Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa

H ÌNH H ỌC 10
Ch ư ơng 2.

Tích Vô Hướng Và Ứng Dụng

/>Save Your Time and Money
Sharpen Your Self-Study Skill
Suit Your Pace


2

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

§1.Tích vô hướng của hai vectơ
A .Tóm tắt giáo khoa :
1 . Góc giữa hai vectơ :
a) Góc hình học : Góc hình học là hình tạo bởi hai tia có chung gốc .Số đo a ( tính bằng độ )
của một góc hình học thỏa : 0o ≤ a ≤ 180o
• Nếu 0o ≤ a ≤ 90o và a không phải là góc đặc biệt (0o ;30o ; 45o ;60o ;90o ) càc giá trị
lượng giác của a được tính bằng máy tính bỏ túi
y
G
• Nếu 90o < a ≤ 180o , ta dùng góc bù để tính giá
a
trị lượng giác của a :
G
sin a = sin(180o − a )
b

cos a = − cos(180o − a )
tan a = − tan(180o − a )

O
x
G G
G
b) Góc giữa hai vectơ : Cho 2 vectơ a ; b ( ≠ 0 ) ;
JJJG G JJJG G
G G
Vẽ các vectơ OA = a ; OB = b Góc AOB được gọi là góc giữa 2 vectơ a ; b
G JJG
Ký hiệu : (a, b)
2 . Tích vô hướng của hai vectơ :
GG
G G
a ) Định nghĩa : Tích vô hướng của hai vectơ a , b ký hiệu là a.b là một số xác định bởi :
JGG G G
G G
a.b = a b cos(a, b)
cot a = − cot(180o − a )

b) Tính chất :
GG GG
a.b = b.a
G G G JGG G G
a.(b + c) = a.b + ac
G G
G G G JJG
(k a )b = k (a.b) = a.(kb)


D
C

Ta cũng có các kết qủa sau :
G2 G 2
GG
G G
a = a ; a.b = 0 ⇔ a ⊥ b

A F

E

B

Chú ý : Sử dụng các tính chất ta sẽ có các hệ thức :
JJG G
G2
G G G2
(a + b) 2 = a + 2a.b + b
G G G G G2 G2
(a + b)(a − b) = a − b
JJJG JJJG
c) Công thức hình chiếu : Cho hai vectơ bất kỳ , AB ; CD . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu
vuông góc của C , D xuống đường thẳng AB . Ta có công thức :
JJJG JJJG JJJG JJJG
AB.CD = AB.EF
d) Công thức về tọa độ
:

G
G
Cho các vectơ : a = ( a1 , a2 ) ; b = (b1 , b2 ) . Ta có các công thức :

2
www.saosangsong.com.vn/


3

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

G
2
2
a = a1 + a2
GG
a.b = a1b1 + a2b2
G G
a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 = 0
G G
a1b1 + a2b2
cos(a, b) =
2
2
2
2
a1 + a2 . b1 + b2

3 . Áp dụng :

JJJG JJJG
Bài toán 1 : Tìm tập hợp điểm M thỏa : MA.MB = k (1) ( A , B cố định ; k là hằng số )
Gọi I là trung điểm của AB , ta có :
JJJG JJG JJJG JJG
(1) ⇔ ( MI + IA)( MI + IB ) = k ⇔ MI 2 − IA2 = k
⇔ IM 2 = k + IA2

• k + IA2 > 0: Tập hợp các điểm M là đường tròn ( I ,

k + IA2 )

• k + IA2 = 0: Tập hợp các điểm M là : { I }
• k + IA2 < 0 : Tập hợp các điểm M là tập rỗng
Bài toán 2 : Phương tích của một điểm đối với một đường tròn .
Cho đường tròn tâm I JJJ
, bán
kính R và một điểm M . Một đường thẳng bất kỳ qua M cắt đường
G JJJG
tròn taị A và B . Biểu thức MA.MB được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (I) .
Ta có :
JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJG JJJG JJJG
Ρ M /( I ) = MA.MB = MB.MB ' = ( MI + IB).( MI + IB ')
JJJG
JJG
T
= MI 2 − IB 2 (do IB ' = − IB)
A
= MI 2 − R 2
Chú ý : Do biểu thức trên , ta cũng có : Ρ M /( I ) = MT 2
( MT là tiếp tuyến vẽ từ M đến đường tròn (I) )


M

B

I

B'

B . Giải toán :
Dạng toán 1 : Sử dụng máy tính fx-500MS để tính giá trị lượng giác của một góc
Ví dụ 1 : Tính các giá trị sau
a) sin 65o 43'36"; b) tan(62o 25'16"); c) cot(42o12 ')
Giải :
Ấn phím MODE nhiều lần để màn hình hiện lên dòng chữ
Deg
Rad
Gra
1
2
Ấn phím 1 để chọn đơn vị đo góc là độ
a) Ấn liên tíêp các phím : sin 6 5 o’” 4 3 o’” 3 6 o’” = 0,9115
b) Ấn liên tiếp các phím :tan 6 2 o’” 2 5 o’” 1 6 o’” = 1,9145
c) Ấn liên tiếp các phím : 1 ÷ tan 4 2 o’” 1 2 o’” = 1,1028
Vậy sin 65o 43'36" = 0,9115; tan(62o 25'16") = 1,9145;cot(42o12 ') = 1,1028
Ví dụ 2 : Tính x biết : a) sinx = 0,3502 b) tanx = 2 c) cotx = 2,619
Giải :
3
www.saosangsong.com.vn/



4

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

a) Ấn liên tiếp các phím : shift sin 0 . 3 5 0 2 = o’” màn hình hiện lên 20o 29 '58"
Vậy : x = 20o 29 '58"
b) Ấn liên tíêp các phím : shift tan 2 = o’” màn hình hiện lên
Vậy :
x = 63o 26 '5"
63o 26 '5"
c) Án liên tiếp các phím :shift tan ( 1 ÷ 2 . 6 1 9 ) = o’” màn hình hiện lên
Vậy :
x = 20o 53'53"
20o 53'53"
Dạng toán 2 : Tính giá trị lượng giác của góc giữa 2 vectơ
Ví dụ 1 :JJJ
Cho
hình
JG JJJ
G vuông
JJJG ABCD
JJJJJG ; tính giá trị lượng giác của góc giữa các cặp vectơ sau :
( AC ; BC ) . (CA ; DC )
Giải :
Ta cóJJJ
: G JJJG
JJJG JJJG
JJJG JJJG
: BC = AD ⇒ ( AC , BC ) = ( AC , AD ) = DAC = 45o

JJJG JJJG
2
Do đó : sin( AC , BC ) = sin 45o =
2
JJJG JJJG
2
cos( AC , BC ) = cos 45o =
2
JJJG JJJG
JJJG JJJG
o
tan( AC , BC ) = tan 45 = 1 = cot( AC , BC )
JJJG JJJG
JJJG JJJG
JJJG JJJG
Tương tự , vẽ CE = DC ; α = (CA, DC ) = (CA, CE ) = 135o và ta có :

2
− 2
;cos α = cos135o = − cos 45o =
;
2
2
tan α = tan135o = − tan 45o = −1; cot α = −1

sin α = sin135o = sin 45o =

B

A


D

E

C

(vì 135o ; 45o bù nhau )

Ví dụ 2 : Cho
JJJG hình
JJJG chữ nhật
JJJG ABCD
JJJG có AB = 4cm ; AD =3cm . Tính các góc :
a = ( AC , AD ) ; b = (CA, BC )
Giải :
Ta có : a = góc CAD Suy ra :
CD 4
= = 1,333 ⇒ a = 53o 7 '
tan a =
AD
3G
JJJG JJJG
JJJG JJJ
JJJG JJJG
b = (CA, BC ) = (CA, CE ) ; (CE = BC )
Suy ra b = gócACE .Mà gócACE và góc CAD bù nhau
Nên b = 180o − 53o 7 ' = 126o53 '

C


D

Dạng toán 3 : Tinh tích vô hướng
Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 3a
.
M , N là hai điểm thuộc cạnh AC sao cho AM = MN = NC
Tính những JJJ
tích
vôG hướng
G JJJ
JJJG Jsau
JJG : JJJJG JJJG
AB. AC ; AC.CB ; BM .BN
Giải :
Ta có
JJJG JJJG
1 9a 2
o
AB. AC = AB. AC cos 60 = 3a.3a. =
2
2

B

A

E

A

M
N
B

C

4
www.saosangsong.com.vn/

E


5

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

JJJG JJJG JJJJGJJJJG
JJJJGJJJG
Vẽ CE = AC ; ( AC , CB ) = (CE ,CB ) = BCE = 120o
JJJG JJJG
−1 −9a 2
o
AC.CB = AC.CB cos120 = 3a.3a.( ) =
2
2
JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG
BM .BN = ( AM − AB )( AN − AB )
JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG 2
= AM . AN − AB. AM − AB. AN + AB


= AM . AN cos 0o − AB. AM cos 60o − AB. AN cos 60o + AB 2
1
1
= a.2a.1 − 3a.a ( ) − 3a.2a ( ) + 3a.3a
2
2
13 2
= a
2
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC , trọng tâm G ; JJJG
M là m
ểmJG trJJJ
ênGđường thẳng (d) qua G và
JJJộGt điJJJ
vuông góc với cạnh BC . Chứng minh rằng ( MA + MB + MC ).BC = 0

Giải :
JJJJG JJJG
JJJG JJJG JJJJG
JJJJG
JJJG JJJG JJJJG JJJG
JJJJG JJJG
Ta có : MA + MB + MC = 3MG ⇒ ( MA + MB + MC ).BC = 3MG.BC = 0 vì MG ⊥ BC
Ví dụ 3 : Cho hình vuông ABCD cJJJ
ạnh
bằng
; GJJJG
M , N lần lượt là trung điểm của BC và CD .
G JJJJ
G aJJJJ

Tính các tích vô hướng sau : AB. AM ; AM AN
Giải : Ta có :
JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG 2 JJJG JJJJG
AB. AM = AB( AB + BM ) = AB + AB.BM
JJJG JJJJG JJJG JJJJG
= a 2 + 0 = a 2 ( AB ⊥ BM ⇒ AB.BM = 0)
JJJJGJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG
AM AN = ( AB + BM )( AD + DN )
JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJJG
= AB. AD + AB.DN + BM . AD + BM .DN
= 0 + AB.DN cos 0o + BM . AD cos 0o + 0

B

A

M
D

C

a
a
N
= a. .1 + .a.1 = a 2 ( AB ⊥ AD; BM ⊥ DN )
2
2
Dạng toán 4 : Sử dụng định lý chiếu
JJJG JJJG
JJJG JJJG

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A và AB.CB = 4 ; AC.BC = 9 . Tính ba cạnh của tam giác

Giải :
Ta có
JJJ:G C
JJJGhình
JJJG chiếu2 xuống đường thẳng AB lần lượt là A , B .Do đó :
JJJ,G B có
4 = AB.CB = AB. AB = AB ⇒ AB = 2 . Tương tự :
C
JJJG JJJG JJJG JJJG
2
9 = AC.BC = AC. AC = AC ⇒ AC = 3

BC = AB 2 + AC 2 = 4 + 9 = 13
Ví dụ 2 : Cho
ABC
JJJG tam
JJJgiác
JG JJJ
G . Tìm tập hợp các điểm M thỏa hệ thức:
BC.(2 AM − BC ) = 0 (1)
Giải :
JJJJG JJJG JJJG 2
(1) ⇔ 2 AM .BC = BC
JJJJG JJJG BC 2
⇔ AM .BC =
2
B
Gọi A’ , M’ lần lượt là hình chiếu của A , M xuống đường


AA

A'

M

M'

B

C
5

www.saosangsong.com.vn/


6

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

JJJJG JJJG JJJJJJG JJJG
JJJJJJG JJJG BC 2
thẳng BC , theo định lý hình chiếu , ta có : AM .BC = A ' M '.BC Do đó : A ' M '.BC =
>0
2
JJJJJJG JJJG
Suy ra 2 vectơ A ' M ' , BC cùng hướng
JJJJJJG JJJG BC 2
BC 2

BC
⇔ A ' M '.BC =
⇔ A'M '=
Do đó ; A ' M '.BC =
2
2
2
Vậy điểm M’ cố định ( vì A’ cố định và BC khôngđổi )
Do đó : Tập hợp các điểm M là đường thẳng ( d ) vuông góc với BC tại M’
Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có ba đường caoJJJJJ
là :GAA’
GọiG JJJ
MG, N , P lần lượt là
JJJG , BB’
JJJJJG,CC’.
JJJG JJJJ
trung điểm của BC , CA , AB . Chứng minh : A ' M .BC + B ' N .CA + C ' P. AB = 0
Giải :
Gọi O là tâm đường tròn ngọai tiếp và H là trực tâm của tam giác , ta có :
A’ , B’ , C’ lần lượt là hìmh chiếu của H xuống BC , CA , AB .
M , N , PJJJJJ
lần
lưGợt làJJJhìmh
G JJJ
G JJJGchiếu của O xuông BC , CA , AB
Do đó : A ' M .BC = HO.BC (theo định lý hình chiếu )
N
Tương tự JJJJJ
: G JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG
B'

B ' N .CA = HO.CA : C ' P. AB = HO. AB
JJJJJG JJJG JJJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JG
Do đó : A ' M .BC + B ' N .CA + C ' P. AB = HO.( BC + CA + AB ) = HO.O = 0
Dạng toán 5 : Chứng minh một hệ thức giữa các độ dài

A

JJJG 2
Ta thường sử dụng các tính chất của tích vô hướng và tính chất AB = AB 2

C
A'

M

O
C' P

B

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có góc BAC = 120o ; AB =3 ; AC = 6 Tính cạnh BC
Giải : Ta có
JJJG 2 JJJG JJJG
JJJG 2
JJJGJJJG JJJG 2
BC 2 = BC = ( AC − AB) 2 = AC − 2 AC AB + AB = 36 − 2.6.3cos120o + 9
= 36 + 18 + 9 = 63
⇒ BC = 63 = 3 7
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC trọng tâm G ; BC = a ; CA = b ; AB = c
JJJG JJJG AB 2 + AC 2 − BC 2

a) Chứng minh rằng AB. AC =
2
b) Tính AG theo ba cạnh a , b , c
Giải :

JJJG JJJG AB 2 + AC 2 − BC 2
JJJG 2 JJJG JJJG
JJJGJJJG
Ta có : BC 2 = BC = ( AC − AB ) 2 = AC 2 + AB 2 − 2 AC AB ⇔ AB. AC =
2
Gọi M là trung điểm của BC , ta có :
JJJG 2 JJJJG 2 1 JJJG JJJG
AG = AM = . ( AB + AC )
3
3 2
JJJG
JJJG JJJG
JJJG JJJG
2
1
1
AG 2 = AG = ( AB + AC ) 2 = ( AB 2 + AC 2 + 2 AB. AC )
9
9
1
1
= (b 2 + c 2 + b 2 + c 2 − a 2 ) = (2b 2 + 2c 2 − a 2 )
9
9
1

Vậy : AG =
2b 2 + 2c 2 − a 2
3
6
www.saosangsong.com.vn/


7

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

Ví dụ 3 : Cho hình vuông ABCD tâm là O , cạnh bằng a .Chứng minh rằng với mọi điểm M ta
có : MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = 4 MO 2 + 2a 2
Giải :
Ta có :

JJJG 2 JJJJG JJJG
JJJJG JJJG
MA2 = MA = ( MO + OA) 2 = MO 2 + OA2 + 2MO.OA
JJJG 2 JJJJG JJJG
JJJJG JJJG
MB 2 = MB = ( MO + OB) 2 = MO 2 + OB 2 + 2 MO.OB
JJJJG 2 JJJJG JJJG
JJJJG JJJG
MC 2 = MC = ( MO + OC ) 2 = MO 2 + OC 2 + 2 MO.OC
JJJJG 2 JJJJG JJJG
JJJJG JJJG
MD 2 = MD = ( MO + OD)2 = MO 2 + OD 2 + 2MO.OD
JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 = 4MO 2 + 4OA2 + 2MO(OA + OB + OC + OD)

= 4 MO 2 + 4(

a 2 2
) +0
2

= 4MO 2 + 2a 2
JJJG JJJG JJJG JJJG JG
a 2
(OA + OB + OC + OD = O ; OA = OB = OC = OD =
)
2
Dạng toán 6 : Chứng minh 2 vectơ vuông góc (hay 2 đường thẳng vuông góc)
G
G
JGJJG 1
G G
G JJJG
Ví dụ 1 : Cho a = 6 ; b = 4 ; cos(a,b) =
Chứng minh rằng hai vectơ ( a + b) ; (a − 2b)
6
vuông góc

Giải : Ta có
G G G G G2
G G G G G2
GG
(a + b).(a − 2b) = a − 2ab + b.a − 2b = 36 − a.b − 2.16
G G 1
1

= 36 − a b . − 32 = 36 − 6.4. − 32 = 0
6
6
G G
G G
⇒ (a + b) ⊥ (a − 2b)
Ví dụ 2 : Cho hình thang vuông ABCD có 2 đáy là AD = 2a ; BC = 4a ; đường cao AB =
2a 2 . Chứng minh rằng hai đừơng chéo AC và BD thì vuông góc với nhau
Giải : Ta có
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
AC.BD = ( AB + BC )( BA + AD) = AB.BA + AB. AD + BC.BA + BC. AD

= AB.BA cos180o + 0 + 0 + BC. AD cos 0o
= 2a 2.2a 2(−1) + 4a.2a.1 = −8a 2 + 8a 2 = 0
JJJG JJJG
⇒ AC ⊥ BD
Vậy hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau

A

D

C

B

Dạng toán 7 : Sử dụng công thức về tọa độ
Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC vớí A( 10 , 5 ) ; B( 3 , 2 ) ; C( 6 , -5 ) .Chứng minh rằng tam giác
ABC vuông tại B .
Giải : JJJG

JJJG
Ta có : AB = (3 − 10, 2 − 5) = (−7, −3) ; BC = (6 − 3, −5 − 2) = (−3, −7)
7
www.saosangsong.com.vn/


Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

JJJG JJJG
JJJG JJJG
Suy ra : AB.BC = ( −7).(3) + (−3).( −7) = 0 ⇒ AB ⊥ BC . Vậy tam giác ABC vuông tại B

8

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC có A( 3 , 1 ) ; B( -1 , -1 ) ; C( 6 , 0 )
a) Tính góc A của tam giác ABC .
*b) Tính tọa độ giao điểm của đường tròn đường kính AB và đường tròn
đường kính OC
Giải :
JJJG
JJJG
Ta có : AB = ( −4, −2) ; AC = (3, −1)
JJJG JJJG −4.3 + (−2).(−1) −10
−1
=
cos A = cos( AB, AC ) =
=
16 + 4. 9 + 1 10 2
2
o

Vậy góc A bằng 135

*b) Gọi MJJJ
làGgiao điểm của đường
AB
kính OC , ta có : M
JJJG tròn đường kínhJJJ
JJJđường
JG và đường tròn
JG
( x , y ) ; MA = (3 − x,1 − y ); MB = (−1 − x, −1 − y ); MC = (6 − x, − y ); MO = (− x, − y ) và
JJJG JJJG
⎧⎪ MA ⊥ MB
⎧⎪ MA.MB = 0
⎧(3 − x)(−1 − x) + (1 − y )(−1 − y ) = 0
⇔ ⎨ JJJJG JJJJG
⇔⎨
⎨
(6 − x)(− x) + (− y )(− y ) = 0
⎩
⎪⎩ MC ⊥ MO
⎩⎪ MC.MO = 0
⎧ x 2 + y 2 − 2 x − 4 = 0 (1)
⎧4 x − 4 = 0 [ (1) − (2)]
⇔⎨ 2
⇔⎨ 2
2
2
(2)
⎩ x + y − 6x = 0

⎩x + y − 6x = 0
x =1
⎧
⎪⎧ x = 1
⇔⎨
⇔⎨
2
⎩1 + y − 6 = 0
⎩⎪ y = ± 5

Vậy có hai giao điểm M : M 1 (1, − 5) ; M 2 (1, 5)
Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có A( 5 , 3 ) ; B( 2 , - 1 ) ; C( -1 , 5 )
a) Tính tọa độ trực tâm H của tam giác
b) Tính tọa độ chân đường cao vẽ từ A
Giải :
tâm
JJJJa)
JJJtọa
G Gọi H( x , y ) là
G độ trực JJJ
G , ta có :
JJJG
AH = ( x − 5, y − 3); BC = (−3, 6); BH = ( x − 2, y + 1); AC = (−6, 2)
JJJJG JJJG
⎧( x − 5)(−3) + ( y − 3)(6) = 0
⎪⎧ AH ⊥ BC
⎪⎧ AH .BC = 0
⇔ ⎨ JJJG JJJG
⇔⎨
⎨

⎩( x − 2)(−6) + ( y + 1)(2) = 0
⎪⎩ BH ⊥ AC
⎩⎪ BH . AC = 0
⎧ x − 2 y = −1 ⎧ x = 3
⇔⎨
⇔⎨
3
7
x
y
−
=
⎩y = 2
⎩
Vậy tọa độ trực tâm H là : H( 3 , 2 )

b) Gọi A’(
) là
JJJxJG, y JJJ
G tọa độ chân đường cao vẽ từ A , ta có :
AA ' ⊥ BC ⇔ x − 2 y = −1 (1) ( tương tự câu a )
JJJG
JJJG
JJJG
BA ' = ( x − 2, y + 1) ; BA ' cùng phương BC = ( −3, 6) .
Suy ra :
6( x – 2 ) + 3( y + 1 ) = 0 (2) .Giải (1) và (2) ta có : x = y = 1
Vậy tọa độ chân đường cao A’ vẽ từ A là : A’( 1 , 1 )
Dạng toán 8 : Tìm tập hợp điểm
JJJG JJJG JJJJG JJJG

a ) ( MA + MB ).( MC − MB ) = 0 (1)
Ví dụ 1 :Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thỏa :
JJJG JJJG
b) MA2 + MA.MB = 0 (2)

8
www.saosangsong.com.vn/


9

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

Giải :
JJJG JJJG
JJJG JJJJG JJJG JJJG
a) Ta có : MA + MB = 2 MI ; MC − MB = BC ( I là trung điểm của AB )
JJJG JJJG
( 1 ) ⇔ 2MI .BC = 0 ⇔ MI ⊥ BC : Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng ( d ) qua I và vuông
góc với BC
JJJG 2 JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG
(2) ⇔ MA + MA.MB = 0 ⇔ MA.( MA + MB ) = 0
b)
JJJG JJJG
⇔ 2MA.MI = 0 ⇔ MA ⊥ MI
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AI ( I là trung điểm của AB )
*Ví dụ 2 : Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a . Tìm tập hợp các điểm M thỏa :
JJJG JJJJG
a2

a) MA.MC = −
4
JJJG JJJJG JJJG JJJJG
b) MA.MC + MB.MD = a 2
JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG
c)( MA + MB + MC ).( MA + MC ) = a 2
Giải :
Gọi O là tâm hình vuông ( cũng là trung điểm AC ) . Ta có :
JJJG JJJJG
JJJJG JJJG JJJJG JJJG
a2
a2
MA.MC = − ⇔ ( MO + OA).( MO + OC ) = −
4
4
2
JJJG
JJJG
a
⇔ MO 2 − OA2 = − (do OC = −OA)
4
2
2a 2 a 2 a 2
a
a
2
2
⇔ OM = OA −
=
− =

⇔ OM =
4
4
4
4
2
a
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính bằng
2
TJJJ
ươ
ta Gcó
JJJJGtự ,JJJ
JJJ:JG
G ng
MA.MC + MB.MD = a 2 ⇔ MO 2 − OA2 + MO 2 − OB 2 = a 2

⇔ MO 2 = a 2 ⇔ OM = a (do OA = OB =

a 2
)
2

Vậy tậpJJJhợp
cácG điểm
tâm
, bán
JJJJG M làJJJđường
G JJJ
JG JJJGtrònJJJ

JG OJJJ
JG kính bằng a
Ta có MA + MB + MC = 3MG ; MA + MC = 2 MO ( G là trọng tâm tam giác ABC ) . Do đó :
JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG
JJJJG JJJJG a 2
( MA + MB + MC ).( MA + MC ) = a 2 ⇔ MG.MO =
6
2
2
2
a
a
1
a
1 a 2 2 26a 2
) =
⇔ MJ 2 − JO 2 =
⇔ JM 2 =
+ ( GO) 2 =
+( .
6
6
2
6
6 2
144
a 26
⇔ JM =
12
1

1
1 a 2
( J là trung điểm của OG ; JO = GO ; GO = BO = .
)
2
3
3 2
a 26
Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O , bán kính bằng
12
Dạng toán 9 : Tính phương tích . Tính đoạn tiếp tuyến .
Ví dụ 1 : Cho 4 điểm A( - 2 , 1 ) ; B( 4 , 7 ) ; M( 0 , 2) ; N(- 3 , - 5 )
Tính phương tích của điểm M , N đối với đường tròn đường kính AB

9
www.saosangsong.com.vn/


10

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

Giải :
Ta có : tọa độ tâm I của đường tròn ( cũng là trung điểm của AB ) :
−2 + 4 1 + 7
I(
,
) ⇒ I( 1 , 4 )
2
2

Ta cũng có :
JJG
IA = (−2 − 1,1 − 4) = (−3, −3) ⇒ R 2 = IA2 = 9 + 9 = 18
JJJG
IM = (0 − 1, 2 − 4) = (−1, −2) ⇒ Ρ M /( I ) = IM 2 − R 2 = (1 + 4) − 18 = −13
JJG
IN = (−3 − 1, −5 − 4) = (−4, −9) ⇒ Ρ N /( I ) = IN 2 − R 2 = (16 + 81) − 18 = 79
Ví dụ 2 : Cho 4 điểm A( - 2 , - 1 ) ; B( - 1 , 4 ) ; C( 4 , 3 ) ; M( 5 ,- 2 ). Chứng minh rằng điểm M ở
ngoài đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC và tính đoạn tiếp tuyến MT vẽ từ M đến đường tròn
ngọai tiếp tam giác ABC ( T là tiếp điểm )
Giải :
Gọi I ( x , y ) là tâm đường tròn (ABC) ,ta có :
JJG
JJG
JJG
IA = ( x + 2, y + 1) ; IB = ( x + 1, y − 4) ; IC = ( x − 4, y − 3)
2
2
⎧ ( x + 2) 2 + ( y + 1) 2 = ( x + 1) 2 + ( y − 4) 2
⎪⎧ IA = IB
⇔
⎨ 2
⎨
2
2
2
2
2
⎩( x + 2) + ( y + 1) = ( x − 4) + ( y − 3) `
⎩⎪ IA = IC

⎧ x + 5y = 6
⎧x =1
⇔⎨
⇔⎨
⎩3x + 2 y = 5 ⎩ y = 1

Suy ra : I( 1 , 1 ) ; MI 2 = (5 − 1) 2 + (−2 − 1) 2 = 16 + 9 = 25 ; R 2 = IA2 = 9 + 4 = 13
Do đó : Ρ M /( ABC ) = MI 2 − R 2 = 25 − 13 = 12 ⇒ MI > R Vậy điểm M ở ngoài đường tròn (ABC)
Ta cũng có : MT 2 = Ρ M /( ABC ) = 12 ⇔ MT = 12 = 2 3 .

C . Bài tập rèn luyện :
2 .1 Cho
tam
đều
bằng
a . Tinh các tích vô huớng
JJJG JJJ
JJJG JJJ
JJJG JJJcạnh
G giác
JG ABC
G JJJ
G
sau : AB.GB ; AB.CM ; AB ( AB − 2 AC ) ( G là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm
của BC )
2 . 2 .Cho
vuông
tại A : AB = 3 ; AC = 4. TJJJ
ínGhJJJ
cá

óc
Gcg
JJJ
JGJJJG
JJJGtam
JJJGgiác ABC
JJJG JJJ
G
( AB, BC ) ; ( AC , BC ) và các tích vô hướng sau : AB.BC ; AC .BC
2. 3 .Cho tam giác ABC vuông tại A ; AB
= G3 ,JAC
= 4 . Trên tia AB lấy điểm D sao cho
JJJJG JJJ
JJG JJG
BD = 4 Tính các tích vô hướng sau : BC .BD ; AC.BI ( I là trung điểm của CD )
2 .4 . Cho tam giác ABC đềuJJJ
, cGạJnh
ng
làGtrọn
JJG bằ
JJJ
G JaJJG, GJJJJ
JJJG g tâm tam giác ; M là một điểm bất
kỳ . Chứng minh rằng T = ( MA.GB + MB.GC + MC.GA ) có giá trị không đổi . Tính giá trị
này .
2 .5 . Cho hình vuông ABCD , cạnh bằng a . Dùng định lý hình chiếu tính các tích vô
hướng sJJJ
au
: G JJJJG JJJG JJJG JJJG
G JJJ

JJJG JJJG JJJG JJJG
AB.BD ; ( AB + AD ).( BD − BC ) ; (OA + OB + OC ). AB ( O là tâm hình vuông )
* 2 .6 . Cho tam giác ABC đều , cạnh bằng a . Tìm tập hợp các điểm M thỏa :
JJJG JJJG JJJJG 3a 2
(CA + 2 BC ).CM =
4
2 . 7 .Cho tam giác ABC có trọng tâm là G .Chứng minh rằng :

10
www.saosangsong.com.vn/


11

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
1
GA.GB + GB.GC + GC.GA = − (GA2 + GB 2 + GC 2 )
2
2 .8. Cho hìnhJJJvuông
ABCD
cạnh
bằng
a ; I là trung điểm của CD . Tính các tích vô
G JJG JJJGJJJG
hướng sau : BD.BI ; BI .BG ( G là trọng tâm tam giác ABD )
JJJJG
JJG
J

2 .9 .Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 ; AD = 3 và điểm M thỏa AM = k AB .Định k để
2 đường thẳng AC và DM vuông góc

2 . 10 . Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên tia đối của tia AB ,lấy điểm D sao cho AD =
AC ; trên tia đối của tia AC , lấy điểm E saocho AE = AB .
Chứng minh rằng đường trung tuyến của tam giác ADE thì vuông góc với BC
G
G
G
G
G
JJG
2 . 11 . Cho : a = 6 ; b = 3 .Định x để hai vectơ sau vuông góc với nhau ( a + xb) ; (a − xb)
2 . 12. Cho tam giác ABC vuông tại A ; D thuộc tia AC và AD = 3AC Chứng minh rằng
1
AG 2 = ( AB 2 + 16 AC 2 ) (G là trọng tâm tam giác BCD )
9
* 2 .13. Cho tứ giác ABCD
JJJGJJJG
a) Chứng minh rằng ; AB 2 − BC 2 + CD 2 − DA2 = 2 AC DB
b)Suy ra rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD có 2 đường chéo vuông góc là
AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2
2 . 14 . Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thỏa :
JJJG JJJG JJJJG
a ) ( AB + AC ). AM = 0
JJJG JJJG JJJG JJJJG
* b) MA.( MA + 2 MB + MC ) = 0
* JJJG
2 .15JJJG
. Cho

ABC đều , cạnh bằng a . Tìm tập hợp các điểm M thỏa :
JJJJtam
G giác
2
( MA + MB ).MC = a
2 . 16 . Cho hai điểm A( 1 , 2 ) ; B( 6 , 3 ) . Tìm tọa độ điểm C nằm trên trục Ox biết rằng
tam giác ABC vuông tại C .
2 . 17 . Cho 4 điểm A( - 1 , 0 ) ; B( 0 , 3 ) ; C( 3 , 2 ) ; D( 5 , - 2) . Chứng minh rằng tứ giác
ABCD là một hình thang vuông . Tính diện tích của hình thang này
.

D. Hướng dẫn giải hay đáp số
JJJG JJJG
a 3 3 a2
o
2 .1 AB.GB = AB.GB.cos 30 = a.
.
=
3
2
2
2
JJJG JJJJG
a 1 a
AB.CM = AB.CM .cos 60o = a. . =
.
2 2 4
JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG
1

AB.( AB − 2 AC ) = AB 2 − 2 AB. AC = a 2 − 2a.a.cos 60o = a 2 − 2a 2 . = 0
2
JJJG JJJG
2 .2 . ( AB, BC ) vá góc ABC bù nhau ;cosABC = (3 : 5) = 0,6 Suy ra
JJJG JJJG
ABC = 53o 7 ' 48" ⇒ ( AB, BC ) = 180o − 53o 7 ' 48" = 126o52 '12"

11
www.saosangsong.com.vn/


12

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

AC 4
cosACB=
= = 0,8
BC 5
JJJG JJJG
( AC , BC ) = ACB = 90o − ABC = 36o52 '12 "
JJJG JJJG
3
−3
AB.BC = AB.BC.(− ) = 3.5.( ) = −9
5
5
JJJG JJJG
4
4

AC.BC = AC.BC. = 4.5. = 16
5
5
JJJG JJJG
2.3 BC.BD = BC.BD.cos CBD

C
I
A

D

B

3
= 5.4.(− ) = −12
5
JJJJG JJG JJJG JJG JJJG JJJG JJG JJJG JJJG
AC.BI = AC ( AI − AB) = AC. AI ( AC. AB = 0)
JJJG 1 JJJG JJJG 1
= AC. ( AC + AD) = AC 2 = 8
2
2
2 . 4 .Ta
JJJGcó J:JJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJJG
MA = GA − GM ; MB = GB − GM ; MC = GC − GM
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG
T = GA.GB + GB.GC + GC.GA − GM (GA + GB + GC )
= GA.GB.cos120o + GB.GC.cos120o + GC.GA.cos120o − 0
a 3 2 1

a2
2 a 3 a 3
= 3(
) .(− ) = −
(do GA = GB = GC = .
=
3
2
2
3
2
3
JJJG JJJG JJJG JJJG
2
2.5. AB.BD = AB.BA = − a
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
( AB + AD)( BD − BC ) = AC.CD = DC.CD = − a 2
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
a 2 2 a2
(OA + OB + OC ). AB = OB. AB = OB.OB = OB 2 = (
) =
2
2
*2 .6JJG. Ta JJJ
cóG : JJJG JJJG JJJG JJG JJG
Vẽ AI = 2 BC ; CA + 2 BC = CA + AI = CI
( I cố định và tam giác ACI là nửa tam giác đều)
JJJG JJJG JJJJG JJG JJJJG
(CA + 2 BC ).CM = CI .CM
JJG JJJJJG

= CI .CM '
JJG JJJJG 3a 2
a 3 1
Theo giả thiết : CI .CM ' =
⇔ CM ' =
= CI
4
2
2
Vậy tậphợp các điểm M là đường trung trực của đoạn CI

M

A
B

I
M'

C

2 . 7 .Ta có :
JJJGJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG G
GA + GB + GC = 0 ⇔ GA2 + GB 2 + GC 2 + 2GA.GB + 2GB.GC + GC.GA = 0
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
1
⇔ GA.GB + GB.GC + GC.GA = − (GA2 + GB 2 + GC 2 )
2
2 .8 .


12
www.saosangsong.com.vn/


13

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

JJJG JJG JJJJG 1 JJJG JJJG 1 JJJG 2 1 JJJG JJJG JJJG
BD.BI = BD. ( BD + BC ) = BD + BC.( BC + CD)
2
2
2
1
1
1
1
3a 2
= BD 2 + BC 2 + 0 = (a 2) 2 + a 2 =
2
2
2
2
2
. JJG JJJG
JJJ
G
JJJ
G

JJJ
G
JJJ
G
JJJ
G
1
1
BI .BG = ( BC + BD) ( BA + BD + BB )
2
3
1
2a 2
= (0 + a 2 + a 2 + 2a 2 ) =
6
3
JJJG JJJJG
2.9. AC ⊥ DM ⇔ AC.DM = 0
JJJJG JJJG JJJJG JJJG
⇔ ( AB + AD)( AM − AD) = 0
JJJG JJJG JJJG JJJG
⇔ ( AB + AD)(k AB − AD) = 0
9
⇔ kAB 2 − AD 2 = 0 ⇔ k .16 − 9 = 0 ⇔ k =
16
2 . 10 . Gọi AI là trung tuyến của tam giác ADE , ta có :
JJG 1 JJJG JJJG
AI = ( AD + AE )
2
JJG JJJG 1 JJJG JJJG JJJG JJJG 1

AI .BC = ( AD + AE ).( AC − AB) = (0 + AD. AB − AE. AC − 0)
2
2
1
= ( AC. AB − AB. AC ) = 0 ⇔ AI ⊥ BC
2
2. 11 . x = ± 2
2 .12 .Ta có :
JJJG 1 JJJG JJJG JJJG 1 JJJG JJJG JJJJJG
AG = ( AB + AC + AD) = ( AB + AC + 3 AC )
3
3
JJJG
JJJG JJJG
2
1
AG 2 = AG = ( AB 2 + 16 AC 2 + 8 AB. AC )
9
1
= ( AB 2 + 16 AC 2 )
9
JJJG 2 JJJG 2 JJJG 2 JJJG 2
2.13. a) AB 2 − BC 2 + CD 2 − DA2 = AB − BC + CD − DA
JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG
= ( AB + BC )( AB − BC ) + (CD + DA)(CD − DA)
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG
= AC ( AB − BC − CD + DA) = AC ( DB − BD)
JJJG JJJG
= 2 AC.DB

JJJG JJJG
b) AC ⊥ BD ⇔ AC.BD = 0 ⇔ AB 2 − BC 2 + CD 2 − DA2 = 0
⇔ AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2
2 .14 . a) Tập hợp các điểm M là đường thẳng d qua A và vuông góc với trung tuyến AI
của tam giác
ABC
JJJG JJJG JJJG JJJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG
MA( MA + 2 MB + MC ) = 0 ⇔ MA.( MA + MB + MB + MC ) = 0
b)
JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJJG
⇔ MA.(2 MJ + 2 MI ) = 0 ⇔ 4 MA.MK = 0 ⇔ MA ⊥ MK
( J , I , K lần lươt là trung điểm của AB , BC , IJ) .Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn
dường kính AK

13
www.saosangsong.com.vn/


14

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

JJJG JJJG JJJJG
JJJG JJJJG
a2
2.15.( MA + MB).MC = a 2 ⇔ 2MI .MC = a 2 ⇔ MJ 2 − JC 2 =
2
.

2
2
2
2
a
a 3 2 8a + 3a
11a
a 11
2
JM = + (
) =
=
⇔ JM =
2
4
16
16
4
( I , J lần lượt là trung điểm của AB , CI ) . Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn ( J ,
a 11
)
4
2 16 , Có hai điểm C : C( 2 , 0 ) ; C( 7 , 0 )
2 17 . Hình thang ABCD vuông tại A và D . Diện tích của hình thang này
bằng 15

§2. Hệ thức lượng trong tam giác
A . Tóm tắt giáo khoa
1 .Định lý cosin : Trong một tam giác ABC , bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương
của hai cạnh còn lại trừ đi tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng

.
A
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A
b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cos B

b

c

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C

Suy ra :

B

cos A =

C

a

b2 + c2 − a 2
c2 + a 2 − b2
a 2 + b2 − c2
;cos B =
;cos C =
2bc
2ca
2ab


2 .Định lý sin : Trong một tam giác ABC , tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện cạnh đó
bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C

3 .Công thức tính độ dài đường trung tuyến
.

2(b 2 + c 2 ) − a 2
4
2
2(c + a 2 ) − b 2
2
mb =
4
2
2(a + b 2 ) − c 2
2
mc =
4

A

2


ma =

ma
mb
B

mc
C

(AB = c ; BC = a ; CA = b ; ma ; mb ; mc là các trung tuyến vẽ t ừ A ,B ,C )
4 . Công thức tính diện tích :
Diện tích S của tam giác ABC được tính bởi các công thức sau :

14
www.saosangsong.com.vn/


15

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

1
1
1
ab sin C = bc sin A = ca sin B
2
2
2
abc
S=

4R
S = pr

A

S=

S=
( với p =

p( p − a)( p − b)( p − c)

c

b

ha

B

C

a

1
(a+b+c) ; R là bán kính đường tròn ngọai tiếp ; r là bán kính đường tròn nội tiếp )
2

5 . Giải tam giác :
Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó


B . Giải toán
Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có BC = 40cm ; CA = 13cm ; AB = 37cm Tinh góc nhỏ nhất của tam

giác ABC .
Giải :
Ta biết rằng : đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhỏ nhất .Ta lại có :
CA < AB < BC nên B < C < A . Vậy B là góc nhỏ nhất . Theo công thức ta có :
c 2 + a 2 − b 2 37 2 + 402 − 132 2800
=
=
= 0,9459
cos B =
2ca
2.37.40
2960
⇒ B = 18o55'
Vậy góc nhỏ nhất của tam giác ABC là góc B và B = 18o 55 '
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3 ; AC = 4 . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho
CD = CB . Tính các cạnh BD , AD ; các góc B , D , A của tam giác ABD ; bán kính đường tròn
ngọai tiếp và diện tích của tam giác này
Giải

BC = AB 2 + AC 2 = 9 + 16 = 5 ; BD = 2 BC = 10
AB 3
AC 4
= ; sin B =
=
cos B =
BC 5

BC 5
Ta có AD 2 = BA2 + BD 2 − 2 BA.BD cos B
3
= 9 + 100 − 2.3.10. = 73
5
AD = 73

D
C

Ta cũng có

A

B

15
www.saosangsong.com.vn/


16

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

cos B =

3
= 0, 6 ⇒ B = 53o 7 '
5


4
3.
AB
AD
AB sin B
=
⇒ sin D =
= 5 = 0, 2808
sin D sin B
AD
73
o
D = 16 18'
Suy ra : BAD = 180o − (53o 7 '+ 16o18') = 110o 25'
Bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ABD cho bởi công thức :
AD
73 5 73
R=
=
=
= 5,34
2sin B 2 4
8
5
Ta lại có 2 tam giác ABC và ACD có diện tích bằng nhau (vì có chung đường cao vẽ từ A và 2
cạnh đáy BC ,CD bằng nhau ) Do đó :
1
S ABD = 2 S ABC = 2. . AB. AC = 3.4 = 12
2
4

Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có AB = 5cm ; AC = 7cm ; cosA= Tính diện tích , bán kính
5
đường tròn ngọai tiếp , nội tiếp của tam giác và đường cao vẽ từ A
Giải :
Ta có :

16 3
1
1
3 21
=
= 10, 5cm2
; S = AB. AC.sin A = 5.7. =
25 5
2
2
5 2
4
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos A = 25 + 49 − 2.5.7. = 18 ⇔ BC = 3 2cm
5
3 2 5 2
BC
BC
2R =
⇔R=
=
=
cm
sin A
2sin A 2. 3

2
5
21
S
21
2
r= =
=
cm
p 5 + 7 + 3 2 12 + 3 2
2
1
2S
21 7 2
S = AH .BC ⇔ AH =
=
=
cm
BC 3 2
2
2

sin A = 1 − cos 2 A = 1 −

Ví dụ 4 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 6cm ; E là trung điểm của CD . Tính bán kính

đường tròn ngọai tiếp tam giác ACE và càc góc của tam giác này
Giải : Tacó

B


A

D

E

C
16

www.saosangsong.com.vn/


17

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

AC = AB 2 = 6 2cm ; AE = AD 2 + DE 2 = 3 5cm; ACE = 45o
AE
3 5 3 10
cm
=
=
2sin ACE
2
2
6
AD
sin AED =
=

= 0,8944 => AED = 63o 25'
AE 3 5
o
AEC = 180 − 63o 25' = 116o 35' => CAE = 180o − (116o35'+ 45o ) = 18o 25'
R( ACE ) =

Ví dụ 5 : Trong một tam giác ABC bất kỳ , chứng minh rằng :
a) ha = 2 R sin B sin C

b) S = 2 R 2 sin A sin B sin C
( ha là đường cao vẽ từ A ; R là bán kính đường tròn ngọai tiếp và S là diện tích của tam giác ABC )
Giải :
Ta có :
1
2 S bc 2 R sin B.2 R sin C
aha ⇔ ha =
=
=
= 2 R sin B sin C
2
a
a
2 R sin A
⎧a = 2 R sin A
a
b
c
⎪
=
=

= 2 R ⇔ ⎨b = 2 R sin B
(do
sin A sin B sin C
⎪ c = 2 R sin C
⎩
Theo câu a) ta cũng có :
1
1
S = aha = (2 R sin A).(2 R sin B sin C ) = 2 R 2 sin A sin B sin C
2
2
S=

Ví dụ 6 : Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Một đường tròn có bán kính bằng

a 6
, qua 2
3

đỉnh A , C và cắt cạnh BC tại E . Tính đoạn AE và góc BAE
Giải :
Ta có :ACE = 45o và bán kính đường tròn ngọai tiếp
a 6
tam giác ACE bằng
Do đó , theo định lý sin
D
A
3
AE
a 6

a 6 2 2a 3
= 2.
⇔ AE = 2.
.
=
o
sin 45
3
3
2
3
Tam giác vuông ABE cho :
AB
a
3
cos BAE =
=
=
=> BAE = 30o
AE 2a 3
2
B
E
C
3
o
Ví dụ 7 : Cho tam giác ABC có BAC = 120 .AD là phân giác trong của góc A (D thuộc cạnh
BC ) .Chứng minh rằng tổng hai bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ABD và tam giác ADC
bằng bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC
Giải :

Ta có

17
www.saosangsong.com.vn/


18

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

BAD = DAC = 60o ⇒
sin BAD = sin DAC = sin BAC =

3
2

Theo định lý sin , ta có :
BD
BD
DC
DC
2 R( ABD ) =
; 2 R( ADC ) =
=
=
sin BAD
sin DAC
3
3
2

2
BC
BC BD + DC
2 R( ABC ) =
=
=
= 2 R( ABD ) + 2 R( ADC )
sin BAC
3
3
2
2
⇔ R( ABC ) = R( ABD ) + R( ADC )
Ví dụ 8 : Cho tam giác ABC vá điểm M thuộc cạnh BC .Biết rằng :
bc sin(α + β )
BAM = α ; CAM = β .Chứng minh rằng AM =
c sin α + b sin β
Giải :
Ta có :
1
1
S( ABC ) = AB. AC.sin A = bc sin(α + β )
2
2
1
1
S( ABM ) = AB. AM .sin BAM = AM .c.sin α
2
2
1

1
S( ACM ) = AC. AM .sin CAM = AM .b.sin β
2
2

Mà :
1
1
bc sin(α + β ) = AM (c sin α + b sin β )
2
2
bc sin(α + β )
Suy ra AM =
c sin α + b sin β
S( ABC ) = S( ABM ) + S( ACM ) ⇔

Ví dụ 9 : Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là
2
2
2
mb + mc = 5ma (ma , mb , mc là 3 trung tuyến vẽ từ A,B,C )
Giải :
Ta có :
2

2

2

2(c 2 + a 2 ) − b 2 2(a 2 + b 2 ) − c 2

2(b 2 + c 2 ) − a 2
+
=5
4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
⇔ 2c + 2a − b + 2a + 2b − c = 10b + 10c − 5a 2

mb + mc = 5ma ⇔

⇔ 9a 2 = 9(b 2 + c 2 )
⇔ a 2 = b2 + c2
Vậy tam giác ABC vuông tại A
Ví dụ 10 : Cho tam giác ABC có AB = c = 45 ; AC = b = 32 ; BAC = 87 o . Tính các cạnh và các

góc còn lại
Giải :
Ta có :

18
www.saosangsong.com.vn/



19

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos87 o = 322 + 452 − 2.32.45.cos87o
= 2898 ⇒ a = 2898 = 53,8
cos B =

c 2 + a 2 − b 2 452 + 2898 − 322
=
= 0,8052
2ca
2.45.53,8

⇒ ABC = 36o 22 '
⇒ ACB = 180o − (87 o + 36o 22 ') = 56o38'

C. Bài tập rèn luyện .
2 . 18 .Cho tam giác ABC có ba cạnh bằng 10cm ; 13cm ; 17cm . Tính diện tích ,bán kính
đường tròn ngọai tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác
2 . 19 . Cho tam giác ABC vuông tại A ; AB = 3 ; AC = 4 . Trên tia BC lấy điểm D saocho
CD = 7 ; trên tia BA lấy điểm E sao cho AE = 5 .Tính các cạnh và các góc của tam giác
ADE
c
2 . 20 Tam giác ABC có 3 cạnh là BC = a ; CA = b ; AB = c và trung tuyến AM =
2
2
2
2

2
2
2
Chứng minh rằng 2b = a − c ; sin A = 2sin B + sin C
2 .21 Cho tam giác ABC nhọn có AB = 3cm ; AC = 4cm và diện tích S = 3 3cm 2 Tính
cạnh BC và .đường cao AH của tam giác này .
2 .22 . Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a , O là tâm của hình vuông và E là trung điểm
của AB . Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp , diện tích và các góc của tam giác OCE
2 .23 .Cho tam giác ABC có BC = a ; CA = b ; AB = c .Chứng minh rằng
tan A c 2 + a 2 − b 2
=
tan B b 2 + c 2 − a 2
2 . 24 . Cho tam giác ABC có : BAC = 60o ; BC = 7 ; AC = 2 . Tính cạnh AB và các góc
của tam giác này
2 .25. Cho tam giác ABC có BC = a ; CA = b ; AB = c và các cạnh này thỏa điều kiện
b 2 + c 2 = 5a 2 Chứng minh rằng hai trung tuyến vẽ từ B và C thì vuông góc với nhau
2 . 26 . Cho tam giác ABC có : AB = 3cm ; AC = 2x(cm) ; BC = 5cm .
a) Định điều kiện của x (để ABC là một tam giác )
b) Định x để góc BAC = 60o
* 2 . 27 . a) Cho tam giác MPQ có trung tuyến là MR .Chưng minh rằng
PQ 2
MP 2 + MQ 2 = 2 MR 2 +
2
b) Cho tam giác ABC vuông tại A và có BC = 6 . Trên đường thẳng BC lấy 2 điểm D
và E sao cho BD = BE = 1 .Chứng minh rằng AD 2 + AE 2 + 2 AC 2 = 74
2 .28 .Cho hình thang vuông ABCD ( A = B = 90o )và AB =4cm ;AD = 3cm ; BC = 11cm .
Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác BCD
..

D . Hướng dẫn giải hay đáp số

2 .18 .

19
www.saosangsong.com.vn/


20

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

1
(10 + 13 + 17) = 20cm
2
S = p( p − a)( p − b)( p − c) = 20.10.7.3 = 10 42 = 64,80cm 2
p=

R=

abc 10.13.17
221
=
=
= 8,52cm
4 S 4.10 42 4 42

r=

S 10 42
=
= 3, 24cm

p
20

2.19. BC = AB 25 + AC 2 = 9 + 16 = 5 ⇒ BD = 5 + 7 = 12
BE = 3 + 5 = 8
DE 2 = BD 2 + BE 2 − 2 BD.BE.cos B
3 464
= 144 + 64 − 2.12.8. =
⇒ DE = 9, 63
5
5
3
cos B = = 0, 6 ⇒ B = 53o 7 '
5
4
DE
BE
BE sin B
sin B = = 0,8 ;
=
⇒ sin D =
5
sin B sin D
DE
8.0,8
= 0, 6645 ⇒ D = 41o38'
sin D =
9, 63
E = 180o − (41o38'+ 53o 7 ') = 75o15'


2 .20 . Áp dụng công thức về đường trung tuyến :
2(b 2 + c 2 ) − a 2
c 2 2(b 2 + c 2 ) − a 2
2
AM 2 = ma =
⇔
=
4
4
4
2
2
2
⇔ a − c = 2b
Theo định lý sin , ta có : a = 2RsinA ; b =2RsinB ; c = 2RsinC nên :
4 R 2 sin 2 A − 4 R 2 sin 2 C = 2( 4 R 2 sin 2 B)
⇔ sin 2 A − sin 2 C = 2sin 2 B
⇔ sin 2 A = 2sin 2 B + sin 2 C

2 .21 .Ap dụng công thức :

S=

1
1
AB. AC.sin A ⇔ 3 3 = 3.4.sin A
2
2
( vì góc A nhọn )
3

o
⇔ sin A =
⇒ A = 60
2

Ta lại có :
1
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos 60o = 9 + 16 − 2.3.4. = 13 => BC = 13
2
2S 2.3 3 6 39
AH =
=
=
BC
13
13
2 . 22 . Ta có :

20
www.saosangsong.com.vn/


21

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

a2 a 5
EOC = 135 ; EC = EB + BC = a +
=
4

2
o

2

2

2

EC
a 5 a 10
=
=
2sin EOC
4
2
4.
2
EB a 1
OEC = ECB ; tan ECB =
=
= = 0,5
BC 2a 2
OEC = ECB = 26o33'
R( EOC ) =

E

A


B

O
D

C

OCE = 180o − (135o + 26o 33') = 18o 27 '

2 .23 .Ta có :

sin A =

a
b2 + c2 − a 2
sin A
abc
;cos A =
⇒ tan A =
=
2
2R
2bc
cos A R(b + c 2 − a 2 )

tan B =

sin B
tan A c 2 + a 2 − b 2
abc

=
=>
=
cos B R(c 2 + a 2 − b 2 )
tan B b 2 + c 2 − a 2

2 .24 .Đặt AB = x ( x > 0 ) . Ta có :
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos A ⇔
1
7 = x 2 + 4 − 2.x.2. ⇔ x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇔ x = 3 : AB = 3
2
3
AC
BC
AC sin 60o
=
⇔ sin B =
=
= 0, 6546
sin B sin A
BC
7
B = 40o53' ; C = 180o − (60o + 40o 53') = 79o 7 '
2 .25 . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Để chứng minh BM vuông góc
với CN ta chỉ cần chứng minh tam giác BGC vuông tại G. Ta có:
2
2
GB 2 + GC 2 = ( BM ) 2 + ( CN ) 2
A
3

3
4 2(c 2 + a 2 ) − b 2 4 2(a 2 + b 2 ) − c 2
+ .
= .
9
4
9
4
M
1
= ⎡⎣ 2(c 2 + a 2 ) − b 2 + 2(a 2 + b 2 ) − c 2 ⎤⎦
N
9
1
1
G
= (4a 2 + b 2 + c 2 ) = (4a 2 + 5a 2 ) = a 2 = BC 2
9
9
C
B
Vậy tam giác BGC vuông tại G
2 .26 a) Điều kiện để ABC là một tam giác là :
BC – AB < AC < BC+AB ⇔ 5 - 3 < 2x < 5+3 ⇔ 1 < x < 4
AB 2 + AC 2 − BC 2
1 4 + 4 x 2 − 25
⇔ =
cos A =
2 AB. AC
2

2.3.2 x
b) Ta lại có :
3 + 73
⇔ 2 x 2 − 3x − 8 = 0 ⇔ x =
(do 1 < x < 4)
4

21
www.saosangsong.com.vn/


22

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

JJJG 2 JJJJG 2 JJJG JJJG
JJJG JJJG
2.27. a ) MP 2 + MQ 2 = MP + MQ = ( MR + RP) 2 + ( MR + RQ)2
JJJG JJJG
JJJG JJJG
= MR 2 + RP 2 + 2MR.RP + MR 2 + RQ 2 + 2 MR.RQ
JJJG JJJG JJJG
= 2MR 2 + RP 2 + RQ 2 + 2MR( RP + RQ)
PQ 2
PQ JJJG JJJG G
= 2MR 2 +
( RP = RQ =
; RP + RQ = 0)
2
2

Theo câu a) , ta có :
DE 2
2
2
2
= 2 AB 2 + 2 (do DE = 2)
AD + AE = 2 AB +
2
2
2
2
AD + AE + 2 AC = 2 AB 2 + 2 + 2 AC 2 = 2( AB 2 + AC 2 ) + 2

= 2 BC 2 + 2 = 2.36 + 2 = 74
2 . 28 .
DC 2 = AB 2 + ( BC − AD) 2 = 16 + 64 = 80 ⇒ DC = 4 5

DBC = ADB ;sin ADB =
R( BDC ) =

AB 4
=
BD 5

DC
4 5
=
=5 5
4
sin DBC

5

A

A
D B E

C

D

B

C

§3. Câu hỏi trắc nghiệm cuối chương
A. Đề

G G
GG
G G
1
1 . Cho a = b = 1 ; a.b = − . Góc (a, b) (tính ra độ ) bằng :
2
o
b . 120o
a . 60
c . 30o
d . một đáp số khác
JGG

G G
G G
G G
2 . Cho a = b = 1 ; (a + b) ⊥ (a − 2b) . Tích vô hướng a.b bằng :

a.–1
b.1
c.2
d.–2
GG
G
G
JJG G
3 . Cho a = 1 ; b = 2 ; (a + 3b) = 5 . Tích vô hướng a.b bằng :
a.2
b.3
c.4
d . một
JJJJđáp
G sốJJJkhác
G JJJG
4 . Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a . Nếu AM = 2 AB + AD thì đoạn AM bằng :
b. a 3
a .3a
c. a 5
d .một đáp só khác
5 . Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5 ; AD = 3 và điểm I xác định bởi
22
www.saosangsong.com.vn/



23
JJG
JJJG
CI = k AB . Nếu 2 đường thẳng AC và BI vuông góc với nhau thì k bằng:
a . 0,36
b. – 0,36
c , 0,6
d . một đáp số khác
6 . Tam giác ABC có BC = a = 2 x + 1 ; AC = b = 2 ; AB = c = 3 . Nếu góc A của tam giác bằng
60o thì giá trị của x là :
a.2
b.3
c.4
d . một đáp số khác
2
7 .Cho tam giác ABC có 3 cạnh thỏa : BC 2 = AB 2 + AC 2 + AB. AC . Góc A của tam giác gần bằng
3
góc nào dưới đây nhất :
b . 110o
a . 109o
d . 71o
c . 70o
8 . Tam giác ABC có B = 30o ; C = 45o . Hệ thức nào sau đây đúng
a . AB = 2AC
b . AC 2 = AB
c . AC = 2AB
d . 2AB = AC 3

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng


9 . Trong một tam giác , nếu tổng bình phương 3 đường trung tuyến bằng 30 thí tổng bình phương
3 cạnh của tam giác sẽ bằng :
a .34
b . 36
c . 38
d .một đáp số khác
10 . Cho tam giác có ba cạnh là : 3m ; 4m ; 6m .Góc lớn nhất của tam giác gần bằng góc nào dưới
đây nhất
b. 640
a. 63o
0
c. 116
d. 1170
11 . Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = 2a ; BC = 4a . E là một điểm thuộc tia đối của tia
BC . Nếu bán kính đường tròn ngọai tiếp của tam giác ACE bằng 3a thì đoạn AE sẽ bằng
a . 3a
b . 4a
c . 5a
d . một đáp số khác
12 .Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a . Trên tia đối của tia CB , lấy điểm E sao cho AE = 3a 2 .
Bán kính của đường tròn ngọai tiếp tam giác ACE bằng
a .5a
b. 4a
c .3a
d . một đáp số khác
13 . Một tam giác có ba cạnh là 4 , 5 , 7 . Đường cao nhỏ nhất của tam giác này gần bằng số nào
dưới đây nhất
b.3
a . 2,8

d . 3,4
c . 3,2
14 . Tam giác ABC có : AC+BC = 6 ; sinA + sinB = 1,5 . Hệ thức nào dưới đây đúng :
a . AB = 2sinC
b .AB = 3sinC
c . AB = 4sinC
d AB = 6sinC
15 . Tam giác ABC vuông tại A và có AB = a ; BC = 2a . Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao
cho BD = 3a .Đoạn AD gần bằng đoạn nào dưới đây nhất :
b . 3,5a
a. 3,4a
c . 3,6a
d . 3,7a
16 .Cho tam giác ABC có AB = 3 ; AC = 5 . Gọi R ,R’ lần lượt là bán kính đường tròn ngọai tiếp
của tam giác ABM và tam giác ACM ( M là một điểm thuộc cạnh BC ) Hệ thức nào sau đây đúng
a . R = 0,5R’
b . R = 0,6R’
23
www.saosangsong.com.vn/


24

Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

c . R = 0,7R’

d . R = 0,8R’

17 .Tam giác ABC có các cạnh thỏa

BC 2 = AB 2 + AC 2 − AB. AC; CA2 = BA2 + BC 2 − BC.BA
Góc C của tam giác bằng :
a . 30o
b . 45o
c . 60o
d . một đáp số khác
18 . Tam giác ABC có các cạnh thỏa :
6
BC 2 = AB 2 + AC 2 ; AC 2 = BC 2 + BA2 − BC.BA
5
cosC của tam giác bằng :
a . 0,5
b .0,6
c . 0,7
d .0,8

19 . Tam giác ABC có AB = 4 ;BC = 10 ; trung tuyến AM = 3 . Bình phương của cạnh AC bằng :
a. 50
b . 51
c . 52
d . một đáp số khác
20 . Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngọai tiếp là R = 4 .Nếu sinB + 2sinC = 1 thì (AC +
2AB) bằng :
a .5
b .6
c .7
d .8

B. Bảng trả lời
1.b

2 .a
3 .d
4 .c
5 .b

6 .b
7.a
8 .b
9 .d
10 .d

11 .a
12 .c
13 .a
14 . c
15 .c

16 .b
17 .c
18 .d
19 .c
20 .d

C. Hướng dẫn giải :

GG G G
G G
G G
1
a.b = a . b cos(a, b) ⇔ − = 1.1cos(a, b)

2
1b . Ta có
G G
G G
1
⇔ cos(a, b) = − ⇔ (a, b) = 120o
2
G G
G G
G G G G
G2
G G G G G2
(a + b) ⊥ (a − 2b) ⇔ (a + b)(a − 2b) = 0 ⇔ a − 2a.b + b.a − 2b
2a.
GG
JGG
⇔ 1 − a.b − 2 = 0 ⇔ a.b = −1
G G
G G 2
G2
JGG JJG2
a + 3b = 5 ⇔ (a + 3b) = 25 ⇔ a + 6a.b + 9b = 25
3d .
GG
GG
⇔ 1 + 6a.b + 9.4 = 25 ⇔ a.b = −2

JJJJG 2
JJJG JJJG
JJJG JJJG

4b. AM 2 = AM = (2 AB + AD) 2 = 4 AB 2 + AD 2 + 4 AB. AD
JJJGJJJG
.
= 5a 2 (do AB. AD = 0)

⇒ AM = a 5
5b .
24
www.saosangsong.com.vn/


Chương 2. Tích vô hướng và ứng dụng

JJG JJJG
JJJG JJG JJJG JJJG
BI ⊥ AC ⇔ BI . AC = 0 ⇔ ( BC + CI )( BC − BA) = 0
JJG
JJJG
JJJG JJJG JJJG
.
⇔ BC 2 + kBA2 = 0(do CI = k AB = − k BA ; BC.BA = 0)
9
⇔ 9 + 25k = 0 ⇔ k = −
= −0,36
25

25

6 b . Định lý cos cho


a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A ⇔ 2 x + 1 = 4 + 9 − 2.3.2.

1
2

⇔ x=3
7a . Định lý cos cho :
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos A ⇔ AB 2 + AC 2 +

2
AB. AC = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC cos A
3

1
⇔ cos A = − = −0,3333 ⇒ A = 109o 29 '
3
o
( cos 70 31' = 0,3333 và A là góc bù của góc này )
8b . Định lý sin cho
AC
AB
AC
AB
AC AB
=
⇔
=
⇔
=
o

o
1
sin B sin C
sin 30
sin 45
2
2
2
⇔ AB = AC 2

9d . Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến ,ta có :
2(b 2 + c 2 ) − a 2 + 2(c 2 + a 2 ) − b 2 + 2(a 2 + b 2 ) − c 2
2
2
2
ma + mb + mc =
4
2
2
2
3(a + b + c )
⇔ 30 =
⇔ a 2 + b 2 + c 2 = 40
4
10d . Đối diện với cạnh lớn nhất BC = 6m sẽ là góc A lớn nhất ,mà
b 2 + c 2 − a 2 9 + 16 − 36
11
=
=−
= −0, 4583

cosA=
2bc
2.3.4
24
⇒ A = 117 o17 '
11a . Tam giác ABC là nửa tam giác đều .Định lý sin cho :
AE
AE
= 2R ⇔ R =
= 3a
o
2sin 30o
sin 30
12c . Ta có ACE = 135o ;

AE
3a 2
= 2R ⇔ R =
= 3a
o
sin135
2
2.
2

13 a. Đường cao nhỏ nhất h là đường cao tương ứng với cạnh lớn nhất nghĩa là cạnh
bằng 7 .
Ta lại có

25

www.saosangsong.com.vn/