ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK 2 MÔN TOÁN LỚP 10 (CB)
NĂM HỌC 2013-2014
TRƯƠNG THPT NGUYỄN HUỆ
A. LÝ THUYẾT
I. ĐẠI SỐ
Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
- Bất đẳng thức: nắm vững các kiến thức sau:
+ Tính chất của bất đẳng thức:
(1) a < b ⇔ a + c < b + c
(2) a < b ⇔ ac < bc

(c > 0)

(3) a < b ⇔ ac > bc

(c < 0)

(4)
(5)

a
a
và
và

c < d ⇒ a+c
c < d ⇒ ac < bd

(a > 0, c > 0)

(6) a < b ⇔ a 2n + 1 < b 2n + 1 (n nguyên dương)
(7) 0 < a < b ⇒ a 2n < b 2n (n nguyên dương)
(8) 0 < a < b ⇔ a < b
(9) a < b ⇔ 3 a < 3 b
+ Bất đẳng thức Cô-si: ab ≤ a + b

2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b .

(∀a, b ≥ 0)

+ Tính chất của bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
(1) x ≥ 0, x ≥ x, x ≥ − x
(2) Với a > 0, x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
1


x ≥ a ⇔ x ≤ −a hoặc x ≥ a

(3) a − b ≤ a + b ≤ a + b
- Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn: nắm vững các kiến thức sau:
+ Khái niệm bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn.
+ Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn: sử dụng các phép biến đổi bất
phương trình.
+ Cách giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn: ta giải từng bất phương trình rồi
lấy giao các tập nghiệm.
- Dấu của nhị thức bậc nhất: nắm vững các kiến thức sau:
+ Khái niệm nhị thức bậc nhất f ( x) = ax + b (a ≠ 0) .

+ Cách xét dấu nhị thức bậc nhất f ( x) = ax + b (a ≠ 0)
Bước 1: Tìm nghiệm của nhị thức bậc nhất
f ( x) = ax + b = 0 ⇔ x = −

b
a

Bước 2: Lập bảng xét dấu
−

x

b
a

Trái dấu
0
với a

Cùng
dấu với
a

Bước 3: Kết luận.
- Dấu của tam thức bậc hai: nắm vững các kiến thức sau:
+ Khái niệm tam thức bậc hai.
+ Cách xét dấu tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) .
Bước 1: Tìm nghiệm của f (x)
Bước 2: Lập bảng xét dấu
2



TH1: Nếu f (x) vô nghiệm:

x
Cùng dấu với a
TH2: Nếu f (x) có một nghiệm duy nhất: x = −
−

x

b
2a

b
2a

Cùng
dấu với 0
a

Cùng
dấu với
a

TH3: Nếu f (x) có hai nghiệm phân biệt: x1, x2 ( x1 < x2 )
x

x1


Cùng
dấu với 0
a

x2

Trái
Cùng
dấu với 0 dấu với
a
a

Bước 3: Kết luận.
+ Áp dụng xét dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để giải bất phương trình bậc
hai, bất phương trình qui về bậc nhất, bậc hai (bất phương trình dạng tích, bất phương
trình chứa ẩn ở mẫu thức).
+ Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghiệm, vô nghiệm, có
nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Chương VI: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
- Cung và góc lượng giác: nắm vững các kiến thức sau:
+ Khái niệm đường tròn lượng giác.
+ Số đo dạng tổng quát của cung (góc) lượng giác.
3


+ Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác.
- Giá trị lượng giác của một cung: nắm vững các kiến thức sau:
+ Định nghĩa các giá trị lượng giác của cung α : sin α , cosα , tan α , cot α .
+ Các công thức lượng giác cơ bản.
+ Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt: cung đối nhau, cung bù

nhau, cung hơn kém π , cung phụ nhau.
+ Các công thức lượng giác: công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến
đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng.
II. HÌNH HỌC
Chương II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
- Các hệ thức lượng trong tam giác: định lí côsin, công thức tính độ dài đường
trung tuyến, định lí sin, công thức tính diện tích tam giác.
Chương III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
- Phương trình đường thẳng: cần nắm vững các kiến thức sau:
+ Vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của một đường thẳng.
+ Các dạng phương trình đường thẳng:
Dạng 1: Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và nhận


u = (u1; u2 ) làm vectơ chỉ phương có dạng:
 x = x0 + u1t

 y = y0 + u 2t

(t ∈ R)

Dạng 2: Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và nhận


n = (a ; b) làm vectơ pháp tuyến có dạng:
a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0

Dạng 3: Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k có
dạng:
y − y0 = k ( x − x0 )


+ Cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.
4


+ Khái niệm và cách tính góc giữa hai đường thẳng.
+ Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
- Phương trình đường tròn
Các dạng phương trình đường tròn:
Dạng 1: Phương trình đường tròn tâm I = (a ; b) bán kính R có dạng:
( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = R 2

Dạng 2: Phương trình có dạng x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 với a 2 + b 2 − c > 0 là phương
trình đường tròn tâm I = (a ; b) bán kính
R = a 2 + b2 − c
- Phương trình đường elip
+ Định nghĩa đường elip.
+ Phương trình chính tắc của elip.
+ Hình dạng của elip (trục lớn, trục nhỏ, các đỉnh, các tiêu điểm, hình chữ nhật cơ
sở).

5


B. BÀI TẬP
I. ĐẠI SỐ
Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp 1: (phương pháp gián tiếp) biến đổi tương đương bất đẳng thức đã
cho về một bất đẳng thức đúng đã biết.

Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

( ∀a, b, c ∈ R )

a) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
b) a 2b + ab 2 ≤ a 3 + b3

( a > 0, b > 0)

c) (ab + cd ) 2 ≤ (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 )

( ∀a, b, c, d ∈ R )

Phương pháp 2: (phương pháp trực tiếp) sử dụng các tính chất của bất đẳng thức và
một số bất đẳng thức thông dụng để chứng minh.
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:


2
a)  a +



b  2 a 
 b +  ≥ 4ab
a 
b


b) ( a + b ) 1 +





c) 1 +


d)

1 
≥4
ab 

( ∀a, b > 0)

( ∀a, b > 0)

a  b  c 
1 + 1 +  ≥ 8
b  c  a 

a
b
+
≥ a+ b
b
a

( ∀a, b, c > 0)
( ∀a, b > 0)


e) (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc
f)

bc ca ab
+ + ≥ a+b+c
a b c

( ∀a, b, c ≥ 0)

( ∀a, b, c > 0)

Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
Phương pháp: sử dụng các tính chất của bất đẳng thức và một số bất đẳng thức
thông dụng.
6


9
2
Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4 x + 2 với x > 0 .
x

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x(2 − x) với 0 ≤ x ≤ 2 .
Dạng 3: Giải bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Để giải bất phương trình bậc nhất một ẩn ta sử dụng các phép biến đổi bất phương
trình và định lí về dấu của nhị thức bậc nhất.
- Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình trong
hệ rồi lấy giao các tập nghiệm.
Bài 5. Giải các bất phương trình sau:

a) 3x + 5 −1 ≤ x + 2 + x

b) − 2(1 − x) − 2 x ≥ x − 3 + 1

c) 2( x − 4) < 3x − 14

d) x < x + 3

2

3

2

e) ( x − 1)(3 − 2 x) ≤ 0

3

4
2
f) (2 x − 5)( x + 2) ≥ 0
− 4x + 3

g) 2 ≤

h) 4 x(3x + 2) > 0

i) 1 + 2 < 3

k) 3x − 4 > 1


5
x −1 2 x −1

x −1 x − 2

2

2x − 5

x −3

x−2

Bài 6. Giải các hệ bất phương trình sau:
a)

1
4
 − 12 x ≤ x +
2
3
2(3x − 4) > 5 x


5x + 2
≥ 4− x

b)  3
2(3x − 4) > 5 x



c)

 x −1 ≤ 2x − 3

 5 − 3x
≤ x −3

 2

3x < 5 + x

 3x + 1 x − 2 1 − 2 x
−
<

 2
3
4
d)  x − 3 1 − 2 x x + 1

+
>
 4
5
3

Dạng 4: Giải bất phương trình và hệ bất phương trình bậc hai một ẩn
Phương pháp:

- Để giải bất phương trình bậc hai một ẩn ta sử dụng các phép biến đổi bất phương
trình và định lí về dấu của tam thức bậc hai:
7


Bước 1: Xét dấu tam thức bậc hai.
Bước 2: Kết luận.
- Muốn giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn ta giải từng bất phương trình trong
hệ rồi lấy giao các tập nghiệm.
Bài 7. Xét dấu các biểu thức sau:
a) f ( x) = 3x 2 − 2 x + 1

b) f ( x) = − x 2 − 4 x + 5

c) f ( x) = x 2 + ( 3 − 1) x − 3

d) f ( x) =

e) f ( x) =

(− x 2 + 5 x − 7)(3x − 1)
2

3x + x − 2

3x 2 − 2 x − 5
9 − x2

f) f ( x) = x 2 (3x 2 − 10 x + 3)


Bài 8. Giải các bất phương trình sau:
a) 2 x 2 + (1 + 2 ) x + 1 ≥ 0
c)

x 2 − 9 x + 14
2

x + 9 x + 14

≤0

e) (2 x 2 − 5 x + 2)( x + 2) ≥ 0
g)
i)

(2 x −1)(3 − x)
x 2 − 5x + 4
x 2 − 3x + 1
x2 −1

>0

>1

b) − 3x 2 + 7 x − 4 < 0
d)

4x −1
4 − x2


≥0

f) ( x − 1)( x 2 + 2 x) ≥ 0
(3 − 2 x)( x 2 − x + 1)
>0
h)
4 x 2 − 12 x + 9

k)

2
2 x 2 − 5x + 3

>

1
x2 − 9

Bài 9. Giải các hệ bất phương trình sau:
a)

2 x 2 + 9 x + 7 < 0
 2
 x + x − 6 ≥ 0

a)

 x 2 − 4 > 0
 2
 x − x − 12 < 0


b)

2

x − x ≥ 0
 2

− x + 3x + 4 ≥ 0

b)

 x 2 − 7 x + 12 < 0

(9 − x 2 )( x − 1) ≥ 0

8


g)

 x 2 − 7 x + 12 ≥ 0

 2
3x + 7 x −10 < 0

2
9 − x ≤ 0



Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trình có
nghiệm, vô nghiệm hay có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài 10. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:
a) 2 x 2 + 2(m + 2) x + m 2 + 4m + 3 = 0
b) (m − 1) x 2 − 2(m + 3) x − m + 2 = 0
Bài 11. Cho f ( x) = (2 − m) x 2 + 2(m − 3) x + 1 − m . Tìm m để bất phương trình f ( x) ≥ 0
thỏa ∀x ∈ R .
Bài 12. Cho phương trình mx 2 − 2(m − 1) x + 4m − 1 = 0 . Tìm các giá trị của tham số m
để phương trình đã cho thỏa :
a. Vô nghiệm
b. Có hai nghiệm phân biệt.
c. Có hai nghiệm trái dấu.
d. Có hai nghiệm dương phân biệt.
Bài 13: Xác định m để các hàm số sau luôn xác định:
a) y = mx 2 − 4 x + m + 3
b)

y=

1
3x 2 + 2(m − 1) x + m + 4

Chương VI: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Phương pháp: Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác
định điểm ngọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào trên đường tròn lượng
giác, từ đó suy ra dấu của giá trị lượng giác cần tìm.
Bài 1. Cho 0 o < α < 90o , xác định dấu của các giá trị lượng giác sau:
9



a) tan(α + 180o )

b) cos(2α + 90o )

Bài 2. Cho 0 < α <

a) tanα −


π

4

π
, xác định dấu của các giá trị lượng giác sau:
2
π

b) cosα − 
4


Dạng 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung) lượng giác
Bài 3. Không sử dụng MTCT, hãy tính các giá trị lượng giác sau:
13π
10π
7π
 17π 
 11π 

 π 
 ; cot −
 ; sin  −  ; cos
sin
; cos
; tan −
4

3



6 



4 

 12 

12

sin15o ; cos(−510 o ) ; tan 480o ; cot(−285o )

Bài 4. Hãy tính các giá trị lượng giác của góc α biết:
3
π
a) sin α = − và − π < α < −

5

2
4
b) cosα = và 0o < α < 90o
5
1
c) tan α = và cosα < 0
3
3π
d) tan α = 2 và π < α <
2
1
π
Bài 5. Biết sin a = và < a < π . Hãy tính sin 2a , cos 2a .
4
2
3
5

Bài 6. Cho tan a = , hãy tính giá trị biểu thức sau: A =

sin a.cos a
sin 2 a − cos 2 a

π
3
π
 biết sin α = và
<α <π .
3
5

2

1
3π
< a < π . Tính sin 2a , cos 2a , tan 2a , cot 2a .
Bài 8. Biết sin a − cos a = và
2
4


Bài 7. Tính cosα −

Bài 9. Tính giá trị của các biểu thức sau:
7π
5π
a) A = cos + cos
3

3

10


5π
7π
− sin
6
6
5π
7π

c) C = cos .sin
12
12
π
π
π
π
d) D = sin .cos .cos .cos
24
24
12
6

b) B = sin

e) E = (cos15o − sin15o )(cos15o + sin15o )
f) F = sin 48o cos12o + cos 48o sin12 o
g) G =

sin 20o.sin 40o.sin 50o.sin 70 o
cos10o.cos 50 o

h) H = cos 20o + cos 40o + cos 60o + ... + cos160 o + cos180o
i) I = cos 2 10o + cos 2 20o + cos 2 30o + ... + cos 2 180o
k) K = tan15o + cot15o
l) L = cos10 o.cos 50o.cos 70o
Dạng 3: Bài toán rút gọn (đơn giản) biểu thức lượng giác
Bài 10. Rút gọn các biểu thức sau:
 3π


π

sin − α  − sin  − α 
a) A =  4
4


cosα
2 cos 2 α − 1
b) B =
sin α + cosα
π

π

c) C = cos 4 − α  − cos 4 + α 





d) D =
e)

E=

tan 2α + cot 2α
1 + cot 2 2α
π


sin

2

sin 2α


π



2

+ α  + sin



−α 


11


π

f) C = sin ( a + b ) + sin 2 − a  sin(−b)





π

g) G = cos 2 + α  + cos(2π − α ) + cos(3π + α )




Dạng 4: Bài toán chứng minh đẳng thức lượng giác
Bài 11. Chứng minh:
a) tan a + cot a =
b)
c)

1 + sin 2 α
1 − sin 2 α

2
sin 2a

(a ≠ k

π
,k ∈Z)
2

(a ≠ k

= 1 + 2 tan 2 α

π

,k ∈Z)
2

sin α
1 + cosα
2
+
=
1 + cosα
sin α
sin α

d) sin 4 α + cos 4 α = 1 − 2 sin 2 α cos 2 α
e) sin 4 α − cos 4 α = 1 − 2 cos 2 α
1
cosα
−
= tan α
f)
cosα 1 + sin α

2
g) (sin x + cos x) + cos 2 x − 1 = 2 cos 2 x −


h) cot α − cot 2α =

π

4


1
sin 2α

i) tan α = cot α − 2 cot 2α
k)

sin 2 α − tan 2 α
cos 2 α − cot 2 α

= tan 6 α

l) sin (α + β ).sin (α − β ) = sin 2 α − sin 2 β
Bài 12. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào α :
a)

A = (tan α + cot α ) 2 − (tan α − cot α ) 2

b) B = 3(sin 4 α + cos 4 α ) − 2(sin 6 α + cos 6 α )


2
2  2π
2  2π
c) C = cos x + cos  3 + x  + cos  3 − x 








12


d) D =

tan 2 x − cos 2 x
2

sin x

+

cot 2 x − sin 2 x
cos 2 x

II. HÌNH HỌC
Bài 1. Cho tam giác ABC có Aˆ = 60 o , CA = 8cm , AB = 5cm . Hãy tính:
a) Độ dài cạnh BC.
b) Diện tích tam giác ABC.
c) Độ dài đường cao AH.
d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 2. Cho tam giác ABC có a = 13cm , b = 14cm , c = 15cm . Hãy tính:
a) Diện tích tam giác ABC.
b) Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A.

CA.

d) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Bài 3. Cho tam giác ABC có Aˆ = 60 o , Bˆ = 75o , AB = 2 . Tính độ dài các cạnh BC,

Bài 4. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng ∆
trong các trường hợp sau:


a) ∆ đi qua điểm M(2;-3) và có vectơ pháp tuyến n = (-4;1).
b) ∆ đi qua hai điểm A(3;-2) và B(-1;3).
c) ∆ đi qua điểm M(2;-4) và vuông góc với đường thẳng x − 2 y − 1 = 0 .
d) ∆ đi qua điểm M(-2;4) và song song với đường thẳng x − y − 1= 0 .
Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(–1; 2), B(3; 1) và đường thẳng ∆ có
x = 1 + t

phương trình  y = 2 + t .

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆.
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB.
d) Tìm tọa độ điểm C nằm trên đường thẳng ∆ sao cho tam giác ABC cân tại C.
13


e) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆.
Bài 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1). Tính số đo
các góc trong tam giác ABC.
Bài 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(–1; 0), B(1; 6), C(3; 2).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b) Viết phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM của tam giác ABC.
c) Viết phương trình tổng quát của đường cao CH của tam giác ABC (H thuộc
đường thẳng AB). Xác định tọa độ điểm H.

d) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
e) Tính bán kính đường tròn (C) có tâm là điểm C và tiếp xúc với đường thẳng AB.
Bài 8. Viết phương trình đường tròn (C) biết:
a) (C) đi qua ba điểm A(2;0), B(0;-1) và C(-3;1).
b) (C) có đường kính AB, với A(-2;3), B(6;5).
c) (C) có tâm I(2;3) và đi qua gốc tọa độ.
d) (C) có tâm I(2;-2) và tiếp xúc với đường thẳng d: x + y − 4 = 0 .
e) (C) đi qua 2 điểm A(3;2), B(1;4) và tiếp xúc với trục hoành.
f) (C) đi qua 2 điểm A(2;1), B(4;3) và có tâm nằm trên đường thẳng d: x − y + 5 = 0 .
g) (C) đi qua điểm A(1;0) và tiếp xúc với hai đường thẳng d1 : x + y − 4 = 0 và
d2 : x + y + 2 = 0 .

Bài 9. Cho đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 − 6 x + 2 y + 6 = 0 :
a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) tại điểm A(3;1).
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) đi qua điểm B(1;3).
d) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng 3x − 4 y + 1 = 0 .
e) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) biết tiếp tuyến vuông góc với
đường thẳng x − 2 y − 1 = 0 .

14


Bài 10. Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh, tiêu cự, tâm
sai của elip (E) có phương trình sau:
a)

x2 y2
+

=1
25 9

b)

c) 4 x 2 + 9 y 2 = 16

x2
+ y2 =1
9

d) x 2 + 4 y 2 = 4

Bài 11. Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết:
a) (E) có đỉnh A(-2;0) và một tiêu điểm F( − 2 ;0 ).
3
b) (E) có tiêu cự bằng 6 và tâm sai e = .
5

9
 12 
 và N  3;  .
 5 
 5


c) (E) đi qua hai điểm M  4;

 3


4 
 và tam giác MF1F2 là tam giác vuông tại M .

5
5


5
e) (E) có độ dài trục lớn bằng 26 và tâm sai e = .
13

d) (E) đi qua hai điểm M 

;

15


SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II

TRƯỜNG THPT
NGUYỄN HUỆ

Năm học 2012 - 2013
Môn: TOÁN Lớp: 10
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm): Giải các bất phương trình sau:
1) x 2 − 2012 x − 2013 > 0
x 2 − 3x − 10
≤0
2)
3− x

Câu 2 (1,0 điểm): Giải hệ bất phương trình:

{

4 −x 2 >0
2 x −3≤0

Câu 3 (1,0 điểm): Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
A = ( sinα + sin 5α + 4sin

π
3α
3α
cos )(1 + tan 2 α ), với α =
2
2
9

Câu 4 (3,0 điểm):
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3;1) và đường thẳng

∆


có phương trình:

a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d qua điểm A và vuông góc với
đường thẳng ∆ .
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ .
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(−2; −4) và đường thẳng d1 có phương trình:
x − 3 y + 2014 = 0 . Tính số đo góc giữa đường thẳng d1

và đường thẳng d 2 đi qua hai điểm

O và A.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
16


Học sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau (phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình Chuẩn:
Câu 5a (2,0 điểm):
1) Cho tam thức bậc hai:
Xác định m để

f ( x) = − x 2 + 3mx − m 2 − 1 (

m là tham số)

.
π
2

2) Chứng minh rằng: (cot x + cot 2 x).cos( − x).sin(π − 2 x) = sin 3x

Câu 6a (1,0 điểm): Cho tam giác ABC biết b = 2 3cm, a = 19cm, góc A có số đo 300. Tính
bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh c của tam giác ABC
2. Theo chương trình Nâng cao:
Câu 5b (2,0 điểm):
1) Cho tam thức bậc hai:
Xác định m để

f ( x) = − x 2 + 2 m + 1x − 4m + 7 − 1 (

m là tham số)

.
π
2

2) Chứng minh rằng: [ tan(a − b) + tan(a + b)].cos(π +a-b).sin( + a + b) = − sin 2a
Câu 6b (1,0 điểm): Viết phương trình chính tắc của hypebol(H). Biết (H) qua điểm
M ( 2; − 3) và có tâm sai e = 2 .

17


ĐÁP ÁN
Nội dung

Điểm

Câu 1

2.0


1) x 2 − 2012 x − 2013 > 0

1.0

+ Tìm được 2 nghiệmVT: x = −1; x = 2013

0.25

+ BXD:
−∞

x

-1

VT

+

2013
0-

0

+∞

+

0.25

0.25

KL:Tập nghiệm T = (−∞; −1) ∪ (2013; +∞)
0.25
x 2 − 3x − 10
≤0
2)
3− x

1.0

+ Tìm được các nghiệm của tử và mẫu ở vt

0.25

x = −2; x = 5; x = 3

+ BXD:
x

−∞

-2

0.5

+∞

5
V

T

3

+

0

-

P

+0

0.25

-

+ KL: Tập nghiệm bpt T = [ − 2;3) ∪ [5; +∞)
Câu 2

1.0

18


{

4−
x2 >

0
2 x−
3≤
0

−2⇔
x ≤3
 2

⇔ −2 < x ≤

0.5

3
2
3
2

KL: Tập nghiệm của hệ T = (−2; ]

0.25

0.25
Câu 3

1.0

A = ( sinα + sin 5α − 4sin
A=

=

3α
3α
π
cos )(1 + tan 2 α ), với α =
9
2
2

2 Sin3α cos2α − 2sin 3α
cos 2 α

0.25

2 Sin3α(cos2α −1)
cos 2 α

0.25

= −4sin 3α

π
2

π
với α = 9 suy ra: A = −4sin = −4

0.25
0.25

Câu 4

3.0

1) Cho điểm A(3;1) và đường thẳng

∆

có phương trình:

{

x = 2t
y =1− 3t

2.0

a. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d qua điểm A và 1.0
vuông góc với đường thẳng ∆ .
+VTCP của đt ∆ :

r
u = (2; −3)

+Lập luận và suy ra được vtpt của đt

0.25
∆

là

r
u = (2; − 3)

19


+PTTQ của đt d: 2( x − 3) − 3( y −1) = 0
⇔ 2x −3 y −3 = 0

0.25
0.25
0.25

b. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ .
+Đt ∆ qua M 0 (0;1) và nhận vtpt:

r
n(3; 2) nên

pttp có dạng:

1.0
0.25

3( x − 0) + 2( y − 1) = 0
⇔ 3x + 2 y − 2 = 0
+Ghi CT:

d ( A, ∆) =

3.3 +2.1 −2
32 +22

=

0.25

9
13

0.25
0.25
2)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(−2; −4) và đường thẳng 1.0
d1 có phương trình: x − 3 y + 2014 = 0 .
+ĐT d1 có vtpt:
+ĐT d 2 có vtcp:

r
n(1; −3)
r
u ( −2; −4) nên

nhận

r
n1 (4; −2)

0.25

làm vtpt

+ Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng d1 và d 2
+Ta có:

cosϕ =

1.4 + (−3).(−2)
1 + 9. 16 + 4

=

0.25

2
2

+Kết luận: số đo góc cần tìm bằng 450
0.25
0.25
Câu 5a

2.0
20


1) Cho tam thức bậc 2:

1.0

f ( x) =−x 2 + 3mx −m 2 −1

Xác định m để f ( x) < 0, ∀x ∈ ¡
+

0.25

f ( x) < 0∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ = 3m 2 + 4(−m 2 − 1) < 0

+

0.25

⇔ − m 2 − 4 < 0∀m ∈ ¡

+ Suy ra: ∆ < 0∀m ∈ R

0.25

+Vậy với m ∈ (−∞; +∞) thì f ( x) < 0, ∀x ∈ ¡

0.25

2)CMR:
VT = (

(cot x + cot 2 x).cos(

π
− x).sin(π − 2 x) = sin 3 x

2

1.0

cos x cos 2 x
+
).sin x.sin 2 x
sin x sin 2 x

0.25

sin 3x.sin x.sin 2 x
=−
sin x.sin 2 x

0.5

= sin 3 x = VP( dpcm)

0.25
Câu 6a

1.0

Cho tam giác ABC biết

b = 2 3cm, a = 19cm, góc

A có số đo 300

Tính R
Nêu được CT:

a
a
= 2R ⇔ R =
sin A
2sin A

Tính đúng

19
= 19(cm)
2sin 300

R=

0.25
0.25

Tính cạnh c
Nêu CT: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos A
Thế để đưa về pt: c 2 − 6c − 7 = 0
Giải pt nhận no và kl: c = 7(cm)

0.25
0.25
21

Câu 5b

2.0

1)Cho tam thức bậc hai:
số)

f ( x) = − x 2 + 2 m + 1x − 4m + 7 − 1 (m

là tham
1.0

Xác định m để f ( x) < 0, ∀x ∈ ¡
+

f ( x) < 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ = m + 1 − 4m + 7 + 1 < 0

⇔ 4m + 7 > m + 2

0.25

+ 2<0
{m
4 m +7 ≥0

⇔ [ m+2≥0

+

{

4 m +7 >m 2 + 4 m + 4

0.25

{m<−27

⇔ [ m≥−24
m≥−

+

{

m2 −3<0

0.25
+

⇔− 3
KL:Vậy với m ∈ (−

3; 3)

thì ycbt thỏa mãn
0.25
π

2)CMR: [ tan(a − b) + tan(a + b)].cos(π +a-b).sin( 2 + a + b) = − sin 2a

VT = [

sin(a − b) sin(a + b)
+
].[-cos(a-b).cos(a + b)]
cos(a − b) cos( a + b)

sin2a.cos(a-b).cos(a + b)
cos(a − b).cos( a + b)
= − sin 2a = VP( dpcm)
=−

1.0
0.25
0.5
0.25

Câu 6b

1.0

Viết phương trình chính tắc của hypebol(H). Biết (H) qua điểm
22


+Giả sử hypebol(H) có pt:
+(H) qua

M ( 2; − 3)

x2 y2
−
=1
a2 b2

nên ta có:

2 3
− = 1(1)
a 2 b2

c
a

+Vì e = 2 ⇒ = 2

0.25

c2
b2
⇔ 2 = 4 ⇔ 2 = 3 ⇔ b 2 = 3a 2 (2)
a
a
2

−

3

+Từ (1) và (2) ta có hệ:{ba =3ba

2

2

+Vậy hypebol(H) có

2

=1

2

a 2 =1

⇔{ 2

b =3

x2 y 2
PTCT: − = 1
1
3

0.25
0.25
0.25

Chú ý: Học sinh làm theo cách khác nhưng đúng, giáo viên căn cứ vào thang điểm của
đáp án để cho điểm hợp lí!

23


SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II

TRƯỜNG……………………………..

NĂM HỌC ………………………….

---------------

MÔN TOÁN KHỐI 10
Thời gian làm bài 90 phút.

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH. (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm). Giải các bất phương trình sau:
a/ 3 x + x − 1 > x + x − 1 + 2 ;

b/

3x + 3
≥2
x −3

Câu 2: (2,0 điểm).
1 π
 5π



< α < π  . Tính cos α và cos
−α  .
4 2

 2



a/ Cho sin α = , 

π
6

π
6





2
b/ Rút gọn biểu thức: P = cos − x . cos + x  + sin x




Câu 3: (3,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A ( 2;−3) , B ( 4;1) và
đường thẳng ∆ có phương trình: x − y − 2 = 0
a/Tìm tọa độ véc tơ AB và viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

b/ Tìm điểm M trên trục tung sao cho M cách đều hai điểm A, B.
c/ Viết các phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 1 = 0 . Biết tiếp
tuyến song song với đường thẳng ∆ .
II. PHẦN RIÊNG.(3,0 điểm).
Học sinh chỉ được chọn 1 trong 2 phần (Phần A hoặc phần B).
A. Dành cho chương trình Chuẩn:
2
Câu 4a: (1,0 điểm). Giải bất phương trình: x + 3 x + 2 ≥ 2

Câu 5a: (2,0 điểm).

24


a/ Cho tam giác ABC có b = 6, c = 4 và sin A =

3
. Tính ha
2

4 cos 2 x − 1
= tan 3x
b/ Chứng minh rằng: tan x.
1 − 4 sin 2 x

B. Dành cho chương trình Nâng cao:
Câu 4b: (1,0 điểm). Giải bất phương trình:

x 2 + 3x + 4 − 2 x + 3 < 1

Câu 5b: (2,0 điểm)
a/ Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết (E) có tiêu cự bằng 2 5 và đi qua

2 6
.
điểm M  3;
3 

b/ Chứng minh rằng:

1
1
1
1
+
+
+
= cot x − cot 16 x
sin 2 x sin 4 x sin 8 x sin 16 x

25