CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG

PHƯƠNG PHÁP THÊM ĐIỂM
Nội dung phương pháp : Khi chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng , khi đã biết 
mối quan hệ nào đó của C,D,E . Ví dụ như C là trung điểm của DE chẳng hạn , ta 
sẽ thêm một điểm C’ là giao của AB với một đường DE  đã chứa điểm C . Ta sẽ 
tìm cách chứng minh C’ cũng là trung điểm của DE , tức là C’ trùng với C. Đó là 
điều phải chứng minh , phương pháp thêm điểm là như vậy . Dưới đây là hình 
minh họa và các ví dụ để các em tiện theo dõi nhé .   

 
BÀI TOÁN MINH HỌA :
Bài 1:
Cho tam giác ABC, về phía tam giác ABC vẽ tam giác ABD vuông cân tại A. 
Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DE. Chứng minh rằng ba 
điểm M,A,H thẳng hàng. 
Lời giải:

 
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 1


Vẽ   EK  AH  tại K,  DN  AH  tại N, AH cắt DE tại M 

  900 )  và tam giac NDA  ( DNA
  900 ) có: 
Xét tam giác HAB  ( AHB
AB = AD ( tam giác ABC vuông cân tại A) 
  NDA

  ( cùng với góc DAN) 
BAH
Do đó   HAB  NDA ( cạnh huyền – góc nhọn) 
Tương tự   KAE  HCA  ( cạnh huyền – góc nhọn)   KE  AH  
Ta có DN = KE = AH 
KE  AH , DN  AH  KE // DN 

/  KEM
/ , DN  KE , DNM
/  EKM
/  
Xét tam giác  M / DN  và tam giác  M / EK  có :  NDM

Do đó  M / DN M / EK ( g.c.g )  M / D  M / E  
M là trung điểm của DE nên M/ = M 
Vậy ba điểm M,A,H thẳng hàng. 
Bài 2:
Cho tam giác ABC,đường thẳng d song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt ở D, E. 
Trên các đoạn thẳng BC, DE lần lượt lấy các điểm M, N sao cho BC = 3BM, DE = 3DN.  
Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng hàng. 
Lời giải:

 
Gọi N/  là giao điểm của AM và DE 
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 2


Xét tam giác ABC có DE // BC (gt)  


Xét tam giác ABM có DN/ // BC  

DE AD

 
BC AB

DN / AD

 
BM
AB

Do đó: 

DE DN
DE DN /


, mà BC = 3BM (gt), DE = 3 DN (gt)  
 
BC BM
BC BM

Nên có 

DN / DN

 N  N/  

BM
BM

Vậy ba điểm A, M, N thẳng hàng. 

Bài 3:
Cho hai đường tròn (O;R) và (O/;R) tiếp xúc ngoài nhau tại A.  BC, DE là các tiếp tuyến chung 
ngoài của hai đường tròn (O) và (O/) (B, D   (O) ;  E  (O / )) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm 
của BC và DE.  
Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng. 
Lời giải:

Gọi  M / , N /  lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến chung trong tại A của hai đường tròn (O) và (O/) 
với BC, DE. 

Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 3


Ta có  M / C  M / A, M / A  M / B  ( Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ) 
 M /C  M / B  

Do đó  M /  M . Tương tự  N /  N  
Vậy ba điểm M, A, N thẳng hàng. 
Bài 4:
Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AEF (E nằm giữa A 

 ). Vẽ đường thẳng qua E vuông s BC góc với OB cắt BC tại M, BF tại N. 
và F,  B

AF  FAC
Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng ba điểm F, M, I thẳng hàng. 
Lời giải:

Vẽ  OK  EF  tại K => K là trung điểm của EF. 

ABO  
AKO  
ACO  900  
 A, B, K , C , O  cùng thuộc một đường tròn. 

  MCK
 
 BAK

  MEK
 
Mà  AB  OB, EN  OB  AB / / EN  BAK
  MEK
 ( BAK
)  
Ta có  MCK
  tứ giác EMKC nội tiếp 
  EKM
 
 ECM
  EFB
 , nên  EKM
  EFB
  MK // BN 

Mà  ECM
Tam giác EFN có KM // NF, EK = KF  => EM = MN 
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 4


Gọi I/ là giao điểm của FM và AB 
EM MN  FM 
/
/
/
 / 
  AI  I B . Vậy I = I  
AI /
I B  FI / 

Do đó: F, M, I thẳng hàng. 
Bài 5:
Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BD, CE. Gọi M là 
giao điểm của các tiếp tuyến vẽ từ B, từ C của đường tròn (O), N là trung điểm của đoạn thẳng 
DE. 
Chứng minh rằng A, M, N thẳng hàng. 
Lời giải:

Qua M vẽ đường thẳng song song với DE cắt AB, AC lần lượt ở K, S. 
  BDC
  900  
Gọi  Cx  là tia đối của tia CM. Ta có  BEC
 Tứ giác BEDC nội tiếp 



ADE  
ABC , 
AED  
ACB  
, 
  ( đồng vị và DE // KS) 
ADE  MSC
AED  BKM
Mà  
Ta có  
ACx  
ABC ( hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung) 

Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 5



  ( đối đỉnh ) 
ACx  MCS
  MSC
 
Do đó  MCS
MCS  cân tại M 

 MC = MS 
Tương tự MB = MK 

Mà MB = MC ( MB, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O)) 
Do đó MK = MS 
Gọi M/ là giao điểm của AN và KS 
 AKM /  có EN // KM/  

EN
AN

 
/
KM
AM /

  AM / S  có ND // M/S  

ND
AN

 
/
SM
AM /

Nên 

EN
ND  AN 


 

/
KM
SM /  AM / 

Mà EN = ND, do đó KM/ = SM/. Ta có M/ = M 
Vậy A, M, N thẳng hàng. 
Bài 6:
Cho  tam  giác  nhọn  ABC  nọi  tiếp  đường  tròn  (O;R).  AD,  BE  là  các  đường  cao  của  tam  giác 
ABC. Các tiếp tuyến tại A, B của (O) ắt nhau ở M, N là trung điểm của DE. 
Chứng minh rằng ba điểm M, N, C thẳng hàng. 
Lời giải:

Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 6


Qua M vẽ đương thẳng song song với DE cắt BC, AC lần lượt ở K, I. 
Gọi Bx là tia đối của tia BM 

AEB  
ADB  900  
  Tứ giác ABDE nội tiếp 
  BAE
 
 CDE
  BKM
 (KI //AB) 
CDE


  CBx
 , CBx
  MBK
 
BAC

  MBK
 
Do đó  BKM
MKB  cân tại M  => MB = MK 

Tương tự MA = MI mà MA = MB 
Do vậy MI = MK  (1) 
Gọi N/ là giao điểm của CM và DE 
Tam giác CMI có N/E // MI  

N / E CN /

  (2) 
MI
CM

Tam giác CKM có N/D // KM  

N / D CN /

  (3) 
MK
CM


Từ (1), (2), (3) có N/ E // N/D  
Do đó N/ = N 
Vậy ba điểm M, N, C thẳng hàng. 
Bài 7:
Cho đường tròn (O;R) , A là điểm nằm trên đường tròn (O), H là điểm ở bên trong đường tròn 
(O)  sao  cho  AH  =  R 2 .  Đường  thẳng  vuông  góc  với  AH  tại  H  cắt  đường  tròn  (O)  tại  B,  C. 
Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt ở D, E ( khác A). 
Chứng minh rằng D, E, O thẳng hàng. 
Lời giải:

Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 7


Xét đường tròn đường kính AH có  
AEH  900 , 
ADE  
AHE  


Mà  
AHE  C  ( cung phụ với góc EHC) do đó  
ADE  C  
 1
AOB  và OA = OB (= R) 
Mặt khác  C  
2

  tam giác OAB cân tại O 

1
 DAO
AOB  900  
2


Nên   DAO
ADE  900  AO  DE    (1) 
Vẽ  AK  DE  tại K 
Xét tam giác AED và tam giác ABC có: 

  ( chung ),  
ADE  
ACB  
EAD
Do đó   EAD  ABC ( g.g )  
Bán kính đường tròn (AED) là 

R 2
 
2

Bán kính đường tròn (ABC) là R. 
Nên ta có 

AK 2
 . Mà  AH  R 2( gt )  AK  R    (2) 
AH R

Từ (1) và (2) ta có K = O 

Vậy D, E, O thẳng hàng. 
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 8


Bài 8:
Cho tam giác ABC ( AB > AC) nội tiếp đường tròn (O). Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho 
BD  =  AC.  Đường  thẳng  qua  D  song  song  với  BC  cắt  AC  tại  H.  Tia  phân  giác  góc  BAC  cắt 
đường tròn (O) tại E và cắt DH tại F ( E khác A). Gọi M là trung điểm củ AD. Tia CF cắt đường 
tròn (O) tại N. Chứng minh rằng : 
a) E, D, N thẳng hàng. 
b) C, M, N thẳng hàng. 
Lời giải:

 
a)  Ta có:  
ADF  
ABC  (đồng vị và DH // BC) 
mà  
ANF  
ABC  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) 
Do đó:  
ADF  
ANF  => Tứ giác AFDN nội tiếp 
  FAD
 
FND
  FAD
  (AE là tia phân giác của góc BAC) 

Mà  CAE
  CNE
 ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung CE) 
Và  CAE
  CNE
  Hai tia ND, NE trùng nhau 
Do đó:  FND
Vậy ba điểm E, D, N thẳng hàng. 
b) Gọi K là giao điểm của CN và AB 

Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 9


Tam giác ACK có AF là đường phân giác  

Tam giác KBC có DF // BC  

KF AK

  (1) 
CF AC

KF KD

  ( định lý Talét)        (2) 
CF BD

Mà AC = BD (gt) 

Từ (1), (2) và (3) có AK = KN => K là trung điểm của AD nên K = M. 
Vậy C, M, N thẳng hàng. 

Bài 9:
Cho tam giác ABC (AB < BC) nội tiếp đường tròn (O). M là điểm trên cạnh BC sao cho 
 MC = AB. Vẽ đường thẳng qua M song song với AC cắt AB tại N, cắt tia phân giác của góc 
ABC  tại  I. Gọi  K là trung điểm của đoạn thẳng BM. Chứng minh rằng  ba điểm A,  I, K thẳng 
hàng. 
Lời giải:

Gọi T là giao điểm của AI và BC. 
Tam giác TAC có MI // AC  

TI TM

  (1) 
AI MC

Tam giác BAT có BI là đường phân giác (gt)  

TI BT

   (2) 
AI AB

Mà MC = AB             (3) 
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 10



Từ (1), (2) và (3) ta có BT = TM  => T là trung điểm của BM nêm T = K 
Vậy ba điểm A, I, K thẳng hàng. 
 
Bài 10:
Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, 
AC lần lượt tại D và E, BE cắt CD tại O. Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng. 
Lời giải: 

 
Gọi K là giao điểm của AM và DE, N là giao điểm của OM và DE 
Tam giác ABM có DN // BM  

AN
DN

 
AM BM

Tam giác ACM có NE // MC  

AN
NE

 
AM MC

Mà BM = MC. Do đó DN = NE => N là trung điểm của DE. 
Mặt khác xét tam giác OMC có DK // MC  


Tam giác OBM có KE // BM  

DK OK

 
MC OM

KE
OK

 
BM OM

Do đó DK = KE => K là trung điểm của DE. Do vậy N = K 
Ta có A, N, O, M thẳng hàng. 
 
 
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 11


 
Bài 11:
Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường tròn (O) đường kính 
AB và các tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến cắt Ax, By 
theo thứ tự tại C và D. Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Gọi E là trung điểm của MH. 
Chứng minh rằng ba điểm B, E, C thẳng hàng. 
Lời giải:


Gọi K là giao điểm của MH và BC 
CA, CM là các tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) 
  CA = CM, CO là tia phân giác góc ACM. 
Tam giác CAM cân tại C, CO là đường phân giác nên cũng là đường cao   CO  AM  
Tam giác MAB nội tiếp đường tròn đường kính AB 
MAB vuông tại M. 

Ta có:  CO  AM , BM  AM  CO // BM. 
Xét tam giác HBM và tam giác AOC có: 

  OAC
  900 , MBH
  COA
  (OC // BM) 
BHM
Do đó:   HBM  AOC ( g.g ) 

MH BH
 

AC
OA

Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 12


Tam giác ABC có AC // KH  (AC  AB, KH  AB) 


AB = 2OA nên 

KH BH

 
AC
AB

KH
BH
MH
MH


 KH 
 nên K là trung điểm của MH 
AC 2OA 2 AC
2

Ta có K = E. vậy ba điểm B, E, C thẳng hàng. 
Bài 12:
Cho đường tròn…tâm O. Từ 1 điểm P nằm ngoài …, ta kẻ đến … hai tiếp tuyến PA và PB. 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường kính BC. M là trung điểm AH. 
Chứng minh rằng ba điểm P, C, M thẳng hàng. 
 
Lời giải:

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng CA và BP. 
P/ là giao điểm của hai đường thẳng CM và BI. 
Như vậy, để chứng minh ba điểm P, C, M thẳng hàng, ta chỉ việc chứng minh P = P/. 

  900  
Thật vậy, ta có:  BAC
  900  
Suy ra: BAI
  900  
Tam giác BAI vuông tại A, nên:  
AIB  
ABI  BAI
  PAI
 

AIB  
ABI  BAP
  (vì tam giác PAB cân tại P) 

AIB  PAI
Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 13


Suy ra AP = PI 
Mặt khác: AP = PB, nên PI = PB 
Như vậy: P là trung điểm BI             (1) 
Lúc này ta cần chứng minh P/ cũng là trung điểm BI. 
Thật vậy, ta có: 

AM CM MH CM
AM MH


, / 
 /  /  
/
CP P B CP
PI
PI
PB

Mặt khác: AM = MH, do đó : P/I = P/B 
Như vậy, P/ là trung điểm BI               (2) 
Từ (1) và (2) ta nhận được P = P/ 
Kết luận: ba điểm P, C, M thẳng hàng. 
Bài 13:
Cho đường tròn (O;R), điểm A ở ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là hai 
tiếp điểm) và cát tuyến AMN ( AM < AN). Vẽ dây BD của đường tròn (O) và BD song song với 
MN. Gọi I là tring điểm của MN. Chứng minh rằng C, I, D thẳng hàng. 
Lời giải:

 
Cách 1: 
I là trung điểm của MN   OI  MN . Ta có  
ABO  
AIO  
ACO  900  
 B, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA 
 A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn 

Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 14




AIB  
ACB  
  BIA
 
Ta có BD // MN (gt)   IBD
Và  OI  MN , BD // MN 
 OI  BD  

 OI đi qua trung điểm của BD 
Do đó OI là đường trung trực của đoạn thẳng BD 
 tam giác IBD cân tại I 

  IBD
 
 IDB
  BCA
 , do vậy  BDI
  BDC
 
Mà  BDC
  Hai tia DI, DC trùng nhau. 
Vậy C, I, D thẳng hàng. 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN :

Bài 14 :
Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn 
(O) vẽ nửa đường tròn (I) đường kính OA. C là điểm trên nửa đường tròn (I). Tia OC cắt nửa 

đường tròn (I) ở D. Đường thẳng qua D vuông góc với AB cắt AC tại E. Đường tròn ngoại tiếp 
tam giác ODE cắt nửa đường tròn (O) ở M (M khác D). Chứng minh rằng A, E, M thẳng hàng. 

Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 15


Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

Page 16