ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKII MÔN TOÁN LỚP 9
TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI
I. PHẦN LÝ THUYẾT
1. Phần đại số:

Học theo phần tổng kết chương IIIvà IV(SGK)

2. Phần đại số:

Học theo phần tổng kết chương II, IIIvà IV(SGK)

II. PHẦN BÀI TẬP.(SGK VÀ BT)
1. Giải các BT ôn tập chương III và IV( đại số)
2. Giải các BT ôn tập chương II, III và IV( H.Học)
3. Giải các BT ôn tậpcuối năm( Đsố + H.học)
III. Sau đây là các BT tham khảo :
Bài 1: Giải các hệ phương trình và phương trình sau:
 x + 2 y = −4
a) 2 x − y = 7


b)

4 x + 3 y = 7

5 x + 2 y = 8

e)x2-10x -24=0 f)x2 -5x + 6 = 0 g)
i) x4 -10x2 + 16 = 0

c)

3 x − 2 y = 7

5 x − 3 y = 3

d)

x − y = 1

x y
 2 − 3 = 334

2
1
x−4
−
+ 2
=0
x − 4 x( x − 2) x + 2 x
2

h)

1
1
−
=2
x +1 x −1

k) x3 -7x2 + 6 = 0


Bài 2: Trong cùng một mặt phẳng tọa độ gọi (P) là đồ thị hàm số y = x 2 và (d) là đường
thẳng
y = -x + 2

. a) Vẽ ( P) và ( d )

b) Xác định tọa độ giao điểm của ( P ) và ( d ) bằng đồ thị và kiểm
tra lại bằng phương pháp đại số c) Tìm phương trình đương thẳng ( D) biết đồ thị của
nó song song với ( d) và cắt (P) tại điểm có hoành độ là 2.
Bài 3: Cho hàm số y =

x2
6

và y = x + m có đồ thị lần lượt là ( P) và ( d ).

a)Vẽ ( P ) và ( d ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b)Tìm m để ( P ) và ( d )cắt nhau tại hai điểm phân biệt ? Tiếp xúc nhau? Không có điểm
chung


Bài 4 : Cho phương trình x2 + (m+1)x + m = 0 ( 1 )
a) Giải phương trình với m = 2 .
b) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm .
c) Tính y = x12 + x22 theo m , tìm m để y đạt giá trị nhỏ nhất ( x 1 ,x2 là hai nghiệm
của pt)
Bài 5: Cho phương trình x2 – 4x + m + 1 = 0
a) Định m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x12 +x22 = 10.

Bài 6: Cho phương trình : x2 – 2mx + m + 2 =0
a)Xác định m để phương trình có 2 nghiệm không âm.
b)Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức E =
Bài 7 :Cho phương trình x2 -10x – m2 = 0

x1 + x2

theo m .

(1)

a)Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m
khác 0
b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có 2 nghiệm thõa : 6x 1 + x2 = 5
Bài 8: Cho phương trình có ẩn số x , m là tham số x2 – mx + m +1 = 0
a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm với mọi m ?
b) Đặt A = x12 + x22 -6x1x2
-

Chứng minh A = m2 - 8m + 8

, Tìm m sao cho A=8

- Tìm giá trị nhỏ nhât của A và giá trị m tương ứng
Bài 9 : Hai xe máy đi từ A đền B , xe thứ nhất đi trước xe thứ hai nửa giờ với vận tốc
lớn hơn vận tốc xe thứ hai là 6 km/giờ nên đếm B trước xe thứ bai 70 phút . Tính vận tốc
mỗi xe (Biết quãng đường AB dài 120 km)
Bài 10 : Hai máy cày cùng cày một thửa ruộng thì 2 giờ xong. Nếu làm riêng thì máy
thứ nhất sớm hơn máy thứ hai 3 giờ . Hỏi mỗi máy cày riêng thì sau bao lâu thì xong thửa
ruộng ?

Bài 11 : Trong phòng họp có 80 người họp , được sắp xép ngồi đều trên các dãy ghế
.Nếu ta bớt đi 2 dãy ghế thì mỗi dãy còn lại phải xép thêm 2 người nữa mới đủ chỗ ngồi.
Hỏi trong phòng lúc đầu có mấy dãy ghế và mổi dãy được xép bao nhiêu người ngồi?


Bài 12: Tìmđộ dài các cạnh của một tam giác vuông biết tổng độ dài hai cạnh góc vuông
là 14m và diện tích là 24 m2 ?
Bài 13: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm tam
giác , AK là đường kính đường tròn .
a) Chứng minh BHCK là hình hành ?
b) Gọi M là trung điểm BC , Chứng minh OM =

1
AH
2

c) Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì BHCK là hình thoi.
Bài14:Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) M là một là một điểm bất kỳ trên
cung nhỏ BC ( M khác A , M khác B),trên đoạn MA lấy điểm D sao cho MD = MB.
Chứng minh rằng :
a) Tam giác MBD đều

b) So sánh tam giác BDA và tam giác BMC

c) MA = MB + MC
nhất ?

d) Xác định vị trí M để MA + MB + MC lớn nhất , nhỏ

Bài 15: Cho tam giác ABC vuông tại A,lấy trên cạnh AC một điểm D dựng CE vuông

góc BD.chứng minh:
a)

∆ABD : ∆ECD

b) tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp

c) Chứng minh FD vuông góc với BC ( F là giao điểm của BA và CE).
d) Cho ·ABC = 600 ; BC =2a ; AD = a , tính AC và đường cao AH của tam giác
ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF.
Bài 16: Cho tam giác ABC vuông tại A , trên cạnh AC lấy điểm D rồi vẽ đường tròn
(O) nhận CD làm đường kính , BD cắt (O) tại E ; AE cắt (O) tại F . Chứng minh rằng :
a) ABCE là tứ giác nội tiếp

b)

·
BCA
=

·ACF

c) Lấy điểm M đối xứng với với D qua AB ; điểm N đối xứng với D qua BC , chứng
minh BMCN là tứ giác nội tiếp .
Bài 17: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, vẽ đường kính MN ( Không trùng
với AB ) ,tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt AM , AN lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh AMBN là hình chữ nhật
b) MNDC là tứ giác nội tiếp .
c) Cho biết sđ


¼
AM

= 1200 Tính diện tích tam giác AMN và tứ giác MNDC?


Bài 18: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) ,vẽ hai tiếp tuyến AB và AC và cát
tuyến AMN gọi I là trung điểm MN . Chứng minh:
a) AB2 = AM. AN

b) Tứ giác ABIC nội tiếp

c)Gọi T là giao điểm của BC và AI . Chứng minh:

IB TB
=
IC TC

Bài 19: Tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên ,nội tiếp đường tròn
(O).Tiếp tuyến tại B và C của đương tròn lần lượt cắt tia AC và tia AB ở D và E. Chứng
minh :
a) BD2 = AD.CD

b) Tứ giác BDCE là tứ giác nội tiếp .

c) BC song song với DE.
Bài 20: Cho tam giác ABC vuông ở A ( AB < AC ) , đường cao AH .Trên đoạn thẳng
HC lấy một điểm D sao cho HB = HD. Vẽ CE vuông góc với AD
a) Chứng minh : AHEC là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC

Bài 21: a)Với a, b ,c ∈ R , Chứng minh phương trình sau đây luôn luôn có nghiệm:
(x – a )( x – b ) + ( x – b )(x – c) + ( x – c ) (x – a ) = 0 ( 1 )
b)Chứng minh rằng phương trình c2x2 + ( a2 – b2 –c2 )x + b2 = 0 (2 ) vô nghiệm
với a , b ,c là độ dài ba cạnh tam giác.
(Hướng dẫn :a) ( 1 )
∆'

⇔

3x2 – 2(a +b +c)x + ab + ac +bc = 0

= (a+b +c)2 – 3 (ab +bc +ac) =…………………………..
=

1
[(
2

a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a )2]

≥

0 Suy ra phương trình đã cho có

nghiệm
b)Vì c là độ dài cạnh tam giác nên c khác 0 .

∆=

(a2 – b2 –c2)2 – 4b2c2 =


=(a2 –b2 –c2 +2bc)(a2 – b2 –c2 – 2bc) = [a2 –(b-c)2] [a2 – (b+c)2]
Do a ,b ,c là độ dài ba cạnh tam giác ta chứng minh

∆

< 0 Vậy pt vô

nghiệm.)
Bài 22: Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx +c =0 có nghiệm nếu một trong hai
điều kiện sau thõa mãn : a) a ( a + 2b + 4c) < 0
b) 5a + 3b +2c = 0
( Hướng dẫn : Ta có

∆

= b2- 4ac


⇔ a2

a) a( a + 2b +4c) <0
⇔

∆ ⇔ ∆>

( a+ b)2 <

⇔ a2


+2ab + b2
0 phương trình có nghiệm

⇔ 10a2

5a + 3b + 2c = 0
nghiệm.)

+ 2ab + 4ac < 0

+ 6ab + 4ac = 0

⇔ (3a

+ b)2 +a2 =b2-4ac

≥0

, pt có

Bài 23 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = ( x + 1 )( x + 2 ) (x + 3 ) (x + 4 ).
b)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : B =

x2 + 6 x + 1
x2 + 1

(Hướng dẫn :a) Ta có A = (x 2 + 5x + 4 )(x2 + 5x + 6 ) =( x2 + 5x + 4 )[(x2 + 5x +
4)+2]=
=( x2 + 5x + 4 )2 + 2 ( x2 + 5x + 4 ) + 1 – 1=……

= ( x2 + 5x + 5 )2 - 1

≥

-1 , A=1 khi x2 + 5x + 5 = 0 …………

Vậy GTNN : -1 khị x =…….
b)Gọi A là một giá trị của biểu thức . PT : A
⇔

A(x2 +1) = x2 + 6x +1 có nhiệm
A=1
A

≠

⇔

1 ,

⇔

x2 + 6 x + 1
= 2
x +1

có nghiệm

( A – 1 )x2 -6x + A -1 = 0 có nghiệm

x = 0 thích hợp

∆'

Nên : -2

= 9 – (A – 1 )2
≤

A

≤

≥

0

⇔ (A-

1)2

≤

9

⇔

-3

≤

4 GTNN của A là -2 , GTLN là 4 )

A-1

≤

3