Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. Lý thuyết
* Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối
của một số a (a là số thực)
* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số
đối của nó.
a≥0⇒ a =a
TQ: Nếu
a < 0 ⇒ a = −a
Nếu
Nếu x-a ≥ 0=> = x-a
Nếu x-a ≤ 0=> = a-x
*Tính chất
Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm
a ≥0
TQ: với mọi a ∈ R
Cụ thể:
=0 <=> a=0
≠ 0 <=> a ≠ 0
* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại
hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối
nhau.
a = b TQ:

a =b ⇔
a = −b * Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng

đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối
của nó.
− a = a ⇔− aa≤≤0a; a≤=aa ⇔ a ≥ 0
TQ: và

* Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a < b < 0 ⇒ a > b TQ:
Nếu
* Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
0 < a < b ⇒ a < b TQ:
Nếu
* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.
a.b = a . b
TQ:
* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.
a
TQ:
a

=
b
b của một số bằng bình phương số đó.
* Bình phương của giá trị tuyệt đối
2
a = a 2 TQ:

* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối
của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu.
a + ba=+ ab+≥b a⇔
+ ba.b ≥ 0 TQ: và
II. Các dạng toán:
I. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1



1. Dạng 1: (Trong đó A(x) là A(x) = k
biểu thức chứa x, k là một số cho
trước)
* Cách giải:
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt
đối của mọi số đều không âm )
A( x) = 0 ⇒ A( x) = 0 - Nếu k = 0 thì ta có
- Nếu k > 0 thì ta
 A( x ) = k
A( x ) = k ⇒ 
có:
 A( x ) = − k
Bài 1.1: Tìm x, biết:
131 2 x5 − 51= 4 171 a)
b)
−−− 2xx−++21x ==
342 4 5 384 Bài 1.2: Tìm x, biết:

a)

b)

c)

d)

7,45 − 3 5 − 23x==1−4,5
x + 2−2−x 3−,75
= − − 2,15
2

15

Bài 1.3: Tìm x, biết:
a)
b)
c)
d)
Bài 1.4: Tìm x, biết:
a)
b)
c)

c)

211 +11 =1 5
2 3 xx −
− xx+− − 1+==23= 3,5
2 53 2 5

d)

3 3341 1 13 3 5 −755
42,5−
x −+ x x− −
x +== =5%
=
2 2454 2 4 4 3 44 6

Bài 1.5: Tìm x, biết:
15

11
21 39 x3 21 1 7
a)
b) c) d)
6,−5++−
2,35:::4x −x+−+ == =62 3
2. Dạng 2: (Trong đó A(x) 445 A(x)
24 4= B(x)
35 2 2
và B(x) là hai biểu thức chứa
x)
* Cách giải:
 aA(=x)b= B ( x) Vận dụng tính chất: ta có:
A( x ) =a B=( xb) ⇔
⇒
 aA(=x)−=b − B ( x) Bài 2.1: Tìm x, biết:

a)

b)

c)

d)

27 x25−
++
x 13−
3 x−4 =
53=x4+

xx+62−2=
30

Bài 2.2: Tìm x, biết:
a)
b) c) d)

57 73 75 21 51 4 3 1
x−
x+x++ − == x4+x 5− 1= 0
A(x)
4
8
5
2
26 32 =
82 B(x)
3 54
(Trong đó A(x)

3. Dạng 3:
và B(x) là hai biểu thức chứa x)
* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá
trị tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:
A( x) = B ( x)
(1)
≥0
Điều kiện: B(x) (*)
 A( x) = B ( x) (1) Trở thành Đối chiếu
A( x ) = B ( x) ⇒ 

 A( x) = − B ( x) giá tri x tìm được với điều
kiện (*)
* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
a≥0⇒ a =a
Nếu
a < 0 ⇒ a = −a
Nếu
A( x) = B ( x)
Ta giải như sau: (1)
2


• Nếu A(x) thì (1) trở thành: ≥ 0 A(x) = B(x) (Đối chiếu giá trị x tìm
được với điều kiện)
• Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) (Đối chiếu giá trị x tìm
được với điều kiện)
Bài 3.1: Tìm x, biết:
a)
b)
c)
d)
a)

b)

c)

7x15−x1x===x35−xx12
++21
x = 3 − 2x

2
Bài 3.2: Tìm x, biết:

d)

2xx5+
9x−+
63−x−3+9x=x=2=x221
x

Bài 3.3: Tìm x, biết:
x24x++−15
25x++=1xA−=(=4x3x2)x= k a)
b)
c)
d)
A( x ) = k ⇒ 
 A( x ) = − k Bài 3.4: Tìm x, biết:

a)

b)

c)

d)

332xxx−−−7125 =+−=12xx=++x11

Bài 3.5: Tìm x, biết:

a)
b)
c)
d)

73 x−−
+2475x +
− 547x = 37x2x

4. Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:
* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
A( x) + B ( x) + C ( x ) = m Căn cứ bảng trên xét từng
khoảng giải bài toán ( Đối
chiếu điều kiện tương ứng )
Bài 4.1: Tìm x, biết:
a)
b)
c)
d)
Bài 4.2: Tìm x, biết:
a)

34x3+x 4− 1−+2 x +−12−x 5−x5++37+x x− −3 9= =
125
1 1
11 1 1
2 2x + −3 x + x −− 3 + 8= 2= 1−,2x
5 2
52 5 5
2x − 5 = 4

x − 2x + 5x +
− 3x +− 3x =− 94 = 2 c)

e)

d)
f)

x + 1 2+xx+−22++4x−+x3==11
6

Bài 4.3: Tìm x, biết:
x3−x2x + 1x −− 23x+x 2+x2−=812
= 9 a)

c)
e)

f)

Bài 4.4: Tìm x, biết:
a)

b)
d) x − 1 + 3 xx −+ 35 −− 21x−−2 x2 = 4x

x x+ −1 −2 xx +=3x=+ xx−−13

b)


x − 32 + x +− 5 = 83
x −2 x3 −+13+x +2 x4−=5 2=x 4+ 1 c)

5. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:
A(x) + B(x) + C(x) = D(x) (1)
Điều kiện:
D(x) kéo theo
Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
Bài 5.1: Tìm x, biết:
3

d)

A( x ) ≥ 0; B ( x) ≥ 0; C ( x) ≥ 0


a)
c)

b)
d)

Bài 5.2: Tìm x, biết:
x+

x + 1 +x +x 1+ +2 x+ +x2+ +3 +
x +x3+ =4 4=x5 x − 1
x + 1,1 + x + 1,2 + 3x + 1,3 +1 x + 1,4 = 5 x
x + 2 + x + + x + = 4x
5

2
1
2
3
100
a)
+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 101x
1
1
1
1
101
101
101
101
x+
+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 100 x
1 .2
2 .3
3 .4
99.100

b)
x+


1
1
1
1
c)
+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 50 x
1 97.991
1
1
1 .3
3 .5
5 .7
x+
+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 101x
1 .5
5 .9
9.13
397.401

d)
6. Dạng 6: Dạng hỗn hợp:
Bài 6.1: Tìm x, biết:
13 1 4 a)

x 2 +2xx22 −x 1−
+ + ==x 22 + 2
24 2 5

b)

Bài 6.2: Tìm x, biết:
b)
1 2 313 12 a)
2xxxx−+11+−− ===x
2
424 55
Bài 6.3: Tìm x, biết:
b)
1  2 333
33 a)


 x +− x2x2xx−−− ===2x2xx−−
2
444
44


Bài 6.4: Tìm x, biết:
b)
2 x −33xx −+11x −−
+115 ===242x − 1 a)
A+ B =0


c)
c)
c)
c)

7. Dạng 7:
Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất
đẳng thức.
* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0
khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.
A+ B =0
* Cách giải chung:
B1: đánh giá:
A ≥ 0
⇒
AA=+0 B ≥ 0
B2: Khẳng định:
B ≥ 0A
 + B = 0
⇔
 
B = 0

a)

b)

c)

Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn:


3 x−−24x + 34 y +95 = 0
x− y + y+
=0
25

Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn:
2 1x − 2007
3 3 + 2y −11
200823
=0
a)
b)
c)
− 5+ − x x+ +1,5 −y − 3+= 0 y = 0
* Chú ý1: Bài toán có 3 2 4 4 A + 7B ≤170 13
thể cho dưới dạng nhưng
kết quả không thay đổi
A+ B ≤0
* Cách giải: (1)
(2)
A ≥ 0
⇒
⇒
AA=+0 B ≥ 0
Từ (1) và (2)
B ≥ 0A
 + B = 0
⇔
 

B = 0

4

Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn:


a)

b)

c)

xx5−x+y+2+1y 2+++64y2y −
y−+
831≤≤≤000

Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn:
x12
3+xxy++−287y ++11
4xyy −−10
15 ≤≤≤000 a)

b)

c)

* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất
không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các
bài tương tự.

Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
2007
2008
x −x3−yy − 2++y y++43 = 0= 0 a)

b)

( y −y 3−) 1 = =0 0 c)
x (−x y+ −y 5) + 2007
+ 2007

d)

2006

Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn :

2008

4
2((xx −−51) + 5( y2+y 3−) 7 = =0 0 a)
2

b)

2 5

c)

2004

1 1 0

x +3(3xy−−21y+)  2 y+−4 y + =
=0
2 2

2000

d)
Bài 7.7: Tìm x, y thoả mãn:
7
x − 2007
2 ≤ 0 a)
5 + y − 2008
3 x − y + 10 y +
≤0
c)
3

d)

8. Dạng 8:
* Cách giải: Sử dụng tính chất:

A + B = A+ B

b)
2008
2006


12007
1 y
 3 2x −
 x− 
24
2

a + b ≥ a+b
a + b = a + b ⇔ a.b ≥ 0

Bài 8.1: Tìm x, biết:
a)
b)
c)
Bài 8.2: Tìm x, biết:
a)
b)
c)

Từ đó ta có:

3x −
+ 52 + 3xx−−+x51==836
x x−2+3x1+−+532−+xx2−+
x3+2=5x 3−=x411
− =2 2 d)

e)

f)


3 xx+−+714 ++ 3x2+−−56x ===4213
x5 x+ +2x1−
++233x+−−x21−x+7=x=−
4 41+ 3=x3 d)

a)
Bài 3: Tìm x, y thoả mãn:

( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 = 0

e)
f)
Bài 2: Tìm x, y thoả mãn :

x − 2007 + y − 2008 ≤ 0 a)

Bài 4: Tìm x thoả mãn:
a)

x +5 + 3− x = 8

II Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt
đối:
1. Dạng 1: với
* Cách giải:
* Nếu m = 0 thì ta có

≥ 0= m
A +m B

A == 00
A + B
⇔
5B = 0

2007

+2007
2008 4y − 4 6 ≤ 0
+
y+
≤0
2008 5
25


* Nếu m > 0 ta giải như sau:
A+ B =m
(1)
Do nên từ (1) ta có: từ đó tìm giá 0 ≤ABBA≥ ≤0 m
trị của và tương ứng .
Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

2
x (−xx−
2007
+
0 0 a)
+yy−) 2+++x2 −y 2008
− 13 == 0=


b)

c)

b)

c)

b)

c)

Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

5
4
x x+
− −3y y3−y−51+++( 3y y−
+ +34)2==0 0 a)

Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn:
2x53x+xx+4++
1+2+yyy+y+−5−321===5734
a)
b)
c)
d)
Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
x332+x436−x +

5+4+y2y+y+3−41= =
10
2112
5
a) b) c)
d)
Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
32yyy2222===312
53−−−−2xxx−+
−−1342
a)
b)
c)
d)
A + B
2. Dạng 2: với m > 0.
* Cách giải: Đánh giá
A+ B (1)
(2)
A ≥ 0
A<=B
+
≥0
≤+AkB+
mkB
Từ (1) và (2) từ đó giải bài B⇒≥ 00A0≤⇒


toán như dạng 1 với
Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
≤
−
5 43≤2≤4≤3 4 a)
x +2 x35x+x1++++yyy+y −

d)

Bài 2.2: Tìm các cặp số
nguyên ( x, y ) thoả mãn:
343252xxx+++1515+++42y2y−y+−2−131≤≤≤7357 a)
a + b ≥ a+b

b) c) d)

3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng
thức: xét khoảng giá trị của ẩn số.

Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
2x +
− 152 ++ 4x2x −
x−−6x33===3758
a)
b)
c)
d)
Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau.
2 xx++12++y y− =x 6= 5
a) x + y = 4 và

b) x +y = 4 và
x +x 2+ yy− =
1 3= 6
c) x –y = 3 và
d) x – 2y = 5 và
Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời:
a) x + y = 5 và
b) x – x −+ 16 ++ yy −− 21 = 4
y = 3 và
22xx ++13++ 2yy++21 = 84 c) x – y = 2 và
= 3 và
6

d) 2x + y


4. Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một
tích:
A( x ).B ( x ) = A( y )
* Cách giải :
Đánh giá: tìm được A( y ) ≥ 0 ⇒ A( x).B( x) ≥ 0 ⇒ n ≤ x ≤ m
giá trị của x.
Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:

((23(3xx−+−212x)()(52xxx−−+−2325x) ))<><>000 a) b)

c)

d)

b)

c)

b)

c)

Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

( x −( 2(2−x)(+5x )(3−x)(x1+)−1=)x=2) =yy+y+11+ 2 a)

Bài 4.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

( xx( x−−+32)(1)()(x53−−−5x)x) +)−=yy2−+y21+=110 a)

5. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức:
* Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B
A≥m
Đánh giá: (1)
B≤m
Đánh giá: (2)
 A = m Từ (1) và (2) ta có:

A=B⇔
 B = m Bài 5.1: Tìm các cặp số nguyên

( x, y ) thoả mãn:
a)
b)

c)

2
xx+−25++ x1−−1x ==3 − ( 12
y + 2)
d) xy −+13++ 35−=x = y10+ 61 + 3
( 2 x −y 6+) 32 ++ 23
Bài 5.2: Tìm các cặp số

nguyên ( x, y ) thoả mãn:
168
a)
b)
2xx++33 ++ x2−x 1− 1= =
y − 2 10
+12y2+ 2
c)
d)
3 xx+−12+y 3−x1 −+55 = 2( y − 5)2 + 2
( y −+ 43) + +2 2
Bài 5.3: Tìm các cặp số
nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a)
b)
( x +( xy+−22))22 ++47 == 2014
3yy−+130
26++y5− 3
c)
d)
2 xx−+2007

y + 2 ++35==
y3 −y +
2008
5 + 6+ 2

III – Rút gọn biểu thức
chứa dấu giá trị tuyệt đối:
• Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn:
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với

3,5 ≤ x ≤ 4,1

BA==−xx−+33,5,5++4x,1−− 4x,1 a)

b)

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3:
BA==−xx+−11,3,3−+ xx−−22,5,5 a)

b)

Bài 3: Rút gọn biểu thức:

a)

b)

A C= =x −x 2+,115 ++ x −− 312,7 a)
b)
c)

B = x+ − x−
5
5 Bài 4: Rút gọn biểu thức khi
1
33 42
BA
= =− x +
− −
+−
x +x − + −
7
55 56

7

−3
1
5
7


Bài 5: Rút gọn biểu thức:
A = x + 20,≤8 x− ≤x 4−,12,25 + 1,9 a) với x < - 0,8
B = x − 4,1 + x − − 9
3
c) với
d)
3

với x > 0

b) với
1
11 1
1
C =D2 = −x +
x 3+ x +−≤ x ≤
−+ 382
5
25 5
25

==============&=&=&==============
IV.Tính giá trị biểu thức:
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:
a) M = a + 2ab – b với b) N = a = 1,5a; b− =2 −0,75
2 b
với
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:
A
B = 231ax +
− 32ab
xy −− 3by
a) với
b) với
ax = 2,;5b; y==0,25
3

4 c) với

d)

với

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức:

1 2 5a 131
D
a=
= 3Cx; =b−=x20x=−,+
25
3
3 b2

3
2+3 2y x + 4 a) với
A = 6xBx =
=x−12=3;xxy−2−=
b) với
−3
2 3
c) với x = 4 d)

C = 2 x 5−x22 − 37x1x=−+ 1x
D=
3x − 1 2

với
V.Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị

tuyệt đối:
1. Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối:
* Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính
chất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:
Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
A
B == 0−,51,32−
4x−x+x−23−
3,52
a)
b)
c)
C
D=
d)
43 x − 15
e)
g)
IK===−10
2,5−−54,x8x −−52,8
h)
i)
H
2,5 − x + 5,8
k)
112
L
l)
m)
NM

==
2=+5 − 2 x − 1
x3−x 2+ 5+ 3+ 4
n)

f)

G = 4F−E
=5−=
x 10
−5,25,2−−−23xyx −+−112
14
,5

Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
C
B
A = 13x,7++2,348,,43−−3,x5
a)
b)
c)
E=D
4Fx=−=32x+,5+5−8y,x4++
−714
5,5,8,+2 17,5 d)

g)
i)
l)

k)

M
K
L ==2531x−−412x −+−411

m)
Bài 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
4 −1
15
20
21
a)
b)
c)
C=
BA
=+
= 5+
2 5 3 3 x +8415
24
53x+x+21
−47y21
++3+5 7+ 8
d)
e)
D
E = −6++
3

( x2 +x 3−y28) y2 ++ 53 x2 x+ +5 1++146

e)

f)
h)

GI == 41,59 + 1x,29−−2,x38
H = x− +
5 7


Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
227yx++715 ++13
15
32
11
a)
b)
c)
C
A
B ==

2762xxy+++517++846
Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
15 6
−14
28

8
a)
b)
c)
C= B
A =− 5 +−
12 53 x −45356yxy ++
−782 +
x++24
351 + 35
Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
−21
6154yx++567++−1433
68 a)
CAB==

b)

c)

23 4xyx++756++12
145

2. Dạng 2: Xét điều kiện bỏ
dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức:
Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
C
BA==32xx +− 51 ++ 28x−+3x6x a)

d)

e)

C
A
B = 234 x −+ 135 ++ 424x−x +3−x51 a)

b)

b)
f)

c)
D
F
E == 245x +− 736 + 543x−
+−255x

Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
c)

Bài 2.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B
CA===−−−23xx −
+− 513 + 72x x−++34x4 a)

b)

Bài 2.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

C
A
B = −253 5x − 5x4 + 258x−+367x a)

b)

c)

b)

c)

Bài 2.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
BCA
===x2−x 2+
− 14+ ++x x−2−
x6 +
5+15
a)
b)
c)
3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng
thức

a + b ≥ a+b

Bài 3.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
B
CA===32 xx −
+ 42 + 23x x−+315

a)
b)
c)
Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
CBA===43xx +−
+375 ++ 43xxx+−+152+++412
8 a)

Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
BA==x x++1 3+ +3 x2−x −
4 5+ +x −
x 1− +
75
a)
b)
DC==x x++3 2++5 46 x2 x+ −
1 5+ +x −x 1− +3 3
c)
d)
Bài 3.4: Cho x + y = 5 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = x +1 + y − 2

Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức:
B = x − 6 + y +1

Bài 3.6: Cho x – y = 2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
C = 2x + 1 + 2 y + 1

9

c)


D = 2 x + 3 + y + 2 + 2 Bài 3.7: Cho 2x+y = 3 tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức:

10