www.TOANTUYENSINH.com

PHẦN 11. BÀI TOÁN TỔNG HỢP
11.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 1. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  y  z và x  y  z  3 . Tìm giá
x
z

trị nhỏ nhất của biểu thức: P  
Ta có

x
 xz  2 x,
z

Từ đó suy ra

z
 3y .
y

z
 yz  2 z .
y

P

x z
  3 y  2 x  xz  2 z  yz  3 y
z y
 2( x  z )  y ( x  y  z )  xz  yz  2( x  z )  y 2  x ( y  z )

Do x  0 và y  z nên x( y  z )  0 . Từ đây kết hợp với trên ta được
P

x z
  3 y  2( x  z )  y 2  2(3  y )  y 2  ( y  1) 2  5  5 .
z y

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 đạt khi x=y=z=1
Câu 2. Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
Ta có :

P

P

x 2 (y  z) y 2 (z  x) z 2 (x  y)


.
yz
zx
xy

x 2 x 2 y2 y2 z2 z2



 

y
z
z
x
x
y

(*)

Nhận thấy : x2 + y2 – xy  xy x, y  R
Do đó : x3 + y3  xy(x + y) x, y > 0
Tương tự, ta có :

hay

x 2 y2

xy
y
x

x, y > 0

y2 z2
  yz
z
y

y, z > 0


z2 x 2

zx
x
z

x, z > 0

Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:
P  2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1
1
3

Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = . Vì vậy, minP = 2.
Câu 3. Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a  b  c  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức M  4a  9b  16c  9a  16b  4c  16a  4b  9c .
+ Đặt u  2a ;3b ; 4c , v  2c ;3a ; 4b , w  2b ;3c ; 4a  M  u  v  w



M  uvw 

Nguyễn Văn Lực

 








 2a  2b  2c   3a  3b  3c    4a  4b  4c 
2

2

Ninh Kiều – Cần Thơ

2

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
+ Theo cô – si có 22  2b  2c  33 2a b c  6 . Tương tự …
+ Vậy M  3 29. Dấu bằng xảy ra khi a  b  c  1.
Câu 4. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn : x  y  z  3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức: P 

x3
y3
z3
2


  xy  yz  zx  .
3
3
3

y  8 z  8 x  8 27

x3
y  2 y2  2 y  4
x3
x
3
Áp dụng bđt Cauchy cho các số dương: 3 

3

y 8
27
27
729 3

Tương tự, thu được :

x3
y3
z3
x 2  y 2  z 2  15



1
y 3  8 z 3  8 x3  8
27

2

2
2
4 x  y  z  2  xy  yz  zx  4  x  y  z 
1
P 
 

9
27
9
27
9
1
1
P  khi và chỉ khi x  y  z  1  min P 
9
9
Câu 5. Cho các số thực dương x, y, z thỏa x  y  z  3 . Tìm giá tri ̣nhỏ nhấ t của biểu
xy  yz  zx
thức P  x 2  y 2  z 2  2
.
x y  y2 z  z2 x
2

Áp dụng BĐT TBC-TBN cho hai số dương, ta có
x3  xy 2  2 x 2 y, y 3  yz 2  2 y 2 z , z 3  zx 2  2 z 2 x.

 x3  y 3  z 3  2  x 2 y  y 2 z  z 2 x    xy 2  yz 2  zx 2 

1


Mă ̣t khác, do x  y  z  3 nên

3 x2  y2  z 2    x  y  z   x2  y 2  z 2 
 x 3  y 3  z 3   x 2 y  y 2 z  z 2 x    xy 2  yz 2  zx 2   2 

Từ (1) và (2), ta có x 2  y 2  z 2  x 2 y  y 2 z  z 2 x .
Do đó P  x 2  y 2  z 2 

xy  yz  zx
x2  y 2  z 2

Ta có  x  y  z   x 2  y 2  z 2  2  xy  yz  zx  .
2

Đặt t  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx 
Do x  y  z
2

2

2

 x  y  z

3

9t
.
2


2

t 3

9t
2t 2  t  9
,t  3  P 
,t  3
Khi đó P  t 
2t
2t
2t 2  t  9
, trên 3;   .
Xét hàm số f  t  
2t

Lập bảng biến thiên, ta có hàm f đồng biến trên 3;   .
 P  min f  t   f  3  4 .
t 3

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Kết luận được : min P  4  x  y  z  1.


x

Câu 6. Cho x,y  R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P 
Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy  (x + y)2 ta có xy 
P

3

 y3    x2  y2 
( x  1)( y  1)

2

t
4

t 3  t 2  xy (3t  2)
t2
. Do 3t - 2 > 0 và  xy   nên ta có
4
xy  t  1

t 2 (3t  2)
t2
4
P

t2
t2

 t 1
4
t2
t 2  4t
; f '(t ) 
; f’(t) = 0  t = 0 v t = 4.
Xét hàm số f (t ) 
t2
(t  2) 2
t3  t2 

t
f’(t)

2

4
0

-

+
+

+

+

f(t)
8

x  y  4
x  2

 xy  4
y  2

Do đó min P = min f (t ) = f(4) = 8 đạt được khi 
(2; )
Câu 7. Cho x, y, z
thức P 

x  y  16 z
3

3

x  y  z

 0 thoả

mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

3

3

 x  y  (biến đổi tương đương)

3


Trước hết ta có: x  y
3

3

4

 ...   x  y   x  y   0
2

x  y   64 z 3  a  z   64 z 3

3
Đặt x + y + z = a. Khi đó 4 P 

 1  t   64t 3
3
3

(với t =

3

3

a

a

z

, 0  t 1)
a

Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t   0;1 . Có
1
2
f '(t )  3 64t 2  1  t   , f '(t )  0  t   0;1


9

Lập bảng biến thiên

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
 Minf  t  
t 0;1

16
64
 GTNN của P là
đạt được khi x = y = 4z > 0
81
81


Câu 8. Cho các số thực không âm a,b,c thõa mãn a+b+c =1.Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức M  3(a2b2  b2c2  c2a 2 )  3(ab  bc  ca)  2 a 2  b2  c 2
Đặt t=ab+bc+ca ( t  0 ),ta có
a2+b2+c2  ab+bc+ca
=>1=(a+b+c)2= a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)  3(ab+bc+ca)=3t
=> a2+b2+c2=1-2t với t 

1
3

Theo bất đẳng thức Cô-si
T2=(ab+bc+ca)2  3(a2b2+b2c2+c2a2)
Do đó M  t2+3t+2 1  2t
Xét hàm số f(t)= t2+3t+2 1  2t trên tập D  0;  ,
 3
1

f’(t)= 2t  3 
f’’(t)= 2 

2
1  2t
2

(1  2t )3

 0t  D

=>f’(t) nghịch biến trên D

=>f’(t)  f’(1/3)=

11
 2 3 => f(t)đồng biến trên D
3

=>f(t)  f(0)=2
Vậy minM =2 đạt được khi t=0,tức là với a,b,c không âm thõa mãn
 a b  c 1

 ab  bc  ca
ab  bc  ca  0


< =>a,b,c là một trong các bộ số (0;0;1),(0;1;0),(1;0;0)
Câu 9 . Cho các số thực x; y thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P  x2  y 2  2 x  1  x2  y 2  2x  1  y  2 .

Xét các điểm M(x−1; −y) , N(x+1; y). Ta có OM + ON ≥ MN
 ( x  1)2  y 2  ( x  1)2  y 2  4  4 y 2  P  2 1  y 2  y  2  f ( y )
TH1: y ≤ 2: f ( y)  2 1  y 2  2  y  f '( y) 

2y
1  y2

1

y  0
3
f '( y )  0  2 y  1  y 2   2

 y
3
3 y  1

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
 3
  2 3
 3 

Lập bảng biến thiên f(y)  min f ( y )  f 
x( .2]

TH2: y ≥ 2: f ( y)  2 1  y 2  y  2 ≥ 2 5  2  3
Vậy P  2  3 x; y .
Do đó MinP  2  3 khi x = 0 ; y =

3
3

Câu 10. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn  1  2 2  x  1  2 2 , y  0, z  0 và
x  y  z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P


1
1
1
.


2
2
( x  y) ( x  z ) 8  ( y  z ) 2

1
1
1
1
1
1





2
2
2
2
2
(1  z )
(1  y )
8  (1  x)
(1  y )

(1  z )
8  (1  x) 2
1
1
1


Ta sẽ chứng minh
2
2
(1  y )
(1  z )
1  yz
1
1
1
Thật vậy:


 (1  yz )[(1  z ) 2  (1  y ) 2 ]  [(1  z )(1  y )]2 .
2
2
(1  y )
(1  z ) 1  yz

Ta có P 

 (1  yz )(2  2 z  2 y  z 2  y 2 )  (1  zy  z  y ) 2

 2( z  y)(1  zy)  2(1  yz)  (1  zy)( y  z ) 2  2 zy(1  yz)

 (1  zy) 2  2( z  y)(1  zy)  ( z  y) 2
 (1  zy )( y  z ) 2  2  4 yz  2 y 2 z 2  (1  yz ) 2  ( y  z ) 2  4 yz  0
 yz ( y  z ) 2  (1  yz ) 2  0 (hiển nhiên đúng).

Dấu “=” xảy ra khi y  z  1 .
yz
(1  x) 2 (1  x) 2
 yz
 yz  yz  



2
4
4
 2 
1
1
1
1
4




Do đó
2
2
2
(1  x)

(1  y )
(1  z ) 1  yz
4  (1  x) 2
1
4
4
1
P

2
4  (1  x)
8  ( x  1) 2
2

Ta lại có

Do  1  2 2  x  1  2 2 nên ( x  1) 2  [0;8) .
Đặt t  (1  x) 2  t  [0;8) và P 
Xét f (t ) 

4
1

4t 8t

4
1
4
1
 3t 2  72t  240




với t  [0;8) . f ' (t )  
4t 8t
(4  t ) 2 (8  t ) 2
(4  t ) 2 (8  t ) 2

f ' (t )  0  3t 2  72t  240  0  t  4; t  20 (loại)

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com

Bảng biến thiên
T

0
8

4

f’(t)

-


0

+

9
8

f(t)


3
4

(1  x) 2  4
 x  3
3
3


Do đó P  f (t )  và P  khi  y  z  1
4
4
 x  y  z  1  y  z  1

3
Vậy min P  khi x  3, y  z  1
4

Câu 11. Cho các số thực dương a,b,c thỏa a + b + c =3. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu

a 2  bc b 2  ca c 2  ab


b  ca
c  ab
a  bc
2
2
1
a  bc b  ca
c2  ab
Xét P 


3
3b  3ca 3c  3ab 3a  3bc

thức P 

Ta có 3b  3ca  b(a  b  c)  3ca  b(a  b  c)  ca  2ca mà a 2  c 2  2ac
nên 3b  3ca  ab  b 2  bc  ca  a 2  c 2
Chứng minh tương tự ta có: 3c  3ab  ac  c 2  bc  ab  a 2  b 2
3a  3bc  a 2  ab  ac  bc  c 2  b 2

1
a 2  bc  b 2  ca  c2  ab
Khi đó P 
1  P  3
3
ab  b2  bc  ca  a 2  c2


Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.
Vậy MinP  3 khi a = b = c = 1.
Câu 12. Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện ( x  y ) 3  4 xy  2 . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biếu thức P  3( x 2  y 2 ) 2  2( x  y ) 2  xy(3xy  4)  2015 .
Với mọi số thực x, y ta luôn có ( x  y ) 2  4 xy , nên từ điều kiện suy ra
( x  y )3  ( x  y ) 2  ( x  y )3  4 xy  2  ( x  y )3  ( x  y ) 2  2  0  x  y  1

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
3
2

3
2

Ta biến đổi P như sau P  ( x 2  y 2 ) 2  ( x 2  y 2 ) 2  2( x 2  y 2  2 xy)  xy(3xy  4)  2015
3 2
3
( x  y 2 ) 2  ( x 4  y 4 )  2( x 2  y 2 )  2015
(3)
2
2
9

(x2  y 2 )2
Do x 4  y 4 
nên từ (3) suy ra P  ( x 2  y 2 ) 2  2( x 2  y 2 )  2015
4
2
1
Đặt x 2  y 2  t thì t 
(do x  y  1) .
2
1
1
9
9
Xét hàm số f (t )  t 2  2t  2015 với t  , có f ' (t )  t  2  0 , với t  nên hàm số
4
2
2
2
1
 1  32233
f(t) đồng biến trên  ;  . Suy ra min
.
f (t )  f   
1

16
2
2

t ;  

2




Do đó GTNN của P bằng



32233
1
, đạt được khi và chỉ khi x  y  .
16
2

Câu 13. Cho x, y, z  0; 2 thỏa mãn x  y  z  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

1
1
1
 2
 2
 xy  yz  zx
2
2
x  y  2 y  z  2 z  x2  2
2

Ta có x 2  y 2  2   x 2  1   y 2  1  2  x  y  ,….; xy 

1 1

1

xy  1
,…
2



1

Nên P  


 xy  yz  zx  3 .
2 x y y  z z  x

Ta có  x  y  z  xy  yz  zx   9 xyz
8
 x  y  z  xy  yz  zx 
9
 x  y  y  z    y  z  z  x    x  y  z  x 

  x  y  y  z  z  x    x  y  z  xy  yz  zx   xyz 
1
1
1




x y yz zx

 x  y  y  z  z  x 

 x  y  z   xy  yz  zx
 x  y  y  z  z  x 
2
 x  y  z   xy  yz  zx
2




8
 x  y  z  xy  yz  zx 
9
27
3


8  xy  yz  zx  8

1
27
27 
 xy  yz  zx  
2  8  xy  yz  zx 
8


Suy ra P  

Đặt t  xy  yz  zx .

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Do x, y, z   0; 2   2  x  2  y  2  z   0  xy  yz  zx 
1
3

4  xyz
2t 2
2

Mặt khác: xy  yz  zx   x  y  z   3  t  3 .
Vậy t   2;3

2

1 27
27
Ta có P    t    f  t 
2  8t


8

1
27
8t 3  27
 0 t   2;3 nên hàm số
Xét hàm số f  t  với t   0; 2 ta có f '  t   t  2  
2
2  8t 
16t
15
f  t  đồng biến trên  2;3 .  f  t   f  3  .
4
15
15
Do P  f  t   P  . Có P  khi x  y  z  1 .
4
4
15
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
đạt được khi x  y  z  1.
4

Câu 14. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a  3c
4b
8c


.

a  2b  c a  b  2c a  b  3c
 x  a  2b  c
a   x  5 y  3z


Đặt  y  a  b  2c  b  x  2 y  z
 z  a  b  3c
c   y  z


P

Do đó ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của
 x  2 y 4 x  8 y  4 z 8 y  8z  4 x 2 y   8 y 4 z 


 
      17
x
y
z
x   z
y 
 y
4x 2 y
8 y 4z
P2
.
2
.

 17  12 2  17;
y x
z y
P

Đẳng thức xảy ra khi b  1  2  a, c   4  3 2  a
Vậy GTNN của P là 12 2  17.

Câu 15. Cho các số thực x, y thỏa mãn  x  4    y  4   2 xy  32 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức A  x3  y 3  3  xy  1 x  y  2  .
2

2

Ta có  x  4    y  4   2 xy  32   x  y   8  x  y   0  0  x  y  8
2

2

2

A   x  y   3  x  y   6 xy  6   x  y  
3

3

3
2
 x  y   3  x  y   6.
2


3
2

Xét hàm số: f  t   t 3  t 2  3t  6 trên đoạn  0;8 .
Ta có f '  t   3t 2  3t  3, f '  t   0  t 
Nguyễn Văn Lực

1 5
1 5
hoặc t 
(loại)
2
2

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
 1  5  17  5 5
17  5 5
, f 8  398 . Suy ra A 
 
4
4
 2 

Ta có f  0   6, f 


1 5
17  5 5
thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
4
4
2
Câu 16. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a  2b  12 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
4 4
5
biểu thức: P  4  4 
a b 8  a  b 2

Khi x  y 

Từ giả thiết và bất đẳng thức CôSi ta có:
a 2  2b  12  a 2  4  2b  16  4a  2b  16  2 4a.2b  16  0  ab  8

a 2b 2  4 4  ab
5
1  a 2 b2  5
1
  2  2  .
Do đó P 
 4  4  .
2
64  a b  8 8  a  b  16  b a  64 a  b  2
b a
a b
1 2 5 1

1

Đặt t   (t  2) , ta có P  t  .
b a
16
64 t  2 8
1
5 1
1
 trên (2; )
Xét hàm số f (t )  t 2  .
16
64 t  2 8
1
5
1
5
Ta có f '(t )  t  .
; f '(t )  0  t 
2
8 64  t  2 
2

Bảng biến thiên

Từ bảng biến

thiên ta có

 5  27

min f (t )  f   
 2; 
 2  64
27
Suy ra P  , dấu bằng xảy ra khi a  2, b  4.
64
27
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng
khi a  2, b  4.
64

Câu 17. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  1. Tìm giá trị nhỏ
 1
 1
 1

 1  1  1 .
 ab  bc  ca 

nhất của biểu thức P  3 
Đặt A  P3

1
 1
 1
 1  ab 1  bc 1  ca 
 1  1  1 
 ab  bc  ca 
 abc 2


Ta có: A  

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân có :
2
a  b

 2  a  b  2  a  b   1  a   1  b   1  c 
1  ab  1 


4

4

4



Tương tự có: 1  bc 

1  c  1  a 1  b 
2


1  a  1  c 1  b 

1  ca 

2

1  b  1  c 1  a 
2

1
1
1  1  
Do đó A   1  
1  1   
8   a  b  c  

2

3


1
1
1
1 
3
Mà: 1   1   1    1  3
 4
 a  b  c  

abc 

Do đó min P = 8 đạt được khi a = b = c =

1
3

Câu 18. Cho ba số thực dương a, b, c và thỏa mãn điều kiện a 2  b 2  c 2  3 . Tìm giá
a3  b3 b3  c3 c3  a3


.
a  2b
b  2c
c  2a
x3  1 7 2 5
 x  ( x  0) *
Trước tiên ta chứng minh BĐT :
x  2 18
18
3
2
*  18( x  1)  x  2 7 x  5

trị nhỏ nhất của biểu thức: S 






 x  1 11x  8  0
2

luôn đúng với mọi x>0, dấu “=” xảy ra khi x=1

a b c
; ;
b c a
a 3  b 3 7 a 2 5b 2 b 3  c 3 7b 2 5c 2 c 3  a 3 7c 2 5a 2


;


;


;
a  2b
18
18 b  2c
18
18 c  2a
18
18
12a 2  b 2  c 2 
2
Từ các đảng thức trên suy ra S 
18


Áp dụng (*) cho x lần lượt là

Vậy MinS =2 khi a=b=c=1.
Câu 19. Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn:
của biểu thức:

Nguyễn Văn Lực

P  8 xyz 

x2  y 2  z 2 

3
.
4

Tìm giá trị nhỏ nhất

1
1 1
  .
xy yz zx

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Ta có


1
1
1
1


 3 3 2 2 2 , đặt t =
xy yz zx
x y z

xyz  0

3

x2 + y 2 + z 2 1
1
 0t 
Mà x y z 
3
4
2
3
3
3
3
 P  8t  2 . Xét hàm số f (t )  8t  2 .
t
t
3


2

2

2

Ta có t  0 , f'(t) = 24t 2 

6
, f''(t ) = 0  t 
t3

5

1
.
4

Ta có bảng:
t

1
2

0

5




1
4

0

f’(t)
13
f(t)
Từ bảng ta có f(t) ≥ 13 với mọi giá trị t thỏa mãn 0  t 
Suy ra P ≥ 13. Dấu bằng xảy ra khi t =

1
2

1
1
hay x = y = z = Kl: MinP = 13.
2
2

Câu 20. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn 2c  b  abc. Tìm giá
3
4
5


bca acb abc
1 1
4

, x  0, y  0.
Áp dụng bất đẳng thức  
x y x y

trị nhỏ nhất của biểu thức S 

1
1
1
1
1
1

 


 2


  3

bca a cb
bca a bc  a c b a bc 
2 4 6
suy ra S    .
c b a
1 2
2 4 6
1 2 3
3

Từ giả thiết ta có   a, nên    2      2  a    4 3.
c b
c b a
a
c b a

S

Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 4 3 . Dấu bằng xảy ra khi a  b  c  3.
Câu 21. Cho x, y 
P  x4  y 4 

2 y  x 2
thỏa mãn 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
 y  2 x  3x

2

 x  y

Nguyễn Văn Lực

2

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309



www.TOANTUYENSINH.com
Từ giả thiết ta có y  0 và

x2
6
 2 x 2  3x  0  x  và
2
5

x 2  y 2  x 2   2 x 2  3x   2 x 2  2 x 2  6 x  5 
2

6
Xét hàm số f ( x)  2 x 2  2 x 2  6 x  5 ; x  0;  ta được Max f(x) = 2
 5

 6
 0; 5 



 x2  y 2  2

P   x2  y



2 2


 2x2 y 2 

Đặt t  x 2  y 2  P 

  x2  y

2

 x  y

2

x




2 2

2

 y2 
2

2



2
x  y2

2

t2 2
 ,0t 2
2 t

Xét hàm số:
g (t ) 

t2 2
2 t3  2
 , t   0; 2 , g '(t )  t  2  2 ; g '(t )  0  t  3 2
2 t
t
t

Lập bảng biến thiên ta có Min P 

6
33 4
16
khi x  y 
2
2

Câu 22. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a 2b 2  c 2b 2  1  3b . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
- Ta có: P 

1


 a  1

2



1

P

4b2

1  2b 

 a  1


2

2



8

 c  3

4b 2


2

1  2b 


2

1

 a  1

2



8

 c  3



2

1
 1

  1
 2b 

2




8

 c  3

2

1
b

- Đặt d  , khi đó ta có: a 2b 2  c 2b 2  1  3b trở thành a 2  c 2  d 2  3d
Mặt khác: P 



1

 a  1

2



1
d 
  1
2 


64
d


 a   c  5
2



2

2





8

 c  3

2



8
d


 a   2

2



2



8

 c  3

2

256

 2a  d  2c  10 

2

- Mà: 2a  4d  2c  a 2  1  d 2  4  c 2  1  a 2  d 2  c 2  6  3d  6

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com

Suy ra: 2a  d  2c  6
- Do đó: P  1 nên GTNN của P bằng 1 khi a  1, c  1, b 

1
2

Câu 23: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn 2 x  3 y  7 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P  2 xy  y  5( x2  y 2 )  24 3 8( x  y)  ( x2  y 2  3)
2

2x  2  3 y  3 
Ta có 6( x  1)( y  1)  (2 x  2)(3 y  3)  
  36  x  y  xy  5 .
2



Ta có 5( x2  y 2 )   2 x  y   5( x2  y 2 )  2 x  y và
2

( x  y  3)2  x 2  y 2  9  2 xy  6 x  6 y  0
 2( x  y  xy  3)  8( x  y )  ( x 2  y 2  3)

Suy ra P  2( xy  x  y )  24 3 2( x  y  xy  3)
Đặt t  x  y  xy, t   0;5 , P  f (t )  2t  24 3 2t  6
Ta có f / (t )  2 

24.2
3 3 (2t  6) 2


2

3

(2t  6) 2  8
3

(2t  6) 2

 0, t   0;5

 hàm số f(t) nghịch biến trên nữa khoảng  0;5 .

Suy ra min f (t )  f (5)  10  48 3 2
x  2
y 1

Vậy min P  10  48 3 2, khi 

Câu 24. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
4
1


.
4a  2b  4 2bc 8  a  2b  3c 4  b  2c
1
1


Ta có 2 2bc  b  2c 
4a  2b  4 2bc 4a  4b  4c
4
1
1


và
8  a  2b  3c 4  a  b  c 4  b  2c
1
1

Suy ra P 
, Đặt t  a  b  c, t  0
4a  b  c 4  a  c  b
P

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
xét f (t ) 

t
f’
f


1
1

,
4t 4  t

0
-

t  0,

4
0
-

f '(t )  

1
1

; f '(t )  0  t  4 .
2
2
4t
4  t 

+
+


1
16

b  2c
a  c  1
1

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng - khi a  b  c  b  2c  
.
16
b

2

a  b  c  4


Câu 25. Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: x  y  z  1
Tìm giá trị nhỏ nhất của: P 

x y
yz
zx


xy  z
yz  x
zx  y

Ta có x  y  z  1  x  y  1  z

x y

xy  z

1 z
1 z

xy  1  x  y
(1  x)(1  y )

yz

yz  x

1 x
1 x

yz  1  y  z
(1  y )(1  z )

zx

zx  y

1 y
1 y

zx  1  x  z
(1  x)(1  z )
x y

yz
zx
1 z
1 x
1 y
P


xy  z
yz  x
zx  y = (1  x)(1  y ) + (1  y )(1  z ) + (1  x)(1  z )
Khi đó

1 z
1 x
1 y
.
.
3
(1  x)(1  y ) (1  y )(1  z ) (1  x)(1  z )
.
1
x yz
3
Vậy MinP  3 đạt được khi
 33

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ


 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com

11.2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Câu 1. Cho a, b, c là các số dương và a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P

bc
3a  bc



ca
3b  ca

Vì a + b + c = 3 ta có
Vì theo BĐT Cô-Si:
Tương tự
Suy ra P 



ab
3c  ab

bc
bc

bc
bc  1
1 


 


3a  bc
a (a  b  c )  bc
(a  b)(a  c ) 2  a  b a  c 
1
1
2


, dấu đẳng thức xảy ra  b = c
ab ac
(a  b)(a  c)

ca
ca  1
1 
 

 và
3b  ca 2  b  a b  c 

ab
ab  1

1 




2  ca cb 
3c  ab

bc  ca ab  bc ab  ca a  b  c 3



 ,
2(a  b) 2(c  a ) 2(b  c)
2
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P =

3
khi a = b = c = 1.
2

Câu 2. Cho các số thực dương a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn 2a  c và
ab  bc  2c 2 . Tìm giá

trị lớn nhất của biểu thức P 

Theo giả thiết: 2a  c nên


a
b
c


.
a b bc ca

a 1
a b b
a 2c
 ; ab  bc  2c 2  .   2  
1
c 2
c c c
c b

a 1
b 4
 nên 
c 3
c 2
c
3
Đặt t  thì 0  t 
b
4
a
b
1

2t 2  t
1
1
2
7
P c  c 
 2


 1

a b b
a 2t  t  1 1  t 2(1  t )
2t  1 6(1  t )

1 1 
c c c
c
2
7
 3
Xét hàm số f (t )  1 

, t   0;  . Ta có:
2t  1 6(1  t )
 4
 3
 3
f '(t )  0, t   0;  , do đó f (t ) đồng biến trên  0; 
 4

 4
3
27
Do đó GTLN của hàm số đạt tại t  , suy ra max P 
4
5
2
ab  bc  2c
 8a  3b  4c ,
Đẳng thức xảy ra khi 
2
a

c


Vì

chẳng hạn chọn được (a,b,c)=(3,8,6).

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Câu 3. Cho x, y, z là ba số dương có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
sau: P  1  x  1  y  1  z .

+ Áp dụng BĐT AM-GM, ta có
2
1  x  . 
3

2
3  5  3x
2
6

1 x 

+ Tương tự, ta thu được

1  x  .

2

3

1  y  .

2

3

1  z  .

2 5  3x 5  3 y 5  3z




2
3
6
6
6

+ Suy ra P  6
1
3

+ Dấu bằng xảy ra khi x  y  z  .
Câu 4. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn xy  x  y  3 . Tìm giá trị lớn nhất của
y

biểu thức

5

x
-8

-6

-4

-2

2


4

6

8

-5

Đặt t  x  y  xy  3  t ; x 2  y 2   x  y   2 xy  t 2  2  3  t   t 2  2t  6
2

x y
1 2
Ta có xy  
  3t  t  t  2
4
 2 
2

Suy ra P 

3  x2  y 2   3  x  y 
xy  x  y  1

Xét hàm số f  t   t 2  t 
Ta có f '  t   2t  1 




xy
12 5
  x 2  y 2   t 2  t  
x y
t 2

12 5
 với t  2
t 2

2
 0, t  2 . Suy ra hàm số f  t  nghịch biến với t  2
t2

 P  f t   f  2 

3
2

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng

3
khi x  y  1 .
2

Câu 5. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
1
1
1
 2

 2
2
2
a  2b  3 b  2c  3 c  2a 2  3
1
1
1
1

 .
có a2+b2  2ab, b2 + 1  2b  2
a  2b 2  3 a 2  b 2  b 2  1  2 2 ab  b  1
1
1
1
1
1
1
 .
,
 .
Tương tự 2
2
2
2
b  2c  3 2 bc  c  1
c  2a  3 2 ca  a  1

thức
Ta


P

2

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
P

1
1
1
1
1
ab
b
 1
 1





 


2  ab  b  1 bc  c  1 ca  a  1  2  ab  b  1 b  1  ab 1  ab  b  2

P

1
2

khi a = b = c = 1. Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng

Câu 6. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn:

1
2

khi a = b = c = 1

yz zx xy
 
 1 . Tìm giá trị lớn nhất
x
y
z

1
1
1
.



1 x 1 y 1 z
yz
zx
xy
. Ta có : a, b, c > 0 vµ a 2  b2  c 2  1 . Ta có:
,b 
,c 
x
y
z

của biểu thức: A 
Đặt a 
A

1
1
1
bc
ca
ab
. Ta có:


 3


1  bc 1  ca 1  ab
1  bc 1  ca 1  ab


b  c 

2

b  c
1

1  b2
c2 
4

 


b2  c2 2 b2  a 2  c2  a 2 2  b2  a 2 c2  a 2 
1
2
ca
1  c2
a2 
ab
1  a2
b2 
Tương tự có:
 

 

 vµ


1  ca 2  c 2  b 2 a 2  b 2 
1  ab 2  a 2  c 2 b 2  c 2 
2

bc

1  bc

Từ đó: A  3 

3 9
 . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =1/3.
2 2

Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương và a  b  c  3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức P 

2
abc
3
3  ab  bc  ca
1  a 1  b 1  c 

Áp dụng Bất đẳng thức: ( x  y  z ) 2  3( xy  yz  zx) , x, y , z   ta có:
(ab  bc  ca) 2  3abc(a  b  c)  9abc  0  ab  bc  ca  3 abc

Ta có: (1  a)(1  b)(1  c)  (1  3 abc )3 , a, b, c  0 . Thật vậy:

1  a 1  b 1  c   1  (a  b  c)  (ab  bc  ca)  abc  1  3 3 abc  3 3 (abc)2  abc  (1  3 abc )3
Khi đó: P 


2

3

abc
 Q (1).
3(1  abc ) 1  3 abc


abc 
 1
3



Đặt 6 abc  t ; vì a, b, c > 0 nên 0  abc  

3

2t  t  1  t 5  1
2
t2

, t   0;1  Q(t ) 
 0, t   0;1 .
Xét hàm số Q 
3 2
2 2
3(1  t 3 ) 1  t 2

1

t
1

t
  

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Do đó hàm số đồng biến trên  0;1  Q  Q  t   Q 1 
Vậy maxP =

1
1
(2). Từ (1) và (2): P  .
6
6

1
, đạt được khi và và chi khi : a  b  c  1 .
6

Câu 8. Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a2009 + b2009 + c2009 = 3. Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức: P = a4 + b4 + c4.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2005 số 1 và 4 số a2009 ta có:
1  1  ...  1  a 2009  a 2009  a 2009  a 2009  2009.2009 a 2009 .a 2009 .a 2009 .a 2009  2009.a 4 (1)
2005

Tương tự: 1  1  ...  1  b 2009  b 2009  b2009  b2009  2009.2009 b2009 .b2009 .b2009 .b2009

 2009.b4 (2)

2005

1  1  ...  1  c 2009  c 2009  c 2009  c 2009  2009.2009 c 2009 .c 2009 .c 2009 .c 2009  2009.c 4 (3)
2005

Từ (1), (2), (3) ta được: 6015  4(a2009  b2009  c2009 )  2009(a4  b4  c4 )
 6027  2009(a4  b4  c4 ) . Từ đó suy ra P  a4  b4  c4  3
Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3.
Câu 9. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 5(x 2
x

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P

y

2

z

2


(x

y2

z2)

9(xy

2yz

zx ) .

1
.
y z )3

Theo giả thiết ta có
5(x 2  y 2  z 2 )  9(xy  2yz  zx )  5(x  y  z )2  9(xy  2yz  zx )  10(xy  yz  zx )
 5(x  y  z )2  19x (y  z )  28yz  19x (y  z )  7(y  z )2

 x
 19x
x
 5
 1 
7 
 2  x  2(y  z )
y z
y  z
 y z

1
Mặt khác ta có (y  z )2  2(y 2  z 2 )  y 2  z 2  (y  z )2
2
2(y  z )
1
4
1
Vì vậy P 



3
1
y  z 27(y  z )3
2(y  z )  y  z
(y  z )2
2





4
1
(6t  1)2 (2t  1)
 16  16
Đặt t  y  z  0  P   3  
t 27t
27t 3



1
x  2(y  z )

x  3
Vậy min P  16 ; dấu bằng đạt tại y  z


y  z  1
1
y  z 

12

6

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
x  y 1
 9 xy  3 x  3 y. Tìm giá trị
3 xy
3x
3y
1

1
1
lớn nhất của biểu thức: M 


 2 2
y ( x  1) x( y  1) x  y x
y
Từ giả thiết ta suy ra ln( x  y  1)  3( x  y  1)  ln(3xy )  3.3xy . Xét hàm số g (t )  ln t  3t

Câu 10. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn 3  ln

1
t

trên (0; ) , ta có g '(t )   3  0 với t  0 , suy ra g (t ) đồng biến trên (0; ) , từ đó
g ( x  y  1)  g (3 xy )  x  y  1  3 xy

(*)

Theo (*) ta có 3xy  1  x  y  2 xy . Đặt t  xy  3t  2 t  1  0  t  1.
3x
3y
3x 2 ( y  1)  3 y 2 ( x  1) 36t 2  27t  3



.
y ( x  1) x( y  1)
xy ( xy  x  y  1)

4t 2

(2)

1 1
x2  y 2
(3t  1) 2  2t 36t 2  32t  4






(3)
x2 y 2
x2 y 2
t2
4t 2



Theo Cô si

5t  1 1
1
1
1
 .

 (4). Từ (2), (3), (4) ta có M 

4t 2
2
x  y 2 xy 2

Xét hàm số f (t ) 

5t  1
trên [1;+) , ta có
4t 2

5.4t 2  (5t  1)8t 2  5t

 0t  1 , suy ra f (t ) nghịch biến trên [1;+) , bởi vậy
16t 4
4t 3
3
 max f (t )  f (1)   t  1  x  y  1.
[1;  )
2

f '(t ) 

M max

Câu 11. Cho ba số thực không âm x, y, z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P

4
x


2

y

2

4
z

2

4

(x

y ) (x

5
2z )(y

2z )

(y

z ) (y

2x )(z

2x )


.

Với mo ̣i số thực không âm x, y, z Ta có:
(x  2z )(y  2z ) 

x  y  4z
x  y  4z
 (x  y ) (x  2z )(y  2z )  (x  y )
2
2

x  y  4z x 2  y 2  2xy  4yz  4zx

 2(x 2  y 2  z 2 )(1)
2
2
Vì 2xy  x 2  y 2; 4yz  2(y 2  z 2 ); 4zx  2(z 2  x 2 )

Mặt khác ta có: (x  y)

y  z  4x
 2(x 2  y 2  z 2 ) (2)
2
4
4
5


2
2

2
2
2
2
x 2  y 2  z 2  4 2(x  y  z ) 2(x  y  z )

Tương tự ta có (y  z ) (y  2x )(z  2x )  (y  z )
Từ (1) và (2) ta suy ra P 

Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Hay P 

4
x 2  y2  z 2  4

Khi đó P 



9
.Đă ̣t t  x 2  y 2  z 2  4 , t  2
2
2

2(x  y  z )
2

4
9
4
9
. Xét hàm số f (t )   2
,t 2
 2
t 2t  4
t 2t  4

4
9t
(4  t )(4t 3  7t 2  4t  16)
f '(t )   2  2

; f '(t )  0  t  4
t
(t  4)2
t 2 (t 2  4)2

(do t > 2 nên 4t 3  7t 2  4t  16  4(t 3  4)  t(7t  4)  0
Lâ ̣p bảng biế n thiên của hàm số f(t). Dựa vào bảng biế n thiên ta có
MaxP 

5
khi x  y  z  2
8


Câu 12. Cho x  0 và y  0 thỏa điều kiện x  y  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu
1
xy  1

thức P  xy 

x y
Ta có 0  xy  
 1
 2 
Đặt t  xy , điều kiện 0  t  1
2

Pt

1
1
t (t  2)

 P/  1
2
t 1
t  1 (t  1) 2

x
P/

0
0


1
+
3

P

2

1

3
Khi x  1; y  1
2

Vậy GTLN P 

Câu 13. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: xy  1  y. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức: P 

x y
x 2  xy  3 y 2



2y  x
.
6( x  y )
2


x y 1 1 1 1  1 1  1
Do x  0, y  0, xy  y  1 nên 0   2   2       .
y
y
y y
4  y 2 4
x
1
t 1
t 2
t 1
1
1
Đặt t   0  t  . Khi đó P  2


 
.
y
4
t  t  3 6t  6
t 2  t  3 6 2(t  1)
7  3t

Ta có P '(t ) 
2

t

Nguyễn Văn Lực


2

 t  3

3



1
.
2(t  1) 2

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
1
4

Vì 0  t   t 2  t  3  t (t  1)  3  3;7  3t  6; t  1  1 , do đó
7  3t
2

t

2


 t  3

3



7  3t
1
1
1
1 1

;
   P '(t ) 
 0.
2
2
6 3
3 2(t  1)
3 2

1
5 7
1
Vậy P (t ) đồng biến trên  0;  , suy ra P(t )  P     .
 4
 4  3 30
1
5 7
5 7

1
Khi x  ; y  2 thì ta có P    MaxP    x  ; y  2.
2

3

30

3

30

2

Câu 14. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn 8(a2 +b2+c2)=3(a+b+c)2.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a(1 – a3) + b(1 – b3) + c.
+) Từ giả thiết ta có: 5c2 – 6 (a+b)c + (a+b)2  0 
1
8

1
( a  b)  c  a  b .
5

1
8

+) Ta có a 4  b4  (a  b)4 a, b => P  2(a  b)  (a  b) 4
t4
+) Xét f (t )  2t 

8

+) BBT:…
t

t3
(t  0), f '(t )  2  ; f '(t )  0  t  3 4
2
3

0
+

f’(t)

+

f(t)

4

0

-

33 4
2

3


4
33 4
a  b 

+) MaxP =
2 .
2
 3
c  4

Câu 15. Cho 3 số thực không âm x, y, z thoả x2 + y2 + z2 = 3 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = xy + yz + zx +

5
x yz

Đặt t= x+y+z ĐK t > 0
t2  3
 xy+yz+zx =
2
2
x  y2
x2  z 2
z2  y2
;0  xz 
;0  zy 
Ta có 0  xy 
2
2
2


Nguyễn Văn Lực

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
Suy ra 0  xy  yz  zx  x 2  y 2  z 2
t2  3
3  3t 3
2
t2  3 5

Ta có M=
2
t
t2  3 5

Xét hàm số f(t) =
với
2
t
t3  5
f’(t) = 2 >0 ; 3  t  3
t
f( 3 )= 5/ 3 ; f(3)=14/3

 0


3t 3

Vậy Max f(t) = 14/3 với 3  t  3
Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1
Vậy Max A = 14/3 khi x=y=z =1 .
Câu 16. Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn:
2
2

 (x  y)(x  z).
3x  2y  z  1 3x  2z  y  1
2(x  3)2  y 2  z 2  16
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 

2x 2  y 2  z 2
(x  y  x  z)2 (2x  y  z)2

Ta có: (x  y)(x  z) 
4
4


1
1
8
2


 3x  2y  z  1 3x  2z  y  1  3(2x  y  z)  2


8
(2x  y  z)2

Từ giả thiết suy ra:
3(2x  y  z)  2
4

Đặt 2x  y  z  t (t  0) 

8
t2
  (t  2)(3t 2  8t  16)  0
3t  2 4
 t  2  2x  y  z  2
2
3

Mà: 4  (2x  y  z)2  (22  12  12 )(x 2  y 2  z 2 )  x 2  y 2  z 2  
2x 2  y 2  z 2  12x  2
12x  2
Ta có: P 
 1 2
2
2
2
2x  y  z
x  x2  y2  z2

 1


12x  2
36x  6
 1 2
2
3x  2
x2 
3

Xét hàm số: f(x)  1 

Nguyễn Văn Lực

36x  6
với x  0.
3x 2  2

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
 x  1 (loaïi)
36(3x 2  x  2)

, f '(x)  0  
Ta có: f '(x) 
2
2

2
2
x
 f    10
(3x  2)

3
3

Bảng biến thiên:
x

2
3

0


y



'

0
10

y




2
1
Suy ra: f(x)  10  P  10.
2
3

1
3

Vậy giá trị lớn nhất của P là 10. Dấu “=” xảy ra khi: x  ,y  z  
Câu 17. Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn 0;1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P  2( x3  y3  z3 )  ( x2 y  y 2 z  z 2 x)
Đặt f ( x)  2 x3  yx 2  z 2 x  2( y3  z 3 )  y 2 z .Ta có:
1
6

1
6
xét: x1   0;1 , lập bảng biến thiên ta thấy khi x2   0;1 hay x2   0;1 thì

f ' ( x)  6 x 2  2 yx  z 2 ; f ' ( x)  0  x  x1  ( y  y 2  6 z 2 ); x  x2  ( y  y 2  6 z 2 ) Nhận

Max f ( x)  Max  f (0); f (1) .
x0;1

Mà f (0)  2( y 3  z 3 )  y 2 z  2( y 3  z 3 )  y 2 z  (2  y  z 2 )  f (1)
(1)
 f ( x)  f (1)  2 y3  zy 2 -y  2 z 3  z 2  2

Lại đặt g ( y)  2 y3  zy 2 - y  2 z 3  z 2  2 ,
1
6

1
6

g ' ( y)  6 y 2  2 zy  1; g ' ( y)  0  y  y1  ( z  z 2  6); y  y2  ( z  z 2  6)
Nhận xét tương tự suy ra Max g ( y)  Max  g (0); g (1) .
y 0;1

Lại có g (0)  2 z 3  2  z 2  2 z 3  2  z 2  (1  z)  g (1) . Suy ra
g ( y)  g (1)  2 z3  2  z 2  (1  z)  2 z 3  z 2  z  3
Cuối cùng đặt h( z )  2 z 3  z 2  z  3 với z   0;1 , h' ( z )  6 z 2  2 z  1 .
h' ( z )  0  z1 

(2)

1 7
1 7
. Lập bảng biến thiên suy ra: Max h( z)  h(1)  3 (3)
; z2 
z0;1
6
6

Dấu bằng xảy ra ở (1), (2), (3) khi x = y = z = 1. Vậy giá trị lớn nhất của P là 3 đạt
được khi x = y = z = 1.
Nguyễn Văn Lực


Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com

11.3. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
Câu 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
f ( x)  5x 2  8x  32  3x 2  24 x  3x 2  12 x  16
Ta có TXĐ: D  [0;8]

Đặt : g ( x)  5x2  8x  32, h( x)  3x 2 12 x  16
Ta dễ dàng xác định được x  [0;8] , thì
6  g (2)  g ( x)  g (8)  12 2, 2  h(2)  h( x)  h(8)  4 7
x  0
và 3x 2  24 x  0 ( 3x 2  24 x  0  
).
x  8
8( x  2)2
Do đó f ( x) 
 3x 2  12 x  16  0  h( x)  2  x  [0;8] .
2
2
5 x  8 x  32  3x  24 x
Đẳng thức xảy khi và chỉ khi x = 2  min f ( x)  2 khi x= 2.

Ta có
f ( x)  5x2  8x  32  3x 2  24 x  3x 2  12 x  16  g ( x)  h( x)  12 2  4 7  x [0;8].


Đẳng thức xảy khi và chỉ khi x = 8  max f ( x)  12 2  4 7 khi x= 8.
Vậy min f ( x)  2 khi x= 2 và max f ( x)  12 2  4 7 khi x= 8.
Câu 2. Cho x, y là các số thực thỏa mãn
và GTNN của biểu thức

P



x 2  2 y 2  3x 2 y 2
x2  y 2  1



x2  y 2  1

2

 3x 2 y 2  1  4 x 2  5 y 2 .

Tìm GTLN

.

 x 2  y 2   3  x 2  y 2   2   x 2  3x 2 y 2
2
* Mà  x2  3x2 y 2  0   x2  y 2   3  x2  y2   2  0 ;
2

* Từ giả thiết ta có:


* Đặt t  x2  y 2  t 2  3t  2  0  1  t  2 .
*Ta được
P

x 2  2 y 2  3x 2 y 2
x2  y 2  1



 Xét hàm số





2 x 2  y 2  x 2  3x 2 y 2
x2  y 2  1

f (t ) 

t2  t  2
t 1




x2  y 2

   x2  y2   2  t 2  t  2 , t 1;2

2

t 1

x2  y 2  1


x  0
 min f (t )  f (1)  1
 min P  1, khi 
 1;2 
 y  1


, t  1;2  
4
 x  0
4
 m ax f (t )  f (2) 

3  m ax P  3 , khi 
 1;2 

 y   2


Câu 3: Cho x,y là 2 số thực thỏa mãn x 4 +16y4 +  2xy+1 =2 . Tìm giá trị lớn nhất
2

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

Nguyễn Văn Lực

P=x  x 2 +3 +2y  4y 2 +3

Ninh Kiều – Cần Thơ

 0933.168.309


www.TOANTUYENSINH.com
2
2
2
2
Theo đề bài : 1   x 2   2y    1  2xy   x 2   2y   1  2xy   x  2y   1  2xy

  x  2y 

2

 x  2y 
 1
4

2

  x  2y  
2

4

3
1
2

( vì từ (1)  2  x 4  16y 4  2 16x 4 y 4  xy   1  2xy  0 )
2
2
: P  f  t   t 3  3  t 2  1 t  3t  2t 3  6t : t 
3
3
 1
MaxP  Maxf (t)  f 1  4 (t  1khi  x, y    0,  hay  x, y   1, 0  )
 2

Đặt t = x+2y : 2xy = t 2 -1 : t 

1

MinP  Minf (t)  f  1  4 (t  1khi  x, y    0,   hay  x, y    1, 0  )
2


Câu 4. Cho ba số thực x, y, z thoả mãn: x2  y 2  z 2  2 x  4 y  1. Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  2( x  z )  y.
x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  1   x  1   y  2   z 2  4
2

2

1


Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Xét mặt cầu:
2
2
 S  :  x  1   y  2   z 2  4 . Có tâm I 1; 2;0  ,bán kính R  2 .
Xét mp   : 2 x  y  2 z  T  0
G/s M  x; y; z  . Từ 1 có điểm M nằm bên trong  S  và kể cả trên mặt cầu  S 
 d  I ,     R 

4 T
3

 2  2  T  10


Với T  2 thì M là giao điểm của mp    : 2 x  y  2 z  2  0
Và đường thẳng  đi qua I và     .
 x  1  2t

 :  y  2  t
 z  2t


 1 4 4
 M  ; ; 
 3 3 3

7 8 4
Với T  10 . Tương tự M  ;  ; 
3 3 3


Vậy min T  2 khi

Nguyễn Văn Lực

1

 x   3

y  z   4

3

max T  10 khi

7

x  3

8

y  
3

4

z  3


Ninh Kiều – Cần Thơ


 0933.168.309