Tài liệu ôn thi THPT quốc gia
Trung

Trường THPT Quang

Chủ đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ + GTLN, GTNN
Các dạng toán
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (bậc 3, bậc 4 trùng phương, phân thức bậc1/bậc1)
(2đ)
2. Viết PTTT của đồ thị hàm số tại điểm thuộc đthị hsố, hoặc biết hệ số góc của tiếp tuyến.
3. Giao của hai đường: Dùng đồ thị biện luận nghiệm phương trình, dựa vào nghiệm phương
trình biện luận
sự tương giao của hai đồ thị.
4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 1 đoạn, 1 khoảng. (1đ)
5. Sự biến thiên của hàm số (Xét sự biến thiên của hsố. Tìm m để hsố đồng biến hoặc nghịch
biến trên TXĐ)
6. Tìm cực trị của hàm số (Tìm tham số m để hsố đạt cực đại hoặc cực tiểu tại điểm x = x0).
7. Các loại tiệm cận của đồ thị hàm số (Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang).

Bài tập
BÀI TẬP TRÊN LỚP
1 Cho hsố (C): y = −2 x 3 + 3x 2 + 2
a. Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C) của hsố
b. Viết PTTT của đồ thị (C) tại điểm uốn của
đồ thị (C)
c. Dựa vào đthị (C), biện luận theo m số
m
3
2
nghiệm của pt: −2 x + 3 x + 2 =
2

3
7
ĐS: b/ y = x +
2
4
2/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số
x4 9 x2 2
trên đoạn [-2;1]
f ( x) =
−
+
4
2
3
2
−40
ĐS: max f ( x ) = , min f ( x) =
[ −2;1]
3 [ −2;1]
3

BÀI TẬP VỀ NHÀ
1/ Cho hsố (C): y = − x 3 + 3 x − 1
a. Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C) của hsố
b. Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của pt
3
x − 3x + 1 + m = 0
c. Viết pt tiếp tuyến của đthị (C) tại điểm có tung độ
bằng −1
ĐS: b/ m ∈ ( −∞; −3) ∪ ( 1; +∞ ) pt có 1 nghiệm

m = −3, m = 1 pt có 2 nghiệm pbiệt
m ∈ ( −3;1) pt có 3 nghiệm pbiệt
c/ y = 3x − 1 , y = −6 x + 6 3 − 1 , y = −6 x − 6 3 − 1
2/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số
y = x 3 − 3 x 2 + 1 trên [-2;3]
y = 1; min y
(ĐS: [ −max
[ −2;3]
2;3]

= −19 )

−1 + x
2x + 1
3/ Cho hsố (C): y =
x−2
x +1
a. Khảo sát SBT và vẽ đthị (C) của hàm số
a. Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C) của hsố
b. Viết pt tiếp tuyến của đthị (C), biết tiếp
b. Viết PTTT của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
tuyến song song với đường thẳng
1
y = − x + 2010
c. Tìm m để đt y = mx + 2 cắt đthị (C) tại 2 điểm pbiệt
ĐS: b/ y = x + 1 , y = x + 5
c. Tìm m để đt y = – mx + 1 cắt đthị (C) tại 2
điểm pbiệt
c/ m ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 4; +∞ )
y

=
−
x
+
5
y
=
−
x
+
1
ĐS: b/
,
c/ m ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 1; +∞ )
3/ Cho hàm số (C): y =

4/ Cho hàm số (C): y = – x4 + 2x2 – 3
x4
2
4/ Cho hsố (C): y = − x
a. Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C) của hsố
2
b. Viết pttt của đthị (C) tại điểm có hoành độ là 2
a. Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C) của hsố
c. Tìm m để pt : x4 – 2x2 + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt
4
2
b. Tìm m để pt x − 2 x + m = 0 có 4 nghiệm
ĐS: b/ y = −16 x + 21
phân biệt

ĐS: b/ 0 < m < 1
c/ m = 0, m = 1 pt có 3 nghiệm pbiệt
c. Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến ssong
5/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số
Chương trình 12

1


Tài liệu ôn thi THPT quốc gia
Trung
BÀI TẬP TRÊN LỚP
với đthẳng y = 12x + 2
ĐS: c/ y = 12x - 20
5/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số
y = x + 5 − 4 x trên đoạn [-1;1]
9
y=2
ĐS: max y = , min
[ −1;1]
4 [ −1;1]
6/ Cho hsố (C): y = x 3 − 3
a. Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C) của hsố
b. Viết pt tiếp tuyến của đthị (C) tại điểm có
tung độ bằng –11
7/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số
a/ f ( x) = x − e 2 x trên đoạn [-1 ; 0]
b/ f(x) = 3 – 5 − 4 x trên đoạn [-1 ; 1]
ĐS: 6b/ y = 12x + 13
1 1 1

7a/ max f ( x ) = ln − ,
[ −1;0]
2 2 2
1
y = 0, max y = 2
min f ( x) = −1 − 2 b/ min
[ −1;1]
[ −1;1]
[ −1;0]
e
x −3
8/ Cho hàm số (C): y =
2x −1
a. Khảo sát SBT và vẽ đthị (C) của hàm số
b. Viết pt tiếp tuyến của đthị (C) tại giao điểm
của (C) với trục tung
c. Chứng minh rằng: đường thẳng y = –x – m
luôn cắt đthị (C) tại 2 điểm pbiệt
ĐS: b/ y = 5 x − 3
9/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số
1
a. f(x) = x – 5 +
trên khoảng (- ∞ ;0)
x
x2 + x + 2
b. f ( x ) =
trên khoảng (-2; + ∞ )
x+2
ĐS: a/ max f ( x ) = −7 ,b/ min f ( x ) = 1
( −∞ ;0 )


( −2;+∞ )

x3
− mx 2 + mx + 1 . Tìm m để
3
a. Hsố có 2 cực trị
b. Hsố đạt cực đại tại x = -2
c. Hsố đồng biến trên R
x+m
11/ Tìm m để hsố y =
nghịch biến trên
x −1
từng khoảng của tập xác định
4
2
12/ Cho hs y = x − 2 ( m + 1) x + 2m − 1 . Tìm
m để a. Hsố có 3 cực trị
b. Hsố đại cực tiểu tại x = 2
ĐS: 10/ a. m ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 1; +∞ )
4
b. m = −
c. m ∈ ( 0;1)
5
11/ m > −1 12/ a. m > −1
b. m = 3
10/ Cho hsố: y =

Chương trình 12


Trường THPT Quang
BÀI TẬP VỀ NHÀ
y = 2 x + 3 − 2 x trên đoạn [-1;1]
ĐS: max y = 3, min y = −2 + 5
[ −1;1]

[ −1;1]

6/ Cho hsố (C): y = x3 + 3x2 + 3x + 1
a. Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C) của hsố
b. Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của
tiếp tuyến bằng 3.
7/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số
a. y = 2 x − e x trên đoạn [-1 ; 1]
b. y = 5 − 4 x trên đoạn [-1;1]
ĐS: 6b/ y = 3x + 1 , y = 3 x + 5
1
y = −2 − , max y = 2 − e
7a. min
[ −1;1]
e [ −1;1]
b. max y = 3, min y = 1
[ −1;1]

[ −1;1]

− x+3
2x − 1
a. Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C) của hsố
b. Viết PTTT của (C) tại giao điểm của (C) với trục

tung.
c. CMR đường thẳng d: y = x + m luôn cắt (C) tại hai
điểm phân biệt
ĐS: b/ y = −5 x − 3
8/ Cho hsố (C): y =

9/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số
x2 − x + 1
a. f ( x) =
trên khoảng (- ∞ ;1)
x −1
b. f ( x ) = 4 x 3 − 3x 4
ĐS: a/ max f ( x ) = −1 , b/ max f ( x) = 1
( −∞ ;1)

( −∞ ;+∞ )

x3
− mx 2 + ( m 2 − m + 1) x + 1 . Tìm m để
3
a. Hsố có 2 cực trị
b. Hsố đạt cực đại tại x = 1
2x + m
11/ Tìm m để hsố y =
đồng biến trên từng
x −1
khoảng của tập xác định
12/ Cho hsố y = − x 4 + 2mx 2 + 2m − 1 . Tìm m để
a. Hsố có 3 cực trị
b. Hsố đại cực đại tại x = 2

10/ Cho hsố: y =

ĐS: 10/ a. m > 1
11/ m > −2
12/ a. m > 0

b. m = 2
b. m = 4

2


Tài liệu ôn thi THPT quốc gia
Trung
BÀI TẬP TRÊN LỚP
2
13/ Cho hsố (C): y = x ( x − 3)
a. Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C) của hsố
b. Viết PTTT của đồ thị (C) tại điểm M ( 1; −2 )
c. Tìm m để pt x 3 − 3 x + 2 − m = 0 có 3
nghiệm phân biệt
ĐS: b/ y = −2 , c/ 0 < m < 4
14/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số
f ( x ) = x 2 − ln(1 − 2 x ) trên đoạn [-2;0]
max f ( x) = 4 − ln 5, min f ( x) = 1 − ln 2
[ −2;0]
[ −2;0]
4
3 2
x − 1 có đồ thị (C)

10
a. Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C) của hsố
b. Tìm m để đt d: y = m+2 cắt (C) tại 2 điểm
phân biệt
ĐS: b/ m < −2
4
15/ Cho hsố: y = − x −

16/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số
a. y = 2 + 16 − x 2
 π
b. y = 2cos2 x + 4sin x trên đoạn 0; 
 2
ĐS: a/ max y = 6, min y = 2
[ −4;4]

[ −4;4]

b/

max y = 2 2, min y = 2
 π
0; 2 



 π
0; 2 




Trường THPT Quang
BÀI TẬP VỀ NHÀ
13/ Cho hàm số (C): y = x 2 ( x − 3)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đthị (C) của hsố
b. Viết pttt của đthị (C) tại giao điểm của (C) với trục
hoành
c. Tìm m để pt x 3 − 3x 2 − m = 0 có 3 nghiệm phân biệt
ĐS: b/ y = 0, y = 9 x − 27
c/ −4 < m < 0
14/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số
ln2 x
f ( x) =
trên đoạn [ 1;e]
x
2
f ( x) = 0, max f ( x) =
ĐS: min
[ 1;e]
e
[ 1;e]
4
2
15/ Cho hsố (C): y = – x – 2x + 3
a. Khảo sát và vẽ đthị (C) của hsố
b. Viết PTTT của (C), biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng y = 8x
c. Biện luận theo m số nghiệm của pt:
x4 + 2x2 + m – 3 = 0
ĐS: b/ y = 8 x + 8

c/ m ∈ ( −∞;3) pt có 2 nghiệm pbiệt
m = 3 pt có 1 nghiệm , m ∈ ( 3; +∞ ) pt vô nghiệm
16/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số
a. y = 1 + 9 − x 2 trên đoạn [-3;3]
y
ĐS: [ max
−3;3]

 π π
b. y = sin2 x − x trên đoạn − ; 
 2 2
ĐS:

2x
.
1− x
a. Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C) của hsố
b. Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là các
số nguyên.
c. Gọi A là giao điểm của (C) và đthẳng y = 3.
Viết pt tiếp tuyến của đthị (C) tại điểm A.
ĐS: b/ ( 0;0 ) , ( −1; −1) , ( 2; −4 ) , ( 3; −3 )
25
21
x−
c/ y =
2
2
18/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số
π 

y = cos2 x + x trên đoạn  ; π 
2 
min y = 1; max y = 1 + π
ĐS: π ;π 
π 
;π
17/ Cho hàm số y =

2



2





19/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số
y = 2 xe x trên đoạn [-2;0]

= 4; min y = 3
[ −3;3]

max

 π π
− ; 



 2 2 

y =

π
π
; min y = −
2  π π
2
− ; 


 2 2 

−2 x
.
x +1
a. Khảo sát SBT và vẽ đồ thị (C) của hsố
b. Tìm trên (C) những điểm có tọa độ là các số nguyên.
c. Gọi A là giao điểm của (C) và đthẳng y = 1. Viết pt
tiếp tuyến của đthị (C) tại điểm A.
ĐS: b/ ( 0;0 ) , ( −2; −4 ) , ( 1; −1) , ( −3; −3)
17/ Cho hàm số y =

9
1
c/ y = − x −
2
2
18/ Tìm GTLN, GTNN của hsố

2x +1
y=
trên đoạn [5;7]
x −1
11
5
ĐS: max y = , min y =
[ 5;7 ]
4 [ 5;7]
2
19/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số
f ( x ) = 6 x − e 2 x trên đoạn [0;1]
2
ĐS: max f ( x ) = 3ln 3 − 3, min f ( x) = 6 − e
[ 0;1]

[ 0;1]

20/ Tìm GTLN, GTNN của hàm số
Chương trình 12

3


Tài liệu ôn thi THPT quốc gia
Trung
BÀI TẬP TRÊN LỚP
−2
y=
, max y = 0

ĐS: 20/ min
[ −2;0]
e [ −2;0]

Chủ đề 2.

Trường THPT Quang
y = 2x − e

HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT
Bài tập trên lớp
Bài tập tự rèn
Bài 1: Tính
5

−
1
a. ( ) −0,75 + 0,25 2
16

b. log 25 8.log 8 5 + 2

ĐS: 40
1
ĐS: 2 + 15
2
ĐS: 3

log4 15


c. log 3 6.log8 9.log6 2
1
log2 48 − log2 27
3
Bài 2: Rút gọn biểu thức
d.

−

1

1
4

3
4

ĐS 4

2

a3( a 3 + a3 )

a. A=

−

(a > 0)


1
4

DS: A = a

a (a + a )
2
4
b. B = log a b + log a 2 b

ĐS 4 log a | b |

Bài 3: a. Cho a = log5 2 . Hãy tính log 25 1250
theo

ĐS:

1
a+2
2

b. Cho a = log 3 15, b = log 3 10 . Hãy tính
log 3 50 theo a và b
Bài 4: Giải các PT mũ sau

()

a. 1
5


x+4

1
a. log2 48 − log2 27
ĐS: 4
3
 a2 . 3 a. 5 a4 
173
÷
b. loga 
ĐS:
4
÷
60
a


1
c. log 3 6.log 6 16.log 4
ĐS: -4
9
log 2
9 3
d.
ĐS: 16
1
1
ĐS: 2
e. log 6 + log 6
4

9
Bài 2: Rút gọn biểu thức ( x ≠ 0, y ≠ 0, a ≠ 0 )
−1
−1
1
y 

y  
2x + ÷ (2x)−1 + ÷  ĐS: A=
a. A= 
2 
2





xy

( 3 4a)2
b. B= 6
ĐS: B= 2|a|
4a
Bài 3:
a. Cho a = log 30 3, b = log 30 5 . Hãy tính log 30 1350
theo a và b
ĐS: 3a+b
c. Cho a = log 3 5 . Hãy tính log 9 1125 theo a ĐS:
3
1+ a

2

Bài 4: Giải các PT mũ sau
a. 9 x − x = 27 x +1
(x=3;x=-1/2)
2

2

x −2 x

BÀI TẬP VỀ NHÀ
trên đoạn [-2;0]

y = −1, min y = −4 − 1
ĐS: max
[ −2;0]
[ −2;0]
e3

Bài 1: Tính

4

2 x +1

= 25
x+2

ĐS: x = ±2


x −2

x +1

x

b. 2
+ 2 = 5 + 3.5 ĐS: x = 1
x
c. 25 - 7.5x + 6 = 0 ĐS: x = 0; x = log5 6
ĐS x = log 3 2 − 2

d. 32 x + 2 + 7.3 x −2 = 0

Bài 5: Giải các PT lôgarit sau
log 2 x + log 2 x + log 1 x = 6
a.
2

b. log 4 x + log 2 (4 x) = 5
c. log 32 x + 6. log 3 x − 7 = 0

Chương trình 12

ĐS: x = 8
ĐS x = 4
1
x = 3; x = 7
3


b. 9 2 x + 2 − 2.9 x +1 − 8 = 0.

2
3

( x = log 3 )

c. 4 x +1 + 2 x + 4 = 2 x + 2 + 16
(x=0)
x
x
16
−
17.4
+
16
=
0
d.
(x=0;x=2)
x+1
x+2
x+4
x+3
e. 7.3 – 5 = 3 – 5
(x=-1)
Bài 5: Giải các PT lôgarit sau
a. log 3 ( 2 x − 2) = 3. log 27 x
(x=2)

2
b. log 2 ( x − 1) − 2.log 2 ( x − 1) − 3 = 0 . (x=3/2,x=9)
c. log 2 ( x - 3) +log 2 ( x - 1) = 3
(x=5)
2
d. log(x – 1) – log(x – 4x + 3) = 1. (x=31/10)

4


Tài liệu ôn thi THPT quốc gia
Trung
BÀI TẬP TRÊN LỚP
Bài 6 : Giải các BPT mũ sau
a, 9x - 5.3x + 6 < 0
ĐS: log 3 2 < x < 1
ĐS: x ≥ log 5 5

b. 5x +1 − 2.5x −1 ≥ 3.2 x +3 − 2 x
−x

c. 7 − 3.7

x +1

2

−4>0

ĐS: x < -1


Trường THPT Quang
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 6. Giải các BPT mũ sau:
a. 9x - 4.3x +3 < 0
(0-x
x+2
b. 3 + 3 < 10
(-22 x −1
x −1
c 2.4 − 10.4 + 3 > 0 (0d. 25x – 8.5x < -12
(log 5 2 < x < log 5 6 )

Bài 7. Giải các BPT lôgarit sau:
1
a. log 3 ( x + 2) > .log 3 ( x + 2)
ĐS: x > -1
2
b. log 2 ( x - 3) +log 2 ( x - 1) ≥ 3
ĐS: x ≥ 5
1
2
c. log0,5 x + log0,5 x − 2 ≤ 0
ĐS: ≤ x ≤ 4
2

Bài 7: Giải BPT sau

Bài 8 Giải các PT mũ sau

Bài 8 : Giải các PT mũ sau
a. 4 x + 2 x + 2 − 12 = 0
b. 4.9 x + 12 x − 3.16 x = 0.
c. 3x + 3x+1 + 3 x+2 = 351.

a. 2

x2 − x

−2

2+ x − x2

ĐS: x = −1; x = 2

=3

b, 5x +1 + 51− x = 26

ĐS: x = ±1

3
2
c, 6.25x − 13.15x + 6.9 x = 0 ĐS x = log 3 ; x = log 3
2
3
5

5

Bài 9 : Giải các PT lôgarit sau
a) log 2 ( x - 3) +log 2 ( x - 1) = 3

ĐS: x = 5

b. log 22 ( x + 1) − 6 log 2 x + 1 + 2 = 0 ĐS: x=1,x=3.
c. lg( x 2 + 2 x − 3) + lg

x+3
=0
x −1

(PTVN)

Bài 10. Giải các BPT mũ sau:
a, 2.16 x − 3.4 x + 1 ≤ 0
b, 9 x < 3 x +1 + 4
c) 3.16 x + 2.8 x ≥ 5.32 x

1
≤ x≤0
2
ĐS x > log 3 4
ĐS −

ĐS: x ≤ 0

2

a. log 1 ( x + 2 x − 8) ≥ −4

(x<-6;x>4)

2

b. log 3 ( x + 2 ) ≤ log 9 ( x + 2 ) ( −2 < x ≤ 1 )
c. log 2 ( x − 3) − log 2 ( x + 1) ≥ 1 . VN
d. log32 x − 5.log 3 x + 6 ≥ 0

d. 32x+1 - 5.3x + 2 = 0

(0
(x=1)
(x=1)
(x=3)
2
(x=0; x = log 3 )
3

Bài 9 Giải các PT lôgarit sau
a. log3(x + 1) + log3(x + 3) = 1
(x=0)
2
b. log 2 ( x + 1) + 4. log 2 ( x + 1) − 5 = 0
(x=1; x=-31/32)
x
x
d) log 2 ( 4 + 15.2 + 27 ) + 2 log 2

1
4.2 x − 3

Bài 10. Giải các BPT mũ sau:
a) 3x − 31− x ≥ −2
(x> 0)
x+1
x+2
x+4
x+3
b) 7.3 – 5 < 3 – 5
(x > -2)
c) 25x – 8.5x < -12
(log 5 2 < x < log 5 6 )

Bài 11: Giải BPT lôgarit sau

Bài 11: Giải BPT lôgarit sau

a, log0,2 x + log0,2 ( x − 2) < log 0,2 x ĐS: x > 1 + 2

a.

2

b. log22x + log24x – 4 > 0
2
c. log 1 x + 2 log 2 x ≤ 3
2

Chương trình 12

1
ĐS: x < ; x > 2
4
1
≤x≤2
ĐS:
8

= 0 ĐS:x=log23

53−log5 x ≥ 25 x

(x ≥ 5 )

b. log x − log x + 3 ≤ 0
(102
c. log 0,2 x + log0,2 ( x − 2) < log 0,2 x (02

4

2
d. log 0,2 x + log5 ( x − 2) < log 0,2 x

(x>2)

5


Tài liệu ôn thi THPT quốc gia
Trung
CHỦ ĐỀ:5

Trường THPT Quang

KHỐI ĐA DIỆN VÀ KHỐI TRÒN XOAY
ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12

A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I.Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 ,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 ,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =

a 2 + b2 + c 2 ,

a 3
2

3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
II/ Bài tập:
Nội dung chính
Bài tập trên lớp

Bài1.Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam
giác vuông tại B, cạnh SA Vuông góc với đáy,
SA=AB=BC=a.
a. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
b. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S.ABC.
Bài2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình
vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy. Góc giữa SC
và đáy bằng 60ο và M là trung điểm của SB.
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
2) Tính thể tích của khối chóp MBCD.
1 3
a 3
ĐS : Bài1 : V = a r =
6
2
3
8 6a
2 6a 3
Bài2 : a. V =
b. V =
3
3

Bài tâp tự rèn
Bài1: Môt hình nón có đỉnh S, khoảng cách từ tâm O
·
của đáy đến dây cung AB của đáy bằng a. SAO
= 300 ,
·

= 600 .
SAB
a.Tính độ daì đường sinh theo a
b.Tính diện tích xung quanh ,diện tích toàn phần cuả
mặt nón và thể tích của khối nón.
Bài 2: Một hình nón có đỉnh S, khoảng cách từ tâm O
của đáy đến dây cung AB của đáy bầng a.
a. Tính độ dài đường sinh theo a.
b. Tính diện tích xung quanh ,diện tích toàn phần của
mặt nón và thể tích của khối nón.
ĐS:
Bài 1: a. l=a 2
a. Sxq= π a 2 3

π a 2 (2 3 + 3)
2
2 3
V=
πa
4
Bài3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam Bài3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy
vuông cạnh a, canh bên SA vuông góc với đáy và
(ABC) và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o. SA=AC.Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Tính thể tích hình chóp
a3 2
Đs:
Bài
3:
V=

a3 3
3
ĐS: Bài3 : V =
8
Bài1.Cho hình chop tam giac đều S.ABC có cạnh Bài1.Cho hình chóp S.ABC biết AB=BC=CA= 3
đáy a, cạnh bên bằng 2a.goi I là trung điểm canh .Góc
giữa
cạnh
bên
SA,
BC.
0
SB, SC với mp(ABC) bằng 60 .
a. Tính thể tích khối chop S.ABC.
a. Tính thể tích khối chópS.ABC.
b. Tính thể tích khối chop S.ABI theo a.
b. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
c. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại hình chóp S.ABC.
Chương trình 12

Bài 2: Stp=

6


Tài liệu ơn thi THPT quốc gia
Trung
tiếp hình chóp S.ABC. Tính diện tich mặt cầu và
thể tích khối cầu đó.
Bài2. Cho hình chop tứ giác đều S.ABCD có

cạnh đáy bằng a,góc giữa mặt bên và mặt đáy
băng 60 0
a.Tính t.tích của khối chóp S.ABCD theo a.
b. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp.
a 3 11
a 3 11
ĐS: Bài1: a. V =
b. V =
12
24
2
48π a
2a 33
32 33π a 3
c. r =
S mc =
V=
11
11
121
3
a 3
a 3
Bài2 : V =
r=
6
2
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình vng có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác

đều nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy
ABCD,
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối
chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD
Bài2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác
ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vng cân tại A
có cạnh BC= a 2 và biết A'B = 3a.
Tính thể tích khối lăng trụ.
a3 3
ĐS: Bài1: V =
6
Bài2: V = 2a 3

Trường THPT Quang
Bài2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy
bằng a, cạnh bên a 3 .
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABCD.
c. CM: AC ⊥ (SBD).
d. Tính khoảng cách giữa AC và SB.
3
2 3
ĐS:Bài1: a. Vkc=
b. R=
4
3
3
a 10

3a 10
Bài2: a. Vkc=
b. R=
6
10

Giới thiệu đề thi TN THPT ( 2013 và 2014)
TN 2013:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng
có cạnh a cạnh bên SA vng góc với mặt đáy. Đường
thẳng SD tạo với đáy một góc 300. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD theo a.
TN 2014:
Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vng
cân tại A và SC = 2a 5 . Hình chiếu vng góc của S
trên mặt phẳng( ABC) là trung điểm M của cạnh
AB.Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng
600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
2a 3 15
V=
3
Đề thi minh họa kỳ thi THPT quốc gia năm 2015
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng tại B, AC = 2a, góc ACB bằng 30 0 . Hình chiếu
vng góc H của S trên mặt đáy là trung điểm của cạnh AC và SH = a 2 . Tính theo s thể tích
khối chóp S.ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SAB).
Đáp số: V =

6a 3
2 66a
, d (C , ( SAB )) =

6
11

Chủ đề 6: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
A. TĨM TẮT
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ :

1. Hệ toạ độ trong khơng gian: toạ độ của một vectơ, toạ độ của điểm, biểu thức toạ độ của các
phép tốn vectơ, khoảng cách giữa hai điểm. Tích vectơ (tích có hướng của hai vectơ). Phương
trình mặt cầu.
2. Phương trình mặt phẳng: Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng. Phương trình tổng qt của mặt
phẳng. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vng góc. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng.
3. Phương trình đường thẳng: Phương trình tham số của đường thẳng. Phương trình chính tắc
của đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau, cắt nhau, song song hoặc vng góc
với nhau. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng .
II. DẠNG TỐN:
Chương trình 12

7


Tài liệu ôn thi THPT quốc gia
Trung
B. BÀI TẬP
BÀI TẬP TRÊN LỚP
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
A( 2; 1; 0), B(0; 3; 1), C( 2; 0; 0).
1. Chứng minh A, B, C là ba đỉnh một tam giác.
2. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Chứng

minh rằng OABC là một tứ diện.
uuur uuur uuur
3. Tìm tọa độ điểm M thỏa: MA − 2MB = AC .
Bài 2: Trong không gian Oxyz,
cho A(2; 2; 3),
uuur r r r
B(1; 2; – 4), và điểm C thỏa OC = i − 3 j − k và mặt
cầu (S) có PT: x2 + y2 + z2 - 2x – 4y – 6z = 0 với
r r r
i , j , k lần lượt là các vectơ đơn vị trên Ox, Oy,

Oz
1. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
2. Viết PTTS, PTCT đường thẳng qua I và song
song với đường thẳng BC
3. Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm O,
A, B, C.
1.2 x + 2z –2 = 0
2.2 PTTS

x = 1

 y = 2 − 5t ,
 z = 3 + 3t


2.1 I(1;2;3), R = 14

Trường THPT Quang
BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1:Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
(S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 4 z − 27 = 0
và ( P ) : x + 2 y + 2 z + 18 = 0

1. Xác định tọa độ tâm T và tính bán kính của mặt
cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng (P).
2. Viết PTTS của đường thẳng d đi qua T và vuông
góc với (P).
3. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua T và song
song với mặt phẳng (P). Tính khoảng cách giữa (P) và
(Q)
Bài 2: Trong kg Oxyz, cho A(3; 0; 1), B(0; 2; 1) và
C(1; 4; 0)

1.Chứng minh A, B,C là ba đỉnh một tam giác
2.Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
2. Chứng minh bốn điểm O, A, B, C là bốn đỉnh một
tứ diện. Tính độ dài đường cao hạ từ O của tứ diện
đó.

không có PTCT

1.1. T(1;2;2), R= 6, d(T ,( P )) = 9
1.2 .x=1+t,y=2+2t,z=2+2t
1.3. x + 2 y + 2 z − 9 = 0 , d((P),(Q))= 9

5
15
y+ z =0
14

7

2.2 OH=

2.3 x 2 + y 2 + z 2 − 11x −

Bài 3: Trong không gian oxyz, cho hai đường
x = m+ 2
 x = 2t +1


thẳng d:  y = t + 2 d’:  y = 1 + 2m và điểm E(1;–2;3)
 z = 3t − 1
z = m+1



2.2. D ( − 2; 2; 2 )

2 77
11

Bài 3: Trong kg Oxyz, cho 2 điểm A(1;0;–2), B(-1;1; 3) và mặt phẳng (P): 2x – y +2z +1=0
1. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi
qua hai điểm A, B.
2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A
vuông góc với mặt phẳng (P).
3.Tìm tọa độ hình chiếu của A trên mp (P)
Bài 4: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng:

a. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua E và
song song với đường thẳng d
b. Chứng tỏ d1 và d2 cắt nhau
c. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’.
x = 1 + t
x = t′


Bài 4: Trong không gian (Oxyz) cho hai
d:  y = −3 − 3t ; d’:  y = 2 + 3t ′
điểm A (1; 0; - 2) ; B (0; - 4; - 4) và mặt phẳng
 z = 4t
 z = 2t ′


(α ) : 3 x − 2 y + 6 z + 2 = 0 .
1.Chứng
minh
rằng
d chéo d’ và vuông góc nhau.
1. Viết phương trình đường thẳng AB
2. Viết phương trình đường thẳngđi qua A và 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song
song d’. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d và
vuông góc với mặt phẳng (α ) .
d’.
3. Tìm tọa độ hình chiếu của diểm A trên mặt
phẳng (α ) .
3.b (P): –5x +y +3z +6 = 0
x −1 y + 2 z − 3
=

=
3.a ∆:
2
1
3

4.1 AB:

x = 1 − t

 y = −4t
 z = −2 − 2t


4.2 x=1+3t,y=-2t,z=-2+6t, 4.3 A(

Chương trình 12

3.1 ∆:

 x = 1 − 2t

 y = −t
 z = −2 + 5t


3.2

 x = 1 + 2t
11 1 16


 y = −t
H( ; − ; − )
9 9 9
 z = −2 + 2t


4.2 (P): 9x – y – 3z – 12 = 0; d ( d , d ′ ) =

14
91

10 −2 −8
;
;
)
7 7 7

8


Tài liệu ôn thi THPT quốc gia
Trung
BÀI TẬP TRÊN LỚP
Bài 5: Cho mp ( α ): 4x + y + 2z + 1 = 0 và đt
 x=t

d:  y = 1
 z = −1 − 2t


Trường THPT Quang

BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba
điểm A(2;0;0); B(0;3;0); C(0;0;6),
1.Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A,
B, C.Tính khoảng cách từ Ođến mp(P)
2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương
1.Viết pt mặt phẳng (P) đi qua N(0;2;4) và song trình mặt cầu đường kính OG. Viết phương trình tiếp
diện của mặt cầu tại G.
song với mp( α )
3.Viết ph trình mặt cầu có tâm A và đi qua B
2. Viết PT mặt phẳng (R) qua M(4; 2; 1) và
vuông góc với mp( α ) và song song d.
 x = 1 + 2t

3. Viết p.trình mặt phẳng (Q) qua N(0; 2; 4) và
Bài 6: Cho d:  y = −3 + t và mp ( α ):x-2y+3z+7=0
vuông góc với đường thẳng d. Tìm toạ độ điểm
 z = 4 − 2t

N’ đối xứng với N qua đường thẳng d.
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 1. Viết pt mặt phẳng (P) đi qua N(-1;2;3) và song
song với mp( α )
ba điểm A(-1;1;2); B(0;1;1); C(1;0;4),
2. Viết phương trình mặt phẳng qua I(1; 0; -2) vuông
1. Chứng minh tam giác ABC vuông.
góc( α )và song song d
2. Viết pt mặt phẳng trung trực đoạn BC

. 2. Viết phương trình mặt phẳng (R) qua gốc tọa độ O
3. Gọi G là trọng tâm của ∆ABC. Viết phương
trình mặt cầu (S) có đường kính OG. Viết phương và vuông góc với đường thẳng d. Tìm tọa độ điểm H là
hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng d.
trình tiếp diện của mặt cầu tại G.
5.1 4x+y+2z-10=0
5.2 (P): 2x– 10y+z +11= 0
5.3 (Q): x –2z +8 = 0
6.1 ∆ABC vuông tại A

5.1: 3x + 2y + z -6 = 0, d(O, (P))=


2

2



1

2

49

5.2  x − ÷ +  y − ÷ + ( z − 1) =
2
36
 3 
6.1.x-2y+3z-4=0, 6.2.-7x+4y+5z+17=0

15
6.2 (P): x – y + 3z – = 0
2
2 7
3 3

1

6
14

2

2

1
7
53
6.3 G(0; ; ), (S): x 2 +  y − ÷ +  z − ÷ =


3



6

36

53
(Q): 2y + 7z –
=0
3

Bài 7 : Cho đường thẳng ∆ :

x + 3 y +1 z +1
=
=
2
3
2

và

mặt phẳng (α): 2x -2y + z +3 = 0
1. Chứng minh ∆ song song với (α). Tính
khoảng cách giữa ∆ và (α)
2. Viết phương trình mặt phẳng chứa ∆ và
vuông góc với mặt phẳng (α).
3. Viết phương trình đường thẳng d đi qua O và
vuông góc với mặt phẳng (α). Tìm tọa độ giao
điểm của d và (α).
Bài 8: Trong kg Oxyz, cho D(-3; 1; 2) và mp (P)
đi qua ba điểm A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8)
1. Viết PT tổng quát của mp (P).
2. Viết PT mặt cầu (S) tâm D, bán kính r =5.
CM mp (P) cắt mc (S).
3.Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với

mặt cầu (S) và song song với mp (P).
7.1 d(∆, (α) =

2
3

7.2 (P): 5x + 2y – 8z +25 = 0

x = 2 + t

Bài 7 : Cho đường thẳng ∆ :  y = 3 − t và mặt phẳng
z = 1


(P): x + y + z – 3 = 0
1.CM : ∆ ⊥ (P). Tính khoảng cách giữa ∆ và mặt
phẳng (P)
2. Viết phương trình mặt phẳng chứa ∆ và vuông góc
với mặt phẳng (P).
3. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm E(
-1 ; 2 ; 4) và vuông góc với mặt phẳng (P). Tìm tọa
độ giao điểm của d và (P).
Bài 8 Cho mặt cầu (S) có phương trình
x2 + y2 + z2 + 3x + 4y – 8z + 6= 0 và mặt
phẳng (α) : 2x – 3y + 4z – 5 = 0
1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu.
2. Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt
phẳng(α).Từ đó, xét vị trí tương đối của mp (α) và
mặt cầu (S).
7.1: d(∆, (P))= 3

7.3 d:

Chương trình 12

x = 1 + t

y = 2 + t
y = 4 + t


7.2 x+ y-2z-7 = 0

 −5 4 10 
H
; ; ÷
 3 3 3 

9


Tài liệu ôn thi THPT quốc gia
Trung
BÀI TẬP TRÊN LỚP
 x = 2t

 y = −2t ,
y = t


7.3 d:

H(–

2 2
1
; ;– )
3 3
3

8.2 (P): 2x + 3y + z – 13 = 0 8.3(S):

( x + 3)

2

+ ( y − 1) + ( z − 2 ) = 25
2

2

8.1

Trường THPT Quang
BÀI TẬP VỀ NHÀ
x = 1

y = t
 y = 11 − 3t




8.1 I  − ; −2;4 ÷ , r =
 2

3

65
2

; 8.2 d(I,(α)=

14
29

(α):2x + 3y + z +1 ±5 14 = 0

Đề thi minh họa – Kỳ thi THPT quốc gia năm 2015( 1,0đ)
Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz, cho hai điểm A( 2;0;0) và B(1;1;-1). Viết phương trình mặt
phẳng trung trực(P) của đoạn AB và phương rình mặt cầu tâm 0, tiếp xúc với mặt phẳng(P).
1
2
2
2
Đs: (P) 2x – 2y +2z – 1 = 0
mặt cầu (S) : x + y + z =
12
ĐH Khối A – A1 năm 2014 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng

( P ) : 2x + y − 2z − 1 = 0 và đường thẳng d : x 1− 2 = −y2 = z +3 3 . Tìm tọa độ giao điểm

của d và (P). Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P).
3
7
M  ; −3; ÷
x + 8 y + 5 z + 13 = 0
2
2
Câu 5 (1,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
(P): 6x + 3y – 2z – 1 = 0 và mặt cầu (S) : x 2 + y2 + z2 – 6x – 4y – 2z – 11 = 0. Chứng minh mặt
phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm của (C).
Đề thi THPT năm 2015
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(1;-2;1); B(2;1;3) và mặt phẳng (P):
x – y +2z – 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB
với mặt phẳng (P).

Chủ đề 3.

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG (6 tiết)
Bài tập trên lớp

Chương trình 12

Bài tập tự rèn

10


Tài liệu ôn thi THPT quốc gia
Trung

Bài 1: Tìm một nguyên hàm của các hàm số
a. f(x) = 4x3 - ex + cosx thoả F(0) = 5
ĐS: F ( x) = x 4 − e x + sin x + 6
b. f ( x ) =

Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:
a.

1+ e + 4
thỏa mãn F(0)=3
ex
3x

Trường THPT Quang

x

∫ x.cos x.dx
f. ∫ x.e .dx
e.

x 2 − 4x + 5
∫ x − 1 .dx

d.

∫ sin 6x.sin 2x.dx

ĐS: 1 + 3ln

5

1
dx
( x − 2)( x + 1)
3

b. B = ∫

ĐS:

2

2
3

f. ∫ x.sin 2x.dx

−x
1
.cos 2x + sin2x+C )
2
4
g. ∫ ln x.dx
(ĐS: x.lnx − x + C )
(ĐS:

c. C = ∫ (2 x + 1) dx
1

xdx

Bài 3. Tính
2
x2
a. A= ∫ (
)dx
x
+
1
0

1
ln 2
3

2
b. B = ∫ ( x + 1) xdx
1

1

c. J =

∫ xe

( x + 2)2

π
2

∫ ( x + 1) sin xdx

d. I =

0

ĐS: e

0

f. A =

g.

Π
4

∫ ( x − 2) cos xdx ĐS:
0

h.

∫
0

dx
x +1 + x + 2

(

2

1
dx
− 3x + 2

2
2− 2
π−
8
2

)

2
3 3 − 4 2 +1
3

sin 4 x + 1
∫ sin 2 x dx
π

2 3 1
e +
3
9

ĐS : 2
ĐS: 2ln2-ln3

ĐS:

1
π
(5 + )
4
2

4

e

dx
x 1 + ln x

ĐS:

i. sin 6 x.sin 2 xdx
∫

ĐS

h. I = ∫
1

π
6

0

Chương trình 12

Đs:

π
2

ĐS: 2

0

1

∫x

−1

F = ∫ 2 x sin xdx .

g. K=

.dx

0

x
∫ (1 + x )e dx

π

2

f.

3x

0

1
ĐS: 6

2

1

e. E =

ĐS: ln3
21
4

2

966721
ĐS:
9

8

0

1 1
1

(ĐS :  sin 4x − sin8x ÷ + C )
2 4
8

x
1
2
.dx
e. ∫ 2
(ĐS: ln x + 1 + C )
2
x +1

ĐS: e x ( x − 1) + C

Bài 3. Tính
2
x−2
dx
a. ∫
x
+
1
1

d. D = ∫

x3 − x 2
dx
b. ∫
x
x2
(ĐS:
− 3x + 2ln x − 1 + C )
2

ĐS: xsinx + cosx + C

x

2

+ 3x − 5)dx

c.

x

1 1
1
5
4 1
− x + e2 x +  ÷
−
+
ĐS: e

2
 e  ln 4 ln 4 2
e
e
Bài 2: Tính
1
 3

a. ∫  x − 3x + − 7 ÷.dx
x


4
2
x 3x
ĐS:
−
+ ln | x | −7 x + C
4
2
2x + 3
.dx
b. ∫
ĐS: 2x +5ln|x – 1|+C
x −1
1
1
c. ∫ sin 2 x. cos 4 xdx ĐS: cos 2 x − cos6 x + C
4
12

2
x
2
.dx
( x 3 + 2) 3 + C
d. ∫ 3
ĐS:
9
x +2

∫( x

3

3

1
( 2 − 1)
2
3 3
32

11


Tài liệu ôn thi THPT quốc gia
Trung
Bài 4. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi
parabol (P): y = x 2 − 4 x và y = 0
a. Tính diện tích hình phẳng (H)

b. Tính th ể tích khối tròn xoay thu được
khi quay hình phẳng (H) quanh Ox.
32
1472
π
ĐS: a. S =
;
b. V =
3
15
Bài 5. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn
bởi các đường
x +1
, y = 0, x = −2, x = 0
a. y =
x−2
b. y = x2 –2 x , y= x2 + 1 và các đường thẳng x
= -1 ; x=2 .
9
ĐS: a. S = 3ln ;
b. S = 6
8
Bài 6. Tính
a.

π
4

∫ ( 3 + 2cos 2x ) .dx

ĐS

0

2

∫ x ( 2x − 1)
2

b.

−1
ln 5

∫

c.

( e x + 1)e x
e −1
x

ln 2

2

.dx

dx

3
π +1
4

Trường THPT Quang
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường
15
S=
a, y = x3 , y = 0, x = 1, x = 2.
4
1
S=
b, y = x2 - 3x + 2, y = 0
6
Bài 5. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y
1
= x 2 .e x ,
y = 0 và 2 đường thẳng x = 0, x = 1.
Tính th ể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình
π 2
( e + 1)
phẳng (H) quanh Ox.
4

Bài 6. Tính
ln 2 2x +1
e
+1
.dx

a. ∫
x
e
0
e

72
ĐS:
5
26
ĐS:
3

π

sin x
d. I = ∫ ( e + x )cos xdx

ĐS: -2

b. I = ∫
1

1

∫ xe

2x

dx

Đs:

0

e

f. H = ∫ ( x − 2) ln xdx
1

π
2

g. ∫ (1 − x) sin x.dx

1 2
( e + 1)
4

1 2
ĐS: ( e − 7)
4
ĐS: 0

0

1
2

2

ĐS: (8 − 3 3)
3

1

x
c. ∫ (4 x + 1)e dx

ĐS: e + 3

0

Π
4

∫ ( x − 2) cos xdx

d. K=

ĐS:

0

0

e.

3 + ln x
dx
x

ĐS: e +

2
2 +2
π−
8
2

3

∫ 4 x.ln x.dx

e.

ĐS: 18ln3-8

1

f.
g.

π
4

sin 2 x
∫0 1 + cos 2 x dx
π
2

∫ x sin xdx

ĐS:

1
ln 2
2

Đs: 1

0

1

x
h. ∫ ( x − 3)e dx (THPT 2015) Đs:4-3e
0

Bài 7. Tính

x
dx
(1
+
x 2 )3
0

ĐS: 3/16

Bài 7. Tính

π
2

a) A = (sin 2 x + x 2 )dx
∫
0

1

1

h. I = ∫

b. B = ∫ 2 xe dx
−x

0

a. ∫ (1 + 2sin x )3 cos xdx

6
ĐS: 2 − 2
e

b. I = ∫ x ln xdx

3

c. C = ∫ 2 x ln( x − 1)dx

2

Chương trình 12

π
2

π π3
ĐS: +
4 24

ĐS: – 3

Đs: 10

0

2

1
1

c. I = ∫
0

xdx
2x +1

ĐS : 2 ln 2 −
ĐS :

3
4

1
3

12


Tài liệu ôn thi THPT quốc gia
Trung
π
2

Trường THPT Quang
π

2
(x=π (1- π 2 ))
3
0
0
Bài 8. Tính d tích h phẳng giới hạn bởi các đường
Bài 8. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi
a. y = x2 + 1 và tiếp tuyến của (P) tại điểm
1 3
2
đường cong y = x − x , trục hoành
8

A ( 2 ; 5 ), trục tung. ( S = )
3
3
9
x
a. Tính diện tích hình phẳng (H)
(S = )
y
=
e
,
y
=
1,
x
=
2
b.
( S = e2 − 3 )
4
2
1
b. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi
c. y = ln x, x = , x = e và trục hoành ( S = 2 − )
e
e
81
quay hình phẳng (H) quanh Ox. ( V = π )
81
35

V= π
35
Bài 4. Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh Bài 4. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng
ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường
giới hạn bởi các đường sau khi nó quay xung quanh
sau khi nó quay xung quanh trục Ox: x =0 ;
trục Ox
2
π
π
π π
ĐS: V = π
x = ; y = 0 ; y = sinx
ĐS: S =
( − 1) y = cosx, y =0,x = 0, x =
2
4
4 2
Đề thi các khối năm 2014
π
2 2
x + 3x + 1
4
dx
I= ∫
2
Tính tích phân I = (x + 1)sin 2xdx .
∫
1 x +x
d. D = ( x + cos3 x ) .sin x.dx

∫

5
ĐS:
4

0

d.

∫ ( sin x − 2 x ) xdx

2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường J = (2 x 3 + ln x)dx
∫1
cong y = x 2 − x + 3 và đường thẳng
y = 2x + 1 .
Đề TN các năm 2012,2013,2014
ln 2

1. ∫ (e − 1) e dx
x

2

x

0

π
2

1

2. ( x + 1) cos xdx
∫
0

Chủ đề 4:

x
3. ∫ (1 − xe )dx
0

1

2
4. ∫ x 2 − x dx
0

SỐ PHỨC

Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số
phức liên hợp của các số phức sau:
a. z = i + (2 − 4i )(3 + 2i )
b. z = ( −1 + i ) 2 − (2i )3
2
+ (1 + i )
c. z =

1− i
3 + 2i
d.z=2-3i+
2−i
14 8
ĐS:1a.14-7i,1b.6i,1c.2,1d. − i
5 5

Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên
hợp của các số phức sau:
(3 − 2i)(4 + 3i )
+ 5 − 4i
a.
1 − 2i
8
8
1+ i   1− i 

b. 
c. (1 − 2i )(2 + i ) 2
÷ +
÷
 1− i   1+ i 
d. (2 + 5i) 2 + (2 − 5i) 2
41 17
ĐS:1a. + i ,1b.2,1c.9-18i,1d.-2
5 5

Bài 2: Tìm các số thực x, y thỏa:
a) (3x − 2) + (2 y + 1)i = ( x + 1) − ( y − 5)i

b) 4 x + 3 + (3 y − 2)i = y + 1 + ( x + 2 y )i

Bài 2: Tìm các số thực x, y thỏa:
a) (2 x − 3) + ( y + 2)i = (2 + x ) + (4 − y )i
b) ( x − 2 y + 3) + (2 y − x )i = (2 x + y ) + ( y + 2 x + 1)i
ĐS:
2a.x=5,y=1,2b.x=0,y=1

ĐS

2a.x=

4
3
,y= ,2b.x=0,y=2
2
3

Chương trình 12

13


Tài liệu ôn thi THPT quốc gia
Trung
Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số
phức.
a. (3 − 2i )2 ( z + i ) = 3i
b. (3 + 2i ) z − (3 + 7i ) = 2i(1 − 3i)
c. z 2 − 2 z + 13 = 0

d. z 4 + 5z 2 − 6 = 0
Bài 4. Tìm 2 số phức biết tổng của chúng bằng
2, tích của chúng bằng 3.
−36 154
−
i ,1b.z=3+5i,
ĐS:1a.z=
169 169
1c.z=2+2 3 ,z=2-2 3 ,1d.z= ±1, z = ±i 6
2. z = 1 + 2i, z = 1 − 2i

Trường THPT Quang
Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức.
a. (3 − 2i ) z + 4 + 5i = 7 − 3i
z
+ 2 − 3i = 5 − 2i
b.
4 − 3i
c. 3z 2 − 4 z + 6 = 0
d. z 4 − 2 z 2 − 8 = 0
Bài 4: Tìm 2 số phức biết tổng của chúng bằng 3, tích
của chúng bằng 7.
25 18
ĐS:1a.z= − i ,1b.15+5i,
13 13
2 2 3
1c. z1,2 = ±
i
3
3

3
19
1d.z= ± 2,z= ± 2 i,2. z1,2 = ±
i
2
2

Bài 5. Biết z1 , z2 là 2 nghiệm của phương
trình 2 z 2 + 2 z + 5 =0. Tính
2
2
2
2
a. z1 + z2
b. z1 . z2 + z1. z2
−5
ĐS: 3.a.-4,b.
2

Bài 5. Biết z1 , z2 là 2 nghiệm của phương trình
1 1
+
2 z 2 − 4 z + 5 = 0 . Tính z1 + z2 ,
z1 z2
2
ĐS: 3.4,
5

Bài 6: a. Cho số phức z=-1+ 3 i
1

3
2
Tính , z , ( z ) , 1 + z + z
z
b.Cho số phức z = 1 + i 3 , Tính z 2 + ( z ) 2
Bài 7: Trên mp tọa độ tìm các điểm biểu diễn
cho các số phức z thỏa điều kiện
a.phần thực của z thuộc đoạn [1;2], phần ảo
của z thuộc đoạn [-1;1]
b.|z| ≤ 1.
c.|z-5| = 1.
d.|z-5| = 12.
e .|z-3i| = 12.
f. |z+3+2i| = 13.

Bài 6: a. Cho số phức z = −2 + 3i
1 1
2
, z + z2 + z3
Tính z , ,
z z
a. Cho số phức z1 = −4 + 3i , z2 = −3i , Tính

1
3
ĐS:1a. − −
i ,-1- 3 i,8,-2- 3 I,b.-4
4 4
2a.hcn gh bởi 4đt x=1,x=2,y=-1,=1(kcb)
2b.htr tâm O,bk r =1(kcb)

Bài 8. Tìm số phức z biết:
b.
|z| = 4 5 và phần ảo của z bằng 3 lần
phần thực của nó.
b. |z| = 5 và tổng phần thực và phần ảo của z
bằng 3.
ĐS: 3a.z= ±2 2 ± 6 2i ,3b.z=2+I,z=1+2i

Chương trình 12

z1 + z2 , z1. z2 , 2 z1 + z2
Bài 7: Trên mp tọa độ tìm các điểm biểu diễn cho các
số phức z thỏa điều kiện
a.phần thực của z thuộc khoảng (-1;2), phần ảo của z
thuộc khoảng (0;3)
b.|z| ≤ 2 .
2 3
13
ĐS:1. a.-5, − − i ,
,39
13 13
3
b.-4,9+12i,-8-3i
2a.hv gh bởi 4 đt x=-1,x=2,y=0,y=3(kkb)
b.htr tâm O, bkr = 2 (kb)

Bài 8. Tìm số phức z biết:
a.|z| = 2 5 và phần ảo của z bằng 3 lần phần thực
của nó
b. |z| = 10 và hiệu phần thực và phần ảo của z

bằng 2.
e .|z-3i| = 12.
f. |z+3+2i| = 13.
14


Tài liệu ôn thi THPT quốc gia
Trung

Trường THPT Quang

ĐS:

Bài 9: Tìm môđun và số phức liên hợp của các
số phức sau:
2+i
− (2 + i )
a. 4 − 3i + (1 − i )3
b. z =
1 − 2i
Bài 10: Cho số phức z = 2 + 3i
1
2
Tính z + z + + z
z
ĐS:1a.2-5i,1b.-2,
11 153
i,
3. − +
13 13

Bài 11: Giải các phương trình sau trên tập số
phức.
a. z 2 − 4 z + 7 = 0
b. z 4 + 6 z 2 + 5 = 0
c. (3 − i ) z + (2 + 3i )(1 − 2i ) = 5 + 4i
d. (5 − 7i ) z + (1 − 3i ) = (2 − 5i) z
ĐS: 2a.2+ 3 ,2- 3
−7 6
9 7
+ i ,2d.z= − + i
2b. ±i, ±i 5 ,2c.z=
13 13
5 5
Đề thi các khối năm 2014

(

3a.z= 2 + 3 2i ,z= − 2 − 3 2i
b.z=3+i,z=-1-3i

Bài 9: Tìm môđun và số phức liên hợp của các số phức
sau:
a. z= (5 − 2i ) + (2 − i ) 2
b. z = (5 − 2i ) − (9 − 4i )(1 − i )
1
2
Bài 10: Cho số phức z = 1 − 3i Tính 2 z + + z + 3z
z
−11 27 3
ĐS:1a.8-6i,1b.11i, 3.

−
i
4
4
Bài 11: Giải các phương trình sau trên tập số phức.
a. z 2 + 9 = 0
b. z 4 − 2 z 2 − 8 = 0
c. 2 + 3i +z = -5 – i
z
= 3 + 2i
d.
−1 + 3i
ĐS; 2a.z= ± 3i,2b.z= ± 2,z= ± 2 i
2c.-7+4i,2d.3+11i,

)

1.Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + 2 + i z = 3 + 5i . Tìm phần thực và phần ảo của z.
2. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z + 3(1 – i) z = 1 – 9i. Tìm modun của z.
3. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3z - z )(1 + i) – 5z = 8i – 1. Tính môđun của z.
Đề thi THPT năm 2015
Cho số phức z thỏa mãn ( 1- i)z – 1 + 5i = 0. Tìm phần thực và phần ảo của z

Chương trình 12

15