Tìm tốc độ truyền sóng hoặc tốc độ dao động của một điểm
trên dây có sóng dừng
A. Phương pháp giải
- Vẽ vòng tròn có vị trí nút sóng là tâm đường tròn, vị trí bụng tại biên.
- Tìm bước sóng

λ

từ điều kiện bài toán.

∆ϕ =
- Tính độ lệch pha (biên độ) :
- Dựa vào độ lệch pha

∆ϕ

2π d
λ

giữa hai điểm trên dây

xác định vị trí điểm bài toán cho trên đường tròn

- Dựa vào điều kiện của bài toán để xác định chu kì T hoặc tần số f .

v=
- Tính vận tốc truyền sóng

λ
= λ. f
T

- Trường hợp tính vận tốc dao động tại một điểm trên dây có sóng dừng thì ta sử dụng
các tính chất như trong sóng cơ.
Chú ý:
+ Các điểm đối xứng nhau qua nút sóng thì dao động ngược pha (chiều vận tốc
ngược nhau), các điểm đối xứng nhau qua bụng sóng thì dao động cùng pha (vận tốc
cùng dấu), các điểm trên cùng một bó sóng thì dao động cùng pha.
+ Trong sóng dừng chỉ có dao động cùng pha hoặc ngược pha
B. Bài tập áp dụng
Bài 1 : Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định. Trên dây, A là
một điểm nút, B là điểm bụng gần A nhất với AB = 18 cm, M là một điểm trên dây cách
B một khoảng 12 cm. Biết rằng trong một chu kỳ sóng, khoảng thời gian mà độ lớn vận
tốc dao động của phần tử B nhỏ hơn vận tốc cực đại của phần tử M là 0,1s. Tốc độ
truyền sóng trên dây là:


A. 3,2 m/s.

B. 5,6 m/s.

C. 4,8 m/s.

D. 2,4 m/s.

Hướng dẫn giải
- A là nút, B là bụng gần A nhất và AB = 18cm.

Bụng
M


Nút
B
O
π
3

AM
A

⇒

λ
= 18 ⇒ λ = 72cm
4

- Độ lệch pha giữa M và B.

∆ϕ = 2π

MB 2π .12 π
=
=
λ
72
3

- Biên độ sóng tại M.

AM = AB .cos


π
1
= 2 A. = A
3
2

M

2ω A

O
π
3
π
3

ωA
- Trong 1T tốc độ dao động của phần tử B nhỏ hơn tốc độ cực đại của phần từ M được
biểu diễn như hình vẽ.

⇒

2π 2π
=
.0,1 ⇒ T = 0,3s
3
T

- Từ hình vẽ
Vậy tốc độ truyền sóng trên dây:



v=

λ 72
=
= 240cm / s = 2,4m / s
T 0,3

. Chọn đáp án D
Bài 2 (Đề thi ĐH năm 2011) : Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn
định. Trên dây, A là một điểm nút, B là một điểm bụng gần A nhất, C là trung điểm của
AB, với AB = 10 cm. Biết khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần mà li độ dao động
của phần tử tại B bằng biên độ dao động của phần tử tại C là 0,2s. Tốc độ truyền sóng
trên dây là
A. 2m/s.

B. 0,5m/s.

C. 1m/s.

D. 0,25m/s.

Hướng dẫn giải
- A là nút, B là bụng gần A nhất và AB = 10cm.

Bụng
C

Nút

Β
O
π
4

C
A

⇒

λ
= 10 ⇒ λ = 40cm
4

- Độ lệch pha biên độ giữa C và B.

∆ϕ = 2π

CB
=
λ

λ
8 =π
λ
4

2π .

AC = AB .cos


π AB 2
=
4
2

- Biên độ sóng tại C:
- Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp mà li độ dao động của phần từ tại B bằng biên độ

⇒
dao động của phần tử tại C là 0,2s

T
= 0,2 ⇒ T = 0,8s
4


v=

λ 40
=
= 50cm / s = 0,5m / s
T 0,8

Vậy tốc độ truyền sóng trên dây là:

. Chọn C.

Bài 3 (Đề thi thử chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An – lần 3 năm 2012): M, N, P là
ba điểm liên tiếp nhau trên một sợi dây mang sóng dừng có cùng biên độ 4mm, dao

động tại N ngược pha với dao động tại M. NP = 2MN=2cm. Cứ sau khoảng thời gian
ngắn nhất là 0,04s sợi dây có dạng một đoạn thẳng. Tốc độ dao động của phần tử vật
chất tại điểm bụng khi qua vị trí cân bằng là:
A. 375mm/s
B. 363mm/s
C. 314mm/s
D. 628mm/s

Bụng
N

Nút
Β
O

P
M

Hướng dẫn giải
- M, N dao động ngược pha, cùng biên độ nên chúng đối xứng nhau qua nút sóng.
- N, P cùng biên độ và ở cùng một bó sóng nên đối xứng nhau qua bụng sóng.
- Từ hình vẽ

→ λ = 2MP = 2 ( 1 + 2 ) = 6cm

- Độ lệch pha biên độ giữa N và B :

∆ϕ NP

NP

NB
1 π
= 2π
= 2π . 2 = 2π =
λ
λ
6 3
AB =

Vậy bụng sóng có biên độ :

T
= 0,04 ⇒ T = 0,08s
2

AN
= 2 AN = 2.4 = 8mm
π
cos
3

Ta có :
Vậy tốc độ cực đại của điểm bụng khi qua vị trí cân bằng :


vmax = ω AB =

2π
2π .8
. AB =

= 628mm / s
T
0,08

. Chọn đáp án D.
Bài 4 : Một dây đàn hồi AB đầu A được rung nhờ một dụng cụ để tạo thành sóng dừng
trên dây, biết Phương trình dao động tại đầu A là u A= acos100πt. Quan sát sóng dừng
trên sợi dây ta thấy trên dây có những điểm không phải là điểm bụng dao động với biên
độ b (b≠0) cách đều nhau và cách nhau khoảng 1m. Giá trị của b và tốc truyền sóng trên
sợi dây lần lượt là :
A. a

2

; v = 200m/s.

B. A

C. a; v = 300m/s.

D. A

2

3

; v =150m/s.

; v =100m/s.


N

Nút
2a
O

Q
M
P
b

Hướng dẫn giải
- Các điểm dao động với biên độ b ≠ 0 và b ≠ 2a (tức là không phải là điểm nút và điểm
bụng) cách đều nhauthì khoảng cách giữa hai điểm bằng λ/4 = 1m

⇒ λ = 4m
- Vận tốc truyền sóng trên dây là:
v = λf = 4.50 = 200 (m/s)
2a 2
2

2

- Từ hình vẽ, ta thấy b =
=a
Chọn đáp án A
Bài 5: Trên một sợi dây đàn hồi, hai đầu A B cố định có sóng dừng ổn định với bước
sóng λ = 24 cm. Hai điểm M và N cách đầu A những khoảng lần lượt là d M = 14cm và
dN = 27 cm. Khi vận tốc dao động của phần tử vật chất ở M là v M = 2 cm/s thì vận tốc
dao động của phần tử vật chất ở N là:

A. -2
cm/s.
B. 2
cm/s.
C. -2 cm/s. D. 2
cm/s.
2

3

2

Hướng dẫn giải


Bụng
N

Nút
Β
O

π
4
M
A
π
6

a

2

a

- Độ lệch pha biên độ giữa M và A là:

∆ϕ MA = 2π

MA
14 7π
π
= 2π . =
=π +
λ
24 6
6

- Độ lệch pha biên độ giữa N và A là:

∆ϕ NA = 2π

NA
27 9π
π
= 2π . =
= 2π +
λ
24 4
4


Vậy vị trí M , N được xác định như hình vẽ
dao động ngược pha nhau.

Ta có:

⇒

M, N ở hai bó sóng liền kề nhau nên hai

vM
A
v .A
2.a 2
= − M ⇒ vN = − M N = −
= −2 2cm / s
vN
AN
AM
a

. Chọn đáp án A

Bài 6 (ĐH 2014): Trên một sợi dây đàn hồi đang có sóng dừng ổn định với khoảng
cách giữa hai nút sóng liên tiếp là 6 cm. Trên dây có những phần tử sóng dao động với
tần số 5 Hz và biên độ lớn nhất là 3 cm. Gọi N là vị trí của một nút sóng; C và D là hai
phần tử trên dây ở hai bên của N và có vị trí cân bằng cách N lần lượt là 10,5 cm và 7
cm. Tại thời điểm t1, phần tử C có li độ 1,5 cm và đang hướng về vị trí cân bằng. Vào
t2 = t 1 +

thời điểm

A. -0,75 cm.

79
s
40

, phần tử D có li độ là
B. 1,50 cm.
C. -1,50 cm.

D. 0,75 cm.


N
C
D
10,5 cm
7 cm

Hướng dẫn giải

1,5
-1,5
uD
u1D
7π
4

λ
= 6 ⇒ λ = 12cm

2

- Theo đề ta có:
- Biên độ của điểm C và D:

, biên độ điểm bụng là Ab = 3 cm.

A C = A b sin

2π.CN
2 π.10,5
3
= 3. sin
=
cm.
λ
12
2

A D = A b sin

2π.ND
2 π.7
= 3. sin
= 1,5cm.
λ
12

- Nhận thấy hai phần tử C và D ngược pha nhau
u1D

A
1,5
3 2
=− D =−
2 ⇒ u1D = −
cm.
u1C
AC
3
4

- Ở thời điểm t1:
- Xét phần tử D: Góc quét

α = ω.∆t = 2πf (t 2 − t1 ) = 10π.

79
7π
= 19, 75π = 18π +
40
4

- Vẽ đường tròn: Ở thời điểm t2, ta tìm được u2D = -1,5 cm.
Bài 6( THPT QG – 2015) Trên một sợi dây OB căng ngang, hai đầu cố định đang có
sóng dừng với tần số f xác định. Gọi M, N và P là ba điểm trên dây có vị trí cân bằng
cách B lần lượt là 4 cm, 6 cm và 38 cm. Hình vẽ mô tả hình dạng sợi dây tại thời điểm


t 2 = t1 +


11
12f

t1 (đường 1) và
(đường 2). Tại thời điểm t1, li độ của phần tử dây ở N bằng
biên độ của phần tử dây ở M và tốc độ của phần tử dây ở M là 60 cm/s. Tại thời điểm t 2,
vận tốc của phần tử dây ở P là
A. 20

3

cm/s.

B. 60 cm/s.
C. – 20
Hướng dẫn giải

3

cm/s. D. – 60 cm/s.

- Từ đồ thị ta có λ = 24cm.
- B là nút sóng, Vì M, N và P là 3 điểm trên dây có vị trí cân bằng cách B lần lượt là
4cm, 6cm, 38cm nên nếu gọi A là biên độ dao động của bụng thì A chính là biên độ dao
AN = A; AM = A

3
A
; AP =
2

2

động của N. Ta có:
- Mặt khác M, N cùng pha (cùng thuộc một bó sóng), P ngược pha với M nên ta có:
uM
A
3
= M =
;
uN
AN
2
v
vP
A
1
= − max P = − P = −
vM
vmax M
AM
3
- Để tính vP tại thời điểm t2 thì ta sẽ tính vM tại thời điểm t2. Ta sẽ sử dụng đường tròn để
tính vận tốc vM tại thời điểm t2, muốn tính được thì ta phải biết tại thời điểm t 1 thì vM có
giá trị bao nhiêu ( âm hay dương), đang tăng hay đang giảm.
- Từ đồ thị ta thấy, tại thời điểm t1 hình dạng sợi dây là (1), nếu phần tử tại M đang đi
∆t = t 2 − t1 =

11 11T
=
12f

12

xuống thì sau
, tức là sau gần 1 chu kì thì hình dạng sóng không
thể là (2). Vậy M phải đi lên, tức là tại thời điểm t 1 M đang đi lên với vận tốc vM = +
60cm/s và đang giảm.
vM
t1

11π
6

t2
t2

u N = AM ⇒ uM =

- Tại thời điểm t1 ta có:

3
3
uN =
AM
2
2


2

2


Mà :

 xM   vM 
÷ = 1 ⇒ vMmax = 2 vM = 120(cm / s)

÷ +
 AM   vMmax 
uur
vM

- Tại thời điểm t2 thì véc tơ
11π
11π
∆ϕ = ω∆t = 2πf.

12 f

=

6

quét được góc
= 2π -

π
6

Sử dụng đường tròn ta có:
- Tại thời điểm t2 thì :


π
vM = vMmax .cos( ) = 60 3cm / s
6
⇒ vP = −

Vận tốc phần tử dây tại P ở thời điểm t2 là:

vM
3

= −60cm / s