Phương Pháp Tọa Độ Trong Mặt Phẳng
Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(–1; 0), B(1; 6), C(3; 2).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b) Viết phương trình tổng quát của đường cao CH của tam giác ABC (H thuộc đường
thẳng AB). Xác định tọa độ điểm H.
c) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm là điểm C và tiếp xúc với đường thẳng AB.
Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(–1; 0), B(1; 6), C(3; 2).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
•

 x = −1 + t
1 uuur
AB = (1;3) ⇒ PTTS : 
, t ∈R
2
 y = 3t

b) Viết PTTQ của đường cao CH của ∆ABC
(H thuộc đường thẳng AB).
uur
• Đường cao CH đi qua C(3; 2) và nhận AB = (2;6) làm VTPT
⇒ PTTQ: 2( x − 3) + 6( y − 2) = 0 ⇔ x + 3y − 9 = 0

 x = −1 + t

• H là giao điểm của AB và CH ⇒ Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ PT:  y = 3t
x + 3y − 9 = 0

x = 0

⇔  y = 3 ⇒ H(0; 3)


c) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm là điểm C và tiếp xúc với đường thẳng AB.
• R 2 = CH 2 = (−3) 2 + 12 = 10 ⇒ (C ) : ( x − 3) 2 + ( y − 2) 2 = 10
Câu 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn có phương trình:
x 2 + y2 − 2 x + 4y − 4 = 0

a) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn.
b) Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn, biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng d có phương trình: 3 x − 4 y + 1 = 0 .

(C): x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 4 = 0
a) x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 4 = 0 ⇔ ( x − 1)2 + ( y + 2)2 = 9 nên tâm I (1; −2) , bán kính R = 3.
b) Vì tiếp tuyến ∆ // d: 3 x − 4 y + 1 = 0 nên PTTT ∆ có dạng: 3 x − 4 y + C = 0, C ≠ 1
và d (I , ∆) = R ⇔

3.1 − 4.(−2) + C
32 + 42

C = 4
= 3 ⇔ C + 11 = 15 ⇔ 
C = −26

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là ∆1 : 3 x − 4 y + 4 = 0, ∆2 : 3 x − 4 y − 26 = 0
Câu 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(–1; 2), B(3; –5), C(–4; –9).
a) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Toán Tuyển Sinh Group


www.facebook.com/groups/toantuyensinh


Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(–1; 2), B(3; –5), C(–4; –9).
a) Tính
độ dài uuu
các
cạnh của tam
giác ABC.
uur
r
uuur

AB = (4; −7), AC = (−3; −11), BC = (−7; −4) ⇒ AB 2 = 65, AC 2 = 130, BC 2 = 65

⇒ AB = 65, AC = 130; BC = 65 ⇒ ∆ABC vuông cân tại B.

b) Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
1
2

65.65 65
(đvdt)
=
2
2

• Diện tích tam giác ABC là S = AB.BC =
• Bán kính R =


AC
130
=
2
2

c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
 5
 2

7
2

• Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm I của AC ⇒ I  − ; − ÷
2

2

⇒ PT đường tròn:  x + 5 ÷ +  y + 7 ÷ = 130

2 
2
4
Câu 4. Cho ∆ ABC có µA = 600 , AC = 8 cm, AB = 5 cm.
a) Tính cạnh BC.
b) Tính diện tích ∆ ABC.
c) Chứng minh góc $B nhọn.
d) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC.
e) Tính đường cao AH.
Cho ∆ ABC có µA = 600 , AC = 8 cm, AB = 5 cm.


1
2

a) BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC .cos A = 64 + 25 − 2.8.5. = 49 ⇒ BC = 7
1
2

1
2

b) SABC = AB.AC.sin A = .8.5.

3 20 3
=
= 10 3 (đvdt)
2
2

c) Chứng minh góc $B nhọn.
Ta có: AB 2 + BC 2 = 74 > AC 2 = 64 ⇒ $B nhọn
d) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC.
• R=

a
BC
7
7 3
=
=

=
2sin A 2sin A 2sin 600
3

• r=

S 10 3
=
= 3
p
10

e) Tính đường cao AH.
• AH =

2S∆ ABC
BC

=

2.10 3 20 3
=
7
7

Câu 5. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(–1; 2), B(3; –5), C(4; 7).
a) Viết phương trình đường vuông góc AH kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác
ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABK.
c) Viết phương trình đường thẳng qua A và chia tam giác thành 2 phần sao cho diện

tích phần chứa B gấp 2 lần diện tích phần chứa C.
d) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC . Tìm tâm và bán kính của đường
tròn này.
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


A(–1; 2), B(3; –5), C(4; 7).
a) Viết phương trình đường vuông góc AH kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác
ABC.
 3 9  uuur  3 19 
1
K
• Trung điểm AC là  ; ÷ ⇒ BK =  − ; ÷ = − (3; −19) .
2 2

 2 2

2

Chọn VTPT cho AH là (3; –19)
• AH đi qua A(–1; 2) nên phương trình AH là 3( x + 1) − 19( y − 2) = 0 hay 3 x − 19y + 41 = 0 .
b) Tính diện tích tam giác ABK.
2

2

• BK 2 =  3 − 3 ÷ +  9 + 5 ÷ = 370 ⇒ BK = 370
2



4
2
19(
x
−
3)
+
3(
y
+
5)
=
0
• Phương trình BK là
hay 19x + 3y – 42 = 0
−19 + 6 − 42
55
=
• Độ dài AH là AH = d ( A, BK ) =
361 + 9
370


2

1
2


1
2

• Diện tích tam giác ABK là SABK = BK .AH = .

370 55
55
.
=
(đvdt)
2
370 4

c) Viết phương trình đường thẳng qua A và chia tam giác thành 2 phần sao cho diện
tích phần chứa B gấp 2 lần diện tích phần chứa C.

Giả sử M ( x; y)∈ BC sao cho S∆ ABM = 2S∆ ACM . Vì các tam giác ABM và ACM có chung
đường cao nên BM = 2MC.
uuur uuur uuur
uuur
x − 3 = 8 − 2x
Vậy BM = 2 MC , BM = ( x − 3; y + 5), MC = (4 − x;7 − y ) ⇒  y + 5 = 14 − 2 y



11
 11 

⇔  x = 3 ⇔ M  ;3 ÷
3 

 y = 3
x +1 y − 2
=
⇔ 3 x − 14 y + 31 = 0
Phương trình AM là: 11
3−2
+1
3
d) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC . Tìm tâm và bán kính của đường

tròn này.
Gọi I(x;y), R là tâm và bán kính của đường tròn.


5
x=
 IA2 = IB 2
( x + 1)2 + ( y − 2)2 = ( x − 3)2 + ( y + 5)2

8 x − 14 y = 29
2
⇔
 2
2
2
2
2
2 ⇔ 10 x + 10 y = 60 ⇔ 
7


 IA = IC
( x + 1) + ( y − 2) = ( x − 4) + ( y − 7)
y =

2
5 7
⇒I ; ÷
2 2

2

2

5  7

49 9 29
⇒ R =  + 1÷ +  − 2 ÷ =
+ =
2  2

4 4 2
2

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
2
2
58

5 
7

29 , có tâm I  5 ; 7  và bán kính
R=

÷
x
−
+
y
−

÷ 
÷ =
2 2
2

2 
2
2

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


Câu 6. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ): ( x − 1)2 + ( y − 2)2 = 8
a) Xác định tâm I và bán kính R của (C )
b) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, song song với đường thẳng d: x – y – 1 = 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) vuông góc với ∆
Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ): ( x − 1)2 + ( y − 2)2 = 8
a) Tâm I(1; 2) , bán kính R = 2 2

b) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua I, song song với đường thẳng d: x – y – 1 = 0
• ∆// d nên phương trình ∆ có dạng x − y + C = 0 (C ≠ –1)
• ∆ đi qua I nên có 1 − 2 + C = 0 ⇔ C = 1 ⇒ PT ∆ : x − y + 1 = 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) vuông góc với ∆
•Tiếp tuyến ∆1 vuông góc với ∆ nên PTTT có dạng x + y + D = 0
1+ 2 + D

 D = −7
= 8 ⇔ ( D + 3)2 = 16 ⇔ 
D = 1
12 + 12
Vậy PT các tiếp tuyến cần tìm: x + y + 1 = 0, x + y − 7 = 0 .

và d (I , ∆1 ) = R ⇔




3
2

Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác có A(1; 4), B(4; 6), C  7; ÷
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại B
b) Viết phương trình đường tròn đường kính AC



3
2


Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác có A(1, 4), B(4, 6), C  7; ÷
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại B
uur
uuur 
uur uuur
 9
9  uur uuur
• BA = (−3; −2), BC =  3; − ÷⇒ BA.BC = (−3).3 + (−2).  − ÷ = −9 + 9 = 0 ⇒ BA ⊥ BC


2

 2

Vậy tam giác ABC vuông tại B
b) Viết phương trình đường tròn đường kính AC
2

 169
• Tâm I  4; 11 ÷, R2 = IA2 = (1 − 4)2 +  4 − 11 ÷
=
 4

4
16
2

2
• Phương trình đường tròn đường kính AC là ( x − 4 ) +  y − 11 ÷ = 169




4

16

Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC với A(1; 2), B(2; –3), C(3; 5).
a) Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A.
b) Viết phương trình đường tròn tâm B và tiếp xúc với đường thẳng AC.
c) Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với AB và tạo với 2 trục toạ độ một tam
giác có diện tích bằng 10.
Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC với A(1; 2), B(2; –3), C(3; 5).
a) Viết phươnguuu
trình
tổng quát của đường cao kẻ từ A.
r
• A(1;2), VTPT : BC = (1;8) ⇒ PT đường cao kẻ từ A là x − 1 + 8( y − 2) = 0 ⇔ x + 8y − 17 = 0
b) Viết phương trình đường tròn tâm B và tiếp xúc với đường thẳng AC.
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


x −1 y − 2
=
⇔ 3x − 2 y + 1 = 0 ,
2
3
3.2 − 2.(−3) + 1
= 13

Bán kính R = d (B, AC ) =
9+4

• Tâm B(2; –3), Phương trình AC:

Vậy phương trình đường tròn đó là ( x − 2)2 + ( y + 3)2 = 13
c) Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với AB và tạo với 2 trục toạ độ một tam
giác có diện tích bằng 10.
uur
uuur
Giả sử ∆ ∩ Ox = M (m; 0), ∆ ∩ Oy = N (0; n) . AB = (1; −5) , MN = (− m; n) .
x y
+ = 1 ⇔ nx + my − mn = 0 .
m n
1
Diện tích tam giác MON là: S∆ ABC = m . n = 10 ⇔ mn = 20
2
uuuur uuur
Mặt khác MN ⊥ AB ⇒ MN . AB = 0 ⇔ − m − 5n = 0 ⇔ m = −5n
m = −10
 m = 10
Từ (1) và (2) ⇒ n = 2
hoặc n = −2


⇒ Phương trình ∆ là: x − 5y + 10 = 0 hoặc x − 5y − 10 = 0

Phương trình MN:

(1)

(2)

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(0; 9), B(9; 0), C(3; 0)
a) Tính diện tích tam giác ABC.
b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua C và vuông góc với AB
c) Xác định tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(0; 9), B(9; 0), C(3; 0)
a) Tính diện tích tam giác ABC.
Ta có: B(9; 0), C(3; 0) nằm trên trục hoành, A(0; 9) nằm trên trục tung.
⇒ BC = 6, ∆ABC có độ đường cao AH = d ( A, Ox ) = 9 .
1
2

1
2

Vậy SABC = BC. AH = .6.9 = 27 (đvdt)
b)
uuurViết phương trình đường thẳng d đi qua C và vuông góc với AB
AB = (9; −9) = 9(1; −1) ⇒ phương trình đường thẳng d là x − y − 3 = 0
c) Xác định tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
• Gọi I (a; b) là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
 IA2 = IB 2
(0 − a)2 + (9 − b)2 = (9 − a)2 + (0 − b)2
a = 6
I (6;6) .
⇔

2
2

2
2
2
2 ⇔ b = 6 ⇒

 IA = IC
(0 − a) + (9 − b) = (3 − a) + (0 − b)

Ta có: 

Câu 10. Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(– 1; 3) và C(– 3; –1).
a) Viết phương trình đường thẳng AB.
b) Viết phương trình đường trung trực ∆ của đọan thẳng AC.
c) Tính diện tích tam giác ABC.
Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(– 1; 3) và C(– 3; –1).
a)uuu
Viết
AB.
r phương trình đường thẳng
r
• AB = (−2;2) = 2(−1;1) ⇒ VTPT n = (1;1) ⇒ Phương trình AB: x + y − 2 = 0 .
b) Viết phương trình đường trung trực ∆ của đọan thẳng AC.
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


• Trung điểm AC là M(–1; 0)
uuur
r

• AC = (−4; −2) = −2(2;1) ⇒ VTPT n′ = (2;1) ⇒ Phương trình ∆ : 2 x + y + 2 = 0 .
c) Tính diện tích tam giác ABC.
• d (C , AB) =

−3 − 1 − 2
2

1
= 3 2; AB = (−2)2 + 22 = 2 2 ⇒ S∆ ABC = .3 2.2 2 = 6
2

Câu 11. Cho tam giác ABC có a = 5, b = 6, c = 7 . Tính:
a) Diện tích S của tam giác.
b) Tính các bán kính R, r.
c) Tính các đường cao ha, hb, hc.
Cho tam giác ABC có a = 5, b = 6, c = 7 . Tính:
a)

• p=

a + b + c 18
=
= 9 ⇒ p − a = 4; p − b = 3; p − c = 2
2
2

• S = p( p − a)( p − b)( p − c) = 9.4.3.2 = 6 6 (đvdt)
b)

• S = pr ⇒ r =

c) ha =

S 6 6 2 6
=
=
p
9
3

• S=

abc
abc 5.6.7 35 6
⇔R=
=
=
4R
4S 24 6
24

2S 12 6
2S
2S 12 6
=
, hb =
= 2 6, hc =
=
a
5
b

c
7

Câu 12. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho 3 điểm A(0; 8), B(8; 0) và C(4; 0)
a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua C và vuông góc với AB.
b) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
A(0; 8), B(8; 0) và C(4; 0)
a) Viết phương trình đường
thẳng (d) qua C và vuông góc với AB.
uur
• (d) qua C(4;0) và nhận AB = (8; −8) làm VTPT
⇒ (d ) : 8.( x − 4) − 8.( y − 0) = 0 ⇔ x − y − 4 = 0
b) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC.
• PT đường tròn (C) ngoại tiếp ∆ABC có dạng x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0, a2 + b2 − c > 0
16b + c = −64

 a = b = −6
• Vì A, B, C thuộc (C ) nên ta có hệ 16a + c = −64 ⇔ c = 32
(thoả mãn điều kiện)

8a + c = −16

⇒ phương trình của (C ) là x 2 + y 2 − 12 x − 12 y + 32 = 0
c) Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
• Tâm I (6,6) và bán kính R = 62 + 62 − 32 = 40
Câu 13. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho 3 điểm A(–2; 1), B(1; 4), C(3; –2).
a) Chứng tỏ rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và song song với BC.
c) Viết phương trình đường trung tuyến AM của ΔABC.

d) Viết phương trình của đường thẳng đi qua trọng tâm G của ΔABC và vuông góc với
BC.

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho 3 điểm A(–2; 1), B(1; 4), C(3; –2).

uur
uur uuur
 AB = (3;3)
uuu
r
⇒ AB, AC không cùng phương ⇒ A, B, C là 3 đỉnh của một tam
a) Ta có: 
 AC = (5; −3)

giác.
uuur
b) (d) đi qua A(–2; 1) và nhận BC = (2; −6) làm VTCP.
⇒ Phương trình đường thẳng (d):

x + 2 y −1
=
⇔ 3x + y + 5 = 0
2
−6


uuur

c) M là trung điểm của BC ⇒ M(2; 1). Trung tuyến AM đi qua M và nhận AM = (4; 0)
làm VTCP ⇒ Phương trình AM: 0( x + 2) + 4( y − 1) = 0 ⇔ y − 1 = 0
2 
3 

2
⇒ Phương trình của ∆: 2  x − ÷− 6( y − 1) = 0 ⇔ 3 x − 9 y + 7 = 0

3

uuur

d) Toạ độ trọng tâm G  ;1÷. Đường thẳng ∆ đi qua G và nhận BC = (2; −6) làm VTPT

Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(1; 4), B(–7; 4), C(2; –5).
a) Chứng tỏ A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b) Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm A, B, C.
c) Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(1; 4), B(–7; 4), C(2; –5).
a) uur
Chứng tỏ A,uuu
B,
C là 3 đỉnhuur
củauuu
một
tam giác.
r
r

• AB = (−8; 0), AC = (1; −9) ⇒ AB, AC không cùng phương ⇒ 3 điểm A, B, C tạo thành
một tam giác.
b) Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm A, B, C.
• Gọi I(a; b), R là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có:
 AI 2 = BI 2
(a − 1) 2 + (b − 4) 2 = (a + 7) 2 + (b − 4) 2
16a = −48
a = −3
⇔
⇔
⇔
⇒ I(–3;–1)
 2



2
2
2
2
2
 AI = CI
(a − 1) + (b − 4) = (a − 2) + (b + 5)
2a − 18b = 12
b = −1
• R 2 = AI 2 = (−3 − 1)2 + (−1 − 4)2 = 41
• Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là ( x + 3) 2 + ( y + 1) 2 = 41

c) Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC


1 uuur 1
• Đường cáo AH đi qua A(1; 4) và nhận BC = (9; −9) = (1; −1) làm VTPT nên phương
9
9
trình đường cao AH là 1( x − 1) − 1( y − 4) = 0 ⇔ x − y + 3 = 0

Câu 15. Cho ∆ ABC có a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm.
a) Tính diện tích ∆ ABC.
b) Tính góc µB ( µB tù hay nhọn)
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC.
d) Tính mb , ha ?
Cho ∆ ABC có a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm.
a) Tính diện tích ∆ ABC.

a + b + c 13 + 14 + 15
=
= 21 ⇒ p − a = 8, p − b = 7, p − c = 6.
2
2
• Vậy diện tích tam giác ABC là : S = p( p − a )( p − b)( p − c) = 21.8.7.6 = 84 (đvdt)

• Nửa chu vi ∆ABC là p =

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


b) Tính góc µB ( µB tù hay nhọn)
 AB 2 = 64

 2
2
2
2
•  AC = 82 ⇒ AB + BC > AC nên góc B nhọn.
 BC 2 = 162


c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC.
abc
abc 13.14.15 1365
⇒R=
=
=
≈ 8,13 .
4R
4S
4.84
168
S 84
• S = pr ⇒ r = = = 4
p 21
d) Tính mb , ha ?

• S=

2a 2 + 2c 2 − b 2 2.132 + 2.152 − 142
=
= 148 ⇔ mb = 2 37 .
4

4
1
2 S 2.84 168
=
=
• S = a.ha ⇔ ha =
2
a
13
13

• mb2 =

Câu 16. Cho tam giác ∆ ABC có b =4 ,5 cm , góc µA = 300 , µC = 750
a) Tính các cạnh a, c.
b) Tính góc µB .
c) Tính diện tích ∆ ABC.
d) Tính độ dài đường cao BH.
Cho tam giác ∆ ABC có b = 4,5 cm , góc µA = 300 , µC = 750
a) Tính các cạnh a, c.
µ = 1800 − (300 + 750 ) = 750 ⇒ ABC cân tại A ⇒ b = c = 4,5 cm
• B
b sin A 4,5.sin 300
=
≈ 2,34(cm)
sin B
sin 750
b) Tính góc µB = 750

• a=


c) Tính diện tích ∆ ABC.

1
2

1
2

1
2

1
2

2
0
2
• Diện tích tam giác ABC là S = bc sin A = (4,5) sin 30 = (4,5) . = 5, 0625 (đvdt)

d) Tính độ dài đường cao BH.
• Ta cũng có diện tích S =

1
2S
AC.BH ⇒ BH =
= 2, 25 (cm)
2
b


Câu 17. Cho hai đường thẳng ∆: 3 x + 2 y − 1 = 0 và ∆′: −4 x + 6 y − 1 = 0 .
a) Chứng minh rằng ∆ vuông góc với ∆ '
b) Tính khoảng cách từ điểm M(2; –1) đến ∆ '
Cho hai đường thẳng ∆: 3 x + 2 y − 1 = 0 và ∆′: −4 x + 6 y − 1 = 0 .
r
r
a) ∆ có một VTPT là n = (3; 2) còn ∆’ có một VTPT là n′ = (−4;6)
r ur
⇒ n.n ' = 3.(−4) + 2.6 = −12 + 12 = 0 ⇒ ∆ ⊥ ∆ '

b) d ( M , ∆ ') =

| −4(2) + 6(−1) − 1|
(−4) 2 + 62

Toán Tuyển Sinh Group

=

15
52

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


Câu 18.
a) Cho tam giác ABC có A(3; 1), B(–3; 4), C(2: –1) và M là trung điểm của AB . Viết
phương trình tham số của trung tuyến CM.
b) Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 3 = 0 tại M(2; 1).
a) Cho tam giác ABC có A(3; 1), B(–3; 4), C(2: –1) và M là trung điểm của AB . Viết

phương trình tham số của trung tuyến CM.



5
2

uuuur 


7
2

1
2

• M  0; ÷⇒ CM =  −2; ÷ = − (4; −7) .
 x = 2 + 4t
, t ∈R
 y = −1 − 7t

• Phương trình tham số của CM là 

b) Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 3 = 0 tại M(2; 1).
uuur

• Đường tròn (C) có tâm I(2; –3), IM = (0; 4)
⇒ Phuơng trình tiếp tuyến của (C) tại M là: y − 1 = 0
Câu 19. Cho ∆ ABC với A(2, 2), B(–1, 6), C(–5, 3).
a) Viết phương trình các cạnh của ∆ ABC.

b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của ∆ ABC.
c) Chứng minh rằng ∆ ABC là tam giác vuông cân.
Cho ∆ ABC với A(2; 2), B(–1; 6), C(–5; 3).
a) Viết phương trình các cạnh của ∆ ABC.
x −2 y−2
=
⇔ 4 x + 3y − 14 = 0
−1 − 2 6 − 2
x −2 y−2
=
⇔ x + 7 y − 16 = 0
• PT cạnh AC:
−5 − 2 3 − 2
x +1 y − 6
=
⇔ 3 x − 4 y + 27 = 0
• PT cạnh BC:
−5 + 1 3 − 6

• PT cạnh AB:

b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AH
của ∆ABC.
uuur
• Đường cao AH đi qua A(2; 2) và có một VTPT là BC = (−4; −3) .
⇒ Phuơng trình đường cao AH là: −4( x − 2) − 3( y − 2) = 0 ⇔ 4 x + 3y − 14 = 0
Hoặc trình bày như sau :

uuur
uuur uuur

 AB = (−3; 4)
⇒ AB.BC = 0 ⇒ ∆ABC vuông tại B ⇒ đường cao AH cũng là cạnh AB.
 uuur
 BC = (−4; −3)
c) Chứng minh rằng ∆ ABC là tam giác vuông cân.
uuur
uuur uuur
 AB = (−3; 4)
 AB.BC = 0
⇒
•  uuur
⇒ ∆ABC vuông cân tại B.
 BC = (−4; −3)  AB = BC = 5

Câu 20. Cho đường thẳng d có phương trình 3 x − 4 y + m = 0 , và đường tròn (C) có phương
trình: ( x − 1)2 + ( y − 1)2 = 1 . Tìm m để đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C) ?
Cho đường thẳng d: 3 x − 4 y + m = 0 , và đường tròn (C): ( x − 1)2 + ( y − 1)2 = 1 .
• Đường tròn (C) có tâm I (1;1) và bán kính R = 1
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


• d tiếp xúc với (C) ⇔ d ( I , d ) = R ⇔

 m = −4
= 1 ⇔ m −1 = 5 ⇔ 
32 + (−4) 2
m = 6


3− 4+ m

Câu 21. Cho tam giác ABC biết A(1; 4); B(3; –1) và C(6; 2).
a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, CA.
b) Lập phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM.
Cho tam giác ABC biết A(1; 4); B(3; –1) và C(6; 2).
a)uuu
Lập
phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, CA.
r
• AB = (2; −5) ⇔ pt AB : 5( x − 1) + 2( y − 4) = 0 ⇔ 5 x + 2 y − 13 = 0
uuur
• AC = (5; −2) ⇔ pt AB : 2( x − 1) + 5( y − 4) = 0 ⇔ 2 x + 5 y − 22 = 0
b) Lập phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM.
9 1
2 2

• Trung điểm của BC là M  ; ÷
uuuur  7 7  7
2 2 2
1.(
x
−
1)
+ ( y − 4) = 0 ⇔ x + y − 5 = 0
là

• AM =  ; − ÷ = (1; −1) ⇒ AM có VTPT là (1; 1) nên phương trình tổng quát của AM

Câu 22.

a) Cho đường thẳng d: 2 x + y − 3 = 0 . Tìm toạ độ điểm M thuộc trục hoành sao cho
khoảng cách từ M đến d bằng 4.
b) Viết phương trình đường tròn tâm I(2; 0) và tiếp xúc với trục tung.

3+ 4 5
a=


2a − 3 = 4 5
| 2a − 3 |
2
=4⇔
⇔
a) Giả sử M(a; 0) ∈ (Ox). Ta có d ( M , d ) =

4 +1
3− 4 5
 2a − 3 = −4 5
a =

2
 3+ 4 5 
 3− 4 5 
Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là M 
;0 ÷ hoặc M 
;0 ÷
 2

 2



b) Đường tròn có tâm I(2; 0) và tiếp xúc với trục tung nên có bán kính R = 2
⇒ PT đường tròn: ( x − 2) 2 + y 2 = 4 .
Câu 23. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 3), B(2; 7), C(–3: 8) .
a) Viết phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A .
b) Viết phương trình đường tròn có tâm A và đi qua điểm B .
c) Tính diện tích tam giác ABC .
Cho tam
giác ABC có A(4; 3), B(2; 7), C(–3: 8) .
uuur
a) BC = (−5;1) ⇒ PT đường cao AH: −5( x − 4) + ( y − 3) = 0 ⇔ 5 x − y − 17 = 0
b) Bán kính đường tròn R = AB = (2 − 4)2 + (7 − 3)2 = 20
Phương trình đường tròn: ( x − 4) 2 + ( y − 3)2 = 20
c) PT đường thẳng BC:

x −2 y−7
=
⇔ x + 5y − 37 = 0
−3 − 2 8 − 7

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh



61
x=

 61 84 

 x + 5y − 37 = 0
Toạ độ chân đường cao H là nghiệm của hệ: 5x − y − 17 = 0 ⇔  13
⇒ H ; ÷
84
 13 13 

y =

13
2

2

BC = (−3 − 2)2 + (8 − 7)2 = 26 , AH =  61 − 4 ÷ +  81 − 3 ÷ = 9 26
 13

Diện tích tam giác ABC:



 13

13



1
1
9 26
BC. AH = . 26.

= 9 (đvdt)
2
2
13

Câu 24. Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 7, BC = 8. Tính độ dài đường trung tuyến
BM = ?
BM 2 =

2 BA2 + 2 BC 2 − AC 2 2.52 + 2.82 − 7 2 129
129
=
=
⇒ BM =
4
4
4
2

Câu 25. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–3; 0), C(2; 3) .
a) Viết phương trình đường cao AH và trung tuyến AM.
b) Viết phương trình đường tròn có tâm A và đi qua điểm B .
c) Tính diện tích tam giác ABC .
Cho tam giác ABC
có A(1; 2), B(–3; 0), C(2; 3) .
uuur
a)
• BC = (5;3) ⇒ PT đường cao AH: 5( x − 1) + 3( y − 2) = 0 ⇔ 5 x + 3 y − 11 = 0
uuuur  −3 −1 
1

 1 3
; ÷ = − (3;1)
 2 2
 2 2 
2
⇒ PT trung tuyến AM: ( x − 1) − 3( y − 2) = 0 ⇔ x − 3y + 5 = 0
b) Bán kính R = AB ⇒ R 2 = AB 2 = (−3 − 1) 2 + (0 − 2) 2 = 20
⇒ PT đường tròn: ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 = 20

• Trung điểm BC là M  − ; ÷ ⇒ AM = 

c) PT đường thẳng BC:

x +3 y−0
=
⇔ 3 x − 5y + 9 = 0 .
2+3 3−0


14
 x = 17
 14 39 
3 x − 5y = −9
Toạ độ chân đường cao H là nghiệm của hệ: 5x + 3y = 11 ⇔  39 ⇒ H  ; ÷
 17 17 

y =

17
2


2

BC = (2 + 3)2 + (3 − 0)2 = 34 , AH =  14 − 1÷ +  39 − 2 ÷ = 34 .
 17

Diện tích ∆ABC:

S∆ ABC =



 17



17

1
1
34
BC. AH = . 34.
= 1 (đvdt).
2
2
17

Câu 26. Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5 . Tính cosB = ?
Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5 . Tính cosB = ?
• Ta có BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇒ góc A vuông nên cos B =


Toán Tuyển Sinh Group

AB 3
=
BC 5

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


Câu 27.
a) Viết phương trình đường tròn tâm I(1; 0) và tiếp xúc với trục tung.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x 2 + y 2 − 6 x + 4 y + 3 = 0 tại điểm M(2; 1)
c) Cho tam giác ABC có M(1; 1), N(2; 3), P(4; 5) lần lượt là trung điểm của AB, AC,
BC. Viết phương trình đường thẳng trung trực của AB?
a) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(1; 0) và tiếp xúc với trục tung.
• (C) có tâm I (1; 0) thuộc trục hoành và tiếp xúc với trục tung nên có bán kính R = 1.
Vậy phương trình đường tròn (C) là ( x − 1)2 + y 2 = 1
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn x 2 + y 2 − 6 x + 4 y + 3 = 0 tại điểm M(2; 1)
uur

• Tâm I (3; −2) . Tiếp tuyến tại M(2; 1) nhận IM = (−1;3) làm VTPT
⇒ phương trình tiếp tuyến là −( x − 2) + 3( y − 1) = 0 ⇔ x − 3y + 1 = 0
c) Cho tam giác ABC có M(1; 1), N(2; 3), P(4; 5) lần lượt là trung điểm của AB, AC,
BC. Viết phương trình đường thẳng trung trực của AB?
•uuurĐường trung trực của AB qua M(1; 1) và vuông góc với NP nên có VTPT là
NP = (2;2) ⇒ phương trình trung trực của AB là 2( x − 1) + 2( y − 1) = 0 ⇔ x + y − 2 = 0 .


1






Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm, điểm A ( 1;4 ) và B  2; − ÷:
2
a) Chứng minh rằng ∆OAB vuông tại O;
b) Tính độ dài và viết phương trình đường cao OH của ∆OAB ;
c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆OAB .
uuur
uuur 
1
a)Ta cã : OA = ( 1;4 ) , OB =  2; − ÷
2

uuur uuur
 1
Suy ra: OA.OB = 1.2 + 4.  − ÷ = 0
 2

y

Vậy tam giác OAB vuông tại O.
b) Tính độ dài và viết phương trình đường cao OH:

A

4


2

17
 1
Ta cã : OA= 1 + 4 = 17; OB= 2 +  − ÷ =
2
 2
2

2

2

2

2

85
 1 
 9
AB = ( 2 − 1) +  − − 4 ÷ = 12 +  ÷ =
2
 2 
 2
2

H
O

Do tam giác OAB vuông tại O nên ta có:


1

2

x

-1/2

B
17
OA.OB
2 = 17 = 85
=
OH.AB = OA.OB ⇒ OH =
AB
5
85
85
2
uuur
Do OH ⊥ AB nên đường cao OH nhận vectơ AB làm vectơ pháp tuyến, ta có:

17.

uuur 
9
AB =  1; − ÷
2



uuur 
9
AB
=  1; − ÷ làm vectơ pháp
Vậy phương trình của đường cao OH đi qua O(0;0) và nhận
2


tuyến là:

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


(x – 0) -

9
(y – 0) = 0
2

9
⇔ x − y = 0 ⇔ 2x – 9y = 0
2
c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB:
Do tam giác OAB vuông tại O, nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là trung
điểm I của cạnh AB, ta có:
x A + xB 3


=
x I =
2
2

y = yA + yB = 7
 I
2
2
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: R =

AB
85
=
2
4

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là:
2
2
3 
7  85

 x − 2 ÷ +  y − 2 ÷ = 16

 

Câu 29. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1 ; 0) và B(-2 ; 9).
1) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A và B.
2) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(2 ; 7) và tiếp xúc với đường thẳng ∆.

uuur

r

1) + Đường thẳng ∆ có VTCP AB = 3(−1;3) ⇒ VTPT n = (3;1)
r

+ Đường thẳng ∆ đi qua A(1 ; 0) nhận vectơ pháp tuyến n = (3;1) nên có PT: 3( x – 1) +
1(y – 0) = 0
⇔ 3x + y – 3 = 0
x − a)
2) + Pt đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R có dạng (

2

+ ( y − b) = R2
2

+ Vì đường tròn có tâm I(2; 7) và tiếp xúc với ∆ : 3x + y -3= 0 nên ta có bán kính
3.2 + 7 − 3
R = d ( I , AB ) =
= 10
2
3 +1
x − 2)
+ Kết luận: Phương trình đường tròn cần tìm là: (

2

+ ( y − 7 ) = 10

2

Câu 30. Trong mặt phẳng tọa oxy cho ∆ ABC với A ( 6; 2), B (1 ; 4), C (3 ;-1)
a) Viết phương trình đường thẳng BC và trung tuyến BM
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua trọng tâm G và vuông góc với BC
c) Tính diện tích tam giác ABC
d) Viếtphương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B,C.

a) BC (2;-5) ⇒ n BC = (5;2)
phương trình cạnh BC: 5x + 2y- 13 = 0
phương trình cạnh BM: x+ y – 5 = 0
b) Đường thẳng (d) đi qua trọng tâm G và vuông góc với BC , nhận BC làm véc tơ pháp
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


tuyến BC (-2;5)
(d) :6x-15y + 5= 0
c) AH= d(A;BC)=

5.6 + 2.2 − 13
5 +2
2

2

=

21

29

BC= 29
S ∆ABC =

1 21
21
. 29 =
2 29
2

d) phương trình đường tròn (c) đi qua 3 điểm A,B,C là.
(c) : x 2 + y 2 −

43
27
32
x−
y+
=0
7
7
7

·
Câu 31. Trong mặt phẳng, cho gó
c xOy
= 600. M, N làhai điểm lần lượt thay đổi trên
hai tia Ox vàOy sao cho:


1
1
2012
+
=
. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua
OM ON 2013

điểm cố định.
Gọi Ot làtia phân giác của góc xOy
Suy ra Ot cốđịnh. Gọi I làgiao điểm MN vớitia Ot.
Ta chứng minh I cốđịnh.
1
2

* S ∆OMN = OM .ON . sin MON
1
2

3
OM .ON (1)
4
1
1
* S ∆OMN = S ∆OMI + S ∆ONI = OM .OI . sin MOI + ON .OI . sin NOI
2
2
1
1
= (OM + ON ).OI . sin 300 = (OM + ON ).OI (2)

2
4
1
OM + ON
=
Từ(1) và(2) suy ra:
OI
3OM .ON
1
1
1
2012
=
(
+
)=
⇒ I cốđịnh.
3 OM ON
2013 3

= OM .ON . sin 600 =

Câu 32.
1. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1 : 2 x − 3 y − 3 = 0 và
d 2 : 5 x + 2 y − 17 = 0 . Đường thẳng d đi qua giao điểm của d1 và d 2 cắt hai tia Ox, Oy lần
lượt tại A và B. Viết phương trình đường thẳng d sao cho

AB 2
nhỏ nhất.
S ∆2OAB


2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc
của G xuống cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng:
uuur
uuur
uuuur r
a 2 .GA1 + b 2 .GB1 + c 2 .GC1 = 0 . (với a=BC, b=AC, c=AB).

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


AB 2
1. Viết phương trình đường thẳng d sao cho 2
nhỏ nhất.
S ∆OAB

• Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d1 và d 2 ⇒ I (3 ; 1) .
• Giả sử A(a ; 0) và B(0 ; b) với a, b > 0 thì đường thẳng d có phương trình
x y
3 1
+ = 1 . Vì I ∈ d ⇒ + = 1
a b
a b

•

AB 2
OA 2 + OB 2

1
 1
=
4
.
= 4.
+
Ta có 2
2
2
2
S ∆OAB
OA .OB
OB 2
 OA

1 

 1
 = 4 2 + 2 
b 

a

• Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có
2

1
1
1

1  3 1
 1
(3 + 1 ) 2 + 2  ≥  +  = 1 ⇒ 2 + 2 ≥
10
a
b
b  a b
a
2

2

10
3 1

AB 2
2
 + =1
a =
⇔
• Min 2 = khi  a b
3
S ∆OAB 5
 3a = b
 b = 10
Khi đó đường thẳng d có phương trình 3 x + y − 10 = 0 .

uuur
uuur
uuuur r

2. Chứng minh rằng: a 2 .GA1 + b 2 .GB1 + c 2 .GC1 = 0 . (Với a=BC, b=AC, c=AB).
uuur
uuur
uuuur r
uuur
uuur
uuuur
a 2 .GA1 + b 2 .GB1 + a 2 .GC1 = 0 ⇔ ( a 2 .GA1 + b 2 .GB1 + a 2 .GC1 ) 2 = 0
uuur uuur
uuur uuuur
uuur uuuur
⇔ a 4 .GA12 + b 4 .GB12 + c 4 .Gc12 + 2a 2b 2 GA1.GB1 + 2a 2c 2 GA1.GC1 + 2b 2c 2 GB1.GC1 = 0 (*)
ha
h
h
, GB1 = b , GC1 = c , aha = bhb = chc = 2S ,
3
3
3
uuur uuur
0
GA1.GB1 = GA1.GB1.cos(180 − C ) = −GA1.GB1.cosC , -2ab.cos C = c 2 − a 2 − b 2
uuur uuuur
GA1.GC1 = GA1.GC1.cos(1800 − B ) = −GA1.GC1.cosB, -2ac.cos B = b 2 − a 2 − c 2
uuuur uuur
GC1.GB1 = GC1.GB1.cos(1800 − A) = −GC1.GB1.cosA, -2cb.cos A = a 2 − b 2 − c 2

Ta có: GA1 =

VT(*) =


4 S 2 .a 2 4 S 2 .b 2 4 S 2 .c 2 4S 2 .(c 2 − a 2 − b 2 ) 4 S 2 .(b 2 − a 2 − c 2 ) 4S 2 .( a 2 − c 2 − b 2 )
+
+
+
+
+
=0
9
9
9
9
9
9

Là điều phải chứng minh.

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


Bài 33. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R, có G là trọng tâm.
Chứng minh rằng:
1
3

1. GA2 + GB 2 + GC 2 = (a 2 + b2 + c 2 ) .
2. R 2 − OG 2 =


a 2 + b2 + c2
9

1. Có :
4
GA2 + GB 2 + GC 2 = (ma2 + mb2 + mc2 )
9
4  b2 + c 2 a2 c2 + a 2 b2 a 2 + b2 c 2 
= 
− +
− +
− ÷
9 2
4
2
4
2
4
2
2
2
a +b +c
=
3

2. Có:

uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur

OA + OB + OC = (OG + GA) 2 + (OG + GB ) 2 + (OG + GC ) 2
uuur2 uuur2 uuur2 uuur2
uuur uuur uuur uuur
= 3OG + GA + GB + GC + 2OG (GA + GB + GC )
uuur uuur uuur r
Do OA = OB = OC = R và GA + GB + GC = 0 nên:
3R 2 = 3OG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2 hay 3R 2 − 3OG 2 = GA2 + GB 2 + GC 2 =

⇒ R 2 − OG 2 =

a 2 + b2 + c2
3

a 2 + b2 + c2
9

Bài 34. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; -5), B(-4; 5) và đường thẳng d: x 2y + 3 = 0.
1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ B đến ∆ là lớn
nhất.
2. Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB là nhỏ nhất.

1. Gọi H là hình chiếu của B trên ∆, ta có: BH ≤ AB.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H ≡ A. Khi đó ∆ là đường thẳng qua A và vuông góc với
AB.
PTTQ: 3x - 5y - 31 = 0.
2. Kiểm tra A và B cùng phía với d.
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d.
Có: MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B.
Đẳng thức xảy ra ⇔ A’, M, B thẳng hàng. Suy ra M là giao điểm của đường thẳng A’B với
d.

Gọi d’ là đường thẳng qua A và vuông góc với d. d’ có PTTQ:
2x + y + 1 = 0.
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


Gọi H là giao điểm của d’ và d. Tọa độ H = (-1; 1).
H là trung điểm của AA’ nên A’ có toạ độ A’(-4; 7).
uuuur

r

Đường thẳng A’B có VTCP A ' B = (0; −2) nên có VTPT n A ' B = (1;0)
PTTQ đường thẳng A’B: x + 4 = 0.
Toạ độ giao điểm M của A’B và d là nghiệm của hệ phương trình:
y + 4 = 0
 x = −11
⇔
⇒ M(-11; -4)

x − 2 y + 3 = 0
 y = −4

Bài 35. Cho tam giác ABC với A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) và đường thẳng d :

uuur
uuur
uuur
x – 2y – 3 = 0. Tìm điểm M thuộc d sao cho MA + 2 MB - 3MC đạt giá trị nhỏ nhất


Cho tam giác ABC với A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) và đường thẳng d : x – 2y – 3 = 0. Tìm
điểm M thuộc d sao cho

uuur

uuur

uuur

Q = MA + 2 MB - 3MC đạt giá trị nhỏ

uuur

uuur

uuur

Gọi M(2y+3 ; y)  d Khi đó MA + 2MB - 3MC = (2y – 5 ; y+21)

uuur
uuur
uuur
MA + 2 MB - 3MC =

(2 y - 5) 2 + ( y + 21) 2 = 5 y 2 + 22 y + 466

Q đạt giá trị nhỏ nhất khi y = Vậy M( -

11

5

7
11
;)
5
5

Bài 36. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, có H là trực tâm, gọi R là bán kính đường tròn
ngoại tiếp.
1) Chứng minh rằng: AH = 2R.cosA.
2) Chứng minh rằng: cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C
A

O
H
B

D

C
A'

1) Gọi A’ là điểm sao cho AA’ là đường kính dễ có BHCA’ là hình bình hành. Do đó AH =
2OD = 2OCcosA = 2RcosA
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh



2)

1
cos A + cos B + cos C = (cos A + cos B + cos B + cos C + cos C + cos A)
2
C
A- B
A
B- C
B
C- A
= sin cos
+ sin cos
+ sin cos
2
2
2
2
2
2
A- B
C
C
A- B
C
£ 1 vì C nhọn nên 00 < < 600 Þ 2cos > 1 Þ cos
< 2cos
Ta có cos
2
2

2
2
2
B- C
A
cos
< 2cos
2
2
Tương tự ta có
C- A
B
cos
< 2cos
2
2
cos
A
+
cos
B
+
cos
C
<
sin
A
+ sin B + sin C
Vậy
Câu 37. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 4x + 3y + 5 = 0 và

cách điểm M(1, -2) một khoảng bằng 1.
+ Phương trình đường thẳng ∆ song song với 4x + 3y + 5 = 0 có dạng: \
4x + 3y + C = 0 ( c ≠ 5 )
+ Cách điểm M(1; -2) một khoảng bằng 1 nên ta có
 −2 + C = 5
C = 7
| −2 + C |
=1⇔ 
⇔
5
 −2 + C = −5
C = −3
+ Vậy phương trình đường thẳng ∆ là: 4x + 3y + 7 = 0 và 4x + 3y -3 = 0
d ( M , ∆) = 1 ⇔

Câu 38. Cho ∆ABC có A(0;6), B(1;1), C(5;4).
a)Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tâm giác ∆ABC
b)Tìm điểm A’ đối xứng A qua BC
1 −5

2 2 

Gọi đường trung trực của AB là d1. Gọi M là trung điểm AB ⇒ M  ;

Ta có: AB = (1;7 )
Phương trình đường thẳng d1 qua M, nhận AB làm véc-tơ pháp tuyến là:
1 
5

1 x −  + 7 y +  = 0 ⇔ x + 7 y + 17 = 0

2 
2

5
2




Gọi d2 là đường trung trực của AC, N là trung điểm của AC ⇒ N  ;−1
Ta có AC = ( 5;10 )
Phương trình đường thẳng d2 qua N, nhận AC làm VTPT là:

5
5

5 x −  + 10( y + 1) = 0 ⇔ 5 x + 10 y − = 0
2
2

Tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là giao điểm của d1 và d2. Tọa độ tâm I là nghiệm

của hệ:
15

x
=
x
+
7

y
+
17
=
0


2
⇔

7
10
x
+
20
y
−
5
=
0

y = −
2

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


Kẻ AH ⊥ BC


AH = ( x H ; y H + 6)

BC = ( xH − 1; y H − 1)
AH ⊥ BC ⇔ AH .BC = 0 ⇔ 4 xH + 3 y H = −18 (1)

A,B,C thẳng hàng ⇔ BH , BC cùng phương
xH − 1 yH − 1
=
⇔ 3 x H + 4 y H = −1 (2)
4
3
 x H = −3
Từ (1), (2) ⇒ 
 y H = −2
Vì A’ đối xứng với A qua BC ⇒ H là trung điểm AA’ ⇒ A’(-6;2)
⇔

Bài 39. Trong mặt phẳng Oxy , cho A( 1 ; 2) , B( 3 ; 4) , C( -5; -2).
1) Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC.
2) Viết phương trình đường tròn (C ) đi qua 2 điểm A , B và tâm I thuộc đường thẳng
∆ : 7x + 3y + 1 = 0 .
3) Hãy xét xem điểm C nằm trong , nằm trên hay nằm ngoài đường tròn (C).
A( 1 ; 2) , B( 3 ; 4) , C( -5; -2).
1)
Vì M là trung điểm của BC nên M( -1; 1).
uuuur
Vectơ chỉ phương của đường thẳng AM là AM = (−2; −1) .
r
Suy ra : Vectơ pháp tuyến của đường thẳng AM là n = (1; −2) .

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AM là :
1( x – 1) - 2( y – 2) = 0.
 x – 2y + 3 = 0.
2) ∆ : 7x + 3y + 1 = 0 .
Gọi pt của đường tròn (C) là : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0.
A( 1; 2) ∈ (C)  1+4 -2a -4b + c = 0.
 -2a – 4b + c = -5.
(1).
B(3 ; 4) ∈ (C)  9 + 16 – 6a – 8b + c = 0.
 -6a – 8b + c = -25.
(2).
∈
Tâm I(a; b) ∆  7a + 3b + 1 = 0
 7a + 3b = -1.
(3).
Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình :
 −2a – 4b + c = − 5

 −6a – 8b + c = − 25
 7a + 3b
= −1


(Nếu HS chỉ đúng được 2 phương trình thì cho 0,25).
 a = −4

  b=9
 c = 23



Vậy pt của đường tròn (C) là : x2 + y2 + 8x – 18y + 23 = 0.
3)
Đường tròn (C) có tâm I(-4 ; 9), bán kính R = 74 .
Mà : IC = 122
Vì IC > R nên điểm C nằm ngoài đường tròn (C).
Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh


Cõu 40.
1) Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú AB = a ; BC = a 2 v gúc ãABC = 450 . Tớnh di
ng chộo AC v din tớch hỡnh bỡnh hnh ABCD.
2) Trong mt phng Oxy, cho ba im A(1;2), B(5;2), C(1;-3)
a) Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng thng BC.
b) Vit phng trỡnh ng trũn tõm A tip xỳc vi ng thng BC.
ã
1) AC = AB2 + BC2 2AB.BC.cosABC
= a2 = a
1
ã
Shbh = 2.SABC = 2. AB.BC.sin ABC
= a.a 2.sin 450 = a 2 (vdt)
2

2)
uuur
uuur
a) BC i qua B(5;2) cú VTCP: BC = ( 4; 5 ) VTPT : nBC = ( 5; 4 )
pt : 5 ( x 5 ) 4 ( y 2 ) = 0 hay 5x - 4y -17 = 0


b) R=d(A; BC)=

20
400
; pttrũn: (x 1)2 + (y 2)2 =
41
41

Cõu 41. Cho tam giỏc A BC cú A B = a, BC = a 3 , Aã BC = 30 . Tớnh theo a di cnh
A C v khong cỏch t im B n ng thng A C .
A C 2 = A B 2 + BC 2 - 2A B .A BC . cos Aã BC
= a2 .
ị AC = a .
o

1
a2 3
A B .BC . sin B =
2
4
o K BH vuụng gúc vi A C ti H . Ta cú:
o

o

S A BC =

d (B , A C ) = BH =


2 ìS A BC
AC

=

a 3
.
2

Cõu 42. Trong mt phng Oxy , cho ng thng D : 3x - 4y - 15 = 0 v cỏc im
A (2; - 2) , B (- 6; 4) .
1) Vit phng trỡnh tng quỏt ca ng thng d i qua hai im A v B . Tỡm
ta giao im ca hai ng thng D v d .
2) Vit phng trỡnh ng trũn (C) cú ng kớnh A B . Chng minh D l tip
tuyn ca (C).
uuur

r

1) Ta cú A B = (- 8;6) vuụng gúc vi n = (3; 4) .
r
Vỡ d qua A (2; - 2) v cú v.t.p.t n = (3; 4) nờn d cú phng trỡnh l 3(x - 2) + 4(y + 2) = 0
hay 3x + 4y + 2 = 0 .
Ta giao im ca hai ng thng D v d l nghim ca h pt
ỡù 3x - 4y - 15 = 0
ù
ớ
ùù 3x + 4y + 2 = 0
ợ
ổ

13 17 ử
ữ
ữ
( x;y ) = ỗ
ỗ ;. Ta giao im cn tỡm l
ữ
ữ
ỗ
6
8
ố
ứ
Toỏn Tuyn Sinh Group

ổ
13 17 ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ ;.
ữ
ữ
ỗ
6
8
ố
ứ

www.facebook.com/groups/toantuyensinh



AB
= 5.
2) (C) có tâm là trung điểm I (- 2;1) của đoạn A B và có bán kính r =
2

Phương trình của (C) là: (x + 2) + (y - 1) = 25 .
2

Ta có d (I , D) =

3x I - 4y I - 15
2

3 + (- 4)

2

=

2

3(- 2) - 4.1 - 15
2

3 + (- 4)

2

= 5.


Vì d (I , D) = r nên D là tiếp tuyến của (C).
r

Câu 43. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua M(2;1) nhận vecto u = (2;3)
làm vecto chỉ phương.
r

Ta có n = (3; −2) là vecto pháp tuyến 0,25 điểm

r

Phương trình đường thẳng qua M(2;1), nhận n = (3; −2) là vecto pháp tuyến
3(x-2) -2(y -1) = 0 ⇔ 3 x − 2 y − 4 = 0 0,5 điểm
Vậy 3x – 2y -4 = 0 là đường thẳng cần tìm 0,25 điểm
Câu 44. Viết phương trình đường tròn đường kính AB với A(2;-1), B( 0;3)
Viết phương trình đường tròn đường kính AB với A(2;-1), B( 0;3)
Tâm I(1 ;1) 0,25 điểm Bán kính r = 5 0,25 điểm
Phương trình đường tròn ( x − 1) + ( y − 1) = 5 0,5 điểm
2

2

Câu 45. Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(– 1; 3) và C(– 3; –1).
a) Viết phương trình đường thẳng AB.
b) Viết phương trình đường trung trực ∆ của đọan thẳng AC.
c) Tính diện tích tam giác ABC.
Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(– 1; 3) và C(– 3; –1).
a)uuu
Viết

AB.
r phương trình đường thẳng
r
• AB = (−2;2) = 2(−1;1) ⇒ VTPT n = (1;1) ⇒ Phương trình AB: x + y − 2 = 0 .
b) Viết phương trình đường trung trực ∆ của đọan thẳng AC.
• Trung điểm AC là M(–1; 0)
uuur
r
• AC = (−4; −2) = −2(2;1) ⇒ VTPT n′ = (2;1) ⇒ Phương trình ∆ : 2 x + y + 2 = 0 .
c) Tính diện tích tam giác ABC.
• d (C , AB) =

−3 − 1 − 2
2

1
= 3 2; AB = (−2)2 + 22 = 2 2 ⇒ S∆ ABC = .3 2.2 2 = 6
2

Toán Tuyển Sinh Group

www.facebook.com/groups/toantuyensinh