PHẦN 2 LƯỢNG GIÁC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.19 MB, 26 trang )
www.TOANTUYENSINH.com
PHẦN 2. LƯỢNG GIÁC
2.1. Giá trị lượng giác
Câu 1. Biết cos
4
cot tan
và 00 900 . Tính giá trị của biểu thức A
.
5
cot tan
1
2 cos 2 1
4
25
+ Thay cos , ta được A
5
7
Lưu ý. HS có thể tính sin , suy ra tan ,cot , thay vào A.
+ Biến đổi được A
Câu 2. Cho là góc mà tan =2. Tính P
sin
sin 3cos 3
3
1
tan
2
sin
cos
P 3
sin 3cos3
tan 3 3
(1 tan 2 ) tan (1 22 )2 10
3
=
tan 3 3
2 3
11
Câu 3. Cho góc thõa mãn :
3
1
sin
và cos =- . Tính P 3
2
3
sin 3cos 3
Ta có
sin 2 1 cos 2 1
1 8
9 9
3
nên sin <0
2
2 2
Do đó sin
3
Vì
2 2
sin
18 2
3
Vậy P 3
=
3
3
3
sin 3cos 2 2
1 16 2 3
3.
3
3
4
Câu 4. Cho cos , 0 .
5 2
Tính giá trị biểu thức A sin cos
4
4
Nguyễn Văn Lực
Ninh Kiều – Cần Thơ
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
2
9
4
1
25
5
sin cos 1 sin 1 cos
2
2
sin
Vì
2
2
2
3
5
0 nên sin
Câu 5. Cho góc
thỏa mãn
Ta có A cos
12
. Tính A
13
cos
4
144
25
5
5
cos
cos (do )
169 169
13
13
2
12
5
7 2
, cos
vào A ta được A
13
13
26
thỏa mãn
cos 2
1 2 sin2
1 cos
1
2
Câu 6. Cho góc
Ta có A
và sin
2
cos sin
4
2
cos2 1 sin2 1
Thay sin
3
1
. A sin cos sin 2 sin
5
4
4 2
2
1
49
2sin cos 1
2
50
cos
cos2 1 sin2 1
4
5
2
4
. Tính A
5
cos 2
1
cos
16
9
3
3
cos cos (do )
25 25
5
5
2
Thay sin , cos
3
7
vào A ta được A
5
40
Câu 7. Cho tan α 2 và π α
1
và sin
1
2π
3π
. Tính sin α
.
3
2
1
5
2
Ta có Cos α 1 tan 2 α 1 4 5 cosα 5
3π
5
cosα 0 nên cosα
2
5
5
2 5
sin α cosα.tan α
.2
5
5
Do π α
Nguyễn Văn Lực
Ninh Kiều – Cần Thơ
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
Vậy
2π
2π
2π
sin α
cosα.sin
sin α.cos
3
3
3
2 5 1 5 3 2 5 15
.
.
5
2
5
2
10
2
2
cos cos sin sin
Câu 8. Cho . Tính giá trị P
6
sin cos 2 sin cos 2
2 2cos cos sin sin 2 2 cos
P
2 2sin cos sin cos 2 2 sin
P
2 2 cos
2 2 sin
Câu 9. Cho
Vì
2
2
6 2 3
6
0 và cos
3
. Tính giá trị: P cos sin .
5
3
6
0 nên sin 1 cos 2
P cos cos
3
sin .sin
3
sin .cos
6
4
. Suy ra
5
cos .sin
6
3 1 4 3 4 3 3 1 3
P . .
.
. .
5 2 5 2 5 2 5 2 5
Câu 10. Cho góc thỏa mãn
1
3
Ta có: sin( ) s inx
1
7
và sin( ) . Tính tan
.
2
3
2
1
3
7
tan
tan 3 tan cot
2
2
2
1
1
cot
1 2 2
cot 0 . Do đó 1 cot 2
Vì
2
2
sin
sin 2
7
Vậy tan 2 2 .
2
1
. Tính giá trị biểu thức P 2 (1 cot ).cos( ) .
2
4
2
sin cos
1 2 sin
P
(cos sin )
sin
sin
1
thay sin vào ta tính được P =1
2
Câu 11. Cho sin
Nguyễn Văn Lực
Ninh Kiều – Cần Thơ
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
sin 4 a cos 4 a
.
sin 2 a cos 2 a
sin 4 a cos 4 a
sin 4 a cos 4 a
sin 4 a cos 4 a
.
P
sin 2 a cos 2 a sin 2 a cos 2 a sin 2 a cos 2 a sin 4 a cos 4 a
Câu 12. Cho cot a 2 . Tính giá trị của biểu thức P
Chia tử và mẫu cho sin 4 a , ta được P
1 cot 4 a 1 24
17
4
4
1 cot a 1 2
15
Câu 13. Cho sin 2 cos 1 . Tính giá trị biểu thức P 2sin 2 2 cos 2 sin 2 .
P 4sin cos 4 cos 2 sin 2 2
P 4sin cos 4 cos 2 sin 2 2 2 cos sin 2 12 2 1
2
3
5
Câu 14. Cho cos . Tính giá trị của biểu thức P cos 2
Ta có: P
1 cos
2 cos 2 1
2
2
cos 2
1 3 9
27
1 2. 1
2 5 25 25
Câu 15. Cho góc lượng giác , biết tan 2 .
cos2 -3
Tính giá trị biểu thức P
.
sin2
cos2 -3 2cos2 4
P
sin2
1 cos2
1 tan2
1
1
1
9
cos2
. Suy ra P
2
2
2
cos
1 tan 5
Câu 16. Cho góc thỏa mãn:
3
và tan 2 .
2
Tính giá trị A sin 2 cos( ) .
2
Vì
sin 0
3
1
1
2
nên
. Do đó: cos
sin cos .tan
2
2
1 tan
5
5
cos 0
Ta có: A 2sin .cos sin
Nguyễn Văn Lực
42 5
5
Ninh Kiều – Cần Thơ
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
Câu 17. Cho tan
1
với 0.
2
2
Tính giá trị của biểu thức: A 5 cos 5 sin 2.
2
Do 0 sin 0, cos 0.
1
1
1
2
1
cos
2
2
4 cos
cos
5
1
sin tan .cos
5
2
1 2
Do đó: A 5 cos 10 sin cos 5
10
2 4 6.
5
5 5
Ta có: 1 tan 2
Câu 18. Cho tan 1 ( (0; )) .
2
2
Tính giá trị biểu thức P
2 tan
1
Vì tan ( (0; )) nên
2
2
2sin
3cos
2
2 1 .
5
sin 2cos
2
2
2 1 tan 2 4 tan 1 0
2
2
2
1 tan 2
2
Suy ra tan 2 5 hoặc tan 2 5 (l ) . Do tan 0 .
2
2
2
Thay vào ta có P
2 tan
tan
Câu 19. Cho góc
Từ hệ thức: cos2
Suy ra: cos
2
2
2
3
2
;
sin 2
1 và
1 sin2
Nguyễn Văn Lực
3
;2
2
1
. Tính sin
5
mà sin
Thay (2) vào (1) ta được: sin
Câu 20. Cho góc
1
2 5 1 1
2
5
5
5
2
1
1
5
mà sin
2
(1)
;
2
3
2 5
6
6
(2)
5
2
cos
2
1
. Tính sin 2
2
Ninh Kiều – Cần Thơ
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
Từ sin
cos
2
cos2
Do
1
2
2
1 sin 2
1
9
16
7
16
3
;2
2
Vậy sin 2
;
3
2
Do đó tan
Câu 22. Cho
Ta có: sin 4
;
sin
4
3
2
7
4
cos
9
. Tính tan
41
mà cos
1 cos2
tan
1
1 tan
là góc mà sin
2sin 2
3
4
sin
3 7
8
2sin .cos
Câu 21. Cho góc
Do
1
4
1 sin
cos
92
412
1
40
1
9
40
1
9
40
41
4
tan
40
9
31
.
49
1
2sin 2
. Tính sin 4
4
cos2
1 .2sin 2 .cos
cos
2 cos2 .4 sin .cos2
8 1 sin
Nguyễn Văn Lực
2
2
2
.sin
1 1
81
.
16 4
Ninh Kiều – Cần Thơ
225
128
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
2.2. Phương trình lượng giác bậc nhất
Câu 1. Giải phương trình: cos 2 x (1 2 cos x)(sin x cos x) 0
cos 2 x (1 2 cos x)(sin x cos x) 0
sin x cos x 0
(sin x cos x)(sin x cos x 1) 0
sin x cos x 1
x k
4
sin( x 4 ) 0
x k 2 ( k )
2
2
sin(
x
)
x k 2
4
2
Câu 2. Giải phương trình:
sin 2 x 1 6 sin x cos 2 x .
sin 2 x 1 6sin x cos 2 x
(sin 2 x 6sin x) (1 cos 2 x) 0
2sin x cos x 3 2sin 2 x 0
2sin x cos x 3 sin x 0
sin x 0
sin x cos x 3(Vn)
x k . Vậy nghiệm của PT là x k , k Z
Câu 3. Giải phương trình: sin 4 x 2cos 2 x 4 sin x cos x 1 cos 4 x .
sin 4 x 2 cos 2 x 4sin x cos x 1 cos 4 x
2 sin 2 x cos 2 x 2 cos 2 x 2 cos 2 2 x 4sin x cos x 0
cos 2 xsin 2 x 1 cos 2 x 2sin x cos x 0
cos 2 x2 sin x cos x 2 sin 2 x 2sin x cos x 0
sin x cos x cos 2 x sin x 1 0
Với sin x cos x 0 x k , k Z
4
Với cos 2 x sin x 1 0 1 2 sin 2 x sin x 1 0 sin x 1 2 sin 2 x 1 0
sin x 1 x 2m , m Z
2
Câu 4. Giải phương trình: cos2x 2sin x 1 2sin x cos 2x 0 .
PT cos2 x 1 2sin x 1 2sin x 0
cos2 x 11 2sin x 0
Nguyễn Văn Lực
Ninh Kiều – Cần Thơ
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
+ Khi cos2x=1<=> x k , k Z
1
5
k 2 , k Z
Khi s inx x k 2 hoặc x
2
6
6
Câu 5. Giải phương trình: : sin 2 x cos x sin x 1 (x R)
sin 2 x cos x sin x 1 (1)
(1) (sin x cos x)(1 sin x cos x) 0
x k
sin x cos x 0
4
(k Z )
1 sin x cos x 0
x 2k x 3 2k
2
Câu 6. Giải phương trình: s inx cos x cos2 x
Ta có: s inx cos x cos2 x s inx cos x cos 2 x sin 2 x
(s inx cos x) 1 (cos x s inx) 0
2cos( x ) 0
s inx cos x 0
4
cos x s inx 1
2cos( x ) 1
4
3
x 4 2 k
x
k
cos( x ) 0
2cos( x ) 0
4
4
4
x k 2 x k 2
4 4
2
2cos( x ) 1
c
os(
x
)
4
x k 2
4
2
x k 2
2
4
4
2 sin 2 x 3sin x cos x 2 (x ).
4
Câu 7. Giải phương trình: lượng giác:
PT (1) sin 2 x cos 2 x 3sin x cos x 2
2sin x cos x 3sin x 2cos2 x cos x 3 0 .
2cos x 3 sin x cos x 1 2cos x 3 0
sin x cos x 1 2cos x 3 0
3
cos x (VN )
x k 2
1
sin x
(k
2
2
4
2
sin x cos x 1
x k 2
Phương trình có các nghiệm: x
Nguyễn Văn Lực
2
k 2 , x k 2 (k
Ninh Kiều – Cần Thơ
)
).
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
Câu 8. Giải phương trình: : 3cos5x 2sin 3x.cos2 x s inx 0
x
k
3
1
18
3
PT
cos5 x sin 5 x sinx sin 5 x sinx
2
2
3
x k
6
2
Câu 9. Giải phương trình: 1 sin 2x cos 2 x
x k
sin x 0
1 sin 2x cos 2 x 2sin x cos x 2sin x
x k
cos x sin x
4
2
Câu 10. Giải phương trình:
cos2 x 3sin x 2 0
cos2 x 3sin x 2 0
1 2sin 2 x 3sin x 2 0 2sin 2 x 3sin x 1 0
x
k 2
2
sin x 1
1 x k 2 , k
sin x
6
2
5
x
k 2
6
Câu 11. Giải phương trình: sin 2 x cos2 x 2sin x 1 .
2
Biến đổi phương trình về dạng: 2s inx(cos x 1) 2sin x 0
s inx 0
s inx(sin x cos x 1) 0
sin x cos x 1 0
Với s inx 0 x k 2
x k 2
1
Với cos2x = 1 sin x cos x 1 0 sin( x )
, k Z
x k 2
4
2
2
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm. x k , x
Nguyễn Văn Lực
2
k 2 , k Z
Ninh Kiều – Cần Thơ
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
Câu 12. Giải phương trình: cos 2 x cos x sin x 1 0
cos 2 x cos x sin x 1 0
cos 2 x 0
sin x 1
4
2
k
k
4 2
x k 2
1
(k )
+) Với sin x
x k 2
4
2
2
+) Với cos 2 x 0 x
Câu 13. Giải phương trình: 2(cos x sin 2 x) 1 4sin x(1 cos 2 x)
Phương trình đã cho tương đương với: 2 cos x 2sin 2 x 1 4sin 2 x.cos x
(1 2 cos x)(2sin 2 x 1) 0
x 3 k 2
1
cos x 2
(k Z )
x k
1
12
sin 2 x
2
x 5 k
12
Vậy pt có nghiệm là: x
3
k 2 ; x
12
k ; x
5
k
12
(k Z )
Câu 14. Giải phương trình : sin 2x sin x cos x 1 2sin x cos x 3 0
PT sin x cos x 1 sin x cosx 1 2sin x cos x 3
2
sin x cos x 1 sin x cos x 1 sin x cosx 1 2sin x cos x 3
x k2
sin x cos x 1
x k2
sin
x
2
cos
x
4(VN)
2
Câu 15. Giải phương trình: 3sin x cos x 2 cos2 x sin 2 x 0
sin x cos x 1 2sin x 2sin 2 x 2sin x cos x 0
(1+2sinx)(sinx - cosx +1) = 0
Nguyễn Văn Lực
Ninh Kiều – Cần Thơ
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
2
s inx cos x 1 sin(x )
4
2
s inx 1
1
2
s inx 2
7
x 6 k 2
x k 2
6
x 3 k 2
2
x k 2
k
Câu 16. Giải phương trình: cos 2 x 5 2(2 cos x)(sin x cos x)
(cos x – sin x )2 4(cos x – sin x ) – 5 0
x
2
k 2 x k 2
Câu 17. Giải phương trình: : 3 cos 2 x - sin x cos x 2sin x 1 0 .
sin 2 x 3 cos 2 x 3 sin x cos x
1
3
3
1
sin 2 x
cos 2 x
sin x cos x
2
2
2
2
sin 2 x cos cos 2 x sin sin x cos cos x sin
3
3
6
6
sin(2 x ) sin( x )
3
6
2 x 3 x 6 k 2
(k )
2 x ( x ) k 2
3
6
x 2 k 2
(k )
x 5 k 2
18
3
Nguyễn Văn Lực
Ninh Kiều – Cần Thơ
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
Câu 18. Giải phương trình: sin 2 x 4 8cosx s inx
s inx 4 (vn)
Biến đổi phương trình về dạng: (s inx-4)(2 cos x 1) 0
cos x 1
2
Với cosx
1
x k 2
2
3
Kl: phương trình có 2 họ nghiệm: x
3
k 2 ,
Câu 19. Giải phương trình: 2sin x 1 cos x sin 2 x.
2sin x 1 cos x 2sin x.cos x.
cos x 1
2sin x 1 cos x(1 2sin x)
sin x 1
2
-Với cos x 1 x k 2 , k .
x k 2
1
6
-Với sin x
,k .
2
x 5 k 2
6
Câu 20. Giải phương trình: cos x sin 4x cos3x 0 .
cos x sin 4x cos3x 0 2sin 2x.sin x 2sin 2x.cos 2x 0
2sin 2x(s inx cos2x) 0 sin 2x( 2sin 2 x sin x 1) 0
kπ
x 2
x π k2π
sin 2x 0
2
s inx 1
x π k2π
1
6
s inx
2
7π
k2π
x
6
Câu 21. Giải phương trình: sin 3 x cos 2 x 1 2sin x cos 2 x
sin 3x cos 2 x 1 2sin x cos 2 x sin 3 x cos 2 x 1 sin x sin 3 x
cos 2 x 1 sin x
Nguyễn Văn Lực
Ninh Kiều – Cần Thơ
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
x k
sin x 0
2
1 2sin x 1 sin x
x k 2
1
sin x
6
2
5
x
k 2
6
Câu 22. Giải phương trình sau: 1 3cos x cos 2x 2cos3x 4sin x.sin 2x
Giải phương trình: 1 3cos x cos 2x 2cos3x 4sin x.sin 2x (1)
(1) 1 3cos x cos 2 x 2 cos 2 x x 4sin x.sin 2 x
1 3cos x cos 2 x 2 cos x.cos 2 x sin x.sin 2 x 4sin x.sin 2 x
1 3cos x cos 2 x 2 cos x.cos 2 x sin x.sin 2 x 0
1 3cos x cos 2 x 2 cos x 0 1 cos x cos 2 x 0
2 cos x cos x 0
2
cos x 0
cos x 1
2
x 2 k
;k .
x 2 k 2
3
Câu 23. Giải phương trình: sin 2x 2 sinx 0.
x k
s inx 0
x k 2
Pt
cosx 2
4
2
x k 2
4
Câu 24. Giải phương trình:
3 sin 2 x cos 2 x 4sin x 1.
3 sin 2 x cos 2 x 4sin x 1 2 3 sin x cos x 1 cos 2 x 4sin x 0
2 3 sin x cos x 2sin 2 x 4sin x 0 2sin x
Nguyễn Văn Lực
3 cos x sin x 2 0
Ninh Kiều – Cần Thơ
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
sin x 0
x k
sin x 0
,k .
sin
x
1
x
k
2
3
cos
x
sin
x
2
3
6
Câu 25. Giải phương trình: cos 2 x(4sinx 1) 3 sin 2 x 1
pt 4cos 2 x.sin x cos 2 x 1 2 3 sin x cos x 0
4 cos 2 x.sin x 2sin 2 x 2 3 sin x cos x 0
2sin x(2cos 2 x sin x 3 cos x) 0
sin x 0
sin x 0
cos x.cos sin x.sin cos 2 x
cos( x ) cos 2 x
6
6
6
x k
x k 2 , (k )
6
2
x k
18
3
Câu 26. Giải phương trình: cos 2 x 3sin x 2 0 .
- Ta có phương trình cos 2 x 3sin x 2 0 2sin 2 x 3sin x 1 0
x 2 k 2
sin x 1
x k 2 , k .
1
sin x
6
2
x 7 k 2
6
- KL: Phương trình có ba họ nghiệm…
Câu 27. Giải phương trình: sin 3 x sinx 2 3 cos x.cos 2x .
y
5
x
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-5
cos x 0 x
k
2
Nguyễn Văn Lực
Ninh Kiều – Cần Thơ
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
sin 2x 3 cos 2x 0 sin 2x 0
3
Pt có nghiệm x
2
k , x
6
k
2
Câu 28. Giải phương trình: 2 3 sin x cos x sin 2x 3 .
2 3 sin x cos x sin 2x 3 2 3 sin x cos x 2sin x cos x 3 0
y
5
x
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-5
* cos x 3 0 : Vô nghiệm.
x 6 k2
* 2 sin x 1 0
.
5
x
k2
6
Vậy nghiệm của phương trình là x
6
k2 ; , x
5
k2
6
Câu 29. Giải phương trình: sin 2x 1 4 cos x cos 2x.
PT sin 2x 1 cos 2x 4 cos x 0
2 sin x cos x 2 cos2 x 4 cos x 0
cos x(sin x cos x 2) 0
cos x 0
x k
2
2
2
2
sin x cos x 2 (VN do 1 1 2 )
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x k.
2
Câu 30. 2 s inx cos x + 6 s inx cosx 3 0 ;
TXĐ D =
Phương trình đã cho (2s inx 1)(cos x + 3) 0
1
sin x
2
cosx = 3(v« nghiÖm)
x 6 k 2
, với k, l là số nguyên. Kết luận.
x 5 l 2
6
Nguyễn Văn Lực
Ninh Kiều – Cần Thơ
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
Câu 31. Giải phương trình: sin 3x
Ta có:
1
sin 3x
2
1
sin 3x
3x
3
3x
3
cos 3x
2
3
4
15
x
(1)
2sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
3
2x
k2
2x
3
x
3 cos 3 x
k2
k2
k
k2
5
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
3
k2 , x
4
k2
+
15
5
5x
3x
cos
2 8sin x 1 cos x
2
2
cos x 8sin 2 x 2 cos x 5
Câu 32. Giải phương trình: 4 cos
Ta có:
1
2 cos 4 x
2 cos 4 x
8sin 2 x
5
4sin 2 2 x 8sin 2 x
3
0
3
: phương trình vô nghiệm
2
sin 2 x
1
2
sin 2 x
sin
6
2x
6
5
6
k2
x
k2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
12
1
cos8 x
cos 2 x
sin x
2sin x sin x 1
Nguyễn Văn Lực
0
k
k
k
k , x
5
+k
12
cos 8 x
(1)
k
.
cos8 x
sin x
2
12
5
12
x
Câu 33. Giải phương trình: 2 cos 5 x.cos 3 x sin x
Ta có:
(1)
5
0
sin 2 x
2x
k
0
1
sin x
Ninh Kiều – Cần Thơ
1
2
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
sin x
1
x
x
1
2
sin x
k2
2
sin x
sin
6
6
k2
k
7
6
k2
k
.
x
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
x
k2 ; x
2
7
+k 2
6
k2 , x
6
Câu 34. Giải phương trình:
Ta có:
1
2 sin x 2cos x
2 sin x 2 2 cos x
sin x 2 cos x
sin x
sin x
2
2cos x
0
2
2sin x cos x 2
2
2 2 cos x
2 2cos x
2
2
cos x
cos x
Câu 35. Giải phương trình: sin x 4 cos x
1
sin x
4 cos x
sin x
sin x
2
2 cos x 1
0
0
2sin x cos x
2 2 cos x 1
sin x
2
cos
k2
2
sin 2 x
2
0
k2
k
.
k
(1)
2 : phương trình vô nghiệm
cos x
1
2
cos x
2 cos 2 x sin x
cos 2 x
cos 2 x 2sin x 1
Nguyễn Văn Lực
3
4
x
3
4
cos
x
3
3
Câu 36. Giải phương trình: sin 3 x cos 2 x sin x
1
3
4
0
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
Ta có:
0
0
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
Ta có:
0
2 : phương trình vô nghiệm
sin x
0
2
(1)
2 sin 2 x
0
3
k2
k
k
.
k2
0
(1)
0
0
Ninh Kiều – Cần Thơ
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
cos 2 x
0
2x
2
2sin x 1
k
0
x
4
k
2
x
1
2
sin x
k
sin x
sin
6
x
6
7
6
k2
k
k2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
x
k
,x
2
4
6
7
6
k2 , x
k2
.
k
Câu 37. Giải phương trình: 2 cos 2 x sin x
Ta có:
1
2 cos 2 x
sin x sin 3 x
2 cos 2 x 2 cos 2 x sin x
cos 2 x sin x 1 0
cos 2 x
0
sin x 1
2x
0
2
sin x
k
x
1
x
4
2
(1)
sin 3 x
0
0
k
2
+k 2
k
k
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
4
k
, x
2
2
+k 2
k
.
Câu 38. Giải phương trình: sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0
(1)
1 sin 6 x sin x sin 5 x sin 2 x sin 4 x sin 3 x 0
2sin
7 x
5x
x
3x
7x
3x
cos cos cos 0 4sin cos 2cos x 1 0
2
2
2
2
2
2
k 2
7x
x 7
sin 2 0
3x
k 2
cos 0 x
;k Z
2
3
3
2cos x 1 0
x 2 k 2
3
3
Câu 39. Giải phương trình lượng giác: 2 cos(2x ) 4s inx.sin3x - 1 0
3
Giải phương trình : 2 cos(2x ) 4s inxsin3x 1 0 (1)
2(cos2xcos
sin 2x sin ) 4sin x sin 3x 1 0
3
3
Nguyễn Văn Lực
Ninh Kiều – Cần Thơ
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
cos2x 3 s in2x+4sin x sin 3x 1 0
1 2s in 2 x-2 3 sin x cos x 4sin x sin 3x 1 0
s inx(2s in3x-sin x- 3 cos x) 0
sinx 0
sinx 3 cos x 2sin 3x
*s inx 0 x k (k z)
1
3
s inx
cos x sin 3x
2
2
3x x k2
x k
3
6
sin(x ) sin 3x
(k z)
3
3x x k2
x k
3
6
2
(k z)
vậy phương trình đã cho có nghiệm x k ; x k
6
2
*s inx 3 cos x 2sin 3x
Câu 40. Giải phương trình
sin(2x
17
x
) 16 2 3.sin x cos x 20sin 2 ( )
2
2 12
*Biến đổi phương trình đã cho tương đương với
c os2x 3 sin 2x 10cos(x ) 6 0
6
c os(2x ) 5c os(x ) 3 0
3
6
2c os 2 (x ) 5cos(x ) 2 0
6
6
1
Giải được c os(x ) và c os(x ) 2 (loại)
6
2
6
1
5
*Giải c os(x ) được nghiệm x k 2 và x k 2
6
2
2
6
Câu 41. Giải phương trình sau: cos x sin 2 x
.
4
2
4
Pt đã cho cos x sin 2 x
4
2
4
1
2 cos x
4
1
2 sin 2 x 1
4
cos x sin x sin 2 x cos2 x 1
sin x(1 2 cos x) cos x(1 2 cos x) 0.
(sin x cos x)(1 2 cos x) 0.
cos x sin x 0
1 2 cos x 0
Nguyễn Văn Lực
tan x 1 x k
4
(k )
cos x 1
x k 2
2
3
Ninh Kiều – Cần Thơ
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
Vậy phương trình đã cho có 3 họ nghiệm: x
Câu 42. Giải phương trình cos
Ta có:
1
x
2
2sin x cos x 0
sin x
sin x 1 2 cos x
sin x
0
x
1 2 cos x
sin 2 x
0
1
2
cos x
Điều kiện: cos x
0
Ta có:
sin x
cos x
1
x
sin x
cos x
2 cos x 1
0
0
3
k 2 , (k ) .
(1)
0
k
cos x
Câu 43. Giải phương trình 1 tan x
sin x
4
k , x
0
cos
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
1
2
1
1
2
2
3
k , x
2 2 sin x
k2
k2
.
k
(1)
4
cos x
cos x 2 cos x 1
cos x
2
3
x
k
2 sin x
tan x
2
3
x
cos x
0
k
4
cos
3
k
x
3
k2
k
Đối chiếu điều kiện: các nghiệm tìm được đều thỏa điều kiện.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
Nguyễn Văn Lực
4
k , x
Ninh Kiều – Cần Thơ
3
k2
k
.
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
2.3. Phương trình bậc hai đối với sin, cos
Câu 1. Giải phương trình: (sinx cosx)2 1 cosx .
Ta có: (s inx cosx)2 1 cosx 1 2 sin xcosx 1 cosx
cosx(2 sin x-1) 0
cosx 0
s inx= 1
2
x k
2
x= k2 (k Z).
6
5
x 6 k2
Câu 2. Giải phương trình: 2cos 2 2 x 3cos 3 x 4 cos 2 x 3cos x 0
Khi đó , phương trình tương đương với :
cos2 x cos 2 x 3cos x 2 0
x k x k
4
4
2 x k 2
cos2 x 0
cos x 1 x k
(k )
2
cos2 x 3cos x 2 0 2cos 2 x 3cos x 1 0
1
2
cos x
x k 2
2
3
2
Vậy nghiệm phương trình là: x k ; x k 2
4
3
3 2 cos2 x cos x 2 s inx 3 2 cos x 0.
Câu 3. Giải phương trình
Phương trình đã cho tương đương với 3
3 2sin x
3s inx cos x 2sin x 3s inx cos x 0
3s inx cos x 0
x
k 2
3
3
s inx
2
2
x
k 2
3
cos x 3 0
5
x
k , k .
6
Câu 4. Giải phương trình: sin 2 x 2 cos 2 x 3sin x cos x .
Phương trình đã cho tương đương 2sin 2 x 3sin x 2 2sin x cos x cos x 0
2sin x 1 sin x cos x 2 0
Nguyễn Văn Lực
Ninh Kiều – Cần Thơ
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
sin x cos x 2 0 : Phương trình vô nghiệm
x 6 k 2
2sin x 1 0
(k )
7
x
k 2
6
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x
6
k 2 , x
7
k 2 (k ).
6
Câu 5. Giải phương trình: 2sin2x + 3cosx – 2 = 0
2sin2x + 3cosx – 2 = 0 (1)
Pt (1) 2(1 – cos2x) + 3cosx – 2 = 0 2cos2x – 3cosx = 0 (*)
đặt t = cosx (t ≤ 1)
t = 0
Pt (*) trở thành : 2t2 – 3t = 0
3 .So sánh điều kiện t = 0 thỏa mãn
t =
2
Với t = 0 cosx = 0 x = k2 (k Z)
Vậy nghiệm của phương trình là : x = k2 (k Z)
Câu 6. Giải phương trình lượng giác: cos2 x 3 cos x 3sin x 3sin 2 x 0
2
3 3
3 sin x
cos2 x 3 cos x 3sin x 3sin 2 x 0 cos x
2 2
cos x
cos x
3
3
3 sin x
2
2
3
3
3 sin x
2
2
(1) tan x
1
3
3 sin x cos x 0
3 sin x cos x 3
2
(1)
(2)
x k
6
(2) sin x sin
6
3
x 2 k2
x 5 k2
6
Vậy phương trình có hai họ nghiệm là x k hay x k2 .
6
2
Nguyễn Văn Lực
Ninh Kiều – Cần Thơ
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
Câu 7. Giải phương trình 2 3 cos 2 x 6sin x.cos x 3 3
Tập xác định
*
.
3 1 cos 2 x 3sin 2 x 3 3 3 cos 2 x 3sin 2 x 3
1
3
3
3
cos 2 x
sin 2 x
sin 2 x
2
2
2
6 2
2
x
k
2
x
k
6 3
12
k .
2 x 2 k 2
x k
6
3
4
Câu 8. Giải phương trình: 2sin 2 x 3 sin 2 x 2 0 .
2sin 2 x 3 sin 2 x 2 0 3 sin 2 x cos 2 x 1
x k
6
sin 2 x sin
6
6
x k
2
3
1
1
sin 2 x cos 2 x
2
2
2
k
Câu 9. Giải phương trình: 2 cos 2 x sin x 1 0 .
Ta có: 2 cos 2 x sin x 1 0 2sin 2 x sin x 3 0 (sin x 1)(2sin x +3)=0
sin x 1 (do 2sin x 3 0 x )
s inx 1 x k 2 k
2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
2
k 2 k
Câu 10. Giải phương trình trình sau trên tập số thực:
sin2x - 2 3 cos2x = 0 với x (o;
3
)
2
sin2x - 2 3 cos2x = 0 <=> cosx(sinx- 3cosx)=0
x
k
cos x 0
2
<=>
tan
x
3
x k
3
4
Trên (0,3π/2) ta có tập nghiệm là: , , .
3 2
Nguyễn Văn Lực
3
Ninh Kiều – Cần Thơ
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
Câu 11. Giải phương trình sin 5 x 2 cos 2 x 1
Ta có:
1
cos 5 x
cos 5 x
5x
2
5x
cos 2 x
2
2x
k2
k
2x
k2
k2
6
3
k2
14
7
x
0
cos 2 x
2
2
x
(1)
k
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
k2
, x
3
6
14
2
Câu 12. Giải phương trình 1 2sin x cos x 1 sin x cos x
Ta có:
1
2 1 sin x sin 2 x
1 sin x
1 sin x 2sin 2 x 1
sin x
1
2sin 2 x 1
x
0
2
sin 2 x
k2
k2
7
k
(1)
0
0
k
1
2
2x
sin 2 x
sin
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x
6
2x
2
6
5
6
k2 , x
k2
k2
12
x
k
12
5
x
k
12
5
k , x
+k
12
k
k
.
Câu 13. Giải phương trình : 2cos 2 2 x 3 cos 4 x 4cos 2 x 1 (1)
4
1 1 cos 4 x 3 cos 4 x 4 cos 2 x 1 sin 4 x 3 cos 4 x 2 2 cos 2 x 1
2
1
3
sin 4 x
cos 4 x cos 2 x cos 4 x cos 2 x
2
2
6
k
x k x
,k
12
36 3
Nguyễn Văn Lực
Ninh Kiều – Cần Thơ
0933.168.309
www.TOANTUYENSINH.com
2.4. Phương trình chứa mẫu
Câu 1. Giải phương trình:
1 cos x(2cos x 1) 2 s inx
1
1 cos x
Điều kiện: cos x 1 x k 2 , k
Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương:
1 cos x(2cos x 1) 2 sinx 1 cos x 2sin 2 x 2 sin x 2 0
sin x
2
5
x k , k ; x
k , k
2
4
4
Câu 2. Giải phương trình:
(thỏa điều kiện)
3(2.cos 2 x cos x 2) (3 2cos x).sin x
0
2cos x 1
ĐK:
Pt đã cho tương đương với pt:
Vậy pt có 2 họ nghiệm
Câu 3. Giải phương trình:
hoặc
2 sin x
4
tan 2 x cos 2 x 0
sin x cos x
ĐK : cos2x 0.
2
Biến đổi phương trình sin x cos x sin x 2 x cos 2 x.cos 2 x 0
pt cos 2 x.cos 2 x 1 0
pt cos 2 2 x cos 2 x 2 0 cos 2 x 1 (thỏa mãn ĐK), cos2x = -2 (vn)
k
Vậy cos2x = 1 x
, k Z
4 2
k
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. x
, k Z
4 2
Nguyễn Văn Lực
Ninh Kiều – Cần Thơ
0933.168.309
