc sống , điển hình
nhất đó là thiết bị định vị .
2.ƢU ĐIỂM CỦA PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG GIẢI BÀI TẬP
I. Lịch sử về hệ trục tọa độ.
Một hệ tọa độ Descartes xác định vị trí của một điểm (point) trên một mặt phẳng
(plane) cho trƣớc bằng một cặp số tọa độ (x, y). Trong đó, x và y là 2 giá trị đƣợc xác
định bởi 2 đƣờng thẳng có hƣớng vng góc với nhau (cùng đơn vị đo). 2 đƣờng


thẳng đó gọi là trục tọa độ (coordinate axis) (hoặc đơn giản là trục); trục nằm ngang
gọi là trục hoành, trục đứng gọi là trục tung; điểm giao nhau của 2 đƣờng gọi là gốc
tọa độ (origin) và nó có giá trị là (0, 0).
Hệ tọa độ này là ý tƣởng của nhà toán học và triết học ngƣời Pháp René Descartes thể
hiện vào năm 1637 trong hai bài viết của ông. Trong phần hai của bài Phƣơng pháp
luận (Descartes) (tiếng Pháp: Discours de la méthode, tựa Pour bien conduire sa
raison, et chercher la vérité dans les sciences), ông đã giới thiệu ý tƣởng mới về việc
xác định vị trí của mộtđiểm hay vật thể trên một bề mặt bằng cách dùng hai trục giao
nhau để đo. Còn trong bài La Géométrie, ông phát triển sâu hơn khái niệm trên.
Descartes là ngƣời đã có cơng hợp nhất đại số và hình học Euclide. Cơng trình này
của ơng có ảnh hƣởng đến sự phát triển của ngành hình học giải tích, tích phân,

và khoa học bản đồ.
Ngồi ra, ý tƣởng về hệ tọa độ có thể đƣợc mở rộng ra khơng gian ba chiều (threedimensional space) bằng cách sử dụng 3 tọa độ Descartes (nói cách khác là thêm một
trục tọa độ vào một hệ tọa độ Descartes). Một cách tổng quát, một hệ tọa độ n-chiều
có thể đƣợc xây dựng bằng cách sử dụng n tọa độ Descartes (tƣơng đƣơng với n-trục).
II. HỆ TRỤC VNG GĨC OXY
Có những bài tốn hình học phẳng khá “hóc búa” gây khơng ít những khó khăn, trăn
trở cho ngƣời làm tốn. Vì thế để tìm hiều một giải pháp khả dĩ khi gặp những bài
tốn đó là phƣơng pháp ứng dụng tọa độ.
Những câu hỏi rất tự nhiên đƣợc đặt ra là:
- Dựa vào dấu hiệu nào, đặc điểm gì mà ta vận dụng cơng cụ tọa độ
- Với mỗi bài tốn việc xây dựng hệ trục tọa độ đƣợc hình thành qua những cơng đoạn
nào?
- Liệu rằng có thể xác lập đƣợc một quy tắc chung với các bƣớc thực hiện có trình tự
trong việc vận dụng công cụ tọa độ hay không?
Các ngun tắc cần lƣu ý khi giải bài tốn hình học thuần túy bằng công cụ tọa độ
- Chọn hệ trục tọa độ
. Gốc tọa độ, trục tọa độ thƣờng gắn liền với điểm và đƣờng đặc biệt của bài tốn nhƣ
: tâm đƣờng trịn, đỉnh góc vng, , trung điểm đoạn thẳng , chân đƣờng cao...
- Chuyển hóa ngơn ngữ hình học “thuần túy” sang ngơn ngữ tọa độ.
. Chuẩn hóa độ dài các đoạn thẳng và đơn vị trục.


. Từ đó xác định tọa độ các điểm và phƣơng trình các đƣờng , theo hƣớng hạn chế
phƣơng trình tham số để nhận đƣợc những tọa độ đẹp giúp bài tốn trở nên dễ dàng
hơn.
- Khai thác các tính chất, và phép toán liên quan đến tọa độ và vector nhƣ sau:
. Điều kiện theo tọa độ để hai vector vƣơng góc
. Điều kiện theo tọa độ để hai vector cùng phƣơng
. Tính khoảng cách dựa theo tọa độ
. Tính số đo góc dựa theo tọa độ.

Hình thành hệ trục tọa độ trong mặt phẳng nhƣ thế nào?
* Bài tốn đơn giản hay khơng phần lớn phụ thuộc vào việc hình thành hệ trục tọa độ
và đơn vị trục.
* Sau đây là một số cách chọn thƣờng gặp
- Đoạn AB cố định

Ta chọn hệ trục tọa độ đề các vng góc Axy
B thuộc tia Ax
Chuẩn hóa AB = 1
A( 0,0)
B(0,1)
- Tam giác cân
* Trƣờng hợp tam giác ABC cân tại A


Thông thƣờng ta xây dựng hệ tọa độ Descartes vuông góc nhƣ sau:
- Hạ đƣờng cao từ đỉnh tam giác cân đến cạnh đối diện
AO vng góc BC
Chọn hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxy trong đó:
+ O(0,0) là gốc tọa độ
+ Đỉnh C thuộc tia Ox
+ Đỉnh A thuộc Oy
Chuẩn hóa độ dài
Đặt {
Khi đó ta nhận đƣợc A ( 0, a), C( c, 0) , G( 0, )
- Hình vng ABCD


Chọn hệ trục Descartes vng góc Axy
B thuộc tia Ax

D thuộc tia Ay
Chuẩn hóa độ dài hình vng bằng 2
Ta có:
A( 0,0)
B(2, 0)
C(2, 2)
D(0, 2)
- Hình chữ nhật

- Chọn một đỉnh của hình chữ nhật là gốc tọa độ
- Hai cạnh liên tiếp của hình chữ nhật nằm trên hai trục tọa độ


* Chuẩn hóa độ dài:
Khơng mất tính tồng qt ta đặt chiều dài chiều rộng cùa hình chữ nhật lần lƣợt là 2a,
2b ( a>b>0)
Tâm hình chữ nhật là I (a, b). Phƣơng trình trƣờng trịn ngoại tiếp hình chữ nhật là :
( x-a)2 + (y-b)2 = a2 + b2
- Đƣờng tròn

Chọn tâm đƣờng tròn làm gốc tọa độ.
Chọn một đƣờng kính làm trục tọa độ
Chuẩn hóa độ dài bán kính R = 1
Ta có phƣơng trình đƣờng trịn x2 + y2 = R2
Bài tập
BT1: Chứng minh hai đƣờng thẳng vng góc
Cho tam giác ABC, I là tâm đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC, D là trung điểm
cạch AB, E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng: Nếu AB = AC thì IE CD
Cách 1: Thuần túy hình học
Gọi H và F lần lƣợt là trung điểm cạnh BC và AC

cân tại A nên AH vng góc với BC, DF là đƣờng trung bình trong
nên DF song song với BC. Do đó: AH DF (1)

ABC


- Gọi N là giao điểm của AH và CD
- Ta có: N là trọng tâm

ABC

Suy ra CN = 2 ND
- Gọi M là trung điểm CD
Ta có:
MD = MC

(DN + MN) + MN = 2DN
2MN = DN
MN/ DN = ½
Do đó:

Suy ra NE // AD
- I là tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC . D là trung điểm dây cung AB nên DI
AB . Suy ra:
DI vuông góc với NE (2)
Từ (1) và (2) suy ra:I là trức tâm tam giác DEN. Do đó EI CD (đpcm)


Cách 2: Phƣơng pháp vector
Xét tích vơ hƣớng ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Ta có:
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗


⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
= ( ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

=


⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

=

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗


⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ]

⃗⃗⃗⃗⃗ [ ⃗⃗⃗⃗⃗

=

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ [ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ]

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ [ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ]

⃗⃗⃗⃗⃗


⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗

=0
Nhƣ vậy EI

CD ( đpcm)

Cách 3: Phƣơng pháp tọa độ.
Gọi O là trng điểm cạnh BC. Đặt

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗


⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗


{
Chọn hệ trục tọa độ Descartes vng góc Oxy sao cho C thuộc tia Ox, A thuộc tia Oy.
Ta có:
O(0,0)
A(0,a)
C(c,0)
B(-c,0)
D là turng điểm AB nên D(
E là trọng tâm

nên E(

cân tại A nen tâm đƣờng tròn ngoại tiếp I thuộc OA. Do đó I(0,y), y>0
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = ( c, a)
Do đó, ta có:
⃗⃗⃗

)

⃗⃗⃗⃗⃗
Vì D là trung điểm AB nên DI

BA


Suy ra

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗



(3)

Mặt khác:
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ =
=
=

= 0 ( do 3)
Suy ra EI CD ( đpcm)
*Vài điều rút ra từ ba cách trình bày:
- Nhận xét cách giải 1:
Ta cần phát hiện ra tỉ lệ


Với cách giải này địi hỏi ngƣời giải phải có nhãn quan hình học nhạy bén, nắm chắc
nhiều phƣơng pháp chứng minh. Cách giải này tƣơng đối phức tạp.
- Nhận xét cách giải 2:
Với cách giải này ngƣời giải phải có kĩ năng biến đổi vector đến mức độ cao.
- Nhận xét cách giải 3:
Với việc chọn hệ trục tọa độ Desrates vng góc Oxy, việc chứng minh EI CD đƣợc
định hƣớng rõ ràng, đơn giản dựa theo biểu thức tọa độ tích vơ hƣớng.

III. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ
Để giải đƣợc bài tốn trong khơng gian bằng phƣơng pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ
trục tọa độ thích hợp . Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã
chọn và độ dài cạnh của hình.

1. Dấu hiệu nhận biết và các bƣớc giải bài tốn hình học khơng gian bằng phƣơng
pháp tọa độ.
a. Những bài tốn hình học khơng gian ở phần giả thiết có những dạng sau thì nên
dùng phƣơng pháp tọa độ để giải
Hình đã cho có một đỉnh là tam diện vng
Hình chóp có một cạnh bên vng góc với đáy và đáy là các tam giác vuông, tam giác
đều, hình vng, hình chữ nhật...
Hình lập phƣơng, hình chữ nhật
Hình đã cho có một đƣờng vng góc với mặt phẳng, trong mặt phẳng đó có những đa
giác đặc biệt
Một vài hình chƣa có sẵn tam diện vng nhƣng có thể tạo đƣợc tam diện vuông
chẳng hạn; hai đƣờng chéo nhau mà vng góc hay mặt phẳng vng góc.
b. Các bƣớc giải
Bƣớc 1: Chọn hệ trục Oxyz thích hợp, chú ý đến gốc O
Bƣớc 2: Xác định tọa độ các điểm có liên quan có thể xác định tất cả các điểm hoặc
một số điểm cần thiết)


Khi xác định tọa độ của điểm phải dự vào:
Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm ( khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng
tọa độ).
Dựa vào các quan hệ hình học nhƣ bằng nhau, vng góc, song song, cùng phƣơng,
thẳng hàng...
Dựa vào các quan hệ về góc của đƣờng thẳng, mặt phẳng.
Bƣớc 3; Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải toán
Các dạng thƣờng gặp là;
Độ dài đoạn thẳng
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm đến đƣờng thẳng
Góc giữa hai đƣờng thẳng

Thể tích khối đa diên
Diện tích thiết diên
Chứng minh các quan hệ vng góc , song song
Bài tốn cực trị , quỹ tích
2.Trình bày một số cách đặt hệ trục tọa độ với một số hình thƣờng gặp
Để giải đƣợc một số bài tóa hình khơng gian bằng phƣơng pháp tọa độ ta cần phải
chọn hệ trục tọa độ sao cho thích hợp. Dƣới đây là một số trƣờng hợp thƣờng gặp:


Hình 1: Hình lập phƣơng, hình hộp chữ nhật.

Hình 2: Hình lăng trụ đứng, có đáy là hình thoi

Hình 3: Hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng a, chiều cao h.


Hình 4: Hình chóp tứ giác đều . cạnh đáy bằng a, chiều cao h

Hình 5: Hình chóp có đáy là hình chữ nhật, SA (ABCD)

Hình 6: Hình chóp S.ABC có SA (ABC), và ABC vng tại A( AB=a, AC=b)


Hình 7: Hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vng tại B (AB = a, BC = b)

Hình 8: Hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S, ABC vuông tại A(
AB = a, AC = b, chiều cao h)

Hình 9: Hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC) và ABC vuông cân tại C, SBA cân tại
S (AC = BC=a)



Hình 10: Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’( đáy là tam giác vng tại A)

Hình 11: Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ ( có đáy là tam giác đều)
...
3. Bài tập áp dụng.
Bài tập 1: Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ . Gọi M, N là hai điểm nằm trên 2
cạnh B’C’ và CD sao cho B’M = B’C’, CN = CD. Chứng minh AM BN, tính
khoảng cách giữa AM và BN.


Bài giải

Phƣơng pháp tổng hợp

Phƣơng pháp tọa độ

Dựng ME // CC’ ( E thuộc BC). Nối AE
Hai tam giác vuông ABE và BCN bằng
nhau ( c-c-c) nên ....=.....
Suy ra AE BN (1)
Mặt khác: vì ME // CC’ nên ME
(ABCD). Suy ra ME BN (2)
Từ (1) và (2) suy ra BN (AME) BN
AM( đpcm)
Gọi I là giao điểm của AE và BN trong
(AME). Dựng IH vng góc với AM tại
H. Khi đó độ dài đoạn IH chính là khoảng
cách giữa hai đoạn AM và BN.

Trong  vng ABE. Ta có
AE = √
AB2 = AI.AE AI =
AM = √

√

√
√

√

√

Chọn hệ truc tọa độ Oxyz nhƣ hình vẽ ( 0
 A)
Đặt AA’ = a, ta có
A(0.0.a) ; B(a,0,a) ; M(a, ,0) ; N(
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
BN AM
Ta có
d(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
√

|⌈⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⌉⃗⃗⃗⃗⃗ |
|⌈⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⌉|

√