CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH THOI, HÌNH VUÔNG
A. MỤC TIÊU:
* Củng cố và nâng cao kiến thức về hình thoi, hình vuông: tính chất và dấu hiệu nhận biết
* Vận dụng tính chất của hình thoi và hình vuông vào các bài toán chứng minh các đoạn
thẳng, góc bằng nhau, đường thẳng vuông góc, song song,…
* Nâng cao kỹ năng chứng minh hình học cho HS
B. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
I. Hệ thống kiến thức:
Hình thoi
Định

Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau

Hình vuoâng
Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc
bằng nhau

nghĩa
- Các cạnh đối song somg, bằng nhau

- Các cạnh đối song somg, bằng nhau

- các góc đối bằng nhau

- các góc đối bằng nhau

Tính

- Hai đường chéo vuông góc với nhau

- Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc

chất

tại trung điểm mỗi đường, là trục đói

với nhau tại trung điểm mỗi đường, là trục

xứng của hình thoi

đói xứng của hình vuông

- mỗi đường chéo là phân giác của hai

- mỗi đường chéo là phân giác của hai góc

góc đối nhau

đối nhau

- Tâm đối xứng là giao điểm hai

- Tâm đối xứng là giao điểm hai đường

đường chéo

chéo
- Đường trung bình là trục đối xứng

- Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau


- Tứ giác có 4 cạnh và 4 góc bằng nhau

- Hbh có 2 cạnh kề bằng nhau

- hình thoi có 1 góc vuông

Dấu

- Hbh có 2 đường chéo vuông góc với

- hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau

hiệu

nhau

- hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau

nhận

- hbh có đường chéo là tia phân giác

- hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông


biết

của 1 góc

góc với nhau


- Hình chữ nhật có đường chéo là tia phân
giác của 1 góc
II. Hệ thống Bài tập
Bài 1:

HS ghi đề và vẽ hình

Cho hình thang cân ABCD AB // CD,
AB < CD. Gọi M, N, P , Q lần lượt là
trung điểm của CD, AB, DB, CA
a) C/m: NM là tia phân giác của PNQ

A

N
/

b) Tính số đo các góc của tứ giác MPNQ

là C = D = 500
c) Hình thang ABCD thoã mãn điều kiện

Q

P

biết các góc nhọn của hình thang ABCD
D


//

B

/

M

//

C

gì thì tứ giác MPNQ là hình vuông?
* Để C/m MN là tia phân giác của PNQ
Ta cần C/m gì?

Ta C/m tứ giác MPNQ là hình thoi

Để C/m MPNQ là hình thoi ta C/m như
thế nào?

C/m MPNQ là hình bình hành có hai cạnh kề

Hãy C/m MPNQ là Hình bình hành

bằng nhau

Bằng cách C/m có hai cạnh đối vừa song

Từ GT  NP là đường trung bình của  ADE


song vừa bằng nhau, đó là hai cạnh nào?

nên NP // AD và NP =

Hãy C/m NP //= MQ ?

1
AD (1)
2

MQ là đường trung bình của  ADC nên
MQ // AD và MQ =

1
AD (2)
2

C/m MP = MQ để suy ra H.b.h MPNQ là Từ (1) và (2)  NP // MQ và NP = MQ suy ra
hình thoi

tứ giác MPNQ là H.b.h


MPNQ là hình thoi ta suy ra điều gì ?

Mặt khác MP =

1
1

CB = AD (Vì AD = CB).
2
2

Suy ra MP = MQ  MPNQ là hình thoi (H.b.h
CMQ bằng góc nào? Vì sao?

có 2 cạnh kề bằng nhau)  NM là tia phân giác
của PNQ

PMD bằng góc nào? Vì sao?
CMQ + PMD = ?  PNQ =?
MPN = MQN = ?

Hình thoi MPNQ là hình vuông khi nào?

b) MQ // AD  ADC = CMQ = 500 (3)
MP // CE  ECD = PMD = 500 (4)
Từ (3) và (4)  CMQ + PMD = 1000
 PMQ = 800  PNQ = 800 
MPN = MQN = 1000

c) Hình thoi MPNQ là hình vuông
Bài 2:

 PMQ = 900  CMQ + PMD = 900

Cho  ABC vuông cân tại B. từ điểm D

 C + D = 900  C = D = 45


0

thuộc cạnh AB vẽ DE  AC tại E, tia

Vậy: Hình thang cân ABCD có C = D = 45 0 thì tứ

ED cắt tia CB tại F. Gọi M, N, P, Q lần

giác MPNQ là hình vuông

lượt là trung điểm của AD, DF, FC, CA
Chứng minh MNPQ là hình vuông

HS ghi đề bài và vẽ

A

hình

E

M

Để C/m tứ giác MNPQ là hình vuông ta

Q
D

cần C/m điều gì?


N
F

B

P

C

Để C/m tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
ta cần C/m gì?

Để C/m tứ giác MNPQ là hình vuông ta cần C/m

Hãy C/m tứ giác MNPQ là hình bình

MNPQ vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi

hành?

MNPQ là hình bình hành có một góc vuông
Từ Gt  MN là đường trung bình của  FCA


 MN // FA và MN =

1
FA (1)
2

1
FA (2)
2

Để C/m H.b.h MNPQ là hình chữ nhật

Tương tự ta có: PQ // FA và PQ =

thì ta C/m gì?

Từ (1) và (2) suy ra MNPQ là H.b.h

Hãy C/m MNP = 900

Mặt khác D là giao điểm của 2 đường cao AB và
FE của  FAC nên CD là đường cao còn lại của
 FAC  CD  FA  PN  FA

 PN  MN (Vì MN // FA)  MNP = 900

Nên tứ giác MNPQ là hình chữ nhật (*)

 FCE vuông tại E và có C = 450 (  ABC vuông

cân tại A)   FCE vuông cân tại E

  DBF vuông cân tại B  BD = BF nên suy

ra  ABF =  CBD  FA = CD
Hãy C/m H.b.h MNPQ là hình thoi bằng


Mặt khác NP là đường trung bình của  FCD,

cách C/m NP = MN
nên NP =

1
1
CD = FA = MN  hình bình hàn
2
2

MNPQ là hình thoi (**)
Từ (*) và (**) suy ra MNPQ là hình vuông
Bài 3:
Cho hình vuông ABCD, gọi I, K lần lượt HS ghi đề và vẽ
là trung điểm của AD, DC; E là giao

hình

A

/
_1
1

điểm của BI và AK
a) chứng minh: BI  AK
b) Chứng minh CE = AB
c) So sánh AK, BI, BK

d) C/m: BD là phân giác của IBK

I

F

/
M 1

B

/

C

E
_

D

/
K


* Để C/m BI  AK ta C/m gì?

a) HS suy nghĩ, trả lời:
C/m A1 + I1 = 900

Để C/m A1 + I1 = 900 ta C/m A1 bằng góc


B1 + I1 = 900 do  ABI vuông tại A

nào? Vì sao?

Ta cần C/m  AIB =  DKA
Vì có AB = DA (ABCD là hình vuông)
AI = DK (nửa cạnh hình vuông ABCD)

Hãy C/m  AIB =  DKA?

A = D = 900   AIB =  DKA(c.g.c)
 B1 = A1 mà B1 + I1 = 900  A1 + I1 = 900

ta có A1 + I1 = 900  AEI = 900  BI  AK
Để C/m CE = AB ta C/m gì?
AB =? Vậy để C/m CE = AB ta C/m
CE = CB bằng cách C/m hai tam giác
nào bằng nhau? Hay tam giác nào cân?

b) Gọi F là trung điểm AB
 AKCF là H.b.h vì có FA //= CK
 AK // CF  CM  BE hay CM là đường

cao của của  BCE (1)

F là trung điểm AB mà MF // AK nên M là trung
điển BE hay CM là đường trung tuyến của
 BCE (2)


Từ (1) và (2) suy ra  BCE cân tại B suy ra
CE = CB mà CB = AB nên CE = AB
AK = BI? Vì sao?
Ta cần C/m gì? (AK = BK hoặc BI =
BK)

c) BI = AK (do  AIB =  DKA(c.g.c)- C/m ở
câu a) .  IDB =  KDB (c.g.c) vì có: ID = KD
(nửa cạnh hình vuông ABCD);
IDB = KDB = 450 (đường chéo DB là phân giác

của góc D); DB chung  BI = BK
Vậy: AK = BI = BK
IBD = KBD hay không? Vì sao?

d)  IDB =  KDB (c.g.c) nên IBD = KBD hay
BD là tia phân giác của IBK


III. Bài tập về nhà:
Bài 1:Cho hình vuông ABCD . Từ điểm E trên cạnh BC dựng EAx  900 , tia Ax cắt CD tại
F. Gọi I là trung điểm FE, AI cắt CD tại M. Vẽ Ey // CD, Ey cắt AI tại K
a) Tam giác AFE là tam giác gì? Vì sao?
b) Tứ giác KFME là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh chu vi CEM không đổi khi E chuyển động trên BC
Bài 2: Cho ABCD là hình vuông. Gọi M, N, I, L lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,
DA; DN lần lượt cắt AI, CM tại K và P; BL cắt AI, CM tại H và Q
a) Chứng minh PA = DA
b) Tứ giác KPQH là hình gì? Vì sao?