ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ I NĂM 2014– 2015
TRƯỜNG THPT PHÚC THỌ
MÔN: TOÁN LỚP 10
PHẦN I : ĐAI SỐ
I. NỘI DUNG ÔN TẬP
1. Đại số


Mệnh đề - tập hợp: Các phép toán giao, hợp, hiệu của 2 tập hợp.



Hàm số bậc 2:
•

Tìm hệ số a,b,c trong parabol y = ax 2 + bx + c (hay viết phương trình parabol)
thỏa mãn điều kiện cho trước.

•

Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai:

 Phương trình – hệ phương trình:
• Giải phương trình chứa căn, chứa giá trị tuyệt đối dạng đơn giản.
• Giải hệ phương trình gồm một phương bậc nhất hai ẩn và một phương
trình bậc hai hai ẩn; hệ phương trình đối xứng.
• Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất 2 ẩn.
• Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình đối xứng thỏa mãn điều
kiện cho trước.
 Bất đẳng thức:
• Chứng minh bất đẳng thức

• Tìm GTLN, GTNN
• So sánh giá trị các biểu thức
II. BÀI TẬP
1. Mệnh đề - Tập hợp
Bài 1: Cho
trục số:

A = [4;9], B = ( 0; +∞ ) , C = ( −∞;5] .

a.

A ∪ B, A ∩ C .

b.

A \ B, B \ C .

c.
d.

Xác định các tập hợp sau và biểu diễn trên

A \ ( B ∪ C ); ( A \ B ) ∪ C .

¡ \ B; ¡ \ ( A ∪ B )


Bài 2: Cho A = { x ∈ R : 2 ≤ x ≤ 8} ,

B = { x ∈ R : −2 ≤ x < 7}


Xác định các tập A ∩ B, A \ B;

A∪B

Bài 3: Cho hai tập hợp: A=[1; 4); B = { x ∈ R /

x ≤ 3}

. Hãy xác định các tập hợp:

A ∩ B, A \ B, A ∪ B.

2. Hàm số bậc hai
2
Bài 1: Cho hàm số: f ( x ) = ax + bx + c có đồ thị (P).

a) Xác định hàm số biết (P) là một parabol có đỉnh S(2; –1) và đi qua điểm
M(1; 0).
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
Bài 2: Xác định hàm số bậc hai : y = ax 2 + bx – 1, biết rằng đồ thị của nó là parabol có
trục đối xứng là đường thẳng

x=

1
và
3

đi qua điểm A(–1; –6).


Bài 3: Xác định các hệ số a,c của parabol (P): y = ax 2 − 4 x + c , biết (P) đi qua điểm M (–
2;1) và có hoành độ đỉnh là –3. Vẽ parabol (P) với a, c vừa tìm được.
Bài 4: Cho hàm số: y = ax2 + bx + 5
a) Xác định a, b biết đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh I(–3;–4).
b) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
Bài 5: Tìm (P) :

y = ax 2 + bx + 1 ,

biết (P) đi qua A ( −1;6 ) và có tung độ đỉnh là –3.

Bài 6: Cho hàm số y = ax2 + bx + 3
a) Xác định a, b của hàm số biết đồ thị hàm số đi qua A(1;0) và B(–2;15)
b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được ở câu a.
Bài 7: Cho hàm số

y = − x 2 + 3x − 2 ( P)

a) Vẽ (P)

b) Từ đồ thị hàm số biện luận số nghiệm của pt

− x 2 + 3x − 2 = m

(*)

c) tìm m để (*)có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 4
Bài 8: Xác định Parabol (P), biết (P):
I(1; –4).


y = ax 2 + bx + c

đi qua điểm A(2; –3) và có đỉnh

3. Phương trình – Hệ phương trình
Bài 1: Giải các phương trình sau :
a.
d.

5x + 6 = x − 6
2 x 2 + 5 x + 11 = x − 2

b.
e.

3x − 2 = 2 x − 1
6 − 4x + x2 = x + 4

c.

3 x + 1 − x = −1

f.

2 x 2 + 3x − 5 = x + 1


g.


-x 2 + 6 x + 1 + x = 1

h.

x 2 − 3 x + x 2 − 3 x + 2 = 10

k.

3 − x = x + 2 +1

l.

1 − x = x2 − 2x − 5

i.

x2 + 5 − 3 2x2 − 4 x + 5 = 2x

n.

2x −1 + x + 3 = 3

Bài 2: Giải các phương trình sau:
x − 2 = x2 − 2x − 6

a.

d. 2 x + 1 =
5x + 6|
g.


b.

c. |x + 3| = 2x + 1

2x + 6 = 2 − x

e. x − 2 = |3x2 − x − 2|

x −3

f. |x2 − 2x| = |x2 −

2 x 2 + 8 x − 15 = 4 x + 1

Bài 3: Giải hệ phương trình:
a)

x + 2 y = 5
 2
2
 x + 2 y − 2 xy = 5

b)

 x 2 + y 2 + xy = 4

 x + y + xy = 2

 xy + x + y = 5


c)  x 2 + y 2 + x + y = 8


d)

x + y = 4
 2
2
 x + y + xy = 13

Bài 4: Giải hệ phương trình:
a)

2
 x = y − 2

2
 y = x − 2

3
 x = 5x+y
 3
 y = 5 y +x

b)

Bài 5: Cho hệ phương trình

c)


2
 x = 3x+2y
 2
 y = 3 y +2x

d)


y2 + 2
3
y
=

x2


2
3 x = x + 2

y2

x − 2 y = 4
 2
.
2
x + 4 y = m

a) Giải hệ khi m =10
b) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho.

Bài 6: Cho hệ

x − 2 y = 4
 2
2
x + 4 y = m

a)Giải hệ với m = 26; b)Tìm m để hệ có nghiệm duy

nhất.
Bài 7: Cho hệ

x + y = 4
 2
2
 x + y + mxy = 13

a) Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm.
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
Bài 8: Giải và biện luận hệ phương trình:
a.

 mx + y = m + 1

 x + my = 2

b.

 x + my = 1


 mx − 3my = 2m + 3

4. Bất đẳng thức
Bài 1: Chứng minh rằng:

∀a, b, c

c.

(m − 1) x + (m + 1) y = m

(3 − m) x + 3 y = 2


a) ( a+b )

2

≤ 2 ( a 2 + b2 )

b) ( a+b+c )

2

≤ 3 ( a2 + b2 + c2 )

Bài 2: Chứng minh rằng:

x 3 + y 3 ≥ x 2 y + xy 2 , ∀x > 0, y > 0.


Bài 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ac)

Bài 4: Cho a, b, c >0. Chứng minh rằng:
Bài 5: So sánh A và B, biết
Bài 6: Cho

a 3 + b3 = 2 .

a+b b+c a+c
+
+
≥6
c
a
b

A = 2015 − 2014, B = 2014 − 2013 .

Chứng minh rằng:

a + b ≤ 2.

Bài 7: Tìm GTNN của hàm số:
a) f ( x) =

x − 2006 + x − 2007

Bài 8: Tìm GTLN của
Bài 9: Cho

a)

a, b, c > 0

b) f ( x) = 2 x 2 +

2x + 6

c) f ( x) =

x 2 − 2 x + 2014
x2

f ( x ) = −3x 2 + 12 x − 1

. Chứng minh rằng :

a
b
c
3
+
+
≥ ;
b+c c+a a+b 2

b)

a2
b2

c2
a+b+c
+
+
≥
b+c c+a a+b
2

PHẦN II: HÌNH HỌC
I.

NỘI DUNG ÔN TẬP

1. Các định nghĩa
• Vectơ
là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối
uuu
r
B là AB .
• Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
• Độ udài
của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí
uu
r
hiệu AB .
r

• Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0 .
• Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
• Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

• Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu

r r
a , b ,...

để biểu diễn vectơ.


+ Qui ước: Vectơ

r
0

cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.

+
Điều kiện cần và đủ để 3 điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là hai véctơ
uuu
r uuur
AB , AC cùng phương.
2. Các phép toán trên vectơ
a) Tổng của hai vectơ

uuu
r uuu
r uuur
AB + BC = AC .
uuu
r uuur uuur

ABCD là hình bình hành, ta có: AB + AD = AC .
r
r
r r r
( ar + b ) + cr = ar + ( b + cr ) ;
a+0=a

• Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có:
• Qui tắc hình bình hành: Với
r r r r
a+b =b+a;

• Tính chất:

b) Hiệu của hai vectơ
• Vectơ đối của
• Vectơ đối của
r
r r r
• a − b = a + ( −b ) .

r
a
r
0

là vectơ

r
b


sao cho

r r r
a +b = 0.

Kí hiệu vectơ đối của

r
a

là

r
−a .

r

là 0 .

• Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có:

uuu
r uuu
r uuu
r
OB − OA = AB .

c) Tích của một vectơ với một số
• Cho vectơ


r
a

+

r
ka

+

r
r
ka = k . a

và số k ∈ R.

cùng hướng với

• Tính chất:
• Điều kiện
• Điều kiện

r
a

r
ka

là một vectơ được xác định như sau:


nếu k ≥ 0,

r
ka

ngược hướng với

r
a

nếu k < 0.

.

r
r
r r
r
r
r r
r
k ( la ) = (kl)a
k ( a + b ) = ka + kb ; (k + l)a = ka + la ;
r r
r r
ka = 0 ⇔ k = 0 hoặc a = 0 .
r r r
r
r

r
để hai vectơ cùng phương: a vaø b ( a ≠ 0 ) cuøng phöông ⇔ ∃k ∈ R : b = ka
uuu
r
uuur
ba điểm thẳng hàng:
A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k ≠ 0: AB = k AC .

• Biểu thị một rvectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không
r
r
r
cùng phương a , b và x tuỳ ý. Khi đó ∃! m, n ∈ R: xr = mar + nb .
Chú ý:
• Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:
M là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔

uuur uuur r
MA + MB = 0

• Hệ thức trọng tâm tam giác:
G là trọng tâm ∆ABC ⇔
3. Trục toạ độ

uuu
r uuu
r uuur r
GA + GB + GC = 0

⇔


⇔

uuu
r uuu
r
uuur
OA + OB = 2OM

uuu
r uuu
r uuur
uuur
OA + OB + OC = 3OG

(O tuỳ ý).

(O tuỳ ý).


• Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và
r
r
một vectơ đơn vị e . Kí hiệu ( O; e ) .
r
r
r
u = (a) ⇔ u = a.e .
uuur
r

M (k ) ⇔ OM = k .e .
uuu
r
r
trục:
AB = a ⇔ AB = a.e .

• Toạ độ của vectơ trên trục:
• Toạ độ của điểm trên trục:
• Độ dài đại số của vectơ trên

Chú ý: + Nếu cùng hướng với thì
Nếu ngược hướng vơi thì
+ Nếu A(a), B(b) thì

AB = AB .
AB = − AB .

AB = b − a .

+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta có:

AB + BC = AC .

4. Hệ trục toạ độ
• Hệ gồm
hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần
r r
lượt là i , j . O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung.
• Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ:

• Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ:
• Tính chất: Cho
+)

r
r
a = ( x; y ), b = ( x′ ; y′ ), k ∈ R , A( x A ; y A ), B( xB ; yB ), C ( xC ; yC ) :

 x = x′
r r
a=b ⇔
 y = y′
r

+ ) b cùng phương với
0).
+)

r
r
r
r
u = ( x; y ) ⇔ u = x.i + y. j .
uuur
r
r
M ( x; y ) ⇔ OM = x.i + y. j .

r


+) ar ± b = ( x ± x′; y ± y′ )
r r
a≠0

⇔ ∃k ∈ R:

+)

r
ka = (kx; ky )

x′ = kx vaø y′ = ky

⇔

x ′ y′
=
x
y

(nếu x ≠ 0, y ≠

uuu
r
AB = ( xB − x A ; yB − y A ) .

+) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB:

xI =


+ )Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

xG =

x A + xB
y + yB
; yI = A
2
2
x A + x B + xC

+) Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1:
( M chia đoạn AB theo tỉ số k ⇔

3

xM =

uuur
uuur
MA = k MB ).

; yG =

.

y A + yB + yC
3

.


x A − kxB
y − kyB
; yM = A
1− k
1− k

.


II.

BÀI TẬP

Bài 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AC và BD. Gọi E là trung
điểm I J .
CMR:

uuu
r uuu
r uuur uuur r
EA + EB + EC + ED = 0 .

Bài 2: Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm AB, BC, CA. CMR:
uuur uuu
r uuuu
r r
=0;

uuur


a) AN + BP + CM

uuuu
r uuur

b) AN = AM + AP ;

c)

uuuu
r uuur uuu
r r
AM + BN + CP = 0 .

Bài 3 : Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.
a, CMR

uur 1 uuur uuur
AI = AD + 2 AB
2

(

)

b, CMR

uuu
r uur uur r

OA + OI + OJ = 0

Bài 4: Cho tam giác MNP có MQ là trung tuyến của tam giác.Gọi R là trung điểm của
MQ. Cmr :
uuur uuu
r uur

r

a ) 2 RM + RN + RP = 0

uuur

uuur uuu
r

uuu
r

b) ON + 2OM + OP = 4OR ,

∀ O.

c)
Dựng điểm S sao cho tứ giác MNPS là hình bình hành. Chứng tỏ rằng
uuu
r uuur uuur uuur
MS + MN − PM = 2 MP

d)Với

điểm O
tùy
ý, hãy chứng minh rằng
uuur uuuu
r uuur uuu
r
uur

uuur uuu
r uuuu
r uuu
r
ON + OS = OM + OP

;

ON + OM + OP + OS = 4OI

Bài 5: Cho tam giác MNP có MQ, NS, PI lần lượt là trung tuyến của tam giác.
a) Chứng minh rằng:

uuur uuu
r uur r

MQ + NS + PI = 0 .

b) Chứng minh rằng hai tam giác MNP và tam giác SQI có cùng trọng tâm .
c) Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua N , N’là điểm đối xứng với N qua P , P’ là
điểm đối xứng
với P qua M. Chứng minh rằng với mọi điểm O bất kì ta luôn có:

r uuuur uuur
uuur uuur uuu
r uuuu
ON + OM + OP = ON ' + OM ' + OP ' .
Bài 6*: Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của AB, N là một điểm trên AC sao
cho NC=2NA, gọi K là trung điểm của MN
uuur 1 uuur 1 uuur
a ) CMR: AK= AB +
AC
4
6

b) Gọi D là trung điểm của BC. Cmr

uuur 1 uuuu
r 1 uuur
KD=
AB + AC
4
3

Bài
7*:
a) Cho MK và NQ là trungrtuyến
của tam giác MNP. Hãy phân tích các véctơ
uuur
uuur uuu
r uuur
r uuuu
r

MN , NP, PM theo hai véctơ u = MK , v = NQ
uuu
r

uur

b) Trên đường
thẳng NP của tam
giác
MNP lấy một điểm S sao cho SN = 3SP . Hãy phân
uuur
r uuuu
r r uuur
tích véctơ MS theo hai véctơ u = MN , v = MP
Bài 8: Cho tam giác ABC.


a, Hãy dựng các điểm P, Q sao cho
uuur uuur
AP, AQ

b, Biểu diễn

theo

uuur uuuu
r
AB, AC.

uuu

r
uuu
r
uuu
r uuur r
PA = 2 PB, 3 QA + 2QC = 0 .

c, Chứng minh PQ đi qua trọng tâm tam giác ABC.
Bài 9: Cho :

uuu
r r r uuu
r r r uuur r r
OA = i − 2 j , OB = 5i − j , OC = 3i + 2 j.

a) Tìm tọa độ trọng tâm, trung điểm cạnh AC của tam giác ABC.
b) Tìm toạ độ của các vectơ
r

c) Xét a = (−2; y ) . Tìm y để
ngược hướng

r
uuur uuur
uuur
AB và u = 2 AB − 3BC
r
uuur
a cùng phương với AB .


Khi đó

r
a

và

uuur
AB

cùng hướng hay

Bài 10: Cho 3 điểm A ( 3; −1) , B ( 2; 4 ) , C ( 5;3) .
a) Tìm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
b) Tìm M sao cho C là trọng tâm tam giác ABM.
c) Tìm N sao cho tam giác ABN vuông cân tại N.
d) Tính góc B.
Bài 11: Cho 3 điểm A ( −1; −1) , B ( −1; −4 ) , C ( 3; −4 ) .
a) Cmr ba điểm A, B, C lập thành một tam giác.
b) Tính độ dài 3 cạnh của tam giác ABC.
c) CM ∆ABC vuông. Tính chu vi và diện tích ∆ABC.
d) Tính

→

→

AB . AC

và


cos A .

e) Tìm tọa độ chân đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC
Bài 12: Cho A(–2:–3), B(1;1), C(3;–3)
a) CMR tam giác ABC cân.;
b) Tính diện tích tam giác ABC.
c) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC.
d) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên BC.
e) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 13: Cho A(–3;2), B(4;3)
a) Tìm M ∈ Ox sao cho tam giác MAB vuông tại M.
b) Tính diện tích tam giác MAB
c) Tìm D sao cho tứ giác MABD là hình bình hành.


d) Tìm E (1; x) sao cho A, B, E thẳng hàng.