Sáng tạo BĐT

August 1, 2015

2

Câu 1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 4 ac  3b   a  b  c  . Tìm giá trị nhỏ nhất của
2

3 a  c
b3
P

8(a  c)  b  2a  2c  a  b  c 2
Hướng đi: Thoạt nhìn biểu thức của P thật phức tạp, nhưng hãy nhìn kĩ, các biểu thức sẽ phân ra 2 phần, 1
phần đối xứng gồm (a,c). Và 1 phần không đối xứng gồm b. Nên các bạn đừng quá lo lắng. Cốt lõi bài toán
sẽ nằm ở những thứ đó. Và ta dự đoán a  c .
2

2

2

Giải:  a  b  c   b 2  2b ( a  c )   a  c   4 ac  3b   a  c   3b  b  2( a  c )  3 ( ta sẽ quy các
biểu thức về ac hoặc a  c hoặc a 2  c 2 . Và bạn đừng ngại, cứ thử hết 3 cái đó, thế nào cũng có cái gọn
nhất)
Và để ý 1 tí ta sẽ cần thứ này 2( a  b  c )  3  b
2

Đến biểu thức P: P 

Đặt t 

3a  c
b3
abc  ac 




2
8(a  c)  b  2a  2c  a  b  c 
4a  c  a  b  c 

2

ac
(cái này khó mà tìm điều kiện chặt của t, nhưng ta chỉ cần điều kiện t>0 là đủ)
abc

P  f (t )  t 2 

f '(t )  2t 

1
4t

1
1
0t
2

4t
2

Bảng biến thiên:

Theo bảng biến thiên,

3
MinP  . Dấu bằng xảy ra khi
4
1
1
t   b  1, a  c 
2
2
Câu 2: Cho các số thực x; y; z   0;1 và thỏa mãn x  y  1  z . Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

xy  1
x2
y2


2
x  y  z 3  xy  z  9 1  z 2 
1

Creation



August 1, 2015

Sáng tạo BĐT

Hướng đi: Nhìn vào biểu thức P ta đã thấy rất choáng váng và khó có thể suy nghĩ ra được điều gì. Nhưng
rất may đề bài lại cho x; y; z   0;1 và x  y  1  z nên ta dự đoán x  y  z  1 (Dự đoán trên chỉ dựa
vào cảm giác mà khi các bạn tiếp xúc với BĐT thường xuyên)
Và cũng dựa vào giả thiết, ta sẽ tìm các mối liên hệ với P.
Đối với dạng có điều kiện x; y; z   0;1 ta thường có BĐT sau: 1  x 1  y   0 hoặc

1  x 1  y 1  z   0 . Nhưng ở bài toán này không có xuất hiện biểu thức liên quan xyz, xy  yz  zx
hoặc x  y  z nên ta dường như không thể sử dụng 1  x 1  y 1  z   0
Nên ta thử xoay quanh 1  x 1  y   0 . Và ngẫu nhiên từ đó ta có BĐT xy  1  x  y
Và đặc biệt ta sẽ cần sử dụng 1 kết quả mà ít ai chú ý, đó là z 2  z (vì z  z  1  0 z   0;1 )
Giải: 1  x 1  y   0  xy  1  x  y và z 2  z
Và ta có x  2  x  y  z;

y  2  x  y  z (vì x; y; z   0;1 )

2

Ta tiếp tục có 1  z  1  z  x  y  1  xy
Từ đó, P 

Đặt t 

xy  1
x y z x y z
xy  1

4 x yz



 .
x  y  z 3  xy  1 9  xy  1 x  y  z 9 xy  1

xy  1
4
4 3
, t  0  P  t   2 t. 
x y z
9t
9t 4

Vậy MinP 

4
2
xy  1
2
khi t  
  x  y  z 1
3
3
x y z 3

Câu 3: Cho a, b, c   0; 2 và a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P  9   a 2  b2  c 2  


a 3  b3  c3  a 2  b2  c 2 5
ab  bc  ca  5

Ta dự đoán dấu bằng khi 1 số bằng 0, 1 số bằng 1 và số còn lại bằng 2.
Giải:
Cách 1: Bài toán có tính hoán vị giữa các biến nên để giải quyết bài toán này ta phải giả sử

a  max a; b; c  a  1; 2 . Nên ta có BĐT  a  1 a  2   0

2

Creation


Sáng tạo BĐT

August 1, 2015

3

3

3



Mặt khác a 3  b3  c3  a 3   b  c   3bc  b  c   a 3   b  c   a 3   3  a   9 a 2  3a  3








Đến đây ta có thể khảo sát hàm số tìm max của 9 a 2  3a  3 . Tuy nhiên, nếu để ý về dấu bằng thì ta sẽ





biến đổi 9 a 2  3a  3  9  a  1 a  2   9  9

 a 3  b3  c3  9
Tương tự
2

2

2

a 2  b 2  c 2  a 2   b  c   2bc  a 2   b  c   a 2   3  a   2a 2  6 a  9  2  a  1 a  2   5  5
Và cuối cùng là đến ab  bc  ca 

Vậy P  9  5 

a  b  c

2


  a2  b2  c2 
2



9   a 2  b2  c2 
2

2

9  5  5 19
 .
25
7

bc  0

Dấu bằng khi  a  1 a  2   0   a; b; c   1;0; 2  cùng các hoán vị.
a  b  c  3

Nhưng để trực quan hơn ta có thể biến đổi về 1 biến để khảo sát hàm số như sau:
Cách 2: P  2  ab  bc  ca  

13  2  ab  bc  ca 
ab  bc  ca  5

Đặt t  ab  bc  ca, t   2;3  P  2t 

f ' t   2 


23

 t  5

 P  f  2 

2

2t  13
 f t 
t 5

 0  f  t  đồng biến trên  2;3

19
7

Câu 4: Cho các số thực không âm thỏa x  y  1  z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P

4z
5
 2 z  xy  z
2
1 x  1 y

Hướng đi: Nhìn vào bài toán ta dự đoán x  y  z  1  2 x

3


Creation


Sáng tạo BĐT

August 1, 2015

P

2  2 x  1
x 1

f ' x 

 2  x  1 

2  2 x  1
5
1
 3x   f  x 
 2 x  1 
2
2
x 1

2x  3
 3 . Thấy x  0 là nghiệm của f '  x   0
 x  1 x  1


Vây ta dự đoán x  y  0; z  1
Giải: Vì dự đoán x  y  0 và biểu thức P có chứa 1  x  1  y nên rất nhiều khả năng ta sẽ sử dụng
BĐT phụ 1  x  1  y  1  1  x  y (BĐT này đã được sử dụng nhiều trong các kì thi HSG)
Mình sẽ chứng minh bằng cách tương đương:

1  x  1  y  1  1  x  y  2  x  y  2 1  x 1  y   2  x  y  2 1  x  y


 x  1 y  1 

1  x  y  xy  0 (luôn đúng)

Suy ra 1  x  1  y  1  1  x  y  1  z

Mặt khác z  x  y  1  z  xy  x  y  1  xy   x  1 y  1

P

 x  y  2

4

2

 z  1

4

4z
5

4z
3
  z  1  z 
 z 1  f  z 
2
1 z
1 z 2

f ' z  

2 z 4

1  z 

2





 





1 z 3 z  5
3 4 z  8  3 z  2 z 1



0
2
2
2
2 1 z
2 1 z









 z 1
Vẽ bảng biến thiên, ta được MaxP  f 1 

3
khi x  y  0; z  1
2

Để khó và hay hơn mình xin đưa ra 1 câu với tư duy tương tự:
Câu 5: Cho các số thực không âm thỏa x  y  1  z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P

2z 2
 2 z  xy  2 z
1 x  2  y


4

Creation

2


Sáng tạo BĐT

August 1, 2015

Giải: 1  x  2  y  1  2  x  y  1  z  1

z  x  y  1  z  xy  x  y  1  xy   x  1 y  1

P





 x  y  2

4

2 2  z  1  1
2z 2
  z  1  2 z 
 z 1  2 2

1 z 1
1 z 1

z 1  2





2

 z  1


2

4



z  1  1   z  1  2

2

42 2  42 2

Vậy MaxP  4  2 2 khi x  y  0; z  1
Câu 6: Cho các số dương a; b; c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1


P
3

2  a  b  c  1
3

3



3

2
 a  1 b  1 c  1

Hướng đi: Nhìn vào biểu thức của P ta thấy a, b, c có vai trò như nhau nên ta dự đoán a  b  c  1

1

Khi đó P 

2  3a3  1

3

f ' a 




2

 a  1

3a 2

 3a

3

 1 2  3a  1
3

3



3

 f a

6

 a  1

 0 . Đến đây ta dùng máy tính SOLVE thì thấy a  1 là nghiệm

4

của phương trình trên.

Vì vậy ta dự đoán a  b  c  1
Giải: Trước tiên ta cần chứng minh
3

a b

3

 a  b

4

3

 a3  b3  ab  a  b    a3  a 2b    b3  b 2 a   0   a  b   a 2  b 2   0

2

  a  b   a  b   0 luôn đúng.

Tương tự ta chứng minh: c

 a 3  b3  c3  1 

5

Creation

3


 c  1
1 
4

3

(vì ta đã dự đoán c  1 )

1
1
3
3
3
a  b    c  1    a  b  c  1

 16
4


August 1, 2015

Sáng tạo BĐT

Và ta dùng AM-GM cho ba số:  a  1 b  1 c  1

Do đó P 

3

27


2
54

a  b  c  1  a  b  c  3 3

Đặt t  a  b  c  3, t  3  P 

f ' t  

 a  b  c  3


2

t  2

2



2
54
 3  f t 
t2 t

162
2
 0  t 4  81 t  2 
4

t


t  3

 0   t 2  9t  18  t 2  9t  18   0  t  6

t  9  3 17

2

Mà t  3  t  6
Vẽ bảng biến thiên thì ta thấy P  f  6  

1
khi a  b  c  1
4

Câu 7: Cho a, b, c  0 thỏa c  1 và a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

a 2  b2
3 1
  c
 a  1 b  1 c  1 8 8

Nhìn vào BĐT ta đã có thể dự đoán a  b và chắc chắn bài toán sẽ đưa về dồn biến c.
Giải:


2 a  b

2

2

2 3  c 
3 1
3 1
  c
  c  f c
Cách 1: P 
2
2
 a  b  2   c  1 8 8  5  c   c  1 8 8
 2 c  3 c  5 2 c  1  c  3 2 2 c  5 c  1  c  5 2  
              1
 
f '(c )  0  2 
4
2
  8  0 (khúc này đạo
c

5
c

1









hàm hơi thấm)
Nên f  c  nghịch biến.

 P  f 1  0 khi a  b  c  1

6

Creation


Sáng tạo BĐT

August 1, 2015

Nhưng cách này chúng ta sẽ mất thời gian cho công việc đạo hàm và tìm nghiệm đạo hàm. Chính vì vậy
mình sẽ đưa thêm 1 cách nữa để các bạn có thể so sánh với cách 1.
Cách 2: Để ý ta thấy c  1 và dự đoán a  b nên ta thử ngầm a  b  c  1 và ta có cách nào sau
2

2

27  a  b 
3  c  3  1 c
a 2  b2

3 1
3 1
P
  c
  c
3
16
8 8
 a  1 b  1 c  1 8 8 2  a  b  c  3 8 8

c 2  4c  3 1  c  3  c 


0
16
16
Vậy MinP  0 khi a  b  c  1
Cả hai cách đều có những ưu điểm và khuyết điểm, nhưng quan trọng vẫn là ứng dụng của chúng ta vào
chúng, hãy thử sáng tạo theo hướng của chính mình rồi các bạn sẽ hiểu tại sao lại có kết quả như thế.
Câu 8: Cho 3 số thưc dương x; y; z thỏa điều kiện xy  z 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

z2
z2
x2  y 2


x2  z 2 y 2  z 2
z2

P


Đây là dạng bất đẳng thức rất quen thuộc và ta dễ dàng dự đoán x  y khi đấy ta lại có thêm x 2  z 2 . Như
vậy, rất nhiều khả năng bài toán sẽ đưa đẩy ta về x  y  z
Giải: Đặt a 

1

P

x
1  
z

2

x
y
; b   ab  1  a 2  b2  2ab  2
z
z



1 


2

2


1
1
4
x  y
    

 a2  b2 
 a2  b2
2
2
2
2
2
z
z
1

a
1

b
2

a

b
y    

z


1

Đặt t  a 2  b 2  2, t  4  P 

4
t 2
t

Đến đây ta có thể khảo sát hàm số hoặc dùng Cauchy (AM-GM) như sau:

P

4
3
4 t  3
 t  2      t  2  2  .4  2  3 t  4
t
4
 t 4 4

Vậy MinP  3 khi x  y  z
Câu 9: Cho các số thực dương x; y thỏa mãn x  y  xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

7

Creation


August 1, 2015


P

Sáng tạo BĐT

x2  y 2 x2  y 2
xy 3
x3 y



x2  1
y2  1 x2  2 y y2  2 x

Rõ ràng BĐT này sẽ đưa ta đến x  y  2 . Từ đó ta sẽ đi gỡ rối từ từ.
Giải: 0  x  y  xy  2 xy  xy  xy  4  xy  1

 y2
 1
1 
x2 
P   x2  y 2   2
 2   xy.  2
 2

 x 1 y 1 
 x  2y y  2y 
Đến đây ta thấy xy  1 nên dùng BĐT

1
1

2
 2

x  1 y  1 1  xy
2

2

 x  y
2
Vì vậy P   x  y  .
 xy. 2
1  xy
x  y2  2  x  y 
2

2

2

xy  x  y 
4 xy
4 xy

 2

 xy
2
1  xy x  y  2 xy 1  xy
Đặt t  xy, t  4  P 


f '(t ) 

4

1  t 

2

4t
t
1 t

 1  0  f (t ) đồng biến trên  4;  

Vậy P  f (4) 

36
khi x  y  2
5

Câu 10: Cho các số dương x; y thỏa x 2  y 2 

P

3
 x  y   1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2

8x

x4  2 x2 y 2  8 y  y 4 4 x2 y


y x  y
x  x  y
x y

Giải:
Ta sẽ thêm cho P một chút thế này: P 

8x
x4  2 x2 y2  8 y  y 4
4x2 y2


y x  y
x  x  y
y x  y

Và bài toán này nếu để ý kĩ thì ta sẽ thấy bậc của biểu thức trên tử của P chia thành 2 loại là bậc 1 và bậc 4. Từ
đó ta có cách nhóm sau
8

Creation


August 1, 2015

Sáng tạo BĐT


 x4  2x2 y 2  y 4

4 x2 y 2  
x
y
P  


  8 

x x  y
y  x  y    y  x  y  x  x  y  


  x 2  y 2 2


4 x2 y 2  
x
y


 8 


 x  x  y  y  x  y    y  x  y  x  x  y  


2


x2  y 2 

x
y
4x2 y2

P được chia thành hai loại là đối xứng
và bất đối xứng

y  x  y x  x  y
x  x  y y  x  y
Và với bất cứ học sinh nào thì đến con đường này ta sẽ liều cứ cho x  y (ta dựa và giả thiết đề bài
2

x2  y 2 
x  y


3
4x2 y2
2
2
2
 1  x  y  2 và biểu thức
áp dụng BĐT

 x  y  1  x  y 
x  x  y y  x  y
2
2

2

Scharwz.)

x

2

 y 2  2 xy 

2

4

2

 x  y   16
8  x y   x  y
16
P

.   


2
x x  y  y  x  y x  y  y x   x  y
x y
4
x y
Đặt t  x  y , t  1; 2  P  t 2 


16
 f (t )
t

Đến đây ta có thể khảo sát hàm số hoặc sử dụng Cauchy (AM-GM) như sau:

8 8
8 8
P  t 2    3. 3 t 2 . .  12
t t
t t
Vậy MinP  12 khi x  y  1

Câu 11: Cho a, b, c là các sô thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

49
1
1
4
.


50 4a  3c  4 bc 2c  3a  4b  2 8  2  5a  6b 2  32c 2

Giải: Nhìn vào biểu thức P ta nghĩ ngay đến việc thoát căn của 4 bc và

P


49
1
1
4
.


50 4a  4b  4c 2c  3a  4b  2 8  5a  6b  4c

9

Creation

2

2  5a  6b   32c 2 . Thật vậy:


August 1, 2015

Sáng tạo BĐT



72
72
20 2
4




400  a  b  c  400  a  b  c  400  2c  3a  4b  2  8  5a  6b  4c



342
4

400  5a  6b  4c  2  8  5a  6b  4c

Đặt t  5a  6b  4c  2, t  0

P

342
4

 f t 
400t t  6

f 't  

 6t  204  74t  204   0  t  34
2
400t 2  t  6 

5a  6b  4c
a  2
3



 b  1
Vẽ bảng biến thiên ta suy ra MinP  f  34  
khi c  4b
200
5a  6b  4c  2  34 c  4



Câu 12: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa ab  2c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

a 1 5
  10c 2
3
a
b

Ta sẽ dự đoán a  b  1 và c 

1
2

Giải:
Cách 1: Nhìn vào biểu thức P ta thấy có xuất hiện
GM sao cho

P




5
1
1
và 2  3 làm ta liên tưởng đến việc biến đổi AMb
a
a

1
1
5
 3 về dạng . Vì thế ta làm như sau:
2
a
a
a

a 1 5
5 5
 1 1
 5
  10c 2   2  3  1  1  1   10c 2  3    10c 2  3
3
a
b
a b
a a
 b


10
5 2
 10c 2  3 
 10c 2  3
ab
c

10

Creation


August 1, 2015

Sáng tạo BĐT

c
5
 c  2t 2  P   40t 4  3  f  t 
2
t

Đặt t 

f '  t   160t 3 

5
1
0t 

2
t
2

 1  19
2 2

Vẽ bảng biến thiên và ta thấy MinP  f   

Vậy MinP 

19
1
khi a  b  1; c 
2
2

Nhưng với cách giải trên ta sẽ thấy thật gò bó và không tự nhiên nên mình xin dẫn cách 2 như sau:
Cách 2: P 

a 1 5
1 1 5a
  10c 2  2  3 
 10c 2
3
a
b
a
a 2c


Bài toán đã trở thành hai biến và việc còn lại ta sẽ sử dụng AM-GM để loại bỏ hết hệ số a và c . Chú ý

1
1
a
1
 3
 2c 2 
2
2a
2a
4c
2

1
1
1
1
a
 1 
P  2  2  3  3  10.  5.2c 2  1919  2 
2 a 2 a 2a 2 a
4c
 2a 
Vậy MinP 

2

 1 
. 3 

 2a 

2

19
1
khi a  b  1; c 
2
2

Câu 13: Cho a, b, c  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a 2  2ab 2  2 b 2  2bc 2  2 c 2  2ca 2  2
P


 abc  8  a  b  c 
b
c
a
Giải: P 



a 2  2ab 2  2 b 2  2bc 2  2 c 2  2ca 2  2


 abc  8  a  b  c 
b
c

a

a 2 b2 c 2
1 1 1
   2  ab  bc  ca   2      abc  8  a  b  c 
b
c a
a b c

Ta có:

a2
 b  2a
b

11

Creation

b2
 c  2b
c

c2
 a  2c
a

10

5

19
 a 
.   .  2c 2  
2
 4c 


August 1, 2015

Cộng vế theo vế ta được

Sáng tạo BĐT

a2 b2 c2
   abc
b
c a

1

a, b, c  2   a  2  b  2  c  2   0  abc  2  ab  bc  ca   4  a  b  c   8  0

 abc  2  ab  bc  ca   4  a  b  c   8

 2

18
1 1 1
    8  5a  b  c 
8

abc
a b c

Từ 1 và  2   P  5  a  b  c   2 

Đặt t  a  b  c, t  6  P  5t 

f 't  

18
 8  f t 
t

5t 2  18 5.62  18

 0  f  t  đồng biến trên  6;    P  f  6   41
t2
t2

Vậy MinP  41 khi a  b  c  2
Câu 14: Cho x, y, z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2

P   x  y  z   xy  yz  xz  xyz 

1
1

x  2 y x  2z


Giải: Theo giả thiết x, y, z  1   x  1 y  1 z  1  0  xyz  xy  yz  zx  x  y  z  1  0

 xyz  xy  yz  zx  1  x  y  z
Và

1
1
4
2



x  2 y x  2z  x  2 y    x  2z  x  y  z
2

 P   x  y  z  x  y  z 

2
1
x y z

Đặt t  x  y  z , t  3  P  t 2  t 

f '  t   2t  1 

Vậy MinP 

12

2

 1  f t 
t

3
2
2 2t 3  t 2  2  t  2   t  t  1
23


 0 t  3  P  f  3 
2
2
t
t
3

23
khi x  y  z  1
3

Creation