ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HK 2 MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2014-2015
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
ĐỀ SỐ 1
Bài 1. Tính các giới hạn sau
1. lim

2n 3 + n 2 + 4
;
2 − 3n3

2 x − 1 − 3 3x − 2
2. lim
.
x →1
x −1

Bài 2. Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 0
khi x ≤ 0
 x + 2a
 2
f ( x) =  x − 1 + x + 1
khi x > 0.

x


Bài 3.
1. Cho hàm số

f ( x ) = (x 2 + 2x) x − 1.

Giải bất phương trình

f '( x) ≥ 0.

2. Cho hàm số y = x 4 − 2x 2 − 4 có đồ thị (C). Tìm tọa độ những điểm trên đồ thị (C)
sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm đó song song với truc hoành.
3. Chứng minh rằng phương trình

(m 2 + m + 1) x 4 + 2x − 2 = 0

có nghiệm với mọi m.

Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và
SC.
1. Chứng minh AC ⊥ SD.
2. Chứng minh MN ⊥ (SBD).
3. Cho AB = SA = a. Tính cosin của góc giữa (SBC) và (ABCD).
4. Tính khoảng cách giữa BC và SD.


ĐỀ SỐ 2
Bài 1. Tìm các giới hạn sau
1. lim
x→0

(x

2


+ 2012 ) x + 1 − 2012
x + 2x
3

2.

;

lim ( x 2 + 2 x − 1 − x ) .

x →+∞

Bài 2.
1. Cho hàm số

 x2 − 3 x −1 −1
khi x ≠ 1,

f ( x) = 
x −1
 −2
khi x = 1.


Xét tính liên tục của hàm số trên tại điểm
ax

2

x0 = 1.


2. Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức 2a + 3b + 8c = 0. Chứng minh rằng phương trình
+ bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

Bài 3. Cho hàm số

y = f ( x) = 4 x 2 − x 4

1. Giải bất phương trình

có đồ thị (C).

f ′( x) < 0.

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy,
SA = a 2, AB = a, BC = 2a.

1. Chứng minh tam giác SBC vuông.
2. Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC. Chứng minh (SAC) ⊥ (SBH).
3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
4.
Xác định thiết diện của hình chóp bởi mặt phẳng qua A và vuông góc với
SC. Tính diện tích thiết diện đó.


ĐỀ SỐ 3
Bài 1. Tìm các giới hạn sau
1. lim


2n 3 − 2 n + 3
;
1 − 4n3

lim ( x − 1)


2.

x →+∞

)

(

x2 + 2x − 3 − x −1  .


Bài 2.
1. Cho hàm số

 x+6 −2

f ( x) =  x + 2
m


Tìm m để hàm số trên liên tục tại

khi x ≠ −2,


(m là tham số)

khi x = −2.

x = −2.

2. Chứng minh rằng phương trình

tan x −

m
= 1 (m
s inx

là tham số), có nghiệm với mọi m.

Bài 3.
1. Cho hàm số

f ( x ) = 2sin x + cos x − tan x.

Giải phương trình

f '( x ) + tan 2 x + 1 = 0.

2. Cho hàm số f ( x) = 2 x3 − 2 x + 3 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 22 x + 2012.
Bài 4. Cho hình chóp S. ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a,
a.

1. Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD).
2. Chứng minh tam giác SAC vuông.
3. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).
4. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD).

· D = 600 ,
BA

SA=SB=SD=


ĐỀ SỐ 4
Bài 1.
1. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng ( U n ) , biết

u1 + u 5 − u3 = 10
u + u = 17.
 1 6

2. Tìm các giới hạn sau
a ) lim

x →− ∞

x 2 − x − 1 + 3x
;
2x + 7

b) lim
x→ 0


x3 + 1 − 1
.
x2 + x

Bài 2.
1. Cho hàm số

 x3 − 1
khi x ≠ 1

f ( x) =  x − 1
2m + 1 khi x = 1.


Xác định m để hàm số liên tục trên R.
2. Chứng minh rằng phương trình:

(1 − m 2 ) x 5 − 3 x − 1 = 0

luôn có nghiệm với mọi m.

Bài 3.
1. Tìm đạo hàm của các hàm số
a)

2 − 2x + x2
y=
;
x2 −1


2. Cho hàm số

b)

y = x 4 − x 2 + 3 có

y = 1 + 2 tan x .

đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C)

biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:

x + 2 y − 3 = 0.

Bài 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và

OA =

a 2
, OB = OC = a,
2

I là

trung điểm BC.
1. Chứng minh rằng (OAI)

⊥


(ABC).

2. Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI).
3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (OAB).
4. Xác định thiết diện của tứ diện bởi mặt phẳng chứa OB và vuông góc với mặt
phẳng (ABC). Tính diện tích của thiết diện đó.


ĐỀ SỐ 5
Bài 1. Tìm các giới hạn sau
1. lim
x →1

x − 2x −1
;
x 2 − 12 x + 11

2.


lim− ( x 2 − 9 )
x →3


x−4
.
x−3 

Bài 2.
1. Tìm số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân ( U n ) , biết


u1 − u 3 + u 5 = 65

u1 + u 7 = 325.


2. Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó
 x2 − 5x + 6

f ( x) =  x − 3
2 x + 1


khi x > 3
khi x ≤ 3.

Bài 3.
1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau
a)
2.

b)

y = x x 2 + 1;

Cho hàm số

y=

x −1

x +1

y=

3
.
(2 x + 5) 2

có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết

tiếp tuyến song song với đường thẳng d:

x − 2 y − 2 = 0.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA =
a 2.
1. Chứng minh rằng (SAC)

⊥

(SBD).

2. Tính góc giữa SC và mp(SAB).
3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
4. Tính khoảng cách giữa AD và SC.


ĐỀ SỐ 6
Bài 1. Tìm các giới hạn sau
1. lim


1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)

( 2n + 1)

2

;

2.

lim

x 3 + x 2 sin 2 x + x cos3 x − 1

( x + 1)

x →−∞

2

.

Bài 2. Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng
2 x 3 + 2mx 2 − 7 ( m − 1) x − 54 = 0.

Bài 3. Cho hàm số

 3x 2 + 1 − 2


khi x ≠ 1
f ( x) = 
x −1
m
khi x = 1.


Tìm m để hàm số trên liên tục tại
Bài 4. Cho hàm số

x = 1.

y = f ( x ) = x3 − 2 x 2 + 1

có đồ thị ( C ) .

1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm có tung độ bằng 1.
2. Tìm tọa độ điểm M trên đồ thị ( C ) biết tiếp tuyến tại M của đồ thị cắt hai trục tọa
độ Ox, Oy tại A và B sao cho tam giác OAB cân.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có ABC và SAC là hai tam giác đều cạnh a,
1. Gọi H là trung điểm của AC. Chứng minh rằng

SB =

a 6
.
2

SH ⊥ ( ABC ) .


2. Gọi ( α ) là mặt phẳng qua C và vuông góc với SA. Chứng minh rằng
3. Xác định thiết diện tạo bởi ( α ) và hình chóp S.ABC.

BH // ( α ) .


ĐỀ SỐ 7
Bài 1. Tìm các giới hạn sau

)

(

3

1. lim n − 2 − 3n 2 + n − 1 ;

2.

lim

x →−∞

x3 − 2 x + 1 − 1
.
x2 + 2x

Bài 2.
1. Cho hàm số



 π π
sin x khi x ∈  − 2 ; 2 



f ( x) = 
 ax + b khi x ∉  − π ; π  .
 2 2 


Xác định a, b để hàm số liên tục trên R.
2. Chứng minh rằng phương trình
phân biệt với mọi m.
Bài 3. Cho hàm số
1. Tinh

f ( x ) = x2 − 2x

x 3 + mx 2 + ( m − 3) x − 1 = 0

(m là tham số), có 3 nghiệm

có đồ thị ( C ) .

f '( x) .

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại giao điểm của đồ thị với đường
thẳng x = 3.
3. Tìm tọa độ của điểm M trên ( C ) , biết tiếp với đồ thị tại M tạo với truc hoành một

góc bằng 600.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là nửa lục giác đều cạnh a ( AB // CD, AB > CD ) .
Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
1. Chứng minh rằng

BD ⊥ SC.

2. Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa
3. Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng ( SAD ) và ( ABCD ) .

SD

và

AB.


ĐỀ SỐ 8
Bài 1. Tìm các giới hạn sau
1. lim

1 + 2 + 22 + ... + 2n
;
1 + 3 + 32 + ... + 3n

3

2. lim

x →−1


x + 2 −1
.
x2 + x

Bài 2.
1. Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 2
1 − 3 x − 1

f ( x) =  x − 2
4 − a


khi x ≠ 2
khi x = 2.

2. Chứng minh rằng nếu ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì ba số x, y, z cũng
lập thành một cấp số cộng, với x = a 2 − bc, y = b2 − ca, z = c 2 − ab.
Bài 3.
1. Cho hàm số y = 2010 cos x + 2011sin x. Chứng minh y ′′+ y = 0.
3
2
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x − 3x + 2 biết tiếp tuyến đi qua

điểm M( –1; –2).
Bài 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, CA = a,
CB = b, mặt bên AA′B′B là hình vuông. Từ C kẻ CH ⊥ AB′, HK // A′B (H ∈ AB′, K ∈
AA′).
1. Chứng minh rằng: BC ⊥ CK, AB′ ⊥ (CHK).
2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA′B′B) và (CHK).

3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (CHK).


ĐỀ SỐ 9
Bài 1. Tính các giới hạn sau
1. lim
x →3

x + 1 − 3x − 5
;
2x + 3 − x + 6

2. lim
x→0

1 + 2 x − 3 1 + 3x
.
x2

Bài2.
1. Xét tính liên tục của hàm số sau
 πx
khi x ≤ 1
cos
2
f ( x) = 
 x-1
khi x > 1.



2. Chứng minh rằng phương trình

x5 − 5 x3 + 4 x − 1 = 0

có đúng 5 nghiệm.

Bài 3.
1. Cho hàm số g ( x ) = x + bx − cx + d có đồ thị là (C ). Xác định các hệ số b,c,d sao cho
đồ thị (C) đi qua hai điểm M(-1;-3), N(1;-1) và tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có
3

hoành độ

1
3

2

song song với trục hoành.

2. Tính đạo hàm cấp n của hàm số y =

2x + 3
.
x + 3x + 2
2

Bài 4.
Cho hình chóp S.ABC có SA= 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Tam giác ABC
·

vuông tại C với AB =2a, BAC
= 300 .Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC, H là hình
chiếu vuông góc của S trên BM.

1. Chứng minh rằng AH
2. Đặt AM = x, với

⊥

0 ≤ x ≤ 3.

BM.
Tính khoảng cách h từ S đến BM theo a và x.

3. Tìm các giá trị của x để khoảng cách h có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất.
Bài 5.
Chứng minh rằng

n

lim
x →0

1 + ax − 1 a
= .
x
n


ĐỀ SỐ 9


ĐỀ SỐ 10
Bài 1.
1. Tính các giới hạn sau
4

a ) lim
x →1

2 x −1 + 5 x − 2
;
x −1

2. Cho hàm số

b) lim

x →+∞

f ( x ) = sin x -

1
x2 + x + 2 − x

.

sin 3 x cos3 x
cos2x
+
− cos x + x .

3
3
2

a) Tính f / (0).
b) Giải phương trình f / ( x) = 0.
Bài 2. Cho hàm số y=

x +1
x −1

có đồ thị (C).

1. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đường cong (C) tại điểm M(0;-1). Giả sử (d)
cắt Ox tại I và cắt Oy tại J ,tính diện tích tam giác OIJ.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biêt tiếp tuyến song song với đường thẳng
2 x + y − 2012 = 0.

Bài 3. Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ có cạnh bằng a.
1. Chứng minh rằng AA/

⊥

B/D/ ; B/D

⊥

(BA/C/).

2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA/C/) và (ACD/).

3. Lấy điểm M ∈ AD/ , N∈ BD sao cho AM=DN=x ( 0dài ngắn nhất.
Bài 4.

 x1 = 2012, x2 = 2013

 xn ( xn −1 + xn +1 ) = 2 xn−1 xn +1 , ( n ≥ 2 ) .

Cho dãy số { xn } xác định như sau 

Tìm lim xn .